■艾升東

我們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)發(fā)現(xiàn)這樣一道試題,可以從不同的角度來解答,現(xiàn)呈現(xiàn)給大家。

例題如圖1 所示,設(shè)雙曲線C：的一個(gè)焦點(diǎn)為點(diǎn)F,過F作雙曲線C的一條漸近線的垂線,垂足為點(diǎn)A,且與另一條漸近線交于點(diǎn)B,若,則雙曲線C的離心率為____。

圖1

思維方式一：由焦點(diǎn)F寫出F的坐標(biāo)。過點(diǎn)F作雙曲線C的一條漸近線的垂線,可以用點(diǎn)斜式寫出直線方程。因?yàn)榇棺銥辄c(diǎn)A,所以聯(lián)立兩直線方程,求出A的坐標(biāo)。又由與另一條漸近_線交于點(diǎn)B,可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)。最后由3,用向量的坐標(biāo)形式表示,得到a,b,c的一個(gè)齊次式,解出e。

點(diǎn)評(píng):該思維方法對(duì)題目逐句分析,邏輯思維清晰,若是解答綜合題,應(yīng)該來說是一種很正規(guī)的方法。但是,對(duì)于填空題來說,如果完成全部計(jì)算,至少需要10min以上,費(fèi)時(shí)、費(fèi)力。請(qǐng)同學(xué)們思考一下“3這個(gè)條件,我們能否從幾何方法上突破呢?

思維方式二：思考片刻后,有一個(gè)同學(xué)發(fā)現(xiàn)該條件可以變?yōu)?得出A,B,F三點(diǎn)共線,進(jìn)而得到。而漸近線所夾的軸其實(shí)是角平分線,由角平分線定理得|OB|∶|OA|=2∶1。因?yàn)椤鱋AB是直角三角形,從而得到∠AOB=60°,∠BOx=60°,所以直線OB的正切=,從而得到e。

思維方式三：另一個(gè)同學(xué)又提出,既然要得到這個(gè)關(guān)系式,我們可以直接從3轉(zhuǎn)化到。其余過程同上。

思維方式四：又有一名同學(xué)提出,本題是向量之和,如果我們延長(zhǎng)為其2 倍至E點(diǎn),依托作平行四邊形,y軸是∠BOA的平分線,所作的平行四邊形就是一個(gè)菱形,OE=OB。A是OE的中點(diǎn),BA⊥OE,所以O(shè)B=EB,△OBE為等邊三角形,漸近線的傾斜角為60°。其余過程同“方式二”。

點(diǎn)評(píng):以上幾位同學(xué)善于思考,抓出了三點(diǎn)共線原理及角平分線定理,能由垂直中點(diǎn)想到等腰及由直線角度聯(lián)想到正切,說明這幾位同學(xué)的綜合分析能力較強(qiáng)。

思考：我們注意到,最開始的同學(xué)采用的方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的運(yùn)算能力,若是解答題,該方法中規(guī)中矩,可以盡可能地有效得分。但在解答選擇題和填空題時(shí),我們更要注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用,盡量多思考,簡(jiǎn)化運(yùn)算。同學(xué)們?cè)谧鲱}時(shí),要學(xué)會(huì)發(fā)散思維,多角度、多層面地思考問題,逐步提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力,注重?cái)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng),以應(yīng)對(duì)即將到來的新高考。