吳耀文 ，邢傳璽, 岳露露，萬興舉

(云南民族大學(xué) 電氣信息工程學(xué)院，云南 昆明 650500)

21世紀(jì)是海洋的世紀(jì)，中國(guó)共產(chǎn)黨第十九次全國(guó)代表大會(huì)報(bào)告明確提出加快“建設(shè)海洋強(qiáng)國(guó)”的戰(zhàn)略，我國(guó)眾多學(xué)者紛紛展開了各種海洋科學(xué)研究.其中，水下目標(biāo)的探測(cè)、導(dǎo)航、通信等實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域都需要準(zhǔn)確的水聲信號(hào)，且水聲信號(hào)降噪涉及水聲信號(hào)的獲取、傳輸、處理和融合，不僅在海洋科學(xué)研究、環(huán)境調(diào)查、資源開發(fā)與安全防衛(wèi)中發(fā)揮越來越重要的作用，也是信息科學(xué)研究的熱點(diǎn)方向[1].低頻信號(hào)在水下具有傳播距離遠(yuǎn)、衰減慢和損失小的特點(diǎn)，受到越來越多的關(guān)注.但由于復(fù)雜的海洋環(huán)境，水聲信號(hào)在傳播中往往會(huì)被海洋噪聲污染，尤其是低頻水聲信號(hào)，更容易受到噪聲的干擾，很大程度上影響了目標(biāo)檢測(cè)、定位與識(shí)別的準(zhǔn)確性和有效性.因此，低頻水聲信號(hào)的降噪問題具有重要的研究?jī)r(jià)值.傳統(tǒng)降噪方法采用線性濾波器濾掉噪聲頻率成分，但對(duì)于水聲信號(hào)，會(huì)造成目標(biāo)信號(hào)失真，改變降噪后輸出信號(hào)的動(dòng)力學(xué)特性[2].

為了有效降低海洋噪聲對(duì)接收信號(hào)的干擾，諸多學(xué)者提出了多種降噪方法.近年來越來越多的研究人員熱衷于對(duì)基于字典學(xué)習(xí)的降噪算法進(jìn)行研究.其中，文獻(xiàn)[3]分別對(duì)語音字典和噪聲字典進(jìn)行了研究并得到語音與噪聲的聯(lián)合字典，并通過將含噪語音信號(hào)投影到聯(lián)合字典中，提取出純語音信號(hào).張揚(yáng)[4]等利用混合高斯模型學(xué)習(xí)自然圖像塊的紋理結(jié)構(gòu)，提出一種基于圖像塊先驗(yàn)的低秩近似和維納濾波的去噪算法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明此方法效果優(yōu)于目前部分主流算法.Zhang[5]等提出一種基于最小相關(guān)分量約束的非負(fù)矩陣分解算法，該算法放寬了源無關(guān)假設(shè)，具有低復(fù)雜度的代數(shù)計(jì)算，對(duì)不相關(guān)源信號(hào)具有較好的分離性能.

在文獻(xiàn)[6]首次提出魯棒主成分分析(robust principal component analysis，RPCA)的思想后，大量學(xué)者開始致力于對(duì)語音信號(hào)進(jìn)行稀疏低秩分解.本文結(jié)合水聲信號(hào)具有非線性、非高斯、非平穩(wěn)和低信噪比等特點(diǎn)，在魯棒主成分分析的基礎(chǔ)上，根據(jù)稀疏低秩分解與非負(fù)矩陣分解理論提出一種低頻水聲信號(hào)降噪算法.該方法多用于語音信號(hào)的降噪與增強(qiáng)領(lǐng)域中，但由于實(shí)際海洋環(huán)境中的噪聲更為復(fù)雜，水聲信號(hào)在傳播過程中往往會(huì)被海洋噪聲污染，導(dǎo)致接收信號(hào)具有較低的信噪比，所以將該方法應(yīng)用于水聲信號(hào)處理領(lǐng)域.文獻(xiàn)[7]提出了一種基于稀疏低秩矩陣分解的水下視頻前景提取方法，如果將水下視頻幀疊加為矩陣的列，則可以自然地將靜止背景建模為低秩矩陣分量，而前景中的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)則可以建模為稀疏矩陣分量.這種方法將前景和背景分離問題建模為一個(gè)稀疏低秩矩陣分解問題，最終得到了前景掩碼和相應(yīng)的提取前景.

大量研究表明，將信號(hào)幅度譜分解為低秩部分與稀疏部分最后得到的效果往往不是很理想[8].若想得到更好的降噪效果，需要將分解模型改變?yōu)榘押胄盘?hào)幅度譜表示成低秩矩陣、稀疏矩陣與噪聲3部分.本文依照此分解模型實(shí)現(xiàn)了對(duì)低頻水聲信號(hào)的降噪處理.該方法首先使用GoDec(go decomposition)算法[8]將水聽器接收到的含噪信號(hào)幅度譜表示為低秩、稀疏和噪聲3部分.其中噪聲部分為高斯噪聲，低秩部分中混有結(jié)構(gòu)化噪聲.然后，在去除噪聲部分后通過非負(fù)矩陣分解對(duì)低秩部分進(jìn)行處理，得到該部分的噪聲特征；最后，根據(jù)得出的噪聲字典，進(jìn)行維納濾波后得到降噪后的水聲信號(hào).本文基于簡(jiǎn)正波理論，對(duì)2種不同海況條件下的仿真信號(hào)進(jìn)行處理，結(jié)果表明，該方法可實(shí)現(xiàn)在信噪比為-10 dB的情況下對(duì)低頻水聲信號(hào)的降噪處理.

1 基本理論分析

根據(jù)簡(jiǎn)正波理論來建立水聲傳播模型，用到的降噪處理算法有Godec算法、非負(fù)矩陣分解NMF和維納濾波.其中Godec算法是一種基于魯棒主成分分析的分解算法，該方法可以將矩陣分解為低軼L、稀疏S和噪聲N三部分，從而降低計(jì)算的數(shù)據(jù)量；NMF算法多用于對(duì)文字、語音和圖像的處理，該方法計(jì)算速度快，復(fù)雜度低，分解矩陣所占空間小，適用于對(duì)高維數(shù)據(jù)的降維；維納濾波基于最小均方誤差準(zhǔn)則，可以對(duì)平穩(wěn)過程做出最優(yōu)估計(jì)，提高信號(hào)質(zhì)量.

1.1 簡(jiǎn)正波理論

簡(jiǎn)正波用特征函數(shù)來描述聲場(chǎng)[9]，每個(gè)特征函數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)方程的解，所有滿足邊界條件和初始條件的簡(jiǎn)正波線性疊加構(gòu)成了一般解[10].可寫為距離函數(shù)Rl(r)和本征函數(shù)ψl(z)的乘積

(1)

其中r為接受點(diǎn)到聲源的距離，z表示接受點(diǎn)的深度.將上式帶入聲壓方程可得簡(jiǎn)正波的特征方程

(2)

其中，k(z)=2π/λ表示波數(shù)，λ為波長(zhǎng).根據(jù)格林函數(shù)可以得到淺海聲場(chǎng)聲壓簡(jiǎn)正波解

(3)

其中ψl=kr+iδl，表示簡(jiǎn)正波的復(fù)本征值；kr為水平波數(shù)，δi<0表示簡(jiǎn)正波的衰減系數(shù).本文所采用(3)式所示的簡(jiǎn)正波模型進(jìn)行仿真，獲取波形預(yù)報(bào)，時(shí)域波形如圖1所示.

圖1 時(shí)域波形

1.2 降噪處理模型

本文所用的降噪處理模型是基于魯棒主成分分析(robust principal component analysis，RPCA)的稀疏低秩矩陣分解模型，稀疏低秩矩陣分解是近年來機(jī)器學(xué)習(xí)和信號(hào)處理等領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題，是高維數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ)和核心問題之一.

RPCA的主要思想來源于主成分分析(principal components analysis，PCA).PCA是一種使用最廣泛的數(shù)據(jù)降維方法，該方法是一種對(duì)高維度特征數(shù)據(jù)預(yù)處理的方法，可以保留高維度數(shù)據(jù)中的一些重要特征，去除噪聲和其他冗余，從而實(shí)現(xiàn)提升數(shù)據(jù)處理速度的目的.但是，如果在樣本數(shù)據(jù)中存在一些具有較大偏差的樣本時(shí)，其得到的結(jié)果通常會(huì)與實(shí)際情況有很大誤差[11]，不能適用于含有稀疏噪聲的數(shù)據(jù).為彌補(bǔ)PCA的不足，Candes等[12]在此基礎(chǔ)上通過求解一個(gè)稱為主成分追蹤(principal component pursuit，PCP)的凸優(yōu)化問題，一個(gè)新的解決方案應(yīng)運(yùn)而生——魯棒主成分分析.與經(jīng)典PCA一樣，RPCA本質(zhì)上也是尋找數(shù)據(jù)在低維空間上的最佳投影問題.當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)較大時(shí)，PCA無法給出理想的結(jié)果，而RPCA能夠從較大的且被噪聲污染的觀測(cè)數(shù)據(jù)中恢復(fù)出本質(zhì)上低秩的數(shù)據(jù).

根據(jù)RPCA能夠把一個(gè)含噪信號(hào)幅度譜表示為一個(gè)低秩矩陣和一個(gè)稀疏矩陣兩部分.假設(shè)含噪信號(hào)幅度譜為Y，則有

Y=L+S.

(4)

式中L為低秩矩陣，S為稀疏矩陣.(4)式可以通過處理凸優(yōu)化問題來解決，在弱假設(shè)下根據(jù)主成分追蹤來估計(jì)解

(5)

(6)

求解上式可以通過增廣拉格朗日乘子法(augmented lagrange multiplier，ALM)[13]來解決這個(gè)問題.

1.3 Godec算法

Godec算法是一種基于魯棒主成分分析的分解算法，該方法將分解轉(zhuǎn)化為低軼L和稀疏S的交替優(yōu)化，并克服了大數(shù)據(jù)量帶來的計(jì)算負(fù)擔(dān)，文獻(xiàn)[14]證明該方法比RPCA具有更好的魯棒性和有效性.該方法額外考慮了噪聲部分N，即

Y=L+S+N,rank(L)≤r，card(S)≤k.

(7)

式中，rank(L)表示低秩矩陣L的秩，card(S)表示稀疏矩陣S的勢(shì)(數(shù)據(jù)中非零元素的個(gè)數(shù)).

求解(7)式中的分解問題，可以通過最小化分解誤差來解決，即

(8)

求解(8)式中的優(yōu)化問題可以將其轉(zhuǎn)化為交替求解以下2個(gè)子問題，直到收斂.因此可以在最小化分解誤差下，分別對(duì)L和S進(jìn)行計(jì)算

(9)

在Godec算法中，使用雙邊隨機(jī)投影(bilateral random projection，BRP)來計(jì)算(9)式，相比于傳統(tǒng)計(jì)算方法奇異值分解(singularly valuable decomposition，SVD)，運(yùn)算速度明顯提高，且很大程度地將計(jì)算復(fù)雜度降低.

在使用Godec算法對(duì)含噪信號(hào)幅度譜進(jìn)行處理后，去除噪聲部分即可移除非結(jié)構(gòu)化噪聲，但在低秩部分中仍然存在結(jié)構(gòu)化噪聲.之后就需要通過非負(fù)矩陣分解算法來進(jìn)行多次迭代重復(fù)此類噪聲所具有的特征，來提高信號(hào)的降噪效果.

1.4 非負(fù)矩陣分解NMF

結(jié)構(gòu)化噪聲通常是非平穩(wěn)噪聲，其功率譜為時(shí)變的.可以對(duì)低秩部分L運(yùn)用非負(fù)矩陣分解(non-negative matrix factorization，NMF)[15]來重復(fù)這類噪聲的特征信息.非負(fù)矩陣分解算法的約束條件為矩陣中的元素都是非負(fù).NMF算法的優(yōu)點(diǎn)有很多，計(jì)算速度快，復(fù)雜度低，分解矩陣所占空間小，適用于對(duì)高維數(shù)據(jù)的降維，多用于對(duì)文字、語音和圖像的處理.具體計(jì)算步驟如下：首先對(duì)低秩矩陣求取模值，之后通過NMF獲得非平穩(wěn)噪聲的字典Dn，即

|L|≈DnCn

(10)

其中，|L|表示低秩部分L的模，Dn表示基矩陣，也就是非平穩(wěn)噪聲字典，Cn表示與字典Dn對(duì)應(yīng)的權(quán)重矩陣.

假設(shè)去除噪聲部分N后的信號(hào)幅度譜為YLS，則有

(11)

其中，Ds表示無噪信號(hào)的字典，Cs為相對(duì)應(yīng)的權(quán)重矩陣.

在利用NMF經(jīng)過多次的迭代計(jì)算后可以得到噪聲字典，然后根據(jù)(11)式可以計(jì)算出初始發(fā)送信號(hào)的幅度譜.

1.5 維納濾波

為了更好提升對(duì)信號(hào)的降噪效果，最后采用維納濾波對(duì)得到的降噪后的信號(hào)幅度譜進(jìn)行處理，提高信號(hào)的質(zhì)量.維納濾波器是一種基于最小均方誤差準(zhǔn)則、對(duì)平穩(wěn)過程的最優(yōu)估計(jì)器.該濾波器的輸出與期望輸出之間的均方誤差為最小，因此，它是一個(gè)最佳濾波系統(tǒng)，可用于提取被平穩(wěn)噪聲污染的信號(hào).其頻域表達(dá)式為

(12)

2 降噪處理計(jì)算

本文降噪算法流程如圖2所示.首先通過短時(shí)傅里葉變換(short time fourier transformation, STFT)求得含噪水聲信號(hào)幅度譜Y，然后使用Godec算法將含噪信號(hào)的幅度.

譜表示為低秩L、稀疏S和噪聲N三部分，去除噪聲部分后通過非負(fù)矩陣分解算法對(duì)低秩部分處理，迭代多次后得到噪聲字典Dn；最后，使用所得結(jié)構(gòu)化噪聲字典，進(jìn)行維納濾波后做逆STFT變換得到降噪后的低頻水聲信號(hào)，具體處理流程如圖3所示.

圖2 降噪算法流程圖

圖3 具體處理流程

本文主要用到的降噪處理算法為Godec算法、非負(fù)矩陣分解NMF和維納濾波.具體算法步驟如下：

步驟1 根據(jù)簡(jiǎn)正波方程即公式(3)進(jìn)行波形預(yù)報(bào)，獲取時(shí)域波形，得到仿真水聲信號(hào).

(13)

(14)

其中，vr(r,z)和vr(r,z)分別是水平振速和垂直振速的簡(jiǎn)正波表達(dá)式，ψ′l(z)是本征函數(shù)在z方向的一階導(dǎo)數(shù).公式(3)、(13)和(14)共同構(gòu)成了淺海聲場(chǎng)矢量的簡(jiǎn)正波解.

(15)

(16)

步驟3 Godec算法：根據(jù)公式(7)和公式(9)在秩為1的條件下對(duì)含噪信號(hào)幅度譜Y進(jìn)行分解，得到非結(jié)構(gòu)化噪聲部分N、低秩部分L和稀疏部分S，記去除非結(jié)構(gòu)化噪聲部分N后的信號(hào)幅度譜為YLS

YLS=Y-N=L+S.

(17)

步驟4 NMF算法：初始化接收信號(hào)字典與噪聲字典的原子個(gè)數(shù)，經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)選擇合適的原子個(gè)數(shù)為50，且設(shè)定迭代計(jì)算的次數(shù)為200.對(duì)低秩矩陣L求取模值后根據(jù)公式(10)計(jì)算得到非平穩(wěn)噪聲的字典Dn，即

(18)

根據(jù)公式(11)經(jīng)過多次迭代計(jì)算后可得到接收信號(hào)的幅度譜Ys與結(jié)構(gòu)化噪聲信號(hào)的幅度譜Yn，即

YS=DS×CS，YN=DN×CN.

(19)

3 仿真結(jié)果分析

為驗(yàn)證本文方法的可行性和有效性，對(duì)不同海況下即不同信噪比的仿真低頻水聲信號(hào)進(jìn)行降噪處理，驗(yàn)證該方法的降噪效果.為驗(yàn)證算法的可靠性，基于2013年在黃海實(shí)驗(yàn)的真實(shí)海試數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真，首先根據(jù)簡(jiǎn)正波方程即公式(3)進(jìn)行波形預(yù)報(bào)，采用的真實(shí)海洋環(huán)境參數(shù)如下：海底為彈性海底，水深 25 m、海水密度1.5 g/cm3、海底吸收為 0.5 dB，聲源位于水下 10 m深處，水聽器位于水下 9 m深處，二者相距 10 km，聲源與水聽器不在同一深度是為了避免多途帶來的干擾.海水中的聲速為2013年在黃海實(shí)驗(yàn)的實(shí)際測(cè)量聲速剖面，如圖4所示.發(fā)送信號(hào)頻率為 300 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為18 000個(gè)，仿真水聲信號(hào)及頻譜如圖5所示.根據(jù)被動(dòng)聲納方程，假設(shè)聲源可全方位接收，聲源級(jí)為 120 dB，接收指向性指數(shù)為0.表1為根據(jù)文獻(xiàn)[16]得到的不同海況與不同頻率下的淺海噪聲級(jí)數(shù).

表1 淺海噪聲級(jí)數(shù) dB

由表1可知在平穩(wěn)海況下且信號(hào)頻率為 300 Hz 時(shí)的淺海噪聲級(jí)約為 78 dB，聲源與水聽器間的傳播損失為 40 dB，根據(jù)被動(dòng)聲納方程計(jì)算可得接收信號(hào)的信噪比約為 2 dB.在極端海況條件下，惡劣的海洋環(huán)境如臺(tái)風(fēng)、海浪等會(huì)導(dǎo)致接收信號(hào)具有極低的信噪比，其噪聲級(jí)約為 90 dB，經(jīng)測(cè)量極端海況條件下的接收信號(hào)信噪比為 -10 dB.

通過對(duì)比分析圖6和圖7可以看出，在應(yīng)用本文方法降噪后，能夠較好地降低噪聲對(duì)信號(hào)的影響，有效逼近原始發(fā)送信號(hào).在輸入信號(hào)信噪比為 2 dB 時(shí)具有很好的降噪效果，即使在極端海況條件下即信噪比為 -10 dB 時(shí)，也可以有效降低噪聲干擾和提高信噪比，實(shí)現(xiàn)了對(duì)低頻水聲信號(hào)的降噪處理.

4 結(jié)語

針對(duì)水聲信號(hào)的非線性、非高斯、非平穩(wěn)和低信噪比等特點(diǎn),將基于魯棒主成分分析的Godec算法、非負(fù)矩陣分解算法和維納濾波應(yīng)用于低頻水聲信號(hào)處理領(lǐng)域，實(shí)現(xiàn)了對(duì)兩種不同海況下仿真水聲信號(hào)的降噪處理.研究結(jié)果表明該方法對(duì)低頻水聲信號(hào)進(jìn)行處理是一種行之有效的方法，在水聲信號(hào)處理研究領(lǐng)域具有重要作用.