吳雪嬌，李丹青

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

近年來(lái)許多研究者對(duì)于技術(shù)授權(quán)問(wèn)題做出了多方面的研究.技術(shù)授權(quán)不僅可以降低企業(yè)的生產(chǎn)成本，還可以提高產(chǎn)品的質(zhì)量，使得企業(yè)在市場(chǎng)上形成一定的競(jìng)爭(zhēng)力.為了追求利潤(rùn)最大化，李瑩瑩[1]，Stamatopolous和Tauman[2]，許治等[3]研究者在不同情況下對(duì)最適合同選擇問(wèn)題進(jìn)行分析.事實(shí)上，關(guān)于技術(shù)授權(quán)的動(dòng)力學(xué)行為研究相對(duì)較少.Aspremont和Jacquemin[4]首先將技術(shù)創(chuàng)新引入到寡頭壟斷的研究中，之后Kobayashi[5]開(kāi)始關(guān)注寡頭博弈的技術(shù)創(chuàng)新研究，Li和Wang[6]分析寡頭壟斷模式下的技術(shù)創(chuàng)新動(dòng)態(tài).

古諾雙寡頭博弈的動(dòng)力學(xué)行為是復(fù)雜的，因?yàn)槠髽I(yè)在每個(gè)階段不僅要考慮自身的決策，還要考慮其他競(jìng)爭(zhēng)企業(yè)的決策.在這里我們將這種博弈擴(kuò)展到兩個(gè)市場(chǎng)，不出所料，所得到的局部和全局動(dòng)態(tài)結(jié)果十分豐富.由于研究者對(duì)于非線性雙寡頭壟斷市場(chǎng)的興趣日益高漲，使得企業(yè)的決策機(jī)制得到更新完善.在這一點(diǎn)上，羅琴和丁占文[7]，江小國(guó)[8]以及Ahmed[9]等提出了比較與企業(yè)使用nai?ve期望更為現(xiàn)實(shí)的期望規(guī)則，假設(shè)企業(yè)在動(dòng)態(tài)古諾博弈中表現(xiàn)出自適應(yīng)行為，遵循一個(gè)有限理性的調(diào)整過(guò)程，且每個(gè)企業(yè)基于邊際利潤(rùn)梯度規(guī)則更新投資策略.

本文將Zhao等[10]提出的模型進(jìn)行拓展.引進(jìn)技術(shù)授權(quán)問(wèn)題的分析，在兩個(gè)市場(chǎng)中，技術(shù)擁有企業(yè)作為生產(chǎn)性企業(yè)，它只對(duì)其中一個(gè)市場(chǎng)進(jìn)行技術(shù)授權(quán)行為，且每個(gè)企業(yè)都有著相同的有限理性假設(shè)，基于邊際利潤(rùn)遵循一個(gè)梯度原則，建立一個(gè)新的模型.特別地，利用Schur-Cohn判據(jù)對(duì)納什均衡點(diǎn)進(jìn)行局部穩(wěn)定性分析，此外，為了揭示企業(yè)間競(jìng)爭(zhēng)的復(fù)雜性以及該模型的內(nèi)在復(fù)雜性，在數(shù)值模擬的基礎(chǔ)上，利用混沌理論和分岔理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析.我們發(fā)現(xiàn)，這里存在一個(gè)調(diào)整速度的臨界值，納什均衡點(diǎn)將失去其穩(wěn)定性.這個(gè)臨界值還受到特許收費(fèi)費(fèi)用的影響，較大的特許收費(fèi)費(fèi)用更加有利于市場(chǎng)的穩(wěn)定性.另一方面，在沒(méi)有進(jìn)行技術(shù)授權(quán)的市場(chǎng)中，可以推斷，較高的不變邊際成本確保納什均衡點(diǎn)的穩(wěn)定.

1 模型的建立

在古諾雙寡頭競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中，兩家生產(chǎn)性企業(yè)生產(chǎn)的商品近乎可替代但是在質(zhì)量上有所不同，所以對(duì)于質(zhì)量不同的商品，企業(yè)設(shè)定的價(jià)格也不同.假設(shè)企業(yè)之間進(jìn)行產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)，且我們考慮市場(chǎng)A的逆需求函數(shù)：

pAi=ai-bi(qAi+qAj),(i,j=1,2,i≠j)

(1)

其中pAi表示在市場(chǎng)A中企業(yè)i的價(jià)格，qAi表示企業(yè)i的產(chǎn)量.ai>0,bi>0為常數(shù).同樣地，市場(chǎng)B的逆需求函數(shù)為：

pBi=mi-ki(qBi+qBj),(i,j=1,2,i≠j)

(2)

其中pBi表示在市場(chǎng)B中企業(yè)i的價(jià)格，qBi表示企業(yè)i的產(chǎn)量.mi>0,ki>0為常數(shù).

假設(shè)企業(yè)1擁有能降低成本的新技術(shù)，企業(yè)1將對(duì)企業(yè)2進(jìn)行技術(shù)授權(quán).授權(quán)博弈包括三個(gè)階段：第一階段，技術(shù)持有企業(yè)作為Stackelberg領(lǐng)導(dǎo)者，為授權(quán)設(shè)定特許權(quán)收費(fèi)費(fèi)用r；第二階段，其他企業(yè)扮演Stackelberg跟隨者決定是否接受技術(shù)持有者的授權(quán)；最后一個(gè)階段，2個(gè)企業(yè)在壟斷市場(chǎng)中進(jìn)行非合作價(jià)格競(jìng)爭(zhēng).不失一般性，假設(shè)企業(yè)2接受授權(quán)后，其邊際成本降為零.在這篇文章中，我們假設(shè)企業(yè)1只在市場(chǎng)A中對(duì)企業(yè)2進(jìn)行技術(shù)授權(quán)，且市場(chǎng)B的不變邊際成本分別為cB.因此在市場(chǎng)A中企業(yè)i的利潤(rùn)函數(shù)分別為：

πA1=pA1qA1+rqA2,πA2=pA2qA2-rqA2,

(3)

其中r>0為企業(yè)2支付給企業(yè)1的單位產(chǎn)出費(fèi).市場(chǎng)B中企業(yè)i的利潤(rùn)函數(shù)分別為：

πB1=pB1qB1-cBqB1,πB2=pB2qB2-cBqB2.

(4)

我們可以得到企業(yè)i的總利潤(rùn)函數(shù)：

π1=πA1+πB1=(a1-b1(qA1+qA2))qA1+(m1-k1(qB1+qB2))qB1+rqA2-cBqB1,
π2=πA2+πB2=(a2-b2(qA1+qA2))qA2+(m2-k2(qB1+qB2))qB2-rqA2-cBqB2.

(5)

因此企業(yè)1和企業(yè)2分別關(guān)于市場(chǎng)A和市場(chǎng)B的邊際利潤(rùn)如下所示：

(6)

(7)

其中常數(shù)α1,α2>0分別為市場(chǎng)A和市場(chǎng)B的調(diào)整速度.

2 均衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析

在Cournot雙寡頭市場(chǎng)中，企業(yè)1和企業(yè)2對(duì)產(chǎn)量決策經(jīng)過(guò)多次反復(fù)的博弈，雙方產(chǎn)量最終將達(dá)到一個(gè)均衡的狀態(tài)，在均衡點(diǎn)處qi(t+1)=qi(t)，因此均衡點(diǎn)滿(mǎn)足：

(8)

對(duì)方程組(8)進(jìn)行求解，得到以下均衡點(diǎn)：

其中

對(duì)系統(tǒng)(7)的均衡點(diǎn)進(jìn)行局部穩(wěn)定性分析，并得到以下結(jié)論.

由系統(tǒng)(7)可以得到其雅克比矩陣J為：

I)在E0=(0,0,0,0)處的雅克比矩陣J(E0)如下所示：

其特征值分別為：λ1=1+a1α1,λ2=1+α1(m1-cB),λ3=1+α2(a2-r),λ4=1+α2(m2-cB)，由于均衡點(diǎn)坐標(biāo)有著非負(fù)性，αi>0,ai>0,a2>r,mi-cB>0,(i=1,2)，我們得到λi>1(i=1,2,3,4)，因此均衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的.

通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算，可以得到矩陣J(E11)的4個(gè)特征值：

其中

V)對(duì)于納什均衡點(diǎn)E15=(q*1,q*2,q*3,q*4)的局部穩(wěn)定性分析，由于在計(jì)算方面會(huì)更加復(fù)雜化，下面將利用Schur-Cohn判據(jù)對(duì)E15進(jìn)行穩(wěn)定性分析.

首先，在納什均衡點(diǎn)E15=(q*1,q*2,q*3,q*4)處的雅克比矩陣為：

其中

Q=a1-b1(4q*1+q*3),W=m1-k1(4q*2+q*4)-cB,
U=a2-b2(4q*3+q*1)-r,S=m2-k2(4q*4+q*2)-cB.

特征多項(xiàng)式為：

F(λ)=λ4+A1λ3+A2λ2+A3λ+A4.

(9)

可以得到：

A1=-α1(Q+W)-α2(U+S)-4,

A2=QWα12+USα22+((WU+WS+QU+QS-b1b2q*1q*3-k1k2q*2q*4)α2
+3Q+3W)α1+(3S+3U)α2+6,

A3=((Qk1k2q*2q*4+Wb1b2q*1q*3-QW(U+S))α2-2QW)α21-2USα22+((Uk1k2q*2q*4+Sb1b2q*1q*3
-US(Q+W))α22+(2k1k2q*2q*4+2b1b2q*1q*3-2(WS+QS+QU+WU))α2-3(W+Q))α1-
3(U+S)α2-4,

A4=((b1b2k1k2q*1q*2q*3q*4-WSb1b2q*1q*3-QUk1k2q*2q*4+QWUS)α22+(QW(U+S)-
Qk1k2q*2q*4-Wb1b2q*1q*3)α2+QW)α21+((US(Q+W)-Uk1k2q*2q*4-Sb1b2q*1q*3)α22+
((W+Q)(U+S)-b1b2q*1q*3-k1k2q*2q*4)α2+W+Q)α1+USα22+(S+U)α2+1.

我們知道如果納什均衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，那么它的特征多項(xiàng)式的所有根都在單位范圍內(nèi)，Schur-Cohn判據(jù)給出了充分必要條件：

i)F(1)>0,

ii) (-1)4F(-1)>0,

iii) 矩陣M±1和矩陣M±3的行列式都為正數(shù)，其中

因此，當(dāng)特征多項(xiàng)式F(λ)的系數(shù)矩滿(mǎn)足以下不等式組條件時(shí)，納什均衡點(diǎn)E15是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的，即：

(10)

3 數(shù)值模擬

上一章節(jié)我們對(duì)系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性做了一定的分析，為了更直觀地分析系統(tǒng)(7)的動(dòng)態(tài)行為，在這一章節(jié)我們以數(shù)值模擬方法繼續(xù)對(duì)系統(tǒng)(7)在不同的初值條件下的動(dòng)態(tài)演化過(guò)程進(jìn)行可視化研究.具體地，研究?jī)?nèi)容主要分為3個(gè)部分：關(guān)于特許收費(fèi)費(fèi)用r與不變邊際成本c分別作用于市場(chǎng)A和市場(chǎng)B長(zhǎng)期動(dòng)態(tài)結(jié)果的研究；初值條件問(wèn)題.在這里我們用到的主要工具包括一維分岔圖、二維分岔圖、最大李亞普洛夫指數(shù)圖、吸引盆等.

首先固定參數(shù)組a1=5.83,a2=3.56,b1=0.84,b2=0.42,α1=0.21；如圖1～6所示，分別是r=0.1,r=0.2,r=0.25時(shí)在A市場(chǎng)中產(chǎn)量qA1,qA2關(guān)于調(diào)整速度α2的單參數(shù)分岔圖以及對(duì)應(yīng)的最大李亞普洛夫指數(shù)圖.

從圖1中發(fā)現(xiàn)，隨著調(diào)整速度α2的不斷增大，系統(tǒng)經(jīng)歷了flip分岔，從穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定，甚至是混沌.如圖1(r=0.1)，當(dāng)α2≤0.666 3時(shí)，市場(chǎng)中企業(yè)的產(chǎn)量軌跡是局部穩(wěn)定的，接著發(fā)生倍周期分岔.這就意味著，對(duì)于較大的調(diào)整速度α2，決策者更不容易精準(zhǔn)地掌握市場(chǎng).

圖1 當(dāng)r=0.1時(shí)，關(guān)于α2的單參數(shù)分岔圖 圖2 最大李亞普洛夫指數(shù)圖

圖3 當(dāng)r=0.2時(shí)，關(guān)于α2的單參數(shù)分岔圖 圖4 最大李亞普洛夫指數(shù)圖

圖5 當(dāng)r=0.25時(shí)，關(guān)于α2的單參數(shù)分岔圖 圖6 最大李亞普洛夫指數(shù)圖

隨著r的增大，如圖3(r=0.2)，當(dāng)α2≤0.6965時(shí)，A市場(chǎng)中企業(yè)1和企業(yè)2的產(chǎn)量軌跡是局部穩(wěn)定的，同樣地，系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔失去其穩(wěn)定性.如圖5(r=0.25)，當(dāng)α2≤0.7126時(shí)，A市場(chǎng)是局部穩(wěn)定的.從上面的現(xiàn)象我們發(fā)現(xiàn)，較大的特許收費(fèi)費(fèi)用r能夠讓A市場(chǎng)變得更加穩(wěn)定.

另一方面，考慮到市場(chǎng)A中特許權(quán)收費(fèi)費(fèi)用r=0.18以及調(diào)整速度α1=0.214,α2=1.06，參數(shù)a1,a2,b1,b2不變時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)了2個(gè)不同的5周期吸引子共存現(xiàn)象，如圖7為共存吸引子及所在吸引盆，其中深藍(lán)色區(qū)域代表混沌區(qū)域或逃逸區(qū)域，淺藍(lán)色區(qū)域?yàn)樾菭钗铀谖瑁凵珵辄c(diǎn)狀吸引子所在吸引盆.我們可以觀察到這里的吸引盆存在明顯的分形結(jié)構(gòu)，與此同時(shí)，在大部分吸引盆中淺藍(lán)色部分與粉色部分不能很好的分開(kāi).從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度分析，在市場(chǎng)博弈中，企業(yè)選擇了略微不同的產(chǎn)量初值，將會(huì)帶來(lái)很大不同的收益結(jié)果，在這種情況下，決策者也很難對(duì)市場(chǎng)未來(lái)進(jìn)行一個(gè)精確的估計(jì).當(dāng)α1=0.216時(shí)，如圖8，點(diǎn)狀五周期吸引子變成了10周期吸引子，其中也出現(xiàn)明顯的分形結(jié)構(gòu).特別地，點(diǎn)狀吸引子所占面積增大.

圖7 2個(gè)不同的5周期環(huán)共存的吸引盆 圖8 1個(gè)5周期環(huán)和1個(gè)10周期環(huán)共存的吸引盆

圖9 α1與c的二維分岔圖 圖10 當(dāng)α1=1.00時(shí)，關(guān)于c的單參數(shù)分岔圖

接下來(lái)我們將對(duì)B市場(chǎng)進(jìn)行研究，同樣地固定參數(shù)組m1=2.98,m2=3.05,k1=2.76,k2=2.20,α2=1.60，同時(shí)，企業(yè)1的調(diào)整速度α1和固定邊際成本c作為分岔參數(shù).如圖9我們將參數(shù)α1與c等分 1 000份，通過(guò)雙層迭代算法繪制出關(guān)于α1與c的2-D分岔圖，這種算法相對(duì)于傳統(tǒng)的計(jì)算能夠節(jié)約不少的時(shí)間.圖10，當(dāng)α1=1.00時(shí)，在市場(chǎng)B中產(chǎn)量qB1,qB2關(guān)于固定邊際成本c的單參數(shù)分岔圖，我們發(fā)現(xiàn)市場(chǎng)B對(duì)于較小的c是不穩(wěn)定的，隨著c增大，系統(tǒng)發(fā)生周期倍減分岔，從混沌狀態(tài)到多周期的不穩(wěn)定狀態(tài)，再到穩(wěn)定狀態(tài).這就意味著，隨著不變邊際成本c的增大，企業(yè)決策者對(duì)于B市場(chǎng)的預(yù)判是困難的.

4 結(jié)語(yǔ)

這篇文章分析了基于有限理性假設(shè)的多市場(chǎng)古諾雙寡頭博弈，其中A市場(chǎng)的2個(gè)企業(yè)進(jìn)行了技術(shù)授權(quán).利用非線性系統(tǒng)以及Schur-Cohn判據(jù)討論了每個(gè)均衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性.通過(guò)數(shù)值模擬為系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)態(tài)行為提供有力的證據(jù)，最主要的工具有一維分岔圖，二維分岔圖，最大李亞普洛夫指數(shù)圖，吸引盆等等.首先，在一組固定參數(shù)組下討論了特許收費(fèi)費(fèi)用r對(duì)A市場(chǎng)穩(wěn)定性的影響，發(fā)現(xiàn)r在一定范圍內(nèi)的增大會(huì)讓A市場(chǎng)更加穩(wěn)定.在非線性系統(tǒng)中我們還發(fā)現(xiàn)了多重穩(wěn)定性現(xiàn)象；對(duì)吸引子共存現(xiàn)象的分析，證明了初值條件對(duì)于系統(tǒng)的穩(wěn)定性至關(guān)重要.最后，在一組固定參數(shù)組下討論了固定邊際成本c對(duì)B市場(chǎng)穩(wěn)定性的影響，這里系統(tǒng)發(fā)生了周期倍減分岔，較小的c對(duì)于B市場(chǎng)的穩(wěn)定是不利的.