葉鵬

(中山大學(xué)物理學(xué)院, 廣州 510275)

在有對(duì)稱性保護(hù)的條件下, 拓?fù)淠軒Ы^緣體等自由費(fèi)米子體系的拓?fù)洳蛔兞靠梢栽谀軒ЫY(jié)構(gòu)計(jì)算中得到.但是, 為了得到強(qiáng)關(guān)聯(lián)拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)的拓?fù)洳蛔兞? 我們需要全新的理論思路.最典型的例子就是分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng): 其低能有效物理一般可以用Chern-Simons拓?fù)湟?guī)范場(chǎng)論來(lái)計(jì)算得到; 霍爾電導(dǎo)的量子化平臺(tái)蘊(yùn)含著十分豐富的強(qiáng)關(guān)聯(lián)物理.本文將討論存在于玻色和自旋模型中的三大類(lèi)強(qiáng)關(guān)聯(lián)拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài): 本征拓?fù)湫?、?duì)稱保護(hù)拓?fù)鋺B(tài)和對(duì)稱富化拓?fù)鋺B(tài).第一類(lèi)無(wú)需考慮對(duì)稱性, 后兩者需要考慮對(duì)稱性.理論上, 規(guī)范場(chǎng)論是一種非常有效的研究方法.本文將簡(jiǎn)要回顧用規(guī)范場(chǎng)論來(lái)研究強(qiáng)關(guān)聯(lián)拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)的一些研究進(jìn)展.具體內(nèi)容集中在“投影構(gòu)造理論”、“低能有效理論”、“拓?fù)漤憫?yīng)理論”三個(gè)方面.

1 引 言

在凝聚態(tài)物理中, 絕大多數(shù)金屬/絕緣體等凝聚態(tài)材料可以在朗道-費(fèi)米液體理論框架下得到很好的解釋[1].相互作用的電子會(huì)形成十分豐富的對(duì)稱破缺序, 比如超導(dǎo)序、各種密度波序.數(shù)學(xué)上, 假設(shè)哈密頓量的對(duì)稱性G自發(fā)破缺到基態(tài)的對(duì)稱性H.“序參量” ? 是在實(shí)空間中的局域連續(xù)函數(shù)(從實(shí)空間到 G /H 的映射).對(duì)稱破缺序的低能有效拉格朗日量可以根據(jù)對(duì)稱性的要求表達(dá)成 ? 的泛函,比如: L [?]～ (??)2+ ?2+ ?4···.通過(guò)對(duì)該量子場(chǎng)論做重整化、線性響應(yīng)等標(biāo)準(zhǔn)微擾計(jì)算, 我們可以系統(tǒng)地研究對(duì)稱破缺相與相變.

由于在解釋和預(yù)言實(shí)驗(yàn)方面的巨大成功, 對(duì)稱破缺機(jī)制幾乎成了固態(tài)物理的“標(biāo)準(zhǔn)模型”.但是,上個(gè)世紀(jì)八十年代強(qiáng)關(guān)聯(lián)凝聚態(tài)實(shí)驗(yàn)的重大發(fā)現(xiàn)—分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)(FQH)—讓我們看到了超越此“標(biāo)準(zhǔn)模型”的可能性.FQH基態(tài)的拓?fù)湫再|(zhì), 比如拓?fù)浼ぐl(fā)“任意子”的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)和基態(tài)簡(jiǎn)并度[2],本質(zhì)上與對(duì)稱破缺毫無(wú)關(guān)聯(lián).我們甚至沒(méi)法定義一個(gè)局域函數(shù)作為序參量來(lái)刻畫(huà)與區(qū)分不同的FQH態(tài).同時(shí), FQH的低能有效理論是拓?fù)淞孔訄?chǎng)論—Chern-Simons理論[3].比如, 對(duì)于填充數(shù)ν=1/k的勞夫林(Laughlin)態(tài), 其低能有效理論是 U (1)kChern-Simons理論.作用量可寫(xiě)為

其中場(chǎng)量 aμ是 U (1) 規(guī)范場(chǎng).該規(guī)范理論在(2+1)維①本文的維度做如下約定: “ ( n+1) 維”是指 n +1 維的時(shí)空; “m維”是指m維實(shí)空間.閉合流形上的大規(guī)范不變性要求系數(shù)k必須量子化為整數(shù): k ∈Z.S是一個(gè)拓?fù)淞孔右?guī)范理論,明顯不同于 L [?].從傳統(tǒng)的微擾重整化技術(shù)來(lái)看,我們很難想象一個(gè)只含有電子算符的量子多體系統(tǒng)會(huì)“流動(dòng)到”一個(gè)含有演生規(guī)范場(chǎng)的拓?fù)淞孔訄?chǎng)論.需要注意的是, 這里的Chern-Simons理論是所謂的流體力學(xué)構(gòu)造[3], 具有嚴(yán)格的系數(shù)(即k)量子化要求, 不同于Zhang等[4]的復(fù)合玻色子場(chǎng)論、Lopez和 Fradkin[5]以及 Jain[6–8]的復(fù)合費(fèi)米子場(chǎng)論.

作為拓?fù)湫蚶碚摰南闰?qū), Wen[9,10]指出FQH不是簡(jiǎn)單的“填能級(jí)+微擾”能夠解釋的費(fèi)米子系統(tǒng)[11], 而是一種完全超越傳統(tǒng)固態(tài)物理框架的強(qiáng)關(guān)聯(lián)物質(zhì)形態(tài).他把FQH等一大類(lèi)超越對(duì)稱破缺機(jī)制的量子多體態(tài)所含有的“剛性”、“序”稱為“拓?fù)湫颉盵10](注: 為了與近年來(lái)出現(xiàn)的容易混淆的術(shù)語(yǔ)區(qū)分開(kāi), 本文暫稱之為“本征拓?fù)湫颉?intrinsic topological order, iTO).iTO的提出使我們對(duì)超越對(duì)稱破缺序的量子多體物理的理解有了飛躍式發(fā)展.同時(shí), 拓?fù)淞孔訄?chǎng)論和共形場(chǎng)論的引進(jìn), 極大地促進(jìn)了凝聚態(tài)物理與數(shù)學(xué)物理等學(xué)科的交流.但是問(wèn)題在于, iTO的確切的定義是什么?是不是有能隙的超越對(duì)稱破缺機(jī)制的多體態(tài)都是iTO? 比如, 霍爾丹 (Haldane)自旋鏈[12]是不是iTO呢? 當(dāng)然現(xiàn)在我們已經(jīng)知道, 細(xì)究此類(lèi)凝聚態(tài)物理的問(wèn)題需要借助量子信息科學(xué)中的一些非常深刻的概念和方法.Chen等[13], Verstraete等[14]和Vidal[15]借助量子信息中的 “有限深度的量子電路”來(lái)重新認(rèn)識(shí)有能隙的多體態(tài).首先, 自旋系統(tǒng)的每個(gè)格點(diǎn)上的自旋子空間提供了一個(gè)有限維度的“子空間”.比如, 自旋- 1 /2 的體系的每個(gè)格點(diǎn)上的子空間維度是 2.我們從具有這種希爾伯特空間的局域可分解的性質(zhì)的多體態(tài)出發(fā), 使用空間局域幺正算符(LU)將有能隙的多體態(tài)作絕熱幺正變換.如果多體態(tài)可以通過(guò)有限次數(shù)的LU操作變換成平凡的直積態(tài), 那么該多體態(tài)就是短程糾纏態(tài).否則, 該多體態(tài)是長(zhǎng)程糾纏態(tài).在熱力學(xué)極限下,我們需要非常小心定義“有限次數(shù)”: 先取熱力學(xué)極限, 再取次數(shù)的極限.然后, 如果任意次數(shù)LU都無(wú)法連接到直積態(tài), 那么該多體態(tài)是長(zhǎng)程糾纏態(tài).SPT和iTO①除非特別說(shuō)明, 本文中單獨(dú)使用的術(shù)語(yǔ)“SPT”、“iTO”、“SET”均是玻色系統(tǒng).相應(yīng)的格點(diǎn)模型應(yīng)該是相互作用的玻色子系統(tǒng)或者量子自旋模型.與自由費(fèi)米子SPT不同, 這些玻色系統(tǒng)必然是強(qiáng)關(guān)聯(lián)系統(tǒng).分別是短程糾纏態(tài)和長(zhǎng)程糾纏態(tài).

在有限多次的LU操作下, 霍爾丹自旋鏈的基態(tài)波函數(shù)(比如AKLT嚴(yán)格可解模型的基態(tài)波函數(shù)[16])可以變換成平凡的直積態(tài), 因而霍爾丹相是短程糾纏態(tài).但是從對(duì)稱保護(hù)的意義上來(lái)看, 霍爾丹相仍然是“非平凡”的, 這是因?yàn)檫B接霍爾丹相與平凡的直積態(tài)之間的所有絕熱路徑(注: 路徑就是一連串LU操作)都破壞特定的對(duì)稱性, 比如自旋旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性或者時(shí)間反演對(duì)稱性().像霍爾丹相這種非平凡的短程糾纏態(tài)被稱為“對(duì)稱保護(hù)拓?fù)鋺B(tài)”(SPT)[17–19].因?yàn)轶w內(nèi)每個(gè)格點(diǎn)上的自旋都是整數(shù), 所以邊緣上出現(xiàn)的半整數(shù)自旋表明一維體內(nèi)有非平凡的SPT序.但如果自旋對(duì)稱性被破壞, 分?jǐn)?shù)化的邊界自旋就不再存在.SPT的體態(tài)有能隙,體內(nèi)的激發(fā)都是系統(tǒng)本身的玻色子(及其組合)激發(fā)或者自旋翻轉(zhuǎn)等.這些激發(fā)被稱為平凡激發(fā).但是SPT邊界上會(huì)有非平凡的量子態(tài)出現(xiàn)(以量子反常體現(xiàn)).在不破壞對(duì)稱性的條件下, SPT的邊界態(tài)無(wú)法單獨(dú)成為一個(gè)可以被格點(diǎn)正規(guī)化的量子理論.除霍爾丹自旋鏈[12]之外, 與SPT序有關(guān)的具體模型已經(jīng)有很多研究, 比如摻雜的霍爾丹鏈[20]、二維CZX自旋模型[21]、二維玻色整數(shù)量子霍爾態(tài)[22–24]、二維萊溫-顧 (Levin-Gu)自旋模型[25]、二維自旋量子霍爾效應(yīng)[26]、三維拓?fù)漤槾朋w[27]、三維玻色拓?fù)浣^緣體(BTI)②具有 U (1)? 的玻色型SPT, 軸子角 θ =2π mod 4π , 是 T2=1 的時(shí)間反演對(duì)稱性.除非特別說(shuō)明, 本文中單獨(dú)使用的術(shù)語(yǔ)“拓?fù)浣^緣體”是指三維費(fèi)米系統(tǒng)的拓?fù)淠軒Ы^緣體(TI), 對(duì)稱群為 U (1)? , 是 T2=?1 的時(shí)間反演對(duì)稱性.[28]等.

SPT研究領(lǐng)域的最重要的進(jìn)展之一是文獻(xiàn)[29,30]提出的統(tǒng)一的分類(lèi)與表征方法.具體來(lái)講,霍爾丹相只是SPT大家族的冰山一角.正如抽象數(shù)學(xué)“群論”被用于分析對(duì)稱破缺序, 代數(shù)拓?fù)淅锩娴摹叭旱纳贤{(diào)論”[29,30]被發(fā)現(xiàn)可以用來(lái)構(gòu)造SPT的嚴(yán)格可解模型的配分函數(shù), 并在給定空間維度D和對(duì)稱群G的條件下給出SPT的不等價(jià)類(lèi)(亦即SPT的分類(lèi)).具體來(lái)講, 給定G之后, 我們可以用G的上同調(diào)群 HD+1[G,U(1)]的群元 ω 來(lái)標(biāo)記SPT的不等價(jià)類(lèi).在群上同調(diào)的框架下, 我們可以用定義在離散時(shí)空格點(diǎn)上的非線性西格瑪模型來(lái)研究SPT的體內(nèi)的基態(tài)和邊界的低能激發(fā)態(tài).正如物理其他領(lǐng)域一樣, 用不同的角度不同的方法去理解SPT物理是非常有價(jià)值的.群上同調(diào)的構(gòu)造辦法非常系統(tǒng)化.另一方面, 由于群上同調(diào)的格點(diǎn)模型代表SPT不動(dòng)點(diǎn)的物理, 不動(dòng)點(diǎn)模型的自旋之間的相互作用十分復(fù)雜(比如: 可能是六個(gè)相鄰自旋或者更多的相互作用).群上同調(diào)理論關(guān)于連續(xù)自旋幺正對(duì)稱群的計(jì)算非常復(fù)雜, 對(duì)反幺正對(duì)稱性的SPT的分類(lèi)也不完全[28,31].然而這兩種類(lèi)型的對(duì)稱性是實(shí)際量子自旋材料中常見(jiàn)的對(duì)稱性.另外, 給定一個(gè)“非不動(dòng)點(diǎn)”的基態(tài)波函數(shù),群上同調(diào)方法不方便直接用于判斷出該基態(tài)是否是SPT、是哪一個(gè)SPT.

與SPT相反, iTO[10,32–35]具有長(zhǎng)程糾纏, 不需要對(duì)稱性的保護(hù), 支持非平凡的拓?fù)浼ぐl(fā)(比如二維iTO中的任意子).iTO的邊界上會(huì)有“引力反?！?比如一維手征流).iTO的典型例子是手征自旋液體[2]、toric code自旋模型[36]、Kitaev 蜂窩格子自旋模型[36]、萊溫-文(Levin-Wen)弦網(wǎng)自旋模型[37,38]、Dijkgraaf-Witten模型[39]等.iTO和SPT有重要的對(duì)偶關(guān)系[25,40]; 通過(guò)研究iTO序我們可以間接探索新的SPT序.當(dāng)iTO具有某種對(duì)稱性G, 我們稱這種 iTO為 SET(symmetry-enriched topological phases, 對(duì)稱富化拓?fù)鋺B(tài))[13].從這個(gè)定義上來(lái)看, 分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)可以看成含有二維手征iTO和 U (1) 對(duì)稱群的SET序.SET的研究也與尋找拓?fù)淞孔幼孕后w[41,42]緊密聯(lián)系: 通過(guò)研究任意子激發(fā)攜帶的分?jǐn)?shù)化量子數(shù), 我們可以分類(lèi)與刻畫(huà)不同的自旋液體態(tài).二維SET的張量范疇數(shù)學(xué)框架最近也有非常系統(tǒng)的研究[43–47].三維iTO含有圈激發(fā)(loop excitations), 因而有必要研究三維SET甚至無(wú)能隙的自旋液體態(tài)中對(duì)稱性如何分?jǐn)?shù)化[48–60].

SPT, iTO和SET都是強(qiáng)關(guān)聯(lián)拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài).我們不可能通過(guò)能帶結(jié)構(gòu)的分析來(lái)實(shí)現(xiàn)完整的分類(lèi)和表征.尋找這些拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)的“拓?fù)洳蛔兞俊毙枰碌乃悸?人們?cè)谘芯裤~氧高溫超導(dǎo)的過(guò)程當(dāng)中已經(jīng)發(fā)展了許多非常有效的理論研究方法[11,61–63].規(guī)范場(chǎng)論就是其中一種.作為粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型的理論基礎(chǔ), 規(guī)范場(chǎng)論在高能物理中占據(jù)著至關(guān)重要的地位.在凝聚態(tài)物理特別是強(qiáng)關(guān)聯(lián)物理中, 規(guī)范結(jié)構(gòu)通常以低能下的演生的動(dòng)力學(xué)自由度出現(xiàn).在長(zhǎng)波低能下, 我們可以構(gòu)造出具有動(dòng)力學(xué)的阿貝爾規(guī)范結(jié)構(gòu)甚至非阿貝爾規(guī)范結(jié)構(gòu).近年來(lái)凝聚態(tài)物理中的拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)為研究具有拓?fù)湫再|(zhì)的規(guī)范場(chǎng)論提供了一個(gè)非常重要的平臺(tái).同時(shí), 數(shù)學(xué)物理、高能物理里有許多與實(shí)際(3 + 1)維時(shí)空的粒子物理并無(wú)直接關(guān)系、但仍具有十分重要的理論價(jià)值的研究成果.令人振奮的是, 這些研究成果十分巧妙地應(yīng)用到了凝聚態(tài)特別是強(qiáng)關(guān)聯(lián)拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)中, 比如在研究拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)的邊界態(tài)的量子反常、體內(nèi)的拓?fù)淞孔訄?chǎng)論、編織統(tǒng)計(jì)、拓?fù)淞孔佑?jì)算等方面的應(yīng)用.

本文將簡(jiǎn)要回顧近年來(lái)SPT，iTO和SET這些拓?fù)湮飸B(tài)的規(guī)范場(chǎng)論的研究進(jìn)展.本文具體內(nèi)容主要在“投影構(gòu)造理論”(第2章)、“低能有效理論”(第 3 章)、“拓?fù)漤憫?yīng)理論”(第 4 章)這三大塊.在“投影構(gòu)造理論”中, 我們將物理自由度分成多個(gè)“部分子”, 這些部分子之間在紫外有強(qiáng)烈的規(guī)范漲落.在“低能有效理論”中, 我們使用流體力學(xué)方式的辦法來(lái)得到拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)的低能有效規(guī)范場(chǎng)論.在這些場(chǎng)論里的規(guī)范場(chǎng)是有動(dòng)力學(xué)的.在“拓?fù)漤憫?yīng)理論”中, 我們通過(guò)施加外部規(guī)范場(chǎng)來(lái)探測(cè)拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)中的對(duì)稱性的性質(zhì).這些拓?fù)漤憫?yīng)理論里的規(guī)范場(chǎng)是靜止的，沒(méi)有動(dòng)力學(xué).第5章是簡(jiǎn)短的總結(jié)與展望.

2 投影構(gòu)造理論

2.1 部分子之間的規(guī)范漲落與玻色型整數(shù)量子霍爾效應(yīng)

“投影構(gòu)造”(projective/parton construction)已經(jīng)廣泛用于重費(fèi)米子、高溫超導(dǎo)等強(qiáng)關(guān)聯(lián)問(wèn)題[7,61,64–81].最近該方法也用在了構(gòu)造SPT態(tài)的問(wèn)題上[27,82–86].在這種構(gòu)造當(dāng)中, 玻色子/自旋算符可以分解成多個(gè)費(fèi)米子(也可能是玻色型)算符(被稱為“部分子”, parton)的乘積.部分子形成各種平均場(chǎng)的量子態(tài)(常稱為“擬設(shè)”, ansatz).由于部分子形成的希爾伯特空間比原始玻色子/自旋空間的“物理希爾伯特”空間( Hphys.)大, 我們需要最后通過(guò)投影算符將部分子重新“粘”在一起, 恢復(fù)物理希爾伯特空間.

在這種構(gòu)造方法中, 一個(gè)難點(diǎn)在于如何處理部分子之間的規(guī)范漲落.實(shí)際上, 當(dāng)我們?cè)诟顸c(diǎn)上寫(xiě)下部分子的作用量時(shí), 和部分子耦合的那些規(guī)范場(chǎng)并沒(méi)有麥克斯韋項(xiàng)(Maxwell項(xiàng))出現(xiàn).這說(shuō)明, 在格點(diǎn)上(紫外), 部分子之間的規(guī)范漲落的強(qiáng)度是無(wú)窮大的! 但是, 如果部分子形成的平均場(chǎng)量子態(tài)恰巧能給規(guī)范場(chǎng)一個(gè)能隙, 那么規(guī)范漲落就被壓制了①按照定義, SPT的體內(nèi)是有能隙的, 所以我們需要想辦法構(gòu)造一個(gè)有能隙的投影波函數(shù)..在二維SPT的投影構(gòu)造中, 我們可以假設(shè)部分子填充陳-能帶(Chern band), 從而自然地給規(guī)范漲落提供一個(gè)Chern-Simons能隙[87].即使陳數(shù)(Chern number)為零, 由于二維的純緊致化量子電動(dòng)力學(xué)(QED)沒(méi)有庫(kù)侖相, 規(guī)范場(chǎng)耦合常數(shù)將始終流到強(qiáng)耦合區(qū)域的瞬子激增(instanton proliferation)態(tài), 導(dǎo)致無(wú)能隙的光子從激發(fā)譜中消失.所以, 在二維SPT的投影構(gòu)造中, 規(guī)范漲落是相對(duì)容易處理的.然而, 三維體系的部分子之間的規(guī)范漲落是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題.三維沒(méi)有陳氏能帶可以讓部分子填充, 同時(shí)三維QED可以處在庫(kù)侖相也可以處在磁荷凝聚(monopole condensation)相.為了讓體內(nèi)既有能隙也可能支持非平凡的SPT序, 我們?cè)谖墨I(xiàn)[84,85]中使用了雙荷子(dyon)凝聚這種方式來(lái)做投影構(gòu)造.本文將在第2.5節(jié)中介紹三維的投影構(gòu)造.

文獻(xiàn)[83]研究了對(duì)稱群為 U (1) , S O(3) ,SU(2)的二維SPT的低能有效場(chǎng)論和基態(tài)波函數(shù)的投影構(gòu)造.這里的投影構(gòu)造的基本思路如下: 考慮部分子形成了各種各樣的陳-能帶, 然后通過(guò)投影算符恢復(fù)物理希爾伯特空間.文獻(xiàn)[86]對(duì)此投影構(gòu)造做了蒙特卡羅方法計(jì)算, 從多個(gè)角度驗(yàn)證了投影后的態(tài)是非平凡SPT.如圖1所示, 投影后的態(tài)的拓?fù)浼m纏熵為零, 說(shuō)明沒(méi)有本征拓?fù)湫?這種SPT也被稱為“玻色型整數(shù)量子霍爾態(tài)”(BIQH), 對(duì)稱群是U(1), 其霍爾電導(dǎo)量子化為偶數(shù)(單位為: e2/h ):σxy=0,±2,±4,···.為理解為什么 σxy量子化為偶整數(shù), Senthil和Levin[23]借助著名的“勞夫林論證”(Laughlin's argument)的基本思想[88]提供了一個(gè)十分簡(jiǎn)單的圖像: σxy必須量子化為整數(shù), 以保證體內(nèi)沒(méi)有分?jǐn)?shù)激發(fā); 而且 σxy必須是偶數(shù), 以保證體內(nèi)不存在費(fèi)米子激發(fā).

圖1 蒙特卡洛驗(yàn)證投影后得到的SPT波函數(shù)的拓?fù)浼m纏熵為零, 摘自文獻(xiàn)[86]Fig.1.Monte Carlo verification of vanishing topological entanglement entropy of the SPT wave function obtained from the projective construction.

2.2 部分子的擬設(shè)與Hubbard相互作用

文獻(xiàn)[83,86]做了初步的投影構(gòu)造研究.本文將討論一些更加典型的例子, 澄清一些具體技術(shù)細(xì)節(jié).首先考慮兩種不同“味”(flavor)的自旋–1/2的費(fèi)米子: f1σ和 f2σ.這里的“味”指標(biāo)可以是雙層二維系統(tǒng)的層指標(biāo), 也可以代表不同最外層軌道.這些費(fèi)米子可以看成上面所說(shuō)的物理自由度分解開(kāi)形成的部分子; 也可以將其直接看成是真實(shí)存在的費(fèi)米子; 然后施加適當(dāng)?shù)腍ubbard相互作用, 可以將這個(gè)費(fèi)米子系統(tǒng)的希爾伯特空間投影到“物理自由度”組成的 Hphys..

首先, 我們假設(shè)兩個(gè)味的費(fèi)米子以各種填充方式形成能帶絕緣體.考慮表1里的四種擬設(shè)(A1,A2,A3,A4).在該表格里, 每個(gè)元胞里的費(fèi)米子填充數(shù)完全由陳-能帶數(shù)目決定.也就是說(shuō), 費(fèi)米子不再填充其他任何能帶.這樣一來(lái), 我們可以直接從該表格讀出每種費(fèi)米子總的粒子數(shù)目.比如,擬設(shè) A 1 里的費(fèi)米子總粒子數(shù)分別為

其中 Ncell是總的元胞數(shù)目, Nlatt是總的格點(diǎn)數(shù)目,q是單個(gè)元胞對(duì)應(yīng)的不等價(jià)格點(diǎn)個(gè)數(shù).擬設(shè) A2 里的費(fèi)米子總粒子數(shù)分別為:

擬設(shè) A 3 里的費(fèi)米子總粒子數(shù)分別為:

擬設(shè) A 4 里的費(fèi)米子總粒子數(shù)分別為:

在投影之前, 表1的任意一個(gè)擬設(shè)都可以用如下的Chern-Simons理論來(lái)刻畫(huà)[89]:

表1 二維投影構(gòu)造中的部分子的擬設(shè).A 1,A2,···,A4 代表四種擬設(shè).每條完全填充的能帶由箭頭和正負(fù)號(hào)標(biāo)記.箭頭表示自旋方向, 正負(fù)號(hào)代表陳數(shù)為1或–1.A1一共有8條填滿的陳-能帶.A2和A3都有4條填滿的陳-能帶.A4只用到了f1, 一共有兩條陳-能帶被填滿.括號(hào)里成對(duì)的數(shù)字表示單個(gè)元胞里的費(fèi)米子f1或f2的填充數(shù): (自旋向上的費(fèi)米子數(shù)目, 自旋向下的費(fèi)米子數(shù)目).Table 1.Parton ansatzes in the two-dimensional projective construction.A 1,A2,···,A4 stand for four different ansatzes respectively.Each fully occupied band is labeled by a pair of arrow and plus/minus sign.The arrow represents the spin eigenvalue of Sz , and ± represents Chern number ± 1.In A1, there are 8 fully occupied Chern bands; There are 4 fully occupied Chern bands in each of A2 and A3.In A4, flavor index is not involved, so only one flavor, say, f1 is taken into account.And there are two filled Chern bands.A pair of integers denote the filling number of either f1 and f2 in each unit cell: (fermion number with up spin, fermion number with down spin).

其中, 省略號(hào)包含所有含有比Chern-Simons項(xiàng)更高階的動(dòng)量的作用量, 比如麥克斯韋項(xiàng).要注意的是, 麥克斯韋 項(xiàng)一般情況下可以忽略.但是個(gè)別情況下, 我們需要保留麥克斯韋項(xiàng).我們用指 標(biāo) I ,J=1,2,3,4,··· 表記第 I或第 J條完全被填滿的能帶.第I條能帶對(duì)應(yīng)的粒子流用微分形式可以簡(jiǎn)寫(xiě)為:其中 ? 代表Hodge對(duì)偶算符.顯然,f1費(fèi)米子的總粒子數(shù)流是所有由 f1占據(jù)的能帶貢獻(xiàn)的流的總和.比如擬設(shè) A 1 中同樣, f2費(fèi)米子的總粒子數(shù)流代表通常的外電磁場(chǎng), 耦合到費(fèi)米子流, 用于計(jì)算電磁響應(yīng).是外加的“自旋規(guī)范場(chǎng)”.該規(guī)范場(chǎng)耦合到自旋 Sz形成的流.電荷矢量和 自旋矢量分別決定每個(gè)能帶對(duì)應(yīng)的 U (1)C(代表電荷守恒的對(duì)稱群)荷和 U (1)Sz (代表自旋z方向守恒的對(duì)稱群)荷.

具體來(lái)講, 對(duì)于 A 1 來(lái)講, 相應(yīng)的K為:

其中, 能帶指標(biāo) I =1,2,···,8 與表1中的能帶從左到右依次對(duì)應(yīng).A 2 和 A 3 共享同一個(gè)矩陣K:

最后, 擬設(shè) A 4 的K為:

表1里的費(fèi)米子都是自由的.在這些自由費(fèi)米子模型的基礎(chǔ)上, 我們考慮如下形式的Hubbard相互作用(腳標(biāo)i代表空間格點(diǎn)):

其中的帶有各種腳標(biāo)的算符n是格點(diǎn)i上相應(yīng)費(fèi)米子的粒子數(shù)算符.這些相互作用在強(qiáng)耦合的極限下將限制每個(gè)格點(diǎn)上低能下可容許的費(fèi)米子占據(jù)狀態(tài).表2里列出了所有相互作用在強(qiáng)耦合極限下形成的低能希爾伯特空間, 亦即 Hphys..為了讓每個(gè)格點(diǎn)上都能夠同時(shí)處于該空間里然后做投影構(gòu)造, 我們需要要求實(shí)空間里各種費(fèi)米子總的填充數(shù)也滿足一定要求.因此, 在選擇“擬設(shè)”和“相互作用”的時(shí)候, 一定要注意擬設(shè)里的晶格選擇和能帶填充設(shè)計(jì)是否自動(dòng)滿足了該表格里的要求.如果沒(méi)有得到滿足, 則我們需要把部分高能態(tài)考慮進(jìn)來(lái).

表2 在大U極限下, 實(shí)空間每個(gè)格點(diǎn)上的不消耗U能量的占據(jù)狀態(tài)形成了物理希爾伯特空間.我們需要對(duì)費(fèi)米子的總的填充數(shù)做限制.限制之后, 所有格點(diǎn)都能夠同時(shí)處于物理希爾伯特空間.Table 2.At large U limit, the physical Hilbert space is formed by those occupancy bases without energy cost.We should restrict the total particle number of each flavor properly such that Hilbert space of every site is always in the physical Hilbert space.

2.3 投影后的態(tài)的量子霍爾“電”導(dǎo)

在開(kāi)始做投影之前, 我們需要小心定義各種霍爾“電”導(dǎo)來(lái)確定投影之后的態(tài)的拓?fù)湫再|(zhì).首先,我們這里需要同時(shí)考慮施加外電磁場(chǎng)和所謂的“自旋規(guī)范場(chǎng)”.前者最小耦合于電流, 后者最小耦合于自旋流(z分量).由于兩種外場(chǎng)和兩種響應(yīng)流的出現(xiàn), 為了不產(chǎn)生歧義, 我們需要小心定義關(guān)于電導(dǎo)的術(shù)語(yǔ).新定義的術(shù)語(yǔ)需要明確體現(xiàn)出外場(chǎng)和響應(yīng)流兩個(gè)信息.最一般的響應(yīng)理論由如下這個(gè)拉格朗日量給出:

其中, σc是“量子電荷霍爾電導(dǎo)”, 也就是通常意義下的“量子霍爾電導(dǎo)”, 相應(yīng)的外場(chǎng)和響應(yīng)流分別是外電磁場(chǎng)和電流; σcs在這里被稱為“量子電荷-自旋霍爾電導(dǎo)”, 也就是平常所說(shuō)的Kane-Mele模型中的“量子自旋霍爾電導(dǎo)”, 相應(yīng)的外場(chǎng)和響應(yīng)流分別是外電磁場(chǎng)和自旋流(或者交換一下: 自旋規(guī)范場(chǎng)和電流).σs被稱為“量子自旋霍爾電導(dǎo)”, 但不是通常意義下的量子自旋霍爾電導(dǎo), 這里相應(yīng)的外場(chǎng)和響應(yīng)流分別是自旋規(guī)范場(chǎng)和自旋流.對(duì)于非阿貝爾的版本的 σs, 讀者可以參見(jiàn)文獻(xiàn)[26]里的討論, 該文章作者將 S U(2) 的情形叫做自旋量子霍爾效應(yīng), 也是為了和通常意義下的量子自旋霍爾效應(yīng)區(qū)別開(kāi).對(duì)于一個(gè)玻色SPT, σcs的量子化條件是σcs=k/2π, 其中 k ∈Z.對(duì)這個(gè)量子化條件的一個(gè)簡(jiǎn)單的物理論證, 可參見(jiàn)文獻(xiàn)[51].

2.4 幾個(gè)投影波函數(shù)例子

例子1|A1U1〉

我們用“擬設(shè)+Hubbard相互作用”來(lái)標(biāo)記一個(gè)投影波函數(shù).比如 A 1U1 表示在擬設(shè) A 1 所對(duì)應(yīng)的能帶絕緣體上加上 U1相互作用, 并考慮大 U1的極限下得到的態(tài).該多體態(tài)可以寫(xiě)為:其中, | A 1〉 是擬設(shè) A 1 的陳-能帶對(duì)應(yīng)的基態(tài)波函數(shù).是投影算符, 定義為:其中, i是空間格點(diǎn)坐標(biāo).波函數(shù)定義為這里的“ | x xxx〉 ”對(duì)應(yīng)表2中的費(fèi)米子占據(jù)狀態(tài).為了理解這個(gè)投影波函數(shù)的性質(zhì), 我們應(yīng)用Chern-Simons理論來(lái)分析.投影算符起的作用實(shí)際上是要求 f1與 f2的粒子數(shù)流處處相等, 亦即選擇合適的規(guī)范, 該約束條件可以改寫(xiě)成因而, 這 8 個(gè)規(guī)范場(chǎng)中只有 7 個(gè)是線性獨(dú)立的.不失一般性, 我們可以將公式(2)中的替換掉, 得到新的Chern-Simons理論.新的K矩陣, 矢量 qc和矢量 qs分別為:

新的矩陣的行列式為零( d etK=0 ).為了更明顯看到零本征值, 我們做相似變換將 ( K,qc,qs) 變換到如下形式:

這里的變換矩陣 W ∈GL(7,Z).需要注意的是, 為了簡(jiǎn)化符號(hào), 在新的基底下, 我們?nèi)匀皇褂昧伺f的符號(hào) ( K,qc,qs) 和 aI,I=1,2,3,···,7.在這個(gè)新的基底下, 第七個(gè)規(guī)范場(chǎng)沒(méi)有Chern-Simons項(xiàng).因而我們需要考慮比Chern-Simons更高階的規(guī)范不變項(xiàng), 亦即麥克斯韋項(xiàng)盡管不確定g的大小, 我們知道 ( 2+1) 維緊致量子電動(dòng)力學(xué)的路徑積分中的瞬子構(gòu)型會(huì)導(dǎo)致一個(gè)有限大的光子質(zhì)量 (能隙)[90–92].所以, 一個(gè)單純的 ( 2+1) 維的緊致QED始終是有能隙的.但我們要十分小心地把這個(gè)結(jié)論用到我們的問(wèn)題上來(lái).首先, 如果 qc和qs的第7分量不為零, 那么 a7的磁通將會(huì)攜帶物理守恒荷—電荷和z方向的自旋.瞬子構(gòu)型使得磁通產(chǎn)生消失, 從而明顯破壞對(duì)稱荷的守恒律, 從而破壞在外加規(guī)范場(chǎng)(亦即 Ac和 As)規(guī)范變換下的不變性.這個(gè)圖像表明, 非零的物理守恒荷將修正瞬子產(chǎn)生算符的標(biāo)度維度, 使得基態(tài)處于具有零質(zhì)量光子激發(fā)的庫(kù)倫相.正好, 現(xiàn)在正在計(jì)算的例子中的 qc和 qs的第7分量都為0, 所以, 在我們討論的具體問(wèn)題里, a3的確是有能隙.我們可以把(K,qc,qs)的第7行第7列都去掉, 得到:

這個(gè)新的K矩陣的行列式絕對(duì)值為 1 , 因而|A1U1〉沒(méi)有iTO.對(duì)角元都是偶數(shù), 因而 | A 1U1〉 是一個(gè)玻色型的波函數(shù).該矩陣有三個(gè)正本征值和三個(gè)負(fù)本征值, 因而 | A 1U1〉 是非手征的, 手征中心荷 c =0.為了進(jìn)一步判斷該態(tài)是平凡的玻色絕緣體, 還是非平凡的SPT, 我們需要計(jì)算量子霍爾電導(dǎo):σc= σs= σcs=0.由于所有電導(dǎo)都為0, 我們可以判定 | A 1U1〉 是一個(gè)平凡的玻色絕緣體.

例子2|A2U1〉

下面我們討論 | A 2U1〉.同樣, 大 U1極限導(dǎo)致在選擇合適的規(guī)范下, 該約束條件等價(jià)于:因而四個(gè)規(guī)范場(chǎng)不是完全獨(dú)立, 我們可以把其中一個(gè), 比如消掉.這樣一來(lái), 我們得到新的 K、 qc和 qs:

我們可以看到, 在新的基底下, 3 ×3 的K-矩陣可以寫(xiě)成泡利矩陣與零的直和: σx⊕0.在新的基底下, a1和 a2之間混合在一起.同時(shí), a3分別與 a1和a2不混合, 而且 a3規(guī)范場(chǎng)沒(méi)有Chern-Simons項(xiàng)～ a3?a3.由于 qc和 qs的第三分量都為零, 所以, 在我們討論的具體問(wèn)題里, a3是有能隙的.我們可以把 ( K,qc,qs) 的第三行第三列都去掉, 得到:K=σx,qc=(0 2)T,qs=(1 0)T.新的 K表 明|A2U1〉沒(méi)有iTO, 非手征, 玻色型.下一步, 我們可以計(jì)算各種霍爾電導(dǎo):由于有非零的“量子電荷-自旋霍爾電導(dǎo)”,|A2U1〉是一個(gè)受到 U (1)C×U(1)Sz 對(duì)稱群保護(hù)的非平凡SPT.

例子3|A3U1〉

接下來(lái)我們討論一下 | A 3U1〉.注意到 擬設(shè)A3的自旋矢量 qs=(1/2?1/2?1/2 1/2)T, 在大U極限下, 我們可以得到與(11)一樣的 K矩陣和 qc,但是 qs=(1 0?1)T.在W的作用下, 我們得到與(12)式一樣的K和 qc, 但是 qs=(?1 1?2)T.我們注意到, qs的第三分量不再是零.這說(shuō)明,a3的磁通將攜帶自旋自由度.從而, a3的光子仍然處于無(wú)能隙的庫(kù)倫相.接下來(lái)我們可以看到, 該無(wú)能隙的激發(fā)正好是投影之后得到的磁有序態(tài)的戈德斯通(Goldstone)模.為了看出這一點(diǎn), 我們可以對(duì)與 a3有關(guān)的項(xiàng), 亦即

這個(gè)有效理論正好是帶對(duì)稱性的凝聚體的有效理論, 其中 θ 是戈德斯通模式.需要強(qiáng)調(diào)的是, 這里的規(guī)范場(chǎng) As是外加的、“非動(dòng)力學(xué)的”自旋規(guī)范場(chǎng),因而戈德斯通模不會(huì)消失.因而, | A 3U1〉 態(tài)的對(duì)稱性是 U (1)C×Z2.

除 了 a3之 外 , 與 a1和 a2有 關(guān) 的 項(xiàng) 由 Chern-Simons理 論 描 述: K =σx,qc=(0 2)T,qs=(?1 1)T.嚴(yán)格來(lái)講, 由于 U (1)Sz 已經(jīng)破缺到 Z2,qs應(yīng)該理解為對(duì)稱破缺后剩余 Z2荷, qs與 qs+2 等價(jià).為了刻畫(huà)這個(gè)態(tài), 我們可以計(jì)算拓?fù)洳蛔兞?需要注意的是, 我們引入了新的符號(hào) Ks和 Kcs來(lái)替代 σs和 σcs.原因是現(xiàn)在自旋對(duì)稱性不再是 U (1)Sz , 無(wú)法定義與自旋有關(guān)的霍爾效應(yīng).但物理上, 我們?nèi)匀豢梢杂?Ks來(lái)描述外加的自旋 Z2磁通的“自統(tǒng)計(jì)”—自己繞著自己轉(zhuǎn)一圈的拓?fù)湎辔环e累.Ks=2 說(shuō)明這個(gè)外加的 Z2自旋磁通可以看成一個(gè)稱為“半子”(semion)的任意子(anyon).但要注意的是, 由于無(wú)能隙的戈德斯通激發(fā)的存在, 兩個(gè) Z2磁通之間始終存在一個(gè)對(duì)數(shù)相互作用勢(shì).因而, 兩個(gè)磁通的交換統(tǒng)計(jì)相位始終有一個(gè)非普適的動(dòng)力學(xué)相位.我們需要指出的是, 以上討論的任意子及其非平凡的統(tǒng)計(jì)性質(zhì), 并不表示著 | A 3U1〉 有iTO.因?yàn)? 這些任意子都是外加的“非動(dòng)力學(xué)的”自旋規(guī)范場(chǎng) As產(chǎn)生的 Z2磁通的性質(zhì), 而不是 | A 3U1〉 態(tài)本身的激發(fā)的性質(zhì).的確, 在|A3U1〉中, 與 a1,a2有 關(guān) 的 項(xiàng) 組 成 的 Chern-Simons項(xiàng)的K矩陣的行列式絕對(duì)值是1.Z2磁通被稱為“monodromy缺陷”[25,93].

如果我們把 As視為動(dòng)力學(xué)的規(guī)范場(chǎng)的話, 那么, 由于希格斯機(jī)制的緣故, 戈德斯通模就不再存在.此時(shí)的低能有效理論的K矩陣需要把 As也包括進(jìn)來(lái).同時(shí), As是被 Higgs到 Z2規(guī)范群, 因而,我們可以引進(jìn)另外一個(gè)1-形式的動(dòng)力學(xué)規(guī)范場(chǎng)B來(lái)把 Z2放松到 U (1) , 從而我們可以在基矢(a1,a2,As,B)下, 寫(xiě)出新的K矩陣:

該矩陣的行列式絕對(duì)值為 4 , 有拓?fù)浼ぐl(fā).

例子4|A4U6〉

如果考慮蜂窩格子的話, 擬設(shè) A 4 正好滿足半填滿 (注意 q = 2)的條件.| A 4U6〉 可以看成是Kane-Mele-Hubbard模型[94–96]在半填滿時(shí)的強(qiáng)耦合極限下的基態(tài).在大 U6極限下,可以被代替.相應(yīng)的低能有效理論對(duì)應(yīng)的 K ,qc,qs分別為:

用與前面類(lèi)似的分析辦法, 我們可以得到把低能有效理論對(duì)偶到一個(gè)攜帶自旋量子數(shù)的凝聚體.因而, 該投影波函數(shù)是一個(gè)自旋對(duì)稱性 U (1) 的自發(fā)破缺態(tài), 是一個(gè)自旋能隙為零的磁有序態(tài).qc=0說(shuō)明激發(fā)都是電中性.

例子5|A3U4〉

大 U4極限導(dǎo)致規(guī)范場(chǎng)之間的約束條件:消掉我們得到新的K, 新的 qc, 和新的 qs:

這個(gè)矩陣正好是雙半子態(tài)(double-semion state)的K矩陣.行列式絕對(duì)值為 4 , 說(shuō)明有iTO.對(duì)角元都是偶數(shù), 說(shuō)明是玻色型波函數(shù).這個(gè)iTO有三個(gè)非平凡拓?fù)浼ぐl(fā): 半子s (拓?fù)渥孕秊閕, 由準(zhǔn)粒子矢量 ( 1 0)T標(biāo)記), 反半子(拓?fù)渥孕秊? i , 由準(zhǔn)粒子矢量 ( 0 1)T標(biāo)記), 以及玻色復(fù)合粒子.半子和反半子分別攜帶 Sz的物理自旋 Sz=1/2 :

2.5 雙荷子凝聚和三維復(fù)合粒子理論

以上投影構(gòu)造均是二維的情形.正如第2.1節(jié)所述, 三維體系中關(guān)于部分子與部分子之間的規(guī)范漲落的處理將變得非常復(fù)雜.文獻(xiàn)[84,85]中提出的雙荷子(dyon)凝聚機(jī)制可以用來(lái)得到一些非平凡的SPT.這種雙荷子凝聚機(jī)制在構(gòu)造三維拓?fù)鋺B(tài)中起的作用類(lèi)似于復(fù)合費(fèi)米子和復(fù)合玻色子理論在構(gòu)造二維分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)中起的作用[4–8].所以, 我們把這個(gè)機(jī)制稱為“三維復(fù)合粒子理論”[84,85].基于該三維復(fù)合粒子理論, 我們可以構(gòu)造BTI、費(fèi)米型和玻色型分?jǐn)?shù)拓?fù)浣^緣體(具有 U (1)?的費(fèi)米型與玻色型SET)等拓?fù)鋺B(tài), 也可以討論三維iTO中的一種拓?fù)鋵?duì)稱性—荷-圈激發(fā)對(duì)稱性(Charge-loop excitation symmetry, Charles)[85].這種對(duì)稱性是二維iTO中的討論[43,97–108]的三維推廣.我們將在第2.6節(jié)中簡(jiǎn)單介紹一下Charles對(duì)稱性.

考慮一個(gè)費(fèi)米子(比如電子)系統(tǒng)[85], 電子算符c可以寫(xiě)成奇數(shù)個(gè)費(fèi)米型部分子( fi, i = 1, 2,···,2n+1)的乘積: c =f1f2···f2n+1.因而, 電子算符 c是 S U(2n+1) 規(guī)范群的一個(gè)單態(tài).SU(2n+1)的極大環(huán)面子群(maximal torus)是緊致的阿貝爾群 ( U(1))2n.其規(guī)范變換定義為:這里的 { θi} ( i =1,2,···,2n )是空間格點(diǎn)和連續(xù)時(shí)間的任意標(biāo)量函數(shù).這樣一來(lái), 通過(guò)應(yīng)用't Hooft規(guī)范投影[109], 電子體系的作用量在強(qiáng)耦合區(qū)域可以表示為相互作用的部分子與 2n 個(gè)緊致的、動(dòng)力學(xué)的、阿貝爾規(guī)范場(chǎng)(i = 1, 2,···,2n).為了表述簡(jiǎn)便, 我們稱這些規(guī)范場(chǎng)為“內(nèi)部規(guī)范場(chǎng)”.與之對(duì)應(yīng), “外部規(guī)范場(chǎng)”特指用于探測(cè)電磁響應(yīng)而施加的非動(dòng)力學(xué)的電磁場(chǎng).圖2給出了 n =1 的情形.波浪線代表外部規(guī)范場(chǎng) Aμ和兩個(gè)內(nèi)部規(guī)范場(chǎng) aμ和 bμ(分別屬于緊致規(guī)范群 Ua(1) 和Ub(1)).部分子 f1和 f2分別攜帶 Ua(1) 規(guī)范群的一個(gè)單位的規(guī)范荷和一個(gè)單位的負(fù)規(guī)范荷.同時(shí), 部分子 f3和 f2分別攜帶 Ub(1) 規(guī)范群的一個(gè)單位的規(guī)范荷和一個(gè)單位的負(fù)規(guī)范荷.部分子 f1, f2,f3分別攜帶電荷 e ,e,?e.

圖2 一種將電子分成三個(gè)部分子的投影構(gòu)造(即 n =1 ),摘自文獻(xiàn)[85]Fig.2.Parton decomposition of electron operators.

盡管考慮到規(guī)范場(chǎng)的強(qiáng)耦合性, 規(guī)范漲落的領(lǐng)頭效應(yīng)仍然可以在考慮一些復(fù)合粒子的玻色-愛(ài)因斯坦凝聚之后做微擾計(jì)算得到.在強(qiáng)耦合區(qū)域, 凝聚的復(fù)合粒子可以攜帶規(guī)范場(chǎng)的磁荷.這個(gè)思路在3+1)維緊致QED、Georgi-Glashow模型、超對(duì)稱楊-米爾斯理論 (SUSY)中有所應(yīng)用[90–92,109–117].對(duì)于緊致阿貝爾規(guī)范理論, Fradkin和Susskind[115]構(gòu)造了磁單極子產(chǎn)生算符及其非零的真空期望值.由于在磁荷凝聚相里, 試探電荷之間存在線性勢(shì)能, 因而磁荷凝聚相也被稱為: 禁閉相(confinement hase).然而, 如果我們直接假設(shè)部分子之間的規(guī)范場(chǎng)漲落處于磁荷凝聚相, 部分子將簡(jiǎn)單地還原成電子, 我們將無(wú)法得到一個(gè)有趣的物質(zhì)態(tài)(iTO或者SPT).為了得到一個(gè)有能隙的、非平凡的拓?fù)鋺B(tài), 文獻(xiàn)[84,85]考慮雙荷子凝聚相, 也就是所謂的傾斜禁閉相”(oblique confinement phase)[109].雙荷子指的是部分子和磁荷形成的復(fù)合粒子.這里的部分子攜帶內(nèi)部規(guī)范場(chǎng)的“電荷”①為了與外部電磁場(chǎng)的電荷區(qū)別開(kāi), 對(duì)于內(nèi)部規(guī)范場(chǎng), 以下我們均用“規(guī)范荷”.; 這里的磁荷是內(nèi)部規(guī)范場(chǎng)形成的磁荷.但我們要強(qiáng)調(diào)的是, 為了得到一個(gè)局域場(chǎng)論, 凝聚的雙荷子攜帶的規(guī)范荷和磁荷不能屬于同一個(gè)規(guī)范群.因而, 嚴(yán)格來(lái)講, 這里的被凝聚的粒子針對(duì)具體一個(gè)規(guī)范子群來(lái)講, 并不是雙荷子.

整個(gè)系統(tǒng)的規(guī)范群是U(1)C×U(1)a×U(1)b.在沒(méi)有考慮規(guī)范漲落的時(shí)候, 存在包括部分子在內(nèi)的各種不同的粒子.每個(gè)粒子可以用三個(gè)“電荷”和三個(gè)“磁荷”來(lái)標(biāo)記.盡管三維沒(méi)有陳氏能帶, 我們可以考慮新的擬設(shè): 部分子處于三維拓?fù)浣^緣體的狀態(tài)[118,119].圖2中使用了規(guī)范場(chǎng)A、a和b.在很多情況下, 我們需要變換一下基矢得到如下三個(gè)更加好用的規(guī)范場(chǎng):如圖2 所示.按照定義,Afi是只耦合到 fi的規(guī)范場(chǎng).在新的基矢下, 規(guī)范群可以寫(xiě)為: U (1)f1×U(1)f2×U(1)f3.兩套規(guī)范場(chǎng)標(biāo)記方案之間滿足如下變換關(guān)系:

這里的變換矩陣屬于 G L(3,Z) 群.由于規(guī)范場(chǎng)有兩種標(biāo)記方案, 相應(yīng)的規(guī)范荷和磁荷也應(yīng)該滿足一定的變換關(guān)系.我們用 Na,b來(lái)標(biāo)記 U (1)a,b規(guī)范群里的規(guī)范荷, 同時(shí), 用來(lái)標(biāo)記磁荷.我們用NA和M 來(lái)標(biāo)記外電磁場(chǎng)響應(yīng)下的“裸電荷”和“磁荷”.由于凝聚體有電荷屏蔽作用, 每個(gè)粒子實(shí)際攜帶的電荷Q需要在“裸電荷”上扣除掉類(lèi)似Debye-Hückel的屏蔽電荷.在新的基矢下, 我們可以用 Nfi和分別標(biāo)記規(guī)范荷和磁荷.根據(jù)變換公式(19), 我們可以得到兩個(gè)基矢下各種荷之間的變換:

其中兩個(gè)矩陣也屬于 G L(3,Z) 群.所有磁荷的定義域都在整數(shù)域:然而, 當(dāng)考慮強(qiáng)規(guī)范漲落之后, 留在激發(fā)譜上的粒子的磁荷實(shí)際可以取到的整數(shù)區(qū)間要小于整個(gè)整數(shù)域.

根據(jù)威騰效應(yīng)(Witten effect)的公式[118–120],規(guī)范荷 Nfi( i =1,2,3 )與磁荷有如下關(guān)系:其中, 整數(shù) nfi標(biāo)記相應(yīng)復(fù)合粒子內(nèi)粘附了多少部分子 fi.θ 由部分子的擬設(shè)決定.如果 θ =0 , 那么所有部分子處于平凡能帶絕緣體擬設(shè); 如果 θ =π , 那么所有部分子均處于非平凡的拓?fù)淠軒Ы^緣體擬設(shè).取決于 θ , N f1,f2,f3 ,Na,Nb,NA既可以是整數(shù)也可以是半整數(shù).

考慮強(qiáng)規(guī)范漲落之后, φ1和 φ2兩個(gè)玻色型粒子發(fā)生凝聚②為了使得兩個(gè)凝聚體共存, 我們要求玻色子 φ 1 和玻色子 φ 2 之間交互統(tǒng)計(jì)為零.這種情況我們稱之為permissible condensates..由于希格斯(Higgs)機(jī)制, 兩個(gè)凝聚體提供兩個(gè)獨(dú)立約束條件.六個(gè)參數(shù)最終剩下四個(gè)自由參數(shù).比如, 消掉 Na和 Nb, 剩下通過(guò)分析這四個(gè)參數(shù)的取值, 我們可以判斷強(qiáng)規(guī)范漲落(亦即投影之后)得到的態(tài)是否保持時(shí)間反演對(duì)稱性、是否支持非平凡的威騰效應(yīng), 由此得到投影后的態(tài)的表征.

2.6 荷-圈激發(fā)對(duì)稱性與非阿貝爾線缺陷

文獻(xiàn)[85]提出三維拓?fù)鋺B(tài)的“荷-圈激發(fā)對(duì)稱性”(簡(jiǎn)稱為: C harles )的動(dòng)機(jī)是推廣二維iTO中的“拓?fù)鋵?duì)稱性”(或稱之為“任意子對(duì)稱性”anyonic symmetry)[43,97–108].二維iTO中最簡(jiǎn)單的一個(gè)例子就是Wen-plaquette格點(diǎn)模型[121]實(shí)現(xiàn)的Z2iTO里的激發(fā)e和激發(fā)m之間的交換操作.該操作就是任意子對(duì)稱群 Z2里的非平凡操作.在這個(gè)操作下, iTO的所有拓?fù)洳蛔兞?比如拓?fù)渥孕?、編織統(tǒng)計(jì))保持不變.有趣的是, 對(duì)于這個(gè)具體的例子, 我們可以通過(guò)在格點(diǎn)上引入缺陷—位錯(cuò)(lattice dislocation)來(lái)實(shí)現(xiàn)e-m之間的交換操作:當(dāng)e穿過(guò)一條終止于位錯(cuò)的割線(branch cut)的時(shí)候, e將變成m.更有趣的是, 正由于位錯(cuò)起的這個(gè)作用, 位錯(cuò)這個(gè)缺陷可以看成一個(gè)具有非阿貝爾統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的點(diǎn)粒子.文獻(xiàn)里將這種缺陷稱為:extrinsic twist defect.需要注意的是, 該非阿貝爾粒子來(lái)源于外加的幾何缺陷, 并不是原 Z2iTO的激發(fā).

我們首先簡(jiǎn)單介紹一下二維阿貝爾iTO里任意子對(duì)稱性.二維阿貝爾iTO的低能有效理論[89]是 K-矩陣 Chern-Simons理論 (K是 N ×N 整數(shù)對(duì)稱矩陣, D etK±1 ).所有拓?fù)湫再|(zhì)都由矩陣K決定.如果 K′=WKWT, 其中 W ∈GL(N,Z) ,那么 K′和K對(duì)應(yīng)的iTO完全等價(jià).如果選取的W使得 K =K′, 那么W生成了K的自同構(gòu)(automorphism).我們用符號(hào) A uto(K) 來(lái)表示自同構(gòu).但要注意的是, 在所有這樣的W中, 有部分的W矩陣只是把所有非平凡的激發(fā)(任意子)上粘附平凡的局域激發(fā), 因而實(shí)際上激發(fā)譜的標(biāo)記①在K-矩陣Chern-Simons理論中用一個(gè)N維整數(shù)矢量來(lái)標(biāo)記[89].沒(méi)有任何本質(zhì)的改變.我們用符號(hào)Inner ( K) 來(lái)表示這類(lèi)平凡的變換.因而, 刻畫(huà)“e-m交換”這類(lèi)操作的“任意子對(duì)稱群”可以定義為:G≡O(shè)uter(K)=Auto(K)/Inner(K), 從而把所有平凡的變換去掉.

Outer(K)可以看成對(duì)N維超方晶格的點(diǎn)群操作; 同時(shí), 該超方晶格每一個(gè)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)著一個(gè)激發(fā)(任意子).為了把二維的討論推廣到三維iTO, 我們基于第2.5節(jié)中的投影構(gòu)造, 定義一個(gè)六維的“電荷-圈格子”(charge-loop lattice), 格點(diǎn)坐標(biāo)為:兩分量整數(shù)矩陣 L =(?,?′)T是純?nèi)ぐl(fā)的標(biāo)記.如果所有坐標(biāo)都不為零, 那么格點(diǎn)代表著一種點(diǎn)粒子激發(fā)和圈激發(fā)的復(fù)合.于是, 我們可以用類(lèi)似二維iTO的任意子對(duì)稱群的定義方式來(lái)定義三維iTO 的“荷-圈激發(fā)對(duì)稱性”( C harles ).C harles 群是六維電荷-圈格子的點(diǎn)群的一個(gè)子群: Charles =這里的K是任意整數(shù)矩陣(注: 不一定是對(duì)稱的), 來(lái)自于(3 + 1)維多分量阿貝爾BF理論的系數(shù).這里的 A uto(K) 是K的自同構(gòu)的推廣, 由矩陣 G =W⊕? 生成.其中的兩個(gè) G L(N,Z) 矩陣W和 ? 滿足 兩個(gè)條件: 第一, ? KWT=K ; 第二,Γ(···,Nm,···)= Γ(···,W?1Nm,···).第二個(gè)條件中的 Γ 是點(diǎn)粒子的自統(tǒng)計(jì)(要么是玻色子要么是費(fèi)米子).I nner(K) 里的群元 除了滿足這兩個(gè)條件之外, 還需要滿足:W?1Nm?Nm=KT(n1,n2)T和??1L?L=K(n3,n4)T.其中, n1,···,n4∈ Z.

物理上, C harles 群的群元 G =W⊕? 對(duì)應(yīng)著點(diǎn)群操作: ( Nm)new=W?1Nm,(L)new= ??1L.Charles群的操作不僅保證電荷-圈格子幾何性質(zhì)不變, 而且保證所有激發(fā)(電荷-圈的復(fù)合)的所有拓?fù)湫再|(zhì)不變.在我們考慮的具體投影構(gòu)造中, 這里的拓?fù)湫再|(zhì)包括點(diǎn)粒子的自統(tǒng)計(jì)、點(diǎn)粒子-圈激發(fā)之間編織統(tǒng)計(jì)(亦即Aharonov-Bohm相位)以及Debye-Hückel屏蔽電荷.類(lèi)似于二維的做法, 我們?cè)谌S也可以引入extrinsic twist defect.通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn),點(diǎn)缺陷始終對(duì)應(yīng)著 C harles 群的單位元.線缺陷可以生成非平凡的群元.類(lèi)似二維的做法, 我們也可以討論線缺陷的非阿貝爾融合規(guī)則(non-Abelian fusion rule), 如圖3的(b)和(c)所示.

3 低能有效理論

3.1 三維對(duì)稱保護(hù)拓?fù)鋺B(tài)

對(duì)于絕大多數(shù)阿貝爾對(duì)稱群, SPT的低能有效場(chǎng)論是一個(gè)兩分量的Chern-Simons理論:其 中 ,是兩個(gè)不同的 U (1) 規(guī)范場(chǎng), 矩陣K是泡利矩陣 σx.K的行列式是?1 , 使得SPT的體內(nèi)沒(méi)有拓?fù)浼ぐl(fā), 也就沒(méi)有iTO.有趣的是, 這個(gè)Chern-Simons項(xiàng)正好是所謂的 level-1 的“ B F ”理論[122–126]在 (2 +1)維時(shí)空的實(shí)現(xiàn).按照 BF 項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)寫(xiě)法, 我們把其中一個(gè)規(guī)范場(chǎng)寫(xiě)成b.那么上面這個(gè)Chern-Simons項(xiàng)就變成了:鹿芫明和Vishwanath[127]系統(tǒng)地研究了二維SPT的低能有效場(chǎng)論.從二維SPT的Chern-Simons理論出發(fā),通過(guò)研究Chern-Simons理論的邊界上的共形場(chǎng)論, 我們即可得到受阿貝爾對(duì)稱群保護(hù)的二維SPT的分類(lèi).對(duì)于絕大多數(shù)簡(jiǎn)單的阿貝爾群, 他們的分類(lèi)結(jié)果和群上同調(diào)[29,30]得出的結(jié)果是完全吻合的.后來(lái)人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn), 單獨(dú)的Chern-Simons項(xiàng)是不夠的.比如, 對(duì)于對(duì)稱性為ZN1×ZN2×ZN3這種對(duì)稱性保護(hù)的SPT, 我們需要形式如[128]:這種twisted拓?fù)漤?xiàng)[40].其中, 三分量的level-1 B F 拓?fù)漤?xiàng)保證了SPT體內(nèi)沒(méi)有拓?fù)浼ぐl(fā).系數(shù)q滿足一定的量子化條件和周期性條件.而周期性條件給出了相應(yīng)SPT的分類(lèi).但如果 B F 項(xiàng)的level是大于1的整數(shù), 那么該作用量可以看成DW格點(diǎn)模型[39]的連續(xù)場(chǎng)論.后者具有iTO, 有拓?fù)浼ぐl(fā).

圖3 “Twist缺陷和拓?fù)浼ぐl(fā)”的融合規(guī)則示意圖 (a) 二維iTO的任意子和點(diǎn)缺陷的融合.(b) 三維iTO的點(diǎn)激發(fā)與線缺陷的融合.(c) 三維iTO的圈激發(fā)與線缺陷的融合.摘自[85]Fig.3.Diagrammatic illustration of fusion rules among twist defects and topological excitations.(a) Fusions between an anyon(quasiparticle) and a point-defect in a two-dimensional iTO.(b) Fusions between a particle excitation and a line defect in a threedimensional iTO; (c) Fusions between a loop excitation and a line defect in a three-dimensional iTO.[85].

表3 受到幺正阿貝爾群保護(hù)的“不可約”的三維SPT態(tài)的低能有效理論及其分類(lèi).aI 和 bI 分別是1-形式 和2-形式U(1)規(guī)范場(chǎng).系數(shù)p、 p1 、 p2 的取值滿足一定的量子化條件和周期性.系數(shù)的周期給出分類(lèi)的結(jié)果.“( ZN12)··· ”表示相應(yīng)的分類(lèi).其中, 符號(hào) N IJ··· 表示 NI,NJ,··· 等整數(shù)的最大公約數(shù).受到 Z N 或 U (1)k 或 ZN×U(1)k 保護(hù)的SPT態(tài)都是平凡的, 因而沒(méi)有列入表中.“不可約”是指對(duì)稱群的所有子群都起著保護(hù)SPT的作用.其他SPT都可以通過(guò)表格里的結(jié)果構(gòu)造出來(lái).具體摘自[129].Table 3.A brief summary of irreducible 3D SPT phases with unitary Abelian symmetry.aI and bI are 1-form and 2-form U(1)gauge fields, respectively.“( Z N12 ) · ·· ”denote the corresponding classifications, where N IJ··· are greatest common divisors of NI,NJ,···.SPT phases with either ZN or U (1)k or ZN×U(1)k are trivial and not included below.By “irreducible”, we means that all subgroups of symmetry group play nontrivial roles in protecting the nontrivial SPT phases.All other SPT's with unitary Abelian group symmetries can be obtained directly by using this table[129].

文獻(xiàn)[129]提出了三維SPT(其對(duì)稱性是幺正的阿貝爾幺正群; 時(shí)間反演對(duì)稱性摘自[130])的低能有效理論, 并詳細(xì)研究了對(duì)稱操作與規(guī)范變換的定義, 見(jiàn)表3.SPT的低能有效理論有如下兩個(gè)特點(diǎn): 第一, 體內(nèi)激發(fā)必須是非分?jǐn)?shù)化的(亦即局域算符即可產(chǎn)生的), 同時(shí), 基態(tài)在任何閉流形上必須非簡(jiǎn)并; 第二, 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)稱群G沒(méi)有被破壞的時(shí)候, 不同的SPT的拓?fù)湟?guī)范場(chǎng)論是不等價(jià)的.要得到正確的場(chǎng)論描述, 我們需要正確定義規(guī)范變換和全局對(duì)稱變換, 以使得兩者不沖突.我們首先考慮如下作用量( I =1,2 ):

盡管該項(xiàng)破壞了作用量的拓?fù)洳蛔冃? 該項(xiàng)提供了一個(gè)有限大的體內(nèi)能隙, 可以正規(guī)化動(dòng)量空間的積分.該項(xiàng)雖然破壞了作用量的拓?fù)洳蛔冃? 但是提供了一個(gè)有限大的體內(nèi)能隙, 可以用于正規(guī)化動(dòng)量空間的積分.

公式(22)的第一項(xiàng)是兩個(gè)level-1的BF項(xiàng).所有規(guī)范場(chǎng)滿足如下狄拉克量子化條件:其 中 , M2是 二維閉流形.所有規(guī)范場(chǎng)的規(guī)范變換定義如下:

其 中 , 規(guī) 范 參 數(shù) { χI} 和分 別 是 標(biāo) 量 (1-形式)和矢量 (2-形式).注意到, 1-形式 d χI和 2-形式dVI都是閉合的(closed)但可以是非恰當(dāng)?shù)?nonexact).具體來(lái)講, 閉流形上的積分

其中, { nI} 和 { kI} 代表四個(gè)獨(dú)立的整數(shù).非零的nI和 kI導(dǎo)致非恰當(dāng), 同時(shí)對(duì)應(yīng)的規(guī)范變換通常被稱為“大規(guī)范變換”.當(dāng) p =0 時(shí), bI的規(guī)范變換和一般的BF理論一致.p的出現(xiàn)改變了通常的2-形式規(guī)范變換: 多出了一個(gè)依賴于p的項(xiàng).因而, 相應(yīng)的Wilson算符(見(jiàn)圖4)為:

這里的 V3是一個(gè)三維流形, 其邊界是 M2, 亦即:?V3=M2.圖4(a)表示圈算符圖4(b)表示算符其中, 立方體表示某個(gè)任意的三維空間區(qū)域 V3; 立方體內(nèi)部的星代表來(lái)自的貢獻(xiàn).

圖4 公式(26)中的規(guī)范不變的Wilson算符示意圖.摘自文獻(xiàn)[129]Fig.4.Illustration of gauge-invariant Wilson operators in Eq.(26).

在作用量(22)中, 2-形式規(guī)范場(chǎng) bI的“電磁”通量給出了SPT的局域玻色子的粒子流:用微分形式可以寫(xiě)為:其中, ? 表示 Hodge對(duì)偶操作.如果對(duì)稱性是 U (1) , 那么我們可以用 U (1) 的外電磁場(chǎng)AI來(lái)耦合粒子流:但我們實(shí)際考慮的對(duì)稱性是粒子數(shù)不嚴(yán)格守恒, 粒子數(shù)的變化可以是 NI的整數(shù)倍.為了使作用量在粒子數(shù)改變 NI的時(shí)候不變, 我們需要限制:其中 S1是一維閉流形.

為了同時(shí)使得規(guī)范變換與全局對(duì)稱性操作有良好定義, 我們要求系數(shù)p有如下量子化條件和周期 性 :是 N1和N2的最大公約數(shù).整數(shù)k的周期性表示, 一共有 N12種由作用量S刻畫(huà)的G保護(hù)的不等價(jià)的SPT相; 每個(gè)SPT對(duì)應(yīng)著 ZN12群的群元.平凡的態(tài)對(duì)應(yīng)著單位元, 其作用量由 k =0 mod N12標(biāo)記.同時(shí), 除了作用量(22), 我們也可以考慮 a2∧a1∧da1這個(gè)拓?fù)漤?xiàng), 因?yàn)?a1∧a2∧da2與 a2∧a1∧da1線性獨(dú)立①a1∧a2∧da3 、 a2∧a3∧da1 和 a3∧a1∧da2 之間線性相關(guān), 只需要考慮其中兩個(gè)拓?fù)漤?xiàng), 如表3所示..相應(yīng)的系數(shù)的量子化和周期性結(jié)果不變.于是, 總的分類(lèi)是該結(jié)果和群上同調(diào)的結(jié)果是一致的:這里我們不再重復(fù)具體計(jì)算細(xì)節(jié).這里的計(jì)算的關(guān)鍵在于, 系數(shù)的量子化和周期性結(jié)果是規(guī)范變換與全局對(duì)稱性的要求, 同時(shí)都和對(duì)稱群G緊密相關(guān).如果我們完全破壞對(duì)稱群, 那么p的取值結(jié)果可以通過(guò)形式上令 N1=N2=1 得到: p =k/(4π2).由于此時(shí)整數(shù)k的周期是1, 所有非零的整數(shù)k都和 k =0 等價(jià).所以, 在沒(méi)有對(duì)稱群保護(hù)的時(shí)候, 作用量(無(wú)論添加的是 a1∧a2∧da2還是 a2∧a1∧da1)均描述的是平凡態(tài).

表3里的拓?fù)湟?guī)范場(chǎng)論描述的是阿貝爾幺正對(duì)稱群保護(hù)的SPT.對(duì)于反幺正群—時(shí)間反演對(duì)稱性, 文獻(xiàn)[130]使用 b ∧b 來(lái)構(gòu)造拓?fù)鋱?chǎng)論:

其中, Λ 是 S O(8) 群的嘉當(dāng)(Cartan)矩陣:

該場(chǎng)論描述的BTI不在“群的上同調(diào)”分類(lèi)結(jié)果里[31].

3.2 AAB拓?fù)漤?xiàng)與Borromean Rings編織統(tǒng)計(jì)

二維iTO[10,132]體內(nèi)的任意子激發(fā)的編織統(tǒng)計(jì)以及邊界態(tài)的手征中心荷c是iTO的核心拓?fù)洳蛔兞?相應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)是特定的模張量范疇(modular tensor category)[10,45,97].二維iTO的任意子的編織統(tǒng)計(jì)[32,33,133–135]由(2 + 1)維的拓?fù)淞孔訄?chǎng)論—Chern-Simons規(guī)范理論來(lái)刻畫(huà).任意子在(2 + 1)維時(shí)空中的世界線形成各種非平凡的紐結(jié), 物理上包含了拓?fù)浼ぐl(fā)的編織統(tǒng)計(jì)信息;Chern-Simons規(guī)范理論正好可以用于刻畫(huà)這些紐結(jié)的拓?fù)湫再|(zhì)[136].而三維iTO[34,35]不僅有點(diǎn)粒子激發(fā), 也有圈激發(fā).雖然我們知道三維拓?fù)鋺B(tài)的點(diǎn)粒子的自統(tǒng)計(jì)只能有玻色和費(fèi)米兩種選項(xiàng)[134,137],但是圈激發(fā)的存在使得編織統(tǒng)計(jì)及其拓?fù)鋱?chǎng)論十分豐富.圈激發(fā)甚至也可以有非平凡的紐結(jié)性質(zhì),見(jiàn)圖5.我們可以通過(guò)研究具有圈激發(fā)的拓?fù)浼m纏熵來(lái)分辨具有相同規(guī)范群G但閉上鏈 ω 不同的Dijkgraaf-Witten模型[138].

我們考慮簡(jiǎn)單的阿貝爾規(guī)范群可以描述的編織過(guò)程.點(diǎn)粒子-圈之間的編織過(guò)程比較簡(jiǎn)單, 如圖6(a)所示.該編織過(guò)程生成一個(gè)Hopf環(huán)鏈.物理上, 我們可以用 ( 3+1) 維電荷-N的玻色子與U(1)規(guī)范場(chǎng)耦合來(lái)實(shí)現(xiàn)[63,139].除了該編織統(tǒng)計(jì)過(guò)程, 我們可以考慮更加復(fù)雜的規(guī)范群, 比如由于有多個(gè) ZNI規(guī)范子群, 我們可以考慮“三圈編織過(guò)程”(three-loop braiding).該編織過(guò)程涉及到三個(gè)圈激發(fā)[140].它們的磁通必須屬于至少兩個(gè)不同的 ZNI規(guī)范子群.如果規(guī)范子群有四個(gè)或四個(gè)以上, 要完整刻畫(huà)iTO, 除了三圈編織,我們還需要考慮更加復(fù)雜的“四圈編織過(guò)程”(fourloop braiding)[141–143].所有這些編織過(guò)程及其編織統(tǒng)計(jì)可以統(tǒng)一用Dijkgraaf-Witten格點(diǎn)模型[39]來(lái)實(shí)現(xiàn).

圖5 三維iTO中的點(diǎn)激發(fā)和圈激發(fā)示意圖[138]Fig.5.Illustration of point-like excitations and loop excitations in three-dimensional iTO.

在連續(xù)時(shí)空中, 我們可以使用多分量的twisted BF 理論[40,48–50,129,130,140–156]來(lái)實(shí)現(xiàn)上面提到的編織過(guò)程和編織統(tǒng)計(jì).作用量類(lèi)似于(22)式,可寫(xiě)為(大寫(xiě)字母表示規(guī)范場(chǎng)):

圖6 (a) 點(diǎn)粒子-圈之間的編織: 點(diǎn)粒子激發(fā) ei (攜帶單位 Z Ni 規(guī)范荷) 繞著圈激發(fā) m i (攜帶單位 Z Ni 規(guī)范磁通)轉(zhuǎn)一圈.ei 的軌跡 γ ei 與靜止的圈 m i 形成一個(gè)Hopf環(huán)鏈.(b) 博羅梅安編織(點(diǎn)粒子-圈-圈編織): 點(diǎn)粒子 ek 繞著兩個(gè) 互 相 未 鏈 接 的圈激發(fā) m i,mj 轉(zhuǎn) 一 圈.ek 的軌 跡 γ ek 與mi , m j 一起形成博羅梅安環(huán)(Borromean Rings, 或更一般的Brunnian link)Fig.6.(a) Particle-loop braiding: a particle ei travels around a loop m i such that the braiding trajectoryγei and m i form a Hopf link.(b) Borromean-Rings braiding: a particle ek moves around two unlinked loops mi,mj such that m i , m j and the trajectory γ ek form the Borromean rings (or generally the Brunnian link).

文獻(xiàn)[157]提出了新的編織過(guò)程—“博羅梅安編織”(Borromean-Rings braiding), 如圖6(b)所示.在此編織過(guò)程中, 一個(gè)點(diǎn)粒子繞著兩個(gè)互相未鏈接的圈激發(fā)轉(zhuǎn)了一圈, 形成博羅梅安環(huán)或者更加一般的Brunnian link.因?yàn)樵摼幙椷^(guò)程涉及到一個(gè)點(diǎn)粒子和兩個(gè)圈激發(fā), 所以我們也可以稱之為“點(diǎn)粒子-圈-圈編織”.該編織過(guò)程的拓?fù)洳蛔兞渴荕ilnor三重鏈接數(shù)(Milnor's triple linking number,)[158,159].考慮 G =ZN1×ZN2×ZN3, 相應(yīng)的低能有效理論包含形如 A AB 的拓?fù)漤?xiàng):

3.3 三維對(duì)稱富化拓?fù)鋺B(tài)與對(duì)稱性分?jǐn)?shù)化

前面我們介紹了SPT和iTO的一些低能有效場(chǎng)論的研究.當(dāng)iTO含有對(duì)稱性, 對(duì)應(yīng)的拓?fù)鋺B(tài)就是對(duì)稱富化拓?fù)鋺B(tài)(SET).文獻(xiàn)[48]提出三維SET的低能有效場(chǎng)論的構(gòu)造方案, 并研究了具體的例子.文獻(xiàn)[49]構(gòu)造了一類(lèi)具有量子反常的三維SET.文獻(xiàn)[51]討論了部分具有反幺正對(duì)稱群的SET.文獻(xiàn)[160](見(jiàn)其附錄E)討論了同時(shí)含有空間群(比如空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性)和內(nèi)部群(比如自旋旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性)的SET的低能有效理論與拓?fù)漤憫?yīng)理論.文獻(xiàn)[50]基于[48]提出了系統(tǒng)分類(lèi)和表征三維SET的場(chǎng)論計(jì)算方法.部分例子見(jiàn)表4[50].符號(hào) Gg代表iTO對(duì)應(yīng)的規(guī)范群.體內(nèi)的iTO完全由規(guī)范群和twisted拓?fù)漤?xiàng)決定.后者由一對(duì)整數(shù)標(biāo)記: 比如對(duì)于規(guī)范群 Z2×Z2, ( q,) = ( 0,0) 、(2,0)或 ( 2,2) , 代表twisted拓?fù)漤?xiàng)前面的系數(shù).如果標(biāo)記為“–”, 那么該規(guī)范群沒(méi)有非平凡的twisted拓?fù)漤?xiàng).符號(hào) Gs代表施加的全局對(duì)稱性.給定iTO和對(duì)稱性, 相應(yīng)的SET分類(lèi)標(biāo)記為:C1⊕ C2⊕···.其中, 角標(biāo) i =1,2,··· 用于標(biāo)記攜帶單位規(guī)范荷的點(diǎn)粒子的對(duì)稱性分?jǐn)?shù)化(symmetry fractionalization).給定i, 即給定點(diǎn)粒子的對(duì)稱性分?jǐn)?shù)化.同時(shí), Ci表示“圈激發(fā)的對(duì)稱性分?jǐn)?shù)化”的分類(lèi)(一般標(biāo)記為一個(gè)或多個(gè)循環(huán)群的直乘).符號(hào)⊕表示形式上把具有不同的粒子對(duì)稱性分?jǐn)?shù)化的SET“放在一起”.符號(hào) ( Zn)m定義為 m 個(gè) Zn的直乘: ( Zn)m=Zn×Zn···Zn.同 時(shí),k(Zn)m=(Zn)m⊕ (Zn)m⊕ ···⊕ (Zn)m, 其中, k 表示(Zn)m的個(gè)數(shù).“gcd”是最大公約數(shù)的縮寫(xiě).Z1表示有且僅有一種SET, 即把iTO和有對(duì)稱性的平凡SPT放在 (stack) 一起.例如, 當(dāng) Gg=Z2且 Gs=Z2n的時(shí)候, 分類(lèi)結(jié)果是 ( Z2)2⊕Z1, 于是一共有 5 個(gè)SET.注意, 該表格的結(jié)果來(lái)源于阿貝爾規(guī)范場(chǎng)論計(jì)算,沒(méi)有考慮在對(duì)稱操作下容許出現(xiàn)的拓?fù)浼ぐl(fā)之間的輪換, 也未考慮非阿貝爾的對(duì)稱性分?jǐn)?shù)化.

在具體計(jì)算中, 我們考慮一個(gè)有全局對(duì)稱性的規(guī)范場(chǎng)論(Symmetry-Enriched Gauge theory, SEG):

用于探測(cè)對(duì)稱性.外加規(guī)范場(chǎng) Ai用于探測(cè) U (1) 的ZKi子群.Qij是 k ×m 任意整數(shù)矩陣.要注意的是,所有外加規(guī)范場(chǎng)只是靜態(tài)背景場(chǎng), 沒(méi)有動(dòng)力學(xué), 不是配分函數(shù)的組態(tài).Sint包括所有可能的twisted拓?fù)漤?xiàng)(包括所有規(guī)范場(chǎng))①表4中的twisted拓?fù)漤?xiàng)不含level-1的規(guī)范場(chǎng)..作用量S的這些特點(diǎn)可以概括在示意圖7中.每個(gè)“l(fā)ayer”表示一個(gè)三維系統(tǒng).所有“l(fā)ayer”堆在一起并占據(jù)三維空間中同一個(gè)區(qū)域.在沒(méi)有考慮對(duì)稱性的時(shí)候, 亦即在形成SEG之前, 體系只含有type-I layers, 描述純iTO.type-II layers里面的規(guī)范場(chǎng)都是level-1, 是在施加對(duì)稱性之后加進(jìn)來(lái)的.每一條黃色的虛線表示 Sint中的某個(gè)拓?fù)漤?xiàng)涉及到的layers.需要說(shuō)明的是, 圖中的虛線都是連接兩個(gè)layer, 實(shí)際上可以同時(shí)涉及到三個(gè)或四個(gè).通過(guò)該場(chǎng)論, 我們可以計(jì)算攜帶規(guī)范荷的粒子的對(duì)稱荷, 從而確定粒子上的對(duì)稱性分?jǐn)?shù)化.同時(shí), 圈激發(fā)的對(duì)稱式分?jǐn)?shù)化由“混合多圈統(tǒng)計(jì)”(mixed multi-loop, MML)來(lái)確定.要注意的是, type-II layers的層數(shù)是任意的,Qij也是任意的.也就是說(shuō), 給定規(guī)范群和對(duì)稱群之后, 作用量的寫(xiě)法是無(wú)窮多個(gè).文獻(xiàn)[48]在具體例子中選取了特定的作用量寫(xiě)法, 來(lái)計(jì)算對(duì)稱性分?jǐn)?shù)化.文獻(xiàn)[50]考慮了所有可能的Q和所有可能的twisted拓?fù)漤?xiàng), 并發(fā)現(xiàn)無(wú)窮個(gè)Q可以約化到有限個(gè), 從而系統(tǒng)地得到表4中的結(jié)果.

表4 部分三維SET的分類(lèi), 摘自[50].Table 4.Classification of SET examples.

圖7 SEG的構(gòu)造圖.摘自文獻(xiàn)[48]Fig.7.Illustration of SEG.

對(duì)于含有反幺正對(duì)稱群的SET, 比如時(shí)間反演, 文獻(xiàn)[51]討論了部分例子, 見(jiàn)表5.U (1)C和U(1)Sz 分別是電荷和z方向自旋對(duì)稱群.Z2是指繞著 S y 自旋軸轉(zhuǎn)動(dòng) π.

表5 部分含有反幺正對(duì)稱群(時(shí)間反演)的SET的體內(nèi)理論與邊界理論, 摘自[51].Table 5.Bulk and boundary theories of SET with anti-unitary symmetry (e.g., time-reversal symmetry).

4 拓?fù)漤憫?yīng)理論

4.1 分?jǐn)?shù)化S-對(duì)偶、分?jǐn)?shù)拓?fù)浣^緣體與堆疊操作

三維拓?fù)淠軒Ы^緣體[161,162](topological insulator, TI)是一種自由費(fèi)米子系統(tǒng)的SPT.其對(duì)稱性是與普通絕緣體不同, TI的電磁響應(yīng)理論[119,163,164]含有一個(gè)與軸子角 θ 有關(guān)的拓?fù)漤?xiàng):

其 中 軸 子 角 θ = πmod2π (TI體 內(nèi))或 者θ=0mod2π(在真空).F =dA 是 2 -形式的場(chǎng)張量.g是電磁耦合常數(shù).該響應(yīng)理論的兩個(gè)參數(shù)可以統(tǒng)一寫(xiě)成一個(gè)復(fù)數(shù): 模參數(shù)(modular parameter)威騰效應(yīng)[119,118]正是由θ項(xiàng)產(chǎn)生的: 一個(gè)外加的磁單極子(攜帶單位磁荷)會(huì)攜帶 θ /2π 這么多的極化電荷.但如果S中的外電磁場(chǎng)A被視為具有動(dòng)力學(xué)的場(chǎng)量, 那么S代表的物理變成了: 有 θ 的(3 + 1)維QED (QED4).該理論具有“S-對(duì)偶”[165–167]: 配分函數(shù) Z 在 S 和T操作下以模形式 (modular form)變換:通過(guò)T操作, 我們知道 θ 在費(fèi)米子體系(考慮自旋結(jié)構(gòu)的流形)中周期是 2π.為了保持時(shí)間反演對(duì)稱性, θ 在TI體內(nèi)的取值必須取 π mod 2π.S-對(duì)偶最近用在了二維凝聚態(tài)物理中, 比如一系列推廣粒子-渦旋對(duì)偶的理論[168–174].其中一種推導(dǎo)這些新的粒子-渦旋對(duì)偶的方法就是在有邊界的4維時(shí)空上研究S-對(duì)偶[174–177].

在強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)中, 盡管“電子填充能帶”的圖像失效, 我們?nèi)匀豢梢钥紤]受保護(hù)的有能隙的態(tài).強(qiáng)關(guān)聯(lián)的拓?fù)浣^緣體有兩大類(lèi).第一類(lèi)是SPT, 其體內(nèi)的激發(fā)仍然是平凡, 但是邊界上會(huì)有對(duì)稱性保護(hù)的“表面拓?fù)湫颉?(surface topological order, STO)[28,130,178–181].STO 可以看成反常的二維SET, 只能存在于邊界上.第二類(lèi)可以叫做“分?jǐn)?shù)拓?fù)浣^緣體”(fractional TI, FTI), 其體內(nèi)激發(fā)譜支持拓?fù)浼ぐl(fā).此類(lèi)拓?fù)浣^緣體可以看成三維的SET.FTI除了體內(nèi)有拓?fù)浼ぐl(fā)之外, 其θ在一定條件下可以取分?jǐn)?shù)化的值(相對(duì)于 π 來(lái)講),而且不破壞時(shí)間反演對(duì)稱性.FTI的投影構(gòu)造、格點(diǎn)模型等方面已經(jīng)有不少的研究進(jìn)展[84,85,182–188].文獻(xiàn)[189]提出并應(yīng)用“分?jǐn)?shù)化的S-對(duì)偶”來(lái)研究FTI中 θ 的周期與時(shí)間反演不變的取值.分?jǐn)?shù)化S-對(duì)偶的 S 和 T 分別是

其中, 1 /t 表示體內(nèi)的拓?fù)浼ぐl(fā)攜帶的電荷最小單位.一旦考慮了, FTI中 θ 的取值規(guī)律就確定了:θ = π/t2mod 2π/t2.周期 ?θ=2π/t2.當(dāng) t =1 , 亦即體內(nèi)沒(méi)有電荷分?jǐn)?shù)化, θ 的取值變成了大家熟知的TI的結(jié)果[119]: θ = π mod 2π.正如FQH里的復(fù)合費(fèi)米子理論提供了理解Jain態(tài)[5–8]的思路, 這里的S-對(duì)偶理論也提供了一個(gè)理解FTI中 θ 的分?jǐn)?shù)量子化的思路.注意到對(duì)于任意的t,S2=(ST)3=1, τ 的 所 有 的 模 不 動(dòng) 點(diǎn)(modular fixed point)[175,190]等價(jià) 于: i /t2和前者在 S 的操作下不變, 而后者在 S T 聯(lián)合操作下不變.探索這些不動(dòng)點(diǎn)的物理是非常有趣的, 比如當(dāng) t =1 時(shí), 這些不動(dòng)點(diǎn)物理上控制著TI表面的相圖有關(guān)[175,191].

除了得到FTI中 θ 的量子化規(guī)律之外, 我們還可以把FTI分成兩類(lèi): type-I FTI和type-II FTI.兩類(lèi)FTI在所謂的“堆疊”(stacking)操作下(用符號(hào) ? 表示)有著截然不同的性質(zhì).堆疊操作就是把兩個(gè)態(tài)放在同一個(gè)三維空間區(qū)域, 并容許施加局域算符.所有可以通過(guò)堆疊操作連接在一起的的拓?fù)鋺B(tài)構(gòu)成一個(gè)幺半群(monoid)[45]—與真正的群的區(qū)別在于, 幺半“群”里不是所有元素都有逆.在我們要討論的(分?jǐn)?shù))拓?fù)浣^緣體這個(gè)具體例子中,真空或者平凡能帶絕緣體是幺半群的單位元(標(biāo)記為: Vac), 自由費(fèi)米子的拓?fù)浣^緣體TI和它自己互為逆元素, 所有FTI(標(biāo)記為: FTIt)都沒(méi)有逆元素.兩個(gè)TI堆疊在一起得到真空:

這個(gè)堆疊結(jié)果與TI的 Z2分類(lèi)結(jié)果是相符的, 也說(shuō)明了 TI是可逆的 (invertible).兩個(gè)純拓?fù)湫騣TO(其 θ 是平凡的, 取值是周期的整數(shù)倍)堆疊在一起得到新的iTO: i TOt1? iTOt2=iTOt?, 其中t?=Lcm(t1,t2)( L cm 是最小公倍數(shù)).FTI和TI堆疊在一起的結(jié)果是: F TIt?TI=iTOt(t∈Zodd) 或FTIt(t∈Zeven).這個(gè)堆疊結(jié)果說(shuō)明, t為奇數(shù)的FTI實(shí)際上可以看成iTO和TI的堆疊(iTOt?TI=FTIt(t∈Zodd)), 其非平凡的 θ 是由于TI的存在.然而對(duì)于偶數(shù)t的FTI卻顯得更加基本.因而我們把奇數(shù)t的FTI稱為type-I, 而把偶數(shù)t的FTI稱為type-II.把兩個(gè)FTI堆疊在一起得到:FTIt1?FTIt2=iTOt?(t1,t2∈Zodd)或FTIt?(t1∈Zodd,t2∈Zeven).其中 t?=Lcm(t1,t2).如果 t1,t2都是偶數(shù), 假設(shè)那么FTIt1?FTIt2=iTOt?(k1=k2)或其 中 ,總 的 來(lái) 講 , 在 TI 、iTOt( t ∈Zodd)和type-II F TIt之間的各種堆疊操作可以產(chǎn)生所有其他的拓?fù)鋺B(tài), 從而生成整個(gè)幺半群.所以, 我們可以把這三種態(tài)稱為“根態(tài)”(root phases).

4.2 推廣的Witten效應(yīng)和表面量子霍爾效應(yīng)

三維拓?fù)浣^緣體(TI)中兩個(gè)重要的響應(yīng)現(xiàn)象是體內(nèi)的威騰(Witten)效應(yīng)和邊界上的半整數(shù)霍爾電導(dǎo).TI需要的對(duì)稱群是相應(yīng)的拓?fù)漤憫?yīng)作用量是(34)式.文獻(xiàn)[51]討論更多對(duì)稱群保護(hù)的三維SPT態(tài), 推廣了威騰效應(yīng), 見(jiàn)表6.qi=s,s? 1,s?2,···, 其中, s是總自旋量子數(shù):S2=s(s+1).表格中的各種量子霍爾效應(yīng)的名稱及其電導(dǎo)的定義已經(jīng)在第2.3節(jié)中有所介紹.如果恢復(fù)量綱, 霍爾“電”導(dǎo) σc、 σs和 σcs的單位分別是:e2/? 、 ? 和 e.U (1)C和 U (1)Sz 分別是電荷和 z 方向自旋對(duì)稱群.Z2是指繞著 Sy自旋軸轉(zhuǎn)動(dòng) π.響應(yīng)作用量可以統(tǒng)一寫(xiě)為:

系 數(shù) 矩 陣 ΘIJ是 對(duì) 稱 的, 定 義 為: Θ11= θc,Θ22= θs, Θ12= Θ21= θ0.表格里第一行是BTI;第二行是拓?fù)漤槾朋w.下面簡(jiǎn)單介紹一下第三行的物理, 亦即作用量S的非對(duì)角元

表6 帶整數(shù)自旋和電荷的玻色SPT的電荷和自旋響應(yīng)理論[51].Table 6.Charge and spin response of spin-1 and charge-1 boson systems.

這種 dAcdAs的項(xiàng)在文獻(xiàn)[192?194]中作為電流4-矢量的不守恒量“ ? J ”的期望值.

用于保護(hù)非對(duì)角元拓?fù)漤?xiàng)的最小對(duì)稱性要求是 U (1)C×[USz(1)?Z2].在 Z2的非單位元的操作下,規(guī)范場(chǎng) As相應(yīng)的所謂的“電場(chǎng)”Es和 “ 磁 場(chǎng) ” Bs作 如 下 變 換: Es→?Es,Bs→?Bs→Ec→Ec,Bc→Bc.從這些變換我們可以得到作用量的變換規(guī)則:

盡管有負(fù)號(hào)產(chǎn)生, θ0的周期性可以讓? S0變回 S0.下面我們考察一下 θ0的周期.考慮SPT態(tài)定義在三維區(qū)域 Σ3, 其邊界(或稱為“表面”, 定義在z=0的平面, x和y坐標(biāo)有周期性邊界條件)是 ? Σ3.假設(shè)該邊界上 Z2對(duì)稱性被破壞, 該表面的響應(yīng)理論是一個(gè)交互(mutual)Chern-Simons拓?fù)漤?xiàng):最近, 類(lèi)似交互Chern-Simons拓?fù)漤?xiàng)已應(yīng)用于其他不同問(wèn)題上, 比如摻雜莫特絕緣體[76–78,195,196]和阻挫量子反磁體[197].自旋和電荷響應(yīng)流(response current)分別定義為:

他們分別由外電場(chǎng) Ec和自旋規(guī)范場(chǎng)的“電場(chǎng)”矢量Es誘導(dǎo).從響應(yīng)流的表達(dá)式, 我們可以讀出相應(yīng)的自旋-電荷 和電荷-自旋 霍爾電導(dǎo):假設(shè)θ的最小周期為P, 物理上, 我們可以通0過(guò)在表面態(tài)上堆疊一層正常的二維霍爾態(tài)[51,198,199].正常的霍爾態(tài)對(duì)應(yīng)的霍爾電導(dǎo)的量子化條件是因而,令k=1, 則 P =2π.滿足 Z2操作下不變的 θ0的最小值是周期的一半, 所以 θ0= π mod 2π.

為了理解表6中的交互威騰效應(yīng), 我們首先寫(xiě)下三維體內(nèi)( Σ3)的響應(yīng)流方程:

一般來(lái)講, 磁場(chǎng)是沒(méi)有散度的.但是考慮磁單極子的組態(tài)之后, 磁場(chǎng)是可以有散度的:其中,是磁荷 (亦即, 磁單極子個(gè)數(shù)).同樣, 我們也可以寫(xiě)出自旋規(guī)范場(chǎng)對(duì)應(yīng)的“磁單極子個(gè)數(shù)”.根據(jù)零分量的響應(yīng)方程我們可以計(jì)算出響應(yīng)自旋總量和響應(yīng)電荷總量:這個(gè)響應(yīng)自旋和電荷均是極化自旋云和極化電荷云, 不攜帶量子統(tǒng)計(jì)信息[200].Ns/c的表達(dá)式表明, 磁單極子會(huì)誘導(dǎo)分?jǐn)?shù)化的電荷和自旋.但原則上, 磁單極子上還可以粘附整數(shù)個(gè)電荷( nc∈Z )和整數(shù)自旋(和)(因?yàn)镾PT是由攜帶整數(shù)自旋和整數(shù)電荷的玻色子構(gòu)成).所以, 加上這些整數(shù)貢獻(xiàn), 我們就可以得到如表6中所示的交互威騰效應(yīng)的表達(dá)式:其中,θ0的周期貢獻(xiàn)可以吸收到粘附的電荷和自旋中去.在 Z2的操作下, 我們有以下變換規(guī)律: Ns→?Ns,

表7 推廣的Wen-Zee拓?fù)漤?xiàng), 摘自[160].Table 7.Generalized Wen-Zee terms.

4.3 推廣的Wen-Zee拓?fù)漤?xiàng)

SPT的對(duì)稱性除了可以是自旋旋轉(zhuǎn)這種作用在內(nèi)部空間的情形, 還可以是空間對(duì)稱性.比如自由費(fèi)米子體系里的拓?fù)渚w絕緣體[201,202].過(guò)去幾年里, 對(duì)點(diǎn)群保護(hù)的SPT(縮寫(xiě)為pgSPT)的研究有了許多進(jìn)展, 比如:[203–208].其中一個(gè)思路是通過(guò)局域幺正變換把SPT變成低一維空間的SPT, 使得原SPT的空間對(duì)稱性變成了低一維SPT的通常的內(nèi)部對(duì)稱性.通過(guò)這種映射關(guān)系, 我們可以得到點(diǎn)群對(duì)稱性保護(hù)的SPT的分類(lèi)和表征.這個(gè)方法的結(jié)果與更加數(shù)學(xué)化的方法[207]相符.文獻(xiàn)[28]構(gòu)造了包括晶體對(duì)稱性在內(nèi)的SPT的波函數(shù).該文獻(xiàn)[160]研究了同時(shí)受到空間群和內(nèi)部群保護(hù)的SPT: 兩種對(duì)稱群其中一個(gè)被破壞, SPT序就會(huì)被破壞.文獻(xiàn)[160]推導(dǎo)了這種SPT的拓?fù)漤憫?yīng)理論: 一種推廣了的Wen-Zee拓?fù)漤?xiàng)[209].最簡(jiǎn)單的幾個(gè)例子見(jiàn)表7.

Wen-Zee拓?fù)漤?xiàng)的基本特征是, 此類(lèi)拓?fù)漤?xiàng)是由通常的規(guī)范場(chǎng)與空間的規(guī)范場(chǎng)(比如自旋聯(lián)絡(luò))的楔積(wedge product)混合形成的.文獻(xiàn)[209]在FQH態(tài)里討論并提出了Wen-Zee拓?fù)漤?xiàng).在一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子, 比如整數(shù)量子霍爾態(tài)里, 我們可以從以下拉格朗日量出發(fā):

其中A是外加電磁場(chǎng)(扣除霍爾系統(tǒng)的原均勻磁場(chǎng)之后).tI和 sI分別是電荷矢量分量和自旋矢量分量.ω 是 S O(2) 自旋聯(lián)絡(luò).“ ω ∧da ”就是最原始的Wen-Zee拓?fù)漤?xiàng), 描寫(xiě)的是外場(chǎng)如何耦合到每個(gè)拓?fù)淞鞯淖孕?通過(guò)路徑積分積掉 aI, 我們可以得到拓?fù)漤憫?yīng)理論:

其中, A和 ω 的混合項(xiàng)也可以稱為Wen-Zee拓?fù)漤?xiàng).從而我們可以得到響應(yīng)電流和響應(yīng)自旋流:

假設(shè)霍爾系統(tǒng)定義在一個(gè)二維閉流形上, 對(duì)響應(yīng)電流的零分量作積分就得到了響應(yīng)電荷總量:其中, 總的磁通量子數(shù)和歐拉示性數(shù)是二維閉流形的虧格.霍爾態(tài)的填充數(shù) ν =tTK?1t.N?的第一項(xiàng)是霍爾態(tài)里 N?與 Ne的標(biāo)準(zhǔn)關(guān)系.但由于s矢量的存在, N?的第二項(xiàng)給出了一個(gè)新的貢獻(xiàn), 被稱為“shift”: S =(tTK?1s)ν?1NR.

注意到, 自旋聯(lián)絡(luò)可以看成對(duì)空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性的“gauging”.我們發(fā)現(xiàn), Wen-Zee拓?fù)漤?xiàng)可以推廣到更加復(fù)雜的情形, 并且可以作為SPT的拓?fù)漤憫?yīng)理論.在表7中, A、 AI代表內(nèi)部對(duì)稱群對(duì)應(yīng)的外加規(guī)范場(chǎng).如果對(duì)稱群是 U (1) , 那么外加規(guī)范場(chǎng)的規(guī)范群也是 U (1) ; 如果對(duì)稱群是 ZN, 那么外加規(guī)范場(chǎng)的規(guī)范群形式上仍然是 U (1) , 但其Wilson loop 取 值 只 在 ZN里 面.Nij·k是Ni,Nj,·,Nk的最大公約數(shù).推廣的Wen-Zee拓?fù)漤?xiàng)的整系數(shù)k用于標(biāo)記不同的SPT態(tài).對(duì)于實(shí)際材料, 阿貝爾空間轉(zhuǎn)動(dòng)群 Gs限于 C2,C3,C4和 C6.需要注意的是, 最后三行(用星號(hào)特別標(biāo)記)含有 2 -形式的規(guī)范場(chǎng)B.拓?fù)漤憫?yīng)理論里含有 2 -形式的規(guī)范場(chǎng), 說(shuō)明相應(yīng)的SPT的對(duì)稱群含有1-形式的對(duì)稱性[210].而一般情況下, 內(nèi)部對(duì)稱性都是 0 -形式, 比如自旋旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性.文獻(xiàn)[157]也討論了有高形式對(duì)稱性的拓?fù)鋺B(tài), 摘自 [157]的附件 (Supplemental Materials).表7里的角動(dòng)量/自旋 J 是響應(yīng)荷:(當(dāng) Gs=CN0)和(當(dāng) Gs=SO(2) ).

物理上, 我們可以通過(guò)“旋錯(cuò)”(disc∫lination)這種晶格缺陷來(lái)實(shí)現(xiàn) ω 的非平凡磁通 dω.在黎曼-嘉當(dāng) (Riemann-Cartan)幾何[211–214]里, 撓率(torsion)和黎曼曲率分別可以用位錯(cuò)和旋錯(cuò)兩種晶格缺陷來(lái)實(shí)現(xiàn).對(duì)于表7中的SPT, 空間群均是沿著某個(gè)固定軸的空間旋轉(zhuǎn), 因此在探測(cè)這種SPT序的時(shí)候, 旋錯(cuò)將會(huì)起到重要的作用.下面我們?cè)敿?xì)計(jì)算一個(gè)例子來(lái)理解表7.

我們考慮對(duì)稱群為 G =CN0×ZN1×ZN2的二維SPT.拓?fù)漤憫?yīng)理論的作用量是:

其中,Nij...k≡gcd{Ni,Nj,...,Nk}.整數(shù)k∈ZN012與SPT態(tài)一一對(duì)應(yīng).從該作用量我們可以得到響應(yīng)角動(dòng)量:

圖8 (a) 公式(42)代表的拓?fù)漤憫?yīng)現(xiàn)象的示意圖.ZN1的對(duì)稱性疇壁 D 1 和 Z N2 的對(duì)稱性疇壁 D 2 的交點(diǎn)攜帶分?jǐn)?shù)角動(dòng)量 J.A 1 和 A 2 分別是垂直于疇壁 D1 和 D2 的規(guī)范聯(lián)絡(luò).(b) 公式(44)代表的拓?fù)漤憫?yīng)現(xiàn)象的示意圖.旋錯(cuò)線與 Z N2 對(duì)稱性疇壁 D 2 的交點(diǎn)攜帶 A 1 規(guī)范場(chǎng)的分?jǐn)?shù)規(guī)范荷 Q 1.ω 和 A 2 分別是垂直于旋錯(cuò)線和疇壁的規(guī)范聯(lián)絡(luò)[160]Fig.8.(a).Topological response for Eq.(42).The intersection of Z N1 and Z N2 symmetry domain walls D 1 andD2 carries the angular momentum J.A1 and A2 are the gauge connections normal to the domain walls.(b).Topological response of Eq.(44).The intersection of disclination line and Z N2 symmetry domain walls D 2 carries theA1 charge Q1.ω and A2 are the gauge connections normal to the disclination line and domain wall, respectively.

這個(gè)響應(yīng)荷由被束縛在 D1和 D2的交點(diǎn)處的無(wú)能隙模式攜帶, 見(jiàn)圖8(a).對(duì)于給定的k, 該角動(dòng)量取值的最小單元是:

當(dāng)k增加一個(gè)周期, Jmin只會(huì)改變整數(shù)大小, 因而其分?jǐn)?shù)部分可以用來(lái)刻畫(huà)非平凡的SPT序.假設(shè)N0=4,N1=N2=8, 亦 即 Gs=C4和Gi=Z8×Z8.那么 k的最小周期是4: k ～k+4.k=0,1,2,3可以用于標(biāo)記四種不同的SPT序.它們的最小的正的角動(dòng)量取值分別為: Jmin=?,(k=0,平凡態(tài)) 、(k = 3).我們也可以從拓?fù)漤憫?yīng)理論的作用量中得到 A1的規(guī)范荷, 見(jiàn)圖8(b):

Q1取值是分?jǐn)?shù)化的:

表里其他例子可以用類(lèi)似的方法來(lái)理解.比如G=CN0×ZN1×U(1).我們可以考慮作用量響 應(yīng) 角 動(dòng) 量 J 可寫(xiě)為:其最小可取的分?jǐn)?shù)值為: Jmin=k/N01.如圖9(a)所示,在 Z N1對(duì)稱性疇壁 D 1 和 A 2 的磁力線的交點(diǎn)會(huì)有分?jǐn)?shù)化的 J.

圖9 兩個(gè)三維SPT拓?fù)漤憫?yīng)現(xiàn)象示意圖.摘自文獻(xiàn)[160]Fig.9.Illustration of two examples of SPT topological response phenomena in three dimensions.

另外, 我們考慮G=SO(2)×ZN1×ZN2.對(duì)于作用量我們可以計(jì)算出該電荷最小可取的分?jǐn)?shù)值是 Qmin=k/N12.如圖9(b)所示, 在旋錯(cuò)線(disclination line)與 ZN2對(duì)稱性疇壁 D2的交點(diǎn)上會(huì)有分?jǐn)?shù)化的 A1電荷.

4.4 SPT拓?fù)漤憫?yīng)的gauged Wess-Zumino理論

在第3.1節(jié)中, 我們介紹了SPT的低能有效理論, 主要方法是規(guī)范場(chǎng)論.除此之外, 還有一種非常有效的辦法: 用有約束的玻色場(chǎng)寫(xiě)下的非線性西格瑪模型(NL σ M)[215–220].下面我們將介紹NLσ M中的對(duì)稱性如何被直接gauge掉, 特別是如何在Wess-Zumino(WZ)①本文只將“Wess-Zumino”縮寫(xiě)為WZ, 而第4.3節(jié)的“Wen-Zee”不縮寫(xiě).拓?fù)漤?xiàng)里對(duì)全局對(duì)稱性直接gauge②此處的“gauge”當(dāng)動(dòng)詞用, 意思是通過(guò)添加規(guī)范場(chǎng)把全局對(duì)稱操作變成規(guī)范變換., 從而得到邊界態(tài)的微擾 U (1) 量子反常和體內(nèi)的拓?fù)漤憫?yīng)理論.詳細(xì)介紹可參考文獻(xiàn)[163].我們主要介紹所有奇數(shù)時(shí)空維度的玻色整數(shù)量子霍爾態(tài)(BIQH)的體內(nèi)和邊界的構(gòu)造過(guò)程.

在NL σ M理論中[216], d維SPT的體內(nèi)理論的作用量(定義在Minkowski時(shí)空 Rd,1里)可寫(xiě)為一個(gè)包含 θ =2πk 的 θ 項(xiàng)的 O (d+2) NL σ M:

其中, 拓?fù)漤?xiàng)是如下 θ 項(xiàng)(注意: 不要和公式(34)中的 θ 項(xiàng)混淆):

時(shí)空坐標(biāo)定義為 xμ, μ =0,...,d ( x0=t 是時(shí)間坐標(biāo)).θ =2πk , k ∈Z.單位向量 n ∈O(d+2) , 其組態(tài)空間是(d + 1)維超球面 Sd+1.微分形式ωd+1定義為:

另一方面, ( d?1) 維的邊界的作用量(定義在垂直于 xd坐標(biāo)軸的邊界 Minkowski時(shí)空 Rd?1,1上)可寫(xiě)為一個(gè)包含level-k WZ拓?fù)漤?xiàng)的 O (d+2) NLσ M:

為了將上面這些理論用于理解受對(duì)稱群G=U(1)保護(hù)的SPT, 亦即BIQH態(tài), 我們需要定義 U (1) 對(duì)稱操作.我們考慮 2 m?2 維的 BIQH, 體內(nèi)由包含 θ 項(xiàng)的 O (2m) NL σ M刻畫(huà).盡管選擇不唯一, 我們可以選擇如下的組合來(lái)定義一系列玻色子場(chǎng):

有了常見(jiàn)的玻色子場(chǎng), 我們就可以方便地把U(1)對(duì)稱操作定義為: b?→ eiξb?,?? , 其中 ξ ∈R 是不依賴于時(shí)空坐標(biāo)的群參數(shù).物理上, 我們可以將玻色子 b?理解為m個(gè)帶單位電荷的復(fù)標(biāo)量場(chǎng).由于n·n=1, 玻色子場(chǎng)也受到一個(gè)約束條件:有了對(duì)稱操作的定義之后, 我們需要施加 U (1) 電磁場(chǎng)A來(lái)探測(cè)SPT的拓?fù)漤憫?yīng)現(xiàn)象.對(duì)于 Sbdy的第一項(xiàng), 我們可以根據(jù)常用的“Peierls substitution”原則, 將其改寫(xiě)為:

其中, Dμ=?μ?iAμ是通常的協(xié)變導(dǎo)數(shù).對(duì)于WZ項(xiàng), gauge的過(guò)程需要新的思路.在WZ項(xiàng)里正確添加規(guī)范場(chǎng)之后可以得到新的拓?fù)漤?xiàng), 我們稱之為“gWZ項(xiàng)”(gauged WZ).由于體內(nèi)SPT是非平凡的, 邊界理論應(yīng)該不是 U (1) 規(guī)范不變的.由于Sbdy的第一項(xiàng)是規(guī)范不變的, 我們需要考察WZ項(xiàng)在規(guī)范變換下如何發(fā)生變化.文獻(xiàn)[163]指出, 在規(guī)范變換 b?→ eiξb?, A →A+dξ ( ξ 依賴于時(shí)空坐標(biāo))下, 正確的gWZ項(xiàng) SgWZ[n,A]應(yīng)作如下變化:

其中, δξSgWZ[A,ξ]表示gWZ項(xiàng)在規(guī)范變換下多出來(lái)的項(xiàng).多出來(lái)的這一項(xiàng)被要求只和A、 ξ 有關(guān), 與n無(wú)關(guān).

根據(jù)這個(gè)要求, 我們來(lái)推導(dǎo)正確的gWZ項(xiàng).首先, WZ項(xiàng)中的volume form可以分解為:ω3=J1∧K2+J2∧K1.其 中,J?=n2??1dn2??n2?dn2??1, K?=dn2??1∧ dn2?.在 規(guī) 范 變 換

b?→ eiξb?下, ω3的 改 變 量 δξω3是 一 個(gè) 全 微 分:因而,

為了抵消 δξSWZ[n], 我們添加一個(gè)抵消項(xiàng)(counter term):

規(guī)范變化使得 A →A+dξ , 從而抵消掉 δξSWZ[n].考慮了抵消項(xiàng)之后, 總的gWZ項(xiàng)變成:

但是, 規(guī)范變換同時(shí)也改變了 J1+J2( A3=2π2,我們發(fā)現(xiàn),加了抵消項(xiàng)之后, δξSgWZ[n,A]就不再依賴于 n , 只與 ξ 、A有關(guān).所以, (56)式是正確的gWZ作用量.為了計(jì)算體內(nèi)的拓?fù)漤憫?yīng)理論, 我們知道體內(nèi)的響應(yīng)作用量應(yīng)該是Chern-Simons理論.Chern-Simons理論在有邊界的時(shí)候不是規(guī)范不變的.在規(guī)范變換下, 體內(nèi)Chern-Simons理論多出來(lái)的項(xiàng)將會(huì)被邊界的gWZ多出來(lái)的項(xiàng)完全抵消.只有完全抵消, “體內(nèi)+邊界”作為整體才是一個(gè)自洽地、可以在格點(diǎn)上定義的局域模型.從而我們得到正確的體內(nèi)拓?fù)漤憫?yīng)理論:

以上是通過(guò)計(jì)算邊界的gWZ理論來(lái)確定體內(nèi)的拓?fù)漤憫?yīng)理論.對(duì)于更高維度(所有偶數(shù)實(shí)空間)的BIQH, 我們需要添加更多抵消項(xiàng)才能得到正確的gWZ作用量, 進(jìn)而得到體內(nèi)Chern-Simons理論(A∧dA∧dA···)的正確的系數(shù).

5 總結(jié)與展望

本文簡(jiǎn)要回顧了SPT、iTO和SET的規(guī)范場(chǎng)論的研究進(jìn)展, 包括“投影構(gòu)造理論”、“低能有效理論”和“拓?fù)漤憫?yīng)理論”三方面的內(nèi)容.本文僅討論了玻色系統(tǒng), 費(fèi)米系統(tǒng)具有更加復(fù)雜的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和豐富的物理現(xiàn)象, 見(jiàn)最近的費(fèi)米子SPT的分類(lèi)進(jìn)展[221].另外, 對(duì)于高對(duì)稱性(higher symmetry)/高形式對(duì)稱性(higher-form symmetry)保護(hù)的SPT也是一個(gè)非常有趣的方向[222].

作者特別感謝下列合作者在強(qiáng)關(guān)聯(lián)物理和拓?fù)湮锢矸矫娴挠懻? 翁征宇、田矗舜、祁曉亮、張龍、王晴睿、馬遙、劉朝星、文小剛、王浚帆(Juven Wang)、劉正鑫、梅佳偉、顧正澄、Eduardo H.Fradkin、Taylor L.Hughes、Joseph Maciejko、Matthew Lapa、簡(jiǎn)超明、寧上強(qiáng)、程蒙、王宇軒、陳伯安 (AtMa Pak On Chan)、Shinsei Ryu(笠真生)、王華嘉、韓博、溫學(xué)達(dá)、Apoorv Tiwari、何歡、鄭云欽等.本文的寫(xiě)作也得益于國(guó)家自然科學(xué)基金委員會(huì)資助(批準(zhǔn)號(hào):11847608)的中山大學(xué)理論物理講習(xí)班(2019.11)的所有專家?guī)?lái)的精彩紛呈的課程, 在此一并致謝!