朱存遠(yuǎn) 李朝剛 方泉 汪茂勝 彭雪城 黃萬(wàn)霞2)?

1) (安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院, 蕪湖 241002)

2) (復(fù)旦大學(xué), 應(yīng)用表面物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 上海 200433)

盡管耦合模理論在過(guò)去幾十年內(nèi)已經(jīng)被廣泛研究, 但它的理論來(lái)源還是困擾著廣大研究者.在這里, 基于久期微擾理論, 將經(jīng)典彈簧振子模型退化為耦合模理論, 并將該理論用于解釋音叉耦合的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.研究表明這種方法將耦合模理論中每一項(xiàng)的系數(shù)都與經(jīng)典力學(xué)中的相關(guān)物理量建立關(guān)聯(lián), 且理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得很好.該研究為耦合模理論中每一項(xiàng)的來(lái)源提供了一種較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)方法, 在線性耦合體系的理論研究方面有一定的指導(dǎo)意義.

1 引 言

振動(dòng)是物質(zhì)最基本的運(yùn)動(dòng)形式, 包括聲波、機(jī)械波、電磁波等.最初從樂器、時(shí)鐘單擺等研究振動(dòng)的基本規(guī)律, 工業(yè)革命時(shí)蒸汽機(jī)、內(nèi)燃機(jī)的研究進(jìn)一步推動(dòng)了振動(dòng)的發(fā)展, 到如今應(yīng)用到信號(hào)中的時(shí)頻傅里葉變換, 研究原子、分子團(tuán)振動(dòng)拉曼散射光譜等等, 使對(duì)振動(dòng)的研究達(dá)到了前所未有的高度.不過(guò)對(duì)線性振動(dòng)和非線性振動(dòng)的研究直到19世紀(jì)后期才引起重視.其中被用來(lái)分析簡(jiǎn)諧振動(dòng)的彈簧振子模型是物理學(xué)中的經(jīng)典模型[1].因?yàn)閾碛袕V泛的適用性, 被應(yīng)用在各個(gè)領(lǐng)域, 特別是振子耦合[2,3]在微納光子學(xué)領(lǐng)域中產(chǎn)生了各種各樣的奇異現(xiàn)象, 例如振動(dòng)模式的耦合產(chǎn)生的透明現(xiàn)象[4]、Fano共振[5]和Rabi振蕩[6]等, 這些現(xiàn)象都可以用彈簧振子模型來(lái)解釋.

在光學(xué)中, 振子又稱為模式, 常用耦合模理論(coupled-mode theory, CMT)[7,8]來(lái)解釋兩個(gè)或多個(gè)模式之間相互作用.從19世紀(jì)50年代被人提出, 最初該理論僅用來(lái)解釋微波間的相互作用, 之后在眾多學(xué)者的研究下, 該理論被擴(kuò)展到了許多領(lǐng)域, 尤其在光學(xué)和電學(xué)中大放異彩.早在19世紀(jì)70年代, Marcuse[9]和 Snyder[10]就把耦合模理論擴(kuò)展到了光學(xué)波導(dǎo)領(lǐng)域, 并在理論上和模擬上都比先前的耦合公式具有更高的精確度[11].該理論已經(jīng)成功地應(yīng)用到光波導(dǎo)和光纖器件的模型和理論分析中, 如原子陣列中的光纖耦合[12]、鎖相激光陣列[13]、實(shí)現(xiàn)單向無(wú)反射光學(xué)超材料[14]、耦合腔陣列中的高階EP點(diǎn)[15]、Fano共振在光子學(xué)中的應(yīng)用[16]、絕熱控制拓?fù)淠芰哭D(zhuǎn)移[17]、納米尺度的光機(jī)械晶體中的可調(diào)光學(xué)延遲[18]等.該理論還被用來(lái)分析非線性介質(zhì)中的耦合現(xiàn)象, 例如調(diào)制不穩(wěn)定性[19]、波導(dǎo)器件中產(chǎn)生的諧波[20]等.

在近期, 耦合模理論被應(yīng)用到了電路分析中,由于波的耦合導(dǎo)致的誘導(dǎo)透明現(xiàn)象在電路中有著無(wú)線能量傳輸?shù)男路f應(yīng)用, 吸引了許多人的目光,得到了快速發(fā)展.誘導(dǎo)透明主要包括電磁誘導(dǎo)透明 (electromagnetically induced transparency,EIT)[21], 等離激元誘導(dǎo)透明[22]和光機(jī)械誘導(dǎo)透明[18],其本質(zhì)都是源于耦合出現(xiàn)的相干相消.2007年Kurs等[23]在充分研究EIT的基礎(chǔ)上, 認(rèn)為電路中也存在類似的透明現(xiàn)象, 以耦合模理論為基礎(chǔ), 建立了電路學(xué)的耦合理論模型, 并搭建了一個(gè)通過(guò)線圈耦合共振的能量無(wú)線傳輸系統(tǒng), 結(jié)果表明, 理論模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差在5%以內(nèi), 得到了能在2 m內(nèi)達(dá)到40%能量傳輸效率的無(wú)線傳輸系統(tǒng).說(shuō)明耦合模理論能夠精確地描述電路中的耦合現(xiàn)象, 將耦合模理論拓展到了電學(xué)領(lǐng)域中, 此后得到了迅速發(fā)展, 包括無(wú)線傳輸中產(chǎn)生的繼電效應(yīng)[24]、無(wú)輻射傳輸[25]、超材料耦合共振[26]等.

不難發(fā)現(xiàn), 彈簧振子模型和CMT理論都是研究模式的耦合, 那么兩者之間必然有一定的聯(lián)系,如何把彈簧振子模型的二階微分方程轉(zhuǎn)化到CMT理論的一階微分方程, 一直困惑著科研工作者.Haus[27]在《Waves and fields in optoelectronics》一書中, 用最簡(jiǎn)單的LC簡(jiǎn)諧振動(dòng)回路, 通過(guò)變量代換將二階微分方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程, 但由于是最簡(jiǎn)單的LC耦合回路, 不包含損耗項(xiàng)和輸入項(xiàng), 這些項(xiàng)他是通過(guò)定性分析加入的.從物理角度沒有任何問(wèn)題, 可是從數(shù)學(xué)角度還是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?在本文中, 先建立耦合體系的彈簧振子模型的動(dòng)力學(xué)方程, 再利用久期微擾理論, 將二階的彈簧振子模型簡(jiǎn)化為一階的CMT的動(dòng)力學(xué)方程, 并且損耗項(xiàng)和輸入項(xiàng)自然包含在方程中, 物理意義更清楚.最后用音叉耦合實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證CMT理論, 結(jié)果表明理論和實(shí)驗(yàn)符合得很好.該方法為振動(dòng)耦合體系的理論研究提供了一定的指導(dǎo)意義.

2 從彈簧振子模型到CMT

不失普遍性, 在此從兩個(gè)音叉耦合體系入手建立彈簧振子模型.兩個(gè)音叉用勁度系數(shù)為k的彈簧連接, 設(shè) m1和 m2分別為兩個(gè)音叉的等效質(zhì)量,和分別為兩音叉的橫向位移, γ1和 γ2為音叉的阻尼系數(shù), ω1, ω2分別是兩個(gè)音叉的固有頻率,表示為外來(lái)的周期性驅(qū)動(dòng)力,為源頻率.其原理圖如圖1(a)所示.該耦合體系的動(dòng)力學(xué)方程為[1]

(1)式和(2)式組成一個(gè)二階微分方程組, 忽略阻尼項(xiàng)(即損耗項(xiàng)), 可以得到其解析的近似解[28],但是阻尼項(xiàng)包含很多重要的信息和功能.Haus[27]在Waves and Fields in Optoelectronics一書中,將最簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的二階微分方程拆成兩個(gè)一階微分方程, 然后通過(guò)線性組合的方法將兩個(gè)一階微分方程合成一個(gè)一階微分方程, 其他的損耗項(xiàng)和輸入項(xiàng)都是通過(guò)定性分析引入的.在此, 我們基于非線性方程中的久期微擾理論[29], 從彈簧振子模型的二階微分方程出發(fā), 嚴(yán)格求出CMT.為了求解的方便, 令 m1=m2=m , 選 ω0為頻率參考點(diǎn),則因此一般 為 了 討 論 方 便, 取 ω0?min(ω1,ω2) ,分別是每個(gè)音叉的固有頻率和頻率參考點(diǎn)的平方差, 描述的是參考點(diǎn)頻率與音叉固有頻率的頻率失諧相關(guān)量.為了使方程組具有普適性和簡(jiǎn)化計(jì)算,進(jìn)一步進(jìn)行無(wú)量綱化, 令方程(1)和(2)可以改寫為:

圖1 雙模耦合體系的相關(guān)參數(shù)示意圖 (a) 彈簧振子模型; (b) CMT 模型Fig.1.Parameters’ sketch of two-mode coupled system: (a) Spring oscillator model; (b) CMT model.

將相對(duì)平衡位置的位移 x1, x2對(duì)小量 ε 做展開, 設(shè)試探解為[29]

其中 j =1,2 , i2=?1 , c.c.表示對(duì)前一項(xiàng)取共軛復(fù)數(shù), T =εt 是時(shí)間慢變量, 分離出隨時(shí)間周期變化的項(xiàng)之后, 余下的項(xiàng)為隨時(shí)間緩慢變化的復(fù)振幅A(T)和更高階小量.將(7)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

其中 j =1,2.將(7)和(8)式代入(5)式可得

同理可得

(10)式和(11)式右手邊正比于 eit的項(xiàng)稱為久期項(xiàng),作用相當(dāng)于力, 在驅(qū)動(dòng)左邊簡(jiǎn)單線性諧振子在它共振頻率處共振, 所有久期項(xiàng)必須消失, 以便微擾糾正不會(huì)發(fā)散[29].因?yàn)榫闷陧?xiàng)如果不為 0, 振子將做受迫振動(dòng), 振幅會(huì)逐漸增大, 這與是高階小量的題設(shè)相矛盾.當(dāng)久期項(xiàng)為0后, 得到慢變振幅的方程, 即

根據(jù)前面的推導(dǎo), 并考慮到 ω =1+?ε , ε β1= α1,則 (13) 式簡(jiǎn)化為

將(15)式代入(14)式, 得到

同理也可以得到

方程組(18)是描述模式耦合的一階常微分方程組.其中方程(18)的右邊表示外界驅(qū)動(dòng)信號(hào)源的貢獻(xiàn),類 比 于 Haus[27]在 Waves and Fields in Optoelectronics中的表示方法, 外界輸入信號(hào)改寫為其中表示輸入端口I, 在 此 表 示 驅(qū) 動(dòng) 信 號(hào) 源 的 輸 入 端, γej( j =1,2 )表示為第I個(gè)輸入端口與第j個(gè)振子的耦合系數(shù),它為第j個(gè)振子除內(nèi)部吸收損耗之外, 由于其他方式耗散功的外部損耗率, 例如電路中由導(dǎo)線傳輸?shù)捷敵龆丝诘膿p耗率.一般來(lái)說(shuō)第j個(gè)振子與輸入端口的耦合系數(shù)和第j個(gè)振子與輸出端口的耦合系數(shù)相等[8,9,27], 此處不做區(qū)分, 統(tǒng)一寫成 γej.為振子的總損耗, 取 γj/(2m)≡ γej+γoj,(j=1,2) ,其中 γoj表示為第j個(gè)振子的吸收損耗率, 例如電路中的歐姆損耗率以及微納光子學(xué)中金屬的內(nèi)部吸收損耗率等.另外, 設(shè) κ =k/(2mω0) 為耦合體系的交叉耦合系數(shù).去掉方程組(18)中變量的“~”,因此, 方程組(18)改寫為

方程組(19)是標(biāo)準(zhǔn)的CMT的兩個(gè)動(dòng)力學(xué)方程[29],輸出端口方程為

設(shè)x1(t)=x10eiωt,x2(t)=x20eiωt, 代 入 方 程(19)可得

同上述解法類似, 同理解得

將(22)式代入(20)式可得

為了更好地描述音叉耦合系統(tǒng)的輸出結(jié)果, 定義ζ為音叉耦合體系的傳輸效率

(24)式描述了雙模耦合體系的強(qiáng)度譜, 即為雙模CMT的傳輸公式.當(dāng)兩個(gè)音叉沒有耦合時(shí), 即κ=0, (24)式變?yōu)槿缦?/p>

(25)式描述了單模體系的強(qiáng)度譜, 即為單模CMT的傳輸公式.

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證推導(dǎo)的CMT公式(24)式和(25)式的正確性, 搭建了兩音叉耦合實(shí)驗(yàn)裝置, 裝置圖如圖2(a)所示.兩個(gè)用來(lái)輸入、輸出信號(hào)的HZDH4615受迫振動(dòng)與共振實(shí)驗(yàn)儀(用R1, R2表示)和兩個(gè)帶有音叉的FD-VR-A受迫振動(dòng)與共振實(shí)驗(yàn)儀(用F1, F2表示)用三根傳輸線連接, 兩個(gè)音叉間用兩根彈簧連接, 并用小磁鐵將彈簧的連接端固定在音叉臂, 為了匹配音叉兩臂上的質(zhì)量, 在二音叉的外側(cè)音叉臂于相同的位置放置了同一規(guī)格的兩塊小磁鐵.實(shí)驗(yàn)裝置原理圖如圖2(b)所示, 單個(gè)振動(dòng)的音叉可視為受迫振動(dòng)的諧振子, 通過(guò)彈簧連接的兩個(gè)音叉可視為耦合的諧振子.R1產(chǎn)生驅(qū)動(dòng)信號(hào)并把信號(hào)輸入給F1的輸入端, F1輸入端接有一線圈, 線圈會(huì)隨著驅(qū)動(dòng)信號(hào)的交變電流產(chǎn)生變化的磁場(chǎng), 驅(qū)動(dòng)音叉F1的一個(gè)臂振動(dòng), 由于音叉一個(gè)臂振動(dòng), 另一個(gè)與彈簧相連的臂就同步反方向振動(dòng),并通過(guò)彈簧把機(jī)械振動(dòng)傳送給F2, F2在振動(dòng)后又會(huì)通過(guò)彈簧反過(guò)來(lái)作用于F1, 音叉F1受到兩個(gè)方面的作用, 一個(gè)是驅(qū)動(dòng)信號(hào), 另一個(gè)是音叉 F2, 當(dāng)這兩個(gè)作用正好反相位時(shí), 出現(xiàn)干涉相消, 從而使R1測(cè)量的振幅譜中出現(xiàn)一個(gè)谷, 即一個(gè)振幅峰因耦合劈裂成兩個(gè)振幅峰.

為了系統(tǒng)地研究耦合音叉的屬性, 首先分別測(cè)量了音叉F1和F2單獨(dú)存在時(shí)的振幅譜(測(cè)量無(wú)耦合的實(shí)驗(yàn)裝置比較簡(jiǎn)單, 在此就不贅述了), 如圖2(c)所示, 其中紫色圓圈表示音叉F1的實(shí)驗(yàn)測(cè)量譜, 紅色五角星表示音叉F2的實(shí)驗(yàn)測(cè)量譜.從圖中可以看出, F1 的共振頻率 f1= 243.5 Hz,F2 的共振頻率 f2= 243.8 Hz.音叉的品質(zhì)因子一般定義為

其中 j =1,2 , 其 中 ? f 為強(qiáng) 度 譜 的 半 高 寬, 基 于(26)式, 計(jì)算出音叉F1和F2的振幅譜的品質(zhì)因子分別為304.3和325.1.根據(jù)(25)式對(duì)兩個(gè)實(shí)驗(yàn)譜進(jìn)行擬合, 在圖2(c)中深紫色實(shí)線為F1的擬合譜, 紅色虛線為F2的擬合譜.其中擬合參數(shù)分別為ge1= 0.198 × 2π Hz, go1= 0.2 × 2π Hz, w1= 243.5×2π Hz, ge2= 0.182 × 2π Hz, go2= 0.18 × 2π Hz, w2=243.85 × 2π Hz.因此無(wú)耦合理論中的圓頻率與音叉共振圓頻率相對(duì)應(yīng).從圖2(c)中可以看出實(shí)驗(yàn)和理論符合得很好.誤差來(lái)源于兩個(gè)方面, 一方面,實(shí)驗(yàn)中無(wú)法避免的誤差, 如接觸損耗、傳輸損耗、數(shù)值波動(dòng)和實(shí)驗(yàn)環(huán)境影響.另一方面, 是因?yàn)镃MT描述的是局域效應(yīng), 在遠(yuǎn)離共振位置時(shí)誤差增大.

圖2 (a) 兩音叉耦合實(shí)驗(yàn)裝置圖; (b) 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)工作原理的示意圖; (c) 音叉單獨(dú)振動(dòng)時(shí)的實(shí)驗(yàn)譜和擬合譜; (d) 雙音叉耦合下的實(shí)驗(yàn)譜和擬合譜Fig.2.(a) Experimental device diagram of our two tuning forks’ coupled system; (b) schematic diagram of the experiment system;(c) measured and fitted spectra of two tuning forks without coupling; (d) measured and fitted spectra of two tuning forks with coupling.

利用圖2(a)所示的實(shí)驗(yàn)裝置圖, 測(cè)量耦合體系的實(shí)驗(yàn)振幅譜, 結(jié)果如圖2(d)所示.對(duì)于這樣的耦合體系具有非線性現(xiàn)象[30], 即升頻和降頻譜線不一致的現(xiàn)象, 為此分別按照頻率由小到大和由大到小的測(cè)量方法, 記錄升頻(用F表示)和降頻(用R表示)兩組數(shù)據(jù), 其中綠色實(shí)心菱形為降頻時(shí)測(cè)得的實(shí)驗(yàn)譜, 橘色實(shí)心三角形為升頻時(shí)測(cè)得的實(shí)驗(yàn)譜.從圖2(d)的實(shí)驗(yàn)譜中可以看出, 相比于無(wú)耦合情況下單音叉振動(dòng)的單個(gè)峰, 在耦合情況下,由一個(gè)峰劈裂成兩個(gè)峰, 頻率較低的峰值較高, 在232.4 Hz 達(dá) 到 0.45, 頻 率 較 高 的 峰 值 略 低 , 在241.9 Hz 達(dá)到 0.3.在兩峰中間出現(xiàn)一個(gè)谷, 即在236.3 Hz時(shí)振幅幾乎為零, 此時(shí) F1不再振動(dòng),F2的反作用力和驅(qū)動(dòng)源相位差180°, 兩者作用在F1上的力大小相同方向相反.從圖2(d)中也可以看出, 升頻譜和降頻譜幾乎完全重合, 說(shuō)明該體系在該條件下給出的只有線性效應(yīng)(關(guān)于非線性的效應(yīng)我們后續(xù)會(huì)有相關(guān)文章專門研究).根據(jù)理論推導(dǎo)出的耦合下的效率公式(24)式, 對(duì)實(shí)驗(yàn)譜進(jìn)行擬合, 并繪出擬合譜, 如圖2(d)中紫色實(shí)線所示, 相關(guān)的擬合參數(shù)分別為: γe1=0.1× 2π Hz,γo1=0.57× 2π Hz, ω1=238.5× 2π Hz, γe2=0.245×2π Hz, γo2=0.4×2πHz , ω2=236.4× 2π Hz, κ=4.8×2π Hz.理論和實(shí)驗(yàn)符合得很好, 其中誤差主要來(lái)源于實(shí)驗(yàn)誤差和CMT是一個(gè)局域效應(yīng).相比于無(wú)耦合情況下的單音叉在243.8和243.5 Hz的振動(dòng)峰, 耦合下的峰值都明顯降低, 頻率也明顯向低頻移動(dòng); 同時(shí)兩個(gè)模式的內(nèi)部吸收損耗明顯變大, 為無(wú)耦合時(shí)內(nèi)部吸收損耗的兩倍以上.對(duì)于音叉受迫振動(dòng)的體系, 其周期的平方與音叉質(zhì)量成正比.相對(duì)于無(wú)耦合體系, 耦合體系增加了固定彈簧的四片小磁鐵和兩根彈簧, 它們都是有一定質(zhì)量的, 導(dǎo)致耦合體系的兩個(gè)音叉的固有頻率減小, 同時(shí)阻尼損耗等內(nèi)部吸收損耗也相應(yīng)增大.

4 總 結(jié)

在本文中, 首先利用久期微擾理論, 對(duì)彈簧振子模型的二階微分方程進(jìn)行了理論研究, 研究結(jié)果表明, 二階微分方程自動(dòng)退化為包含損耗項(xiàng)和輸入項(xiàng)的一階微分方程, 即CMT, 并且這種方法使得CMT中每一項(xiàng)系數(shù)的物理意義更清晰明了.隨后為了驗(yàn)證理論的正確性, 實(shí)驗(yàn)上和理論上研究了彈簧連接的音叉耦合受迫振動(dòng)系統(tǒng), 研究結(jié)果表明理論和實(shí)驗(yàn)符合得很好.該研究為CMT推廣到機(jī)械振動(dòng)體系提供了一種方案, 在設(shè)計(jì)機(jī)械振動(dòng)耦合體系方面具有一定的指導(dǎo)意義.