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        梳理“不等” 整合“類比”

        2020-04-30 05:16:30文楊紅萍
        初中生世界 2020年11期
        關(guān)鍵詞:不等號(hào)數(shù)軸字母

        文楊紅萍

        方程、不等式和函數(shù)是初中代數(shù)的“鐵三角”。對(duì)于方程和不等式的學(xué)習(xí),我們通常采用類比的方法。很多同學(xué)礙于不等式的“不等”關(guān)系,對(duì)它望而卻步。其實(shí)我們?cè)谔幚聿坏仁綍r(shí),只要抓住它的本質(zhì)特征,區(qū)分類型,逐一攻破,就能達(dá)到事半功倍的效果。本文結(jié)合一元一次不等式(組)的考點(diǎn)特征,進(jìn)行分析探究。

        一、基本性質(zhì)

        例1 若a<b,則下列結(jié)論不一定成立的是( )。

        【分析】本題可以從不等式的基本性質(zhì)入手,結(jié)合條件進(jìn)行變形,作出正確的判斷。

        【解析】在不等式a<b的兩邊同時(shí)減去1,或兩邊同時(shí)乘2,不等號(hào)方向不變;在不等式a<b的兩邊同時(shí)乘

        【點(diǎn)評(píng)】遇到有關(guān)考查不等式的基本性質(zhì)的問(wèn)題時(shí),我們必須學(xué)會(huì)判斷以下兩個(gè)點(diǎn):(1)在不等式的兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),一定要改變不等號(hào)的方向;(2)當(dāng)不等式的兩邊要乘(或除以)含有字母的數(shù)時(shí),一定要對(duì)字母是否大于0 進(jìn)行分類討論。

        二、不等式(組)的解集的概念、解法及解集表示

        1.不等式(組)的解集的概念。

        例2 已知x=4 是不等式ax-3a-1<0 的解,x=2 不是不等式ax-3a-1<0 的解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______。

        【分析】根據(jù)x=4 是不等式ax-3a-1<0 的解,說(shuō)明 將x=4 代 入時(shí)“<”成立;根據(jù)x=2 不是不等式ax-3a-1<0 的解,說(shuō)明x=2 代入時(shí),需要將“<”轉(zhuǎn)變?yōu)椤啊荨薄?/p>

        【解析】∵x=4 是不等式ax-3a-1<0的解,

        ∴4a-3a-1<0,解得:a<1。

        ∵x=2不是這個(gè)不等式的解,

        ∴2a-3a-1≥0,解得:a≤-1,

        ∴a≤-1。

        【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于不等式的解的概念類問(wèn)題,我們必須牢牢抓住不等式的解的定義,即能使不等式成立的未知數(shù)的值,從中尋找突破口,進(jìn)而得到有關(guān)的不等關(guān)系。

        2.不等式組的解法及解集的數(shù)軸表示。

        例3 解不等式組并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)。

        【分析】分別求出不等式組中兩個(gè)不等式的解集,找出解集的公共部分即可。

        【解析】

        由①得:x≤1,

        由②得:x>-1,

        ∴不等式組的解集為-1<x≤1。

        【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于求不等式組的解集類問(wèn)題,我們有兩類方法去處理。

        (1)借助數(shù)軸,把各個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái),其公共部分就是不等式組的解集。在這個(gè)過(guò)程中,我們需要注意一些細(xì)節(jié),如在表示解集時(shí)“≥”“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示,“<”“>”要用空心圓點(diǎn)表示。

        (2)利用口訣“同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小是無(wú)解”求解。

        三、由一元一次不等式(組)的解集求參數(shù)

        例4 已知關(guān)于x的不等式組

        {x>2a- 3

        2x≥3(x- 2) + 5 僅有三個(gè)整數(shù)解,則a的取值范圍是( )。

        【分析】分別求每個(gè)不等式的解集,再利用口訣求出不等式組的解集,最后利用僅有的三個(gè)整數(shù)解列出不等式求解。

        【解析】由題知:2a-3<x≤1。

        ∵關(guān)于x的不等式組僅有三個(gè)整數(shù)解,

        ∴-2≤2a-3<-1,

        【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于“倒推型”問(wèn)題,我們可以按照這樣的步驟來(lái)操作:(1)分別求出各不等式的解;(2)借助數(shù)軸分析不等式(組)的解集;(3)構(gòu)造關(guān)于待定字母的方程或不等式(組),并且思考分析,構(gòu)造不等式(組)時(shí)是否包含臨界值。

        四、一元一次不等式(組)的實(shí)際應(yīng)用

        例5 某品牌自行車進(jìn)價(jià)為每輛800 元,標(biāo)價(jià)為每輛1200 元。店慶期間,商場(chǎng)為了答謝顧客,進(jìn)行打折促銷活動(dòng),但是要保證利潤(rùn)率不低于5%,則最多可打 折。

        【分析】設(shè)該自行車能打x 折,則根據(jù)利潤(rùn)率不低于5%,得出不等式,解出解集即可。

        【解析】設(shè)該自行車能打x 折,由題意得:

        解得:x≥7,即最多可打7折。

        【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于一元一次不等式應(yīng)用型問(wèn)題的處理,最為關(guān)鍵的點(diǎn)是能夠建模,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,然后利用一元一次不等式(組)解答。所以,這時(shí)候我們可以類比方程,首先找到題目中所隱含的不等關(guān)系,并且區(qū)分已知量和未知量,一般應(yīng)緊緊抓住題中含有“至少”(≥)、“最大”(≤)、“不超過(guò)”(≤)、“不低于”(≥)、“不小于”(≥)、“不大于”(≤)等關(guān)鍵詞,列出不等式進(jìn)而求解。

        總之,大家在處理有關(guān)一元一次不等式(組)的問(wèn)題時(shí),應(yīng)充分抓住題目中所包含的不等關(guān)系,然后利用不等式的兩個(gè)基本性質(zhì)、四種基本的解集類型去尋找突破口。雖然“不等關(guān)系”難以理解,但我們可以類比方程,并且借助“數(shù)軸”這一個(gè)有力工具來(lái)求解。相信大家只要敢于嘗試,勤于思考,一定能理出一套屬于自己的解決不等式(組)問(wèn)題的思路來(lái)。

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