文楊 丹

方程與不等式是初中數(shù)學(xué)代數(shù)部分的基礎(chǔ)知識(shí)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)和解決其他問題中的數(shù)量關(guān)系的常用工具，也是歷年中考的考查重點(diǎn)?，F(xiàn)將中考試卷上的典型錯(cuò)解進(jìn)行歸納剖析，以供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考。

一、方程中的典型錯(cuò)解

例1 （2019·山東聊城）若關(guān)于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（ ）。

【典型錯(cuò)解】B。如果是填空題，還會(huì)出現(xiàn)k≥0，或或k＞0等錯(cuò)解。

【錯(cuò)因分析】1.對(duì)一元二次方程的定義理解不夠透徹。一元二次方程的定義有三個(gè)要求：（1）只含有一個(gè)未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)為2；（3）整式方程。錯(cuò)解將“未知數(shù)的最高次數(shù)為2”理解成只要出現(xiàn)二次項(xiàng)即可，而非“二次項(xiàng)系數(shù)不為0”。

2.將一元二次方程有實(shí)數(shù)根理解成一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，于是得到Δ＞0導(dǎo)致錯(cuò)解。

3.求根的判別式時(shí)，將Δ 中的b2-4ac理解成一元二次方程的左邊的二次項(xiàng)系數(shù)為a，一次項(xiàng)系數(shù)為b，常數(shù)項(xiàng)為c，而非一元二次方程的一般式中的a、b、c，從而導(dǎo)致錯(cuò)解。

【正確解法】（k-2）x2-2kx+k-6=0，由題意得

【溫馨提示】1.條件“一元二次方程”表示a≠0。

2.一元二次方程的根的情況需看仔細(xì)，不同根的情況得到的根的判別式是不一樣的。

3.遇到一元二次方程根的問題應(yīng)先將一元二次方程化為一般式，且系數(shù)為整數(shù)，這樣無論解一元二次方程還是求根的判別式，計(jì)算時(shí)方便且不易出錯(cuò)。

例2 （2019·江蘇宿遷）關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則a的取值范圍為______。

【典型錯(cuò)解】a＜5。

【錯(cuò)因分析】根據(jù)條件x＞0，求a的取值范圍，僅關(guān)注條件“解是正數(shù)”，忽視了若x的取值使得原分式方程中的分母為零，即為增根的情況。因此還必須考慮分式方程中分式有意義，要滿足x≠2。

【正確解法】解得x=5-a，

【溫馨提示】已知分式方程的解的范圍求字母系數(shù)的取值范圍，要全面考慮分式方程的解，謹(jǐn)防忽略解為增根的情況。

二、不等式中的典型錯(cuò)解

【典型錯(cuò)解】A。

【錯(cuò)因分析】1.解不等式組出現(xiàn)問題，由于題目簡(jiǎn)單而跳步驟導(dǎo)致出錯(cuò)。

2.不等式兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向沒有改變導(dǎo)致出錯(cuò)。

3.用數(shù)軸表示解集時(shí)出錯(cuò)。

【正確解法】解集為-6＜x≤13。正確答案選B。

【溫馨提示】1.解不等式時(shí)，將x放在未知數(shù)系數(shù)大的一邊，則系數(shù)化為1 時(shí)不會(huì)出現(xiàn)兩邊除以負(fù)數(shù)的情況。

2.不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法：“＜”“≤”向左畫，“＞”“≥”向右畫，“≤”“≥”畫實(shí)心點(diǎn)，“＜”“＞”畫空心圓。

例4 （2018·江蘇無錫）若關(guān)于x的不等式3x+m≥0有且僅有兩個(gè)負(fù)整數(shù)解，則m的取值范圍是（ ）。

A.6≤m≤9 B.6＜m＜9

C.6＜m≤9 D.6≤m＜9

【典型錯(cuò)解】B。

【錯(cuò)因分析】不等式的解集x有且僅有兩個(gè)負(fù)整數(shù)解，得到負(fù)整數(shù)解為-2，-1，所以應(yīng)該在-3 和-2 之間，即-3＜，忽略了能否取到端點(diǎn)-3和-2，導(dǎo)致出錯(cuò)。

【溫馨提示】求解不等式（組）中字母的取值范圍的問題時(shí)，可以借助數(shù)軸確定字母的取值范圍。我們將分界點(diǎn)代入解集，判斷分界點(diǎn)這個(gè)特殊值能否取到，這也是解決這類題型的妙招。