■錢德春

一、問題的由來

筆者發(fā)現(xiàn)：一些初中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)書和測(cè)試卷中頻頻出現(xiàn)“非負(fù)整數(shù)”這個(gè)名詞。如某測(cè)試卷中有這樣的題：

非負(fù)整數(shù)集合：{ …}。

教材中本無“非負(fù)整數(shù)”概念，教師為了應(yīng)對(duì)諸如此類教輔練習(xí)和各種測(cè)試，只能在教學(xué)中補(bǔ)充“非負(fù)整數(shù)”這個(gè)概念，但效果適得其反。如不少學(xué)生將除“-3”外的所有數(shù)都填入了集合，這顯然有違試題本意。此時(shí)教師還需要花大力氣糾正：“非負(fù)整數(shù)，非負(fù)——整數(shù)，即不是負(fù)數(shù)的整數(shù)”，這給教與學(xué)帶來了額外的負(fù)擔(dān)。前不久，某QQ群針對(duì)“非負(fù)整數(shù)”概念進(jìn)行了激烈的爭(zhēng)論。

本文擬通過學(xué)生認(rèn)知錯(cuò)誤和教師爭(zhēng)議原因分析，對(duì)“非負(fù)整數(shù)”概念考證，談?wù)剬?duì)數(shù)學(xué)概念研究及教學(xué)的思考。

二、學(xué)生認(rèn)知錯(cuò)誤的原因探討

研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)“非負(fù)整數(shù)”理解產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因主要有兩個(gè)：一是生活化語言的影響?！胺秦?fù)整數(shù)”的本意是“非負(fù)的整數(shù)”，強(qiáng)調(diào)“非負(fù)”；而生活化語言的側(cè)重點(diǎn)在“非”字上，將“非負(fù)整數(shù)”理解為“非——負(fù)整數(shù)”。二是教學(xué)負(fù)遷移的影響。有理數(shù)中有“非負(fù)數(shù)”概念，“非負(fù)數(shù)”即“不是負(fù)數(shù)的數(shù)”，進(jìn)而機(jī)械類比得出“非負(fù)整數(shù)”即“不是負(fù)整數(shù)的數(shù)”，出現(xiàn)錯(cuò)誤就不足為奇了。

用集合論來解釋，問題就是將“非負(fù)整數(shù)”作為子集時(shí)，它的全集是什么。教師心中約定為“整數(shù)集”，故在整數(shù)“+5，0，-3”中去掉負(fù)整數(shù)“-3”；而學(xué)生所理解的全集是“題目所給的所有數(shù)（即有理數(shù)）”，故在所給的數(shù)中去掉負(fù)整數(shù)“-3”?？梢?，“‘非負(fù)整數(shù)’的全集是什么”是引起歧義的根源。

三、教師對(duì)“非負(fù)整數(shù)”的爭(zhēng)論

不少教師糾結(jié)于“非負(fù)整數(shù)”概念“要不要補(bǔ)充”“如何向?qū)W生解釋清楚”“規(guī)范的試卷會(huì)不會(huì)出現(xiàn)”等問題。筆者在某影響力較大的QQ教研群拋出了這樣的話題：請(qǐng)問對(duì)“非負(fù)整數(shù)”如何理解？立即引起了眾多數(shù)學(xué)教師、教研人員的關(guān)注和討論。主要觀點(diǎn)如下：

一種觀點(diǎn)認(rèn)為，“非負(fù)整數(shù)”只在教輔中出現(xiàn)，教材上沒有這個(gè)概念，甚至連“非負(fù)”都未提及。一是該名稱容易引起歧義。“非負(fù)整數(shù)”表示不是負(fù)整數(shù)？非負(fù)的整數(shù)？不是負(fù)整數(shù)的整數(shù)？“非負(fù)——整數(shù)”還是“非——負(fù)整數(shù)”？是不是靠語氣停頓來區(qū)分？如此有爭(zhēng)議的問題盡可能回避。二是學(xué)生認(rèn)知未到火候。正如對(duì)江蘇2017年高考應(yīng)用題中“沒入水中”的理解，命題者意圖為“浸入水中”，但不少考生則理解為“沒有進(jìn)入水中”。三是數(shù)學(xué)概念一般不用否定性語言來定義。

另一種觀點(diǎn)認(rèn)為，“非負(fù)整數(shù)”沒有歧義。一些版本教材有“非負(fù)數(shù)”與“非零數(shù)”的說法，如湘教版七年級(jí)上冊(cè)第3頁在第一章“有理數(shù)”的“相反意義的量”中，引入了“正數(shù)和負(fù)數(shù)”之后有這樣一段文字：“我們也把正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)”，說明引入“非負(fù)整數(shù)”也無不妥，學(xué)生能夠接受。誠然學(xué)生水平有差異，教育水準(zhǔn)也存有區(qū)域差異，要根據(jù)區(qū)域?qū)嶋H辯證地看待各版本教材，以“對(duì)”與“錯(cuò)”來評(píng)判會(huì)走向極端。

還有一種觀點(diǎn)認(rèn)為，“非負(fù)整數(shù)”屬于約定俗成，如左宗明教授認(rèn)為“這是一個(gè)約定，指正整數(shù)與0”。作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)，從學(xué)術(shù)上說有一種局限性。教學(xué)中要淡化形式、淡化概念，許多概念有時(shí)不必嚴(yán)格定義或不做定義。

由此可見：教師對(duì)“非負(fù)整數(shù)”名詞的認(rèn)識(shí)并不統(tǒng)一，存在一定的爭(zhēng)議。

四、“非負(fù)整數(shù)”概念考證

目前，各種版本中小學(xué)數(shù)學(xué)教材及中考數(shù)學(xué)試卷均未涉及“非負(fù)整數(shù)”概念。談到“非負(fù)整數(shù)”必然要聯(lián)系“自然數(shù)”。

事實(shí)上，從教學(xué)大綱、課程標(biāo)準(zhǔn)再到數(shù)學(xué)教材，“自然數(shù)”概念內(nèi)涵發(fā)生了變化。1998年版《中華萬有文庫教育卷·中學(xué)代數(shù)詞典》對(duì)“整數(shù)”的一種分類方式為：

這說明自然數(shù)就是正整數(shù)，而不包括0。2002年版《數(shù)學(xué)辭?！分械亩x是“非負(fù)整數(shù)（nonnegative integer）即‘自然數(shù)’”，“自然數(shù)（natural number）亦稱非負(fù)整數(shù)。”具體解釋是：“數(shù)系中最基本的一種數(shù)。即0，1，2，3…表示的數(shù)，它是從數(shù)數(shù)過程中產(chǎn)生的?！薄白匀粩?shù)集（set of natural numbers）一種特定的集合，指全體自然數(shù)的集合。”“在數(shù)學(xué)理論的發(fā)展中自然數(shù)集的定義并不包括0?！边@種定義與“自然數(shù)”的產(chǎn)生有關(guān)。在遠(yuǎn)古時(shí)代，人類在狩獵、捕魚、采集果實(shí)時(shí)是用藤條打結(jié)計(jì)數(shù)。比如捕獲1個(gè)獵物就打1個(gè)結(jié)，捕獲2個(gè)獵物就打2個(gè)結(jié)……這樣逐漸形成的數(shù)就是原始的“自然數(shù)”。顯然，自然數(shù)由若干個(gè)“1”組成。在他們看來，如果沒有收獲就“不打結(jié)”，也就“沒有數(shù)”，因此自然數(shù)就不包括“0”。用群里網(wǎng)友的話說：《數(shù)學(xué)辭?！返亩x說明“名可名，非常名”，“非負(fù)整數(shù)”定義有一定的依據(jù)，但并非常用的名稱。

1986年版《全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》明確要求“理解自然數(shù)和整數(shù)的意義”。1983年第一版、1987年再版的人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第八冊(cè)對(duì)“自然數(shù)”定義如下：“我們?cè)跀?shù)物體的時(shí)候，用來表示物體個(gè)數(shù)的1，2，3，4，5，6……叫做自然數(shù)”，并補(bǔ)充：“一個(gè)物體也沒有，就用0表示。0不是自然數(shù)。自然數(shù)和0都是整數(shù)。”教材還明確：“在講‘?dāng)?shù)的整除’時(shí)，我們所說的數(shù)，一般只指自然數(shù)，不包括0?！边@里，“非負(fù)整數(shù)”與“自然數(shù)”有本質(zhì)的區(qū)別。

“1993年開始的新國家標(biāo)準(zhǔn)定義自然數(shù)集N含0。這樣做一方面是為了推行國際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）制定的國際標(biāo)準(zhǔn)，以便與之早日相銜接；另一方面，0還是十進(jìn)位數(shù)字{0，1，2，…，}9中最小的數(shù)，有了0，減法運(yùn)算a-a仍屬于N，其中a∈N”。

2001年制定的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）在第二學(xué)段（4～6年級(jí)）具體目標(biāo)中只有“知道整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)”，沒有自然數(shù)的概念。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》除了上述要求外，明確要求“了解自然數(shù)、整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)（素）數(shù)和合數(shù)”。現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材均將“0”看作自然數(shù)。2018年人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)教材明確規(guī)定：“表示物體個(gè)數(shù)的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11……都是自然數(shù)，一個(gè)物體也沒有，用0表示，0也是自然數(shù)。最小的自然數(shù)是0?！边@樣，0和正整數(shù)統(tǒng)稱“自然數(shù)”，“非負(fù)整數(shù)”與“自然數(shù)”指向相同。

然而，無論是“教學(xué)大綱”、課程標(biāo)準(zhǔn)，還是中小學(xué)數(shù)學(xué)教材均沒有“非負(fù)整數(shù)”的概念。如蘇科版教材七年級(jí)上冊(cè)第2章“有理數(shù)”的正文和教材練習(xí)的“將數(shù)填入相應(yīng)集合”的問題，供填寫的集合只有“正數(shù)集合”“負(fù)數(shù)集合”“有理數(shù)集合”“無理數(shù)集合”等，沒有出現(xiàn)“非……”的文字表述。至于湘教版教材七年級(jí)上冊(cè)引入“非負(fù)數(shù)”這一概念，其教學(xué)參考書第5頁明確說明這“是為今后學(xué)習(xí)如何去掉|a|中的絕對(duì)值做準(zhǔn)備”，并非要求在“非負(fù)數(shù)”的概念上做文章。

由此可見，課程標(biāo)準(zhǔn)的制定和數(shù)學(xué)教材的編寫遵循了數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律而導(dǎo)致學(xué)生對(duì)“非負(fù)整數(shù)”的“模糊認(rèn)識(shí)”，則完全是人為改變教學(xué)內(nèi)容、拔高教學(xué)要求所致。

五、幾點(diǎn)思考

思考對(duì)“非負(fù)整數(shù)”的爭(zhēng)議問題，本質(zhì)上是數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)、教師素養(yǎng)與數(shù)學(xué)教育之間關(guān)系的問題。一些問題教師可以爭(zhēng)鳴，但教學(xué)要適度。數(shù)學(xué)教師必須具有一定的研究能力，提升自身專業(yè)素養(yǎng)，這是做好數(shù)學(xué)教學(xué)工作的前提；而數(shù)學(xué)教學(xué)要理解教材編寫意圖、把握學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)與結(jié)構(gòu)，將學(xué)術(shù)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為教育的數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)教學(xué)不能只關(guān)注知識(shí)，更要增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的理性精神。

1.學(xué)術(shù)的數(shù)學(xué)：要研究爭(zhēng)鳴，追本溯源。

從學(xué)術(shù)的角度來看，教師要潛心研究、相互探討甚至爭(zhēng)鳴。數(shù)學(xué)就是伴隨著爭(zhēng)論、爭(zhēng)議而發(fā)展的。如“無理數(shù)”之所以稱為“無理數(shù)”，是因?yàn)橄Ｅ了魉拱l(fā)現(xiàn)了這樣的數(shù)不能表示為兩個(gè)整數(shù)的比，挑戰(zhàn)了數(shù)學(xué)家們“任意兩個(gè)量都可以公度”的理論，認(rèn)為這是“毫無道理”的數(shù)，達(dá)·芬奇稱之為“無理的數(shù)”。但事實(shí)上像這樣的數(shù)是看得見、摸得著的數(shù)，最終得到了人們的承認(rèn)，從而使數(shù)學(xué)度過了第一次危機(jī)，并讓數(shù)學(xué)有了新的發(fā)展。就“自然數(shù)”而言，傳統(tǒng)教學(xué)大綱和教材指正整數(shù)。因此，為了便于表示“正整數(shù)和0”集合而給出“非負(fù)整數(shù)”概念在情理之中。但當(dāng)將0納入了自然數(shù)后，數(shù)的概念得到了發(fā)展，“非負(fù)整數(shù)”概念的存在價(jià)值就不大了。

作為數(shù)學(xué)教師，有必要了解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵及其發(fā)展，研究概念形成與變化的原因及其背后的數(shù)學(xué)文化。有時(shí)可通過爭(zhēng)論、爭(zhēng)辯和研討，弄清事物的本來面貌，直達(dá)問題的源頭和本質(zhì)，真正體現(xiàn)研究與求真的學(xué)術(shù)精神，提升自己的專業(yè)素養(yǎng)，讓自己的數(shù)學(xué)理解更加深刻，只有這樣教學(xué)才能高屋建瓴、居高臨下。

2.教育的數(shù)學(xué)：要尊重教材，基于認(rèn)知。

教學(xué)要將學(xué)術(shù)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為教育的數(shù)學(xué)，要尊重教材，基于學(xué)生認(rèn)知，在存在爭(zhēng)議的問題處理上要慎重。

一方面，數(shù)學(xué)教學(xué)要理解教材、尊重教材。我們提倡“用教材教而不是教教材”，教學(xué)不拘泥于教材，但前提是守住教學(xué)底線，不突破教學(xué)的邊界。另一方面，數(shù)學(xué)教學(xué)要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，把握學(xué)生的認(rèn)知能力，而不是灌輸機(jī)械的知識(shí)、晦澀難懂的概念甚至是已經(jīng)被取代的內(nèi)容，更不能人為拔高教學(xué)要求、設(shè)置理解的障礙。

以“非負(fù)整數(shù)”為例。重新定義“自然數(shù)”之后，“非負(fù)整數(shù)”就是“自然數(shù)”，這也是教材為什么不出現(xiàn)“非負(fù)整數(shù)”概念的原因所在。因此教學(xué)中不宜隨意補(bǔ)充，在數(shù)學(xué)命題中盡可能回避。還有些數(shù)學(xué)概念在不同階段有不同的表述與定義方式。如函數(shù)概念在初中階段是基于運(yùn)動(dòng)變化的描述性定義，側(cè)重變化與變量，旨在以形象、直觀的方式讓初中學(xué)生理解；而高中階段則是基于映射與對(duì)應(yīng)的定義，側(cè)重對(duì)應(yīng)和符號(hào)化，更加抽象、嚴(yán)謹(jǐn)，這適應(yīng)了高中學(xué)生更為抽象的思維能力。教學(xué)中要根據(jù)學(xué)生認(rèn)知，把握好教學(xué)要求，選擇適合的教學(xué)方法，讓學(xué)生認(rèn)知從“不嚴(yán)格”到“嚴(yán)格”，從“認(rèn)識(shí)”到“理解”，進(jìn)而達(dá)到深度理解。

3.文化的數(shù)學(xué)：要激發(fā)情感，體現(xiàn)價(jià)值。

現(xiàn)實(shí)中，許多學(xué)生學(xué)習(xí)了十幾年的數(shù)學(xué)，刷題之后，剩下的只有對(duì)數(shù)學(xué)的厭倦。他們感覺到數(shù)學(xué)只是枯燥的定義、法則、公式、定理的堆砌。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的價(jià)值不只是知識(shí)，還有文化和精神，漫長的數(shù)學(xué)發(fā)展史及這個(gè)過程中的思想方法和精神就是數(shù)學(xué)的文化。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)背后的文化。

特級(jí)教師孫維剛在聽“有理數(shù)”一節(jié)課時(shí)，有學(xué)生問：“‘有理’是有道理的意思，我不明白，整數(shù)和分?jǐn)?shù)這兩種數(shù)有什么道理呢？”老師回答：“這是數(shù)學(xué)上的規(guī)定，沒有為什么。”如此，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)除了機(jī)械記憶還有何興趣可言？孫維剛說：“科學(xué)上的任何規(guī)定都有‘為什么’，數(shù)學(xué)尤其如此，一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)為什么這么寫都有它的理由。世界上沒有‘沒有為什么’的事?！薄皩⒄麛?shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)”是翻譯上的一個(gè)差錯(cuò)。日本人將“rational number”錯(cuò)譯為“有理數(shù)”，我們又進(jìn)行了簡(jiǎn)單移植?！皉ational number”本意是指“可以表示為兩個(gè)整數(shù)比的數(shù)”。分?jǐn)?shù)是整數(shù)之比，如是4∶7，整數(shù)3是3∶1，所以整數(shù)和分?jǐn)?shù)總稱為“rational mumber”（有理數(shù)）。

如“數(shù)”的教學(xué)，可引導(dǎo)學(xué)生了解各種數(shù)如何產(chǎn)生，為何這樣定義，背后有何故事，有些數(shù)的概念為何變化，有理數(shù)為何稱為“有理數(shù)”，“無理數(shù)”真的“沒有道理”嗎，不同的數(shù)系之間有何關(guān)系，數(shù)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有何影響等。通過數(shù)學(xué)文化的熏陶，學(xué)生數(shù)學(xué)的情感必然會(huì)得到激發(fā)，對(duì)數(shù)學(xué)探究的興趣自然會(huì)增強(qiáng)，對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的認(rèn)識(shí)、對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的感悟能力也會(huì)大大增強(qiáng)，只有這樣，才能真正體現(xiàn)數(shù)學(xué)在教育中應(yīng)有的價(jià)值。