郭俊鋒，楊 文

（蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050）

1 引言

滾動(dòng)軸承作為機(jī)械設(shè)備中一種必不可少的通用零部件，其工作狀態(tài)直接影響著機(jī)械設(shè)備的正常運(yùn)行。滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)蘊(yùn)含著機(jī)械設(shè)備工作過程中的大量信息。傳統(tǒng)的以奈奎斯特采樣定理為基礎(chǔ)的振動(dòng)信號(hào)A/D檢測與采樣會(huì)產(chǎn)生巨量的監(jiān)測數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)對(duì)后續(xù)存儲(chǔ)、傳輸及處理形成了潛在的計(jì)算壓力。

壓縮感知理論[1]的出現(xiàn)為機(jī)械振動(dòng)信號(hào)檢測與采樣提供了新的思路，可以遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣率所要求的數(shù)據(jù)高概率重構(gòu)信號(hào)。目前對(duì)壓縮感知理論在機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的研究逐步深入，主要包括三個(gè)方面：振動(dòng)信號(hào)的稀疏表示、測量矩陣和重構(gòu)算法的設(shè)計(jì)[2]。信號(hào)的稀疏表示是實(shí)現(xiàn)壓縮感知理論的前提和基礎(chǔ)，選擇適合機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的稀疏域并獲得信號(hào)在稀疏域上的最稀疏表示就顯得尤為重要。近幾年，信號(hào)在過完被字典上的稀疏分解得到了廣泛關(guān)注。一些研究嘗試采用K-SVD算法[3]從樣本集合中學(xué)習(xí)訓(xùn)練得到過完備字典后對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏表示，進(jìn)而提高信號(hào)的壓縮重構(gòu)性能。K-SVD算法主要分三步實(shí)現(xiàn)：字典初始化、稀疏編碼和字典更新。文獻(xiàn)[4]針對(duì)K-SVD算法在字典更新過程中消耗時(shí)間較長的問題，從更新的字典原子列數(shù)出發(fā)對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)，并將其應(yīng)用于齒輪箱振動(dòng)信號(hào)，提高了算法的速率。文獻(xiàn)[5]基于K-SVD過完備字典對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行稀疏表示，與離散余弦過完備字典相比，在保證壓縮比的同時(shí)有更好的重構(gòu)性能，提高了算法的精度。文獻(xiàn)[4-5]分別從字典更新和稀疏編碼入手對(duì)K-SVD算法的重構(gòu)性能進(jìn)行了分析研究，較傳統(tǒng)K-SVD算法和DCT過完備字典，雖然改進(jìn)算法和KSVD過完備字典在一定程度上性能有所改善，但均未考慮樣本對(duì)字典學(xué)習(xí)算法、特征提取及故障識(shí)別方法的影響。

樣本是信號(hào)內(nèi)容詳細(xì)信息的表達(dá)，而在實(shí)際應(yīng)用中，用于訓(xùn)練過完備字典的樣本集合中只包含一種信號(hào)類型，對(duì)重構(gòu)信號(hào)的精確性和穩(wěn)定性影響較大。為了進(jìn)一步改進(jìn)信號(hào)的重構(gòu)性能和后續(xù)特征提取、故障識(shí)別的精度，采用多種形式的振動(dòng)信號(hào)構(gòu)造樣本，解決樣本集合中信號(hào)類型不足的問題，通過不同的樣本得到不同的字典學(xué)習(xí)結(jié)果。采用在數(shù)據(jù)樣本集合中隨機(jī)選取K個(gè)原子構(gòu)成初始字典的方式，研究K-SVD過完備字典完整訓(xùn)練樣本對(duì)滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)重構(gòu)性能的影響。首先構(gòu)造用于學(xué)習(xí)的樣本集合，使其盡可能多地包含各種信號(hào)成分；然后從所構(gòu)造的樣本集合中隨機(jī)選取K個(gè)原子作為初始字典，采用K-SVD算法對(duì)初始字典進(jìn)行訓(xùn)練更新得到過完備字典，獲得滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的最稀疏表示；最后利用高斯隨機(jī)測量矩陣對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行壓縮測量，基于壓縮測量數(shù)據(jù)采用OMP算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。并選用美國西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

2 壓縮感知基本框架

壓縮感知理論[6-8]是一種新的壓縮與采樣同時(shí)進(jìn)行的信號(hào)采集理論，其采樣過程，如圖1所示。由圖1可知：滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)f∈Rn在變換域Ψ上是稀疏的或可壓縮的，其線性投影的數(shù)學(xué)模型為：

圖1 壓縮感知理論框架Fig.1 The Theory Framework of Compression Sensing

式中：Φ∈Rm×n（m＜＜n）—測量矩陣；x—信號(hào) f在變換基 Ψ 上的稀疏表示系數(shù)；y∈Rm×1—測量數(shù)據(jù)；||x||0—稀疏系數(shù)中非零項(xiàng)的個(gè)數(shù)。

為了方便求解，當(dāng)信號(hào)本身或在某個(gè)變換域下具有稀疏性且測量矩陣滿足約束等距性（RIP）[9]時(shí)，可采用l1范數(shù)代替l0范數(shù)求解優(yōu)化問題。

目前上述優(yōu)化問題的求解方法主要有凸松弛算法和貪婪算法。凸松弛法所需采樣點(diǎn)數(shù)少，但計(jì)算復(fù)雜度較高，主要有基追蹤（BP）算法[10]；貪婪算法計(jì)算復(fù)雜度較低，但需要的測量數(shù)據(jù)多且精度較低，主要有匹配追蹤（MP）算法和正交匹配追蹤（OMP）算法。綜上所述，選用OMP算法[11]進(jìn)行振動(dòng)信號(hào)的重構(gòu)。

3 基于過完備字典完整訓(xùn)練樣本的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)壓縮重構(gòu)方法

3.1 基于K-SVD算法的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)過完備字典完整訓(xùn)練樣本設(shè)計(jì)

K-SVD算法是一種稀疏編碼和字典更新交替進(jìn)行的貪婪算法，其思想是使每個(gè)原子的重構(gòu)誤差在字典更新階段最小。根據(jù)K-SVD算法的實(shí)現(xiàn)步驟，采用從數(shù)據(jù)樣本集合Y中隨機(jī)選取K個(gè)原子作為初始字典的方式，從樣本集合中包含的信號(hào)類型出發(fā)對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)，分別構(gòu)造單一信號(hào)樣本集合、綜合信號(hào)樣本集合及單一故障信號(hào)樣本集合，通過構(gòu)造不同的樣本集合獲得不同的初始字典，從而獲得更適合于滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的字典。通過構(gòu)造3種包含不同信號(hào)類型的樣本集合，分析同一滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)在不同K-SVD過完備字典上的稀疏性，并研究滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)基于K-SVD過完備字典的重構(gòu)性能和不同樣本集合對(duì)信號(hào)重構(gòu)性能的影響。

3.2 基于過完備字典完整訓(xùn)練樣本的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)重構(gòu)方法的實(shí)現(xiàn)步驟

（1）選取美國西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)庫振動(dòng)數(shù)據(jù)，構(gòu)造不同的樣本集合Y。（2）隨機(jī)選取樣本集合Y中的K個(gè)原子作為初始字典D，基于K-SVD算法和OMP算法獲得最優(yōu)的過完備字典。（3）在K-SVD過完備字典上對(duì)滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)f進(jìn)行稀疏表示f=Dx。（4）選用高斯隨機(jī)矩陣作為觀測矩陣Φ，對(duì)n維信號(hào)f進(jìn)行投影得到m維壓縮測量數(shù)據(jù)y。（5）根據(jù)壓縮測量數(shù)據(jù)y采用OMP算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，并基于重構(gòu)信號(hào)分析信號(hào)重構(gòu)性能。

4 實(shí)驗(yàn)與分析

這里的所有實(shí)驗(yàn)均在MATLABR2014a進(jìn)行編程運(yùn)行，操作系統(tǒng)為Windows7。選用美國西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。該試驗(yàn)對(duì)象為深溝球軸承，軸承型號(hào)為6205-RSJEMSKF，信號(hào)采樣頻率為12KHz。該試驗(yàn)在軸承外圈、內(nèi)圈、滾動(dòng)體上分別布置了單點(diǎn)故障，故障直徑分別為0.007、0.014、0.021英寸（1英寸=2.54cm）。

4.1 樣本集合的構(gòu)造及其稀疏性分析

4.1.1 單一軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)樣本集合的構(gòu)造

首先選用故障負(fù)載為0HP（1HP=746W）、故障直徑為0.007英寸（即0.1778mm）的驅(qū)動(dòng)端外圈故障模式振動(dòng)數(shù)據(jù)OR007@6實(shí)現(xiàn)單信號(hào)樣本集合的構(gòu)造。由于該振動(dòng)信號(hào)是周期信號(hào)，為了訓(xùn)練字典的需要，故將信號(hào)進(jìn)行擴(kuò)展，選取0-512000采樣點(diǎn)作為單信號(hào)樣本集合Y1，然后從樣本集合Y1中選取K個(gè)原子作為初始字典D，并選取上述信號(hào)長度為512的外圈振動(dòng)數(shù)據(jù)作為測試信號(hào)。

4.1.2 綜合軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)樣本集合的構(gòu)造

針對(duì)上述單信號(hào)樣本集合Y1存在的問題，考慮構(gòu)造包含多種信號(hào)類型的綜合樣本集合Y2，其構(gòu)造方式如下：綜合軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)和類別，如表1所示。共包括正常、外圈、內(nèi)圈、滾動(dòng)體故障的10種故障數(shù)據(jù)類型中的29種信號(hào)（信號(hào)長度分別為25600），選取0-512000采樣點(diǎn)作為綜合信號(hào)樣本集合Y2，然后在綜合樣本集合Y2中隨機(jī)選取K個(gè)原子作為初始字典D。

表中：Normal—正常狀態(tài)；OR、IR、B—外圈、內(nèi)圈、滾動(dòng)體故障，其后的數(shù)字表示故障程度，@后表示故障點(diǎn)所處方位；DE—驅(qū)動(dòng)端數(shù)據(jù)；FE—風(fēng)扇端數(shù)據(jù)；BA—基座數(shù)據(jù)。

4.1.3 單一故障軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)樣本集合的構(gòu)造

為了使上述長度為512的外圈振動(dòng)測試信號(hào)基于過完備字典即有較好稀疏性又有較高的重構(gòu)精度，嘗試采用僅包含外圈故障的多種信號(hào)構(gòu)造單一故障樣本集合Y3，其構(gòu)造方式如下：表2為外圈單一故障軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)，故障直徑為0.007、0.014、0.021英寸的9種信號(hào)（信號(hào)長度為76800），選取0-512000采樣點(diǎn)作為單一故障樣本集合Y3。

表2 外圈故障數(shù)據(jù)名稱與類別Tab.2 The Name and Category of Outer Ring Fault Data

4.1.4 基于不同樣本集合的K-SVD過完備字典的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)稀疏性分析

首先基于上述3種樣本集合的構(gòu)造方式，構(gòu)造不同的樣本集合，然后確定K-SVD算法中的五大參數(shù)：初始字典原子個(gè)數(shù)K=600、原子長度n=512、樣本集合Y的原子個(gè)數(shù)N=1000、迭代次數(shù)J=10、稀疏表示振動(dòng)信號(hào)所需最多原子個(gè)數(shù)L=10，最后選取上述信號(hào)長度為512的外圈振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的稀疏性分析。其中，測試信號(hào)的時(shí)域波形，如圖2所示。

圖2 外圈振動(dòng)信號(hào)時(shí)域波形Fig.2 The Time Domain Waveform of Outer Ring Vibration Signal

將振動(dòng)信號(hào)在不同K-SVD過完備字典上進(jìn)行稀疏表示，采用OMP算法獲得振動(dòng)信號(hào)在過完備字典上的稀疏表示系數(shù)，迭代一定次數(shù)后對(duì)分解系數(shù)按絕對(duì)值降序排列后，如圖3所示。

從圖3可以看出經(jīng)過多次迭代后振動(dòng)信號(hào)在單一信號(hào)樣本集合訓(xùn)練所得K-SVD過完備字典上稀疏表示系數(shù)呈指數(shù)衰減，且在迭代106次時(shí)衰減為0。而在綜合信號(hào)和單一故障信號(hào)樣本集合訓(xùn)練所得K-SVD過完備字典上的稀疏性相對(duì)較差，但其稀疏表示系數(shù)按絕對(duì)值降序排列后也呈指數(shù)衰減。說明振動(dòng)信號(hào)在K-SVD訓(xùn)練所得過完備字典上稀疏性較好。

圖3 按絕對(duì)值降序排列后的分解系數(shù)Fig.3 The Descending Order Decomposition Coefficient According to Absolute Value

4.2 基于不同K-SVD過完備字典的振動(dòng)信號(hào)重構(gòu)誤差分析

采用相對(duì)誤差來衡量振動(dòng)信號(hào)的重構(gòu)性能，相對(duì)誤差是指振動(dòng)信號(hào)的絕對(duì)誤差與原始信號(hào)之比，其定義如下：

式中：σ—相對(duì)誤差；f—原始信號(hào)；f?—重構(gòu)信號(hào)。

相對(duì)誤差越小，說明重構(gòu)信號(hào)越接近原始信號(hào)，信號(hào)的重構(gòu)性能越好。本次實(shí)驗(yàn)依然采用上述同一振動(dòng)信號(hào)（OR007@6），KSVD算法中的參數(shù)設(shè)置不變，測量矩陣采用的高斯隨機(jī)矩陣，重構(gòu)算法采用OMP算法。圖4為OR007@6驅(qū)動(dòng)端振動(dòng)信號(hào)在不同樣本集合構(gòu)造方式下的重構(gòu)信號(hào)波形，其重構(gòu)誤差、重構(gòu)時(shí)間、K-SVD字典訓(xùn)練時(shí)間，如表3所示。

表3 不同樣本的重構(gòu)性能Tab.3 The Reconstruction Performance of Different Samples

從圖4和表3可以看出振動(dòng)信號(hào)在單一故障信號(hào)構(gòu)造的樣本集合基于K-SVD算法訓(xùn)練所得過完備字典的字典訓(xùn)練時(shí)間為35.428794s，重構(gòu)相對(duì)誤差為1.5905e-15，相比其他兩種樣本集合構(gòu)造所得過完備字典，其重構(gòu)信號(hào)更接近原始信號(hào)，重構(gòu)性能更好。故在后續(xù)實(shí)驗(yàn)中均采用單一故障信號(hào)構(gòu)造樣本集合訓(xùn)練獲得K-SVD過完備字典。根據(jù)單一故障樣本集合構(gòu)造方式，分別構(gòu)造正常、外圈、內(nèi)圈、滾動(dòng)體故障樣本集合，并基于K-SVD算法訓(xùn)練獲得對(duì)應(yīng)的過完備字典，分別選取故障負(fù)載為0HP、故障直徑為0.007英寸、信號(hào)長度為512的驅(qū)動(dòng)端數(shù)據(jù)Normal、OR007@6、IR007、B007作為測試信號(hào)，測試信號(hào)在不同過完備字典上的重構(gòu)誤差，如表4所示。

圖4 重構(gòu)信號(hào)波形Fig.4 The Waveform of Reconstruction Signal

表4 測試信號(hào)在不同過完備字典上的重構(gòu)誤差Tab.4 The Reconstruction Error of Test Signal Based on Different Over-Complete Dictionary

從表4可以看出，只有測試信號(hào)與過完備字典在同一故障狀態(tài)下時(shí)才有較高的重構(gòu)精度，意味著其他故障狀態(tài)下的信號(hào)不能在該字典上獲得最稀疏分解，這為后續(xù)故障診斷提供了新的思路。測試信號(hào)在對(duì)應(yīng)故障過完備字典上的重構(gòu)誤差、重構(gòu)時(shí)間及K-SVD字典訓(xùn)練時(shí)間，如表5所示。

表5 測試信號(hào)在對(duì)應(yīng)過完備字典上的重構(gòu)性能Tab.5 The Reconstruction Performance of Test Signal Based on Corresponding Over-Complete Dictionary

從表5可以看出，測試信號(hào)在對(duì)應(yīng)故障過完備字典的重構(gòu)性能較好，且基于單一故障數(shù)據(jù)構(gòu)造的樣本集合訓(xùn)練所得過完備字典的字典訓(xùn)練時(shí)間更短，重構(gòu)精度更高，重構(gòu)時(shí)間更短，進(jìn)一步驗(yàn)證了所提樣本構(gòu)造方法的有效性。

4.3 K-SVD過完備字典在不同采樣率下的重構(gòu)性能分析

為了分析滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)在不同采樣率δ=m/n（式中：m—壓縮測量信號(hào)長度；n—原始信號(hào)長度）下的重構(gòu)性能，以下進(jìn)行多組實(shí)驗(yàn)，K-SVD算法中的參數(shù)設(shè)置如下：初始字典原子個(gè)數(shù)K=600、原子長度n=512、樣本集合Y的原子個(gè)數(shù)N=1000、迭代次數(shù)J=10、稀疏表示振動(dòng)信號(hào)所需最多原子個(gè)數(shù)L=10。OR007@6驅(qū)動(dòng)端外圈振動(dòng)信號(hào)在采樣率為0.2-0.9范圍內(nèi)變化時(shí)的重構(gòu)誤差，如表6所示。

表6 不同采樣率下的重構(gòu)誤差Tab.6 The Reconstruction Error Under Different Sampling Rate

從表6中可以看出采用單一故障信號(hào)構(gòu)造樣本集合后基于K-SVD算法訓(xùn)練得過完備字典的重構(gòu)精度較高，當(dāng)采樣率為0.9時(shí)，重構(gòu)誤差為1.5103e-15，即采樣率越大時(shí)重構(gòu)誤差越小。但是這并不適用于表6所示的情況，如表6所示。當(dāng)采樣率為0.2、0.3時(shí)，其重構(gòu)誤差分別為1.5286e-15、1.5243e-15，即在較低采樣率時(shí)依然可以保證信號(hào)的重構(gòu)性能，這與壓縮感知理論的初衷一致，可以遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣頻率所要求的采樣點(diǎn)數(shù)精確重構(gòu)信號(hào)。為了進(jìn)一步驗(yàn)證單一故障信號(hào)樣本集合訓(xùn)練得到K-SVD過完備字典的重構(gòu)性能。OR007@6驅(qū)動(dòng)端外圈振動(dòng)信號(hào)在不同采樣率和樣本集合構(gòu)造方式下所得過完備字典的重構(gòu)曲線，如圖5所示。

圖5 不同采樣率和樣本集合下的重構(gòu)曲線Fig.5 The Reconstruction Curves Under Different Sampling Rate and Sample Set

從圖5可以看出：在不同采樣率下，單一故障信號(hào)樣本集合訓(xùn)練所得K-SVD過完備字典的重構(gòu)誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他2種樣本集合構(gòu)造方式下的重構(gòu)誤差，說明所提樣本構(gòu)造方法在不丟失原始信號(hào)主要信息的情況下，仍能保證信號(hào)具有較高的重構(gòu)精度。

5 結(jié)論

主要研究了K-SVD算法中樣本集合的構(gòu)造方式對(duì)信號(hào)重構(gòu)性能的影響，通過構(gòu)造單一振動(dòng)數(shù)據(jù)、綜合振動(dòng)數(shù)據(jù)以及單一故障數(shù)據(jù)三種樣本集合，將其應(yīng)用于滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)，分析了信號(hào)基于不同樣本訓(xùn)練所得過完備字典的稀疏性。

仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)采樣率不變時(shí)，單一信號(hào)樣本集合訓(xùn)練所得K-SVD過完備字典的稀疏性較好，但其重構(gòu)誤差相對(duì)較大，字典訓(xùn)練時(shí)間較長。綜合信號(hào)樣本集合訓(xùn)練所得K-SVD過完備字典的重構(gòu)誤差和字典訓(xùn)練時(shí)間居中。而單一故障信號(hào)樣本集合訓(xùn)練所得K-SVD過完備字典的重構(gòu)誤差非常小，且字典訓(xùn)練時(shí)間僅占其他兩種情況字典訓(xùn)練時(shí)間的29.64%和37.79%。綜上所述，單一故障信號(hào)樣本集合訓(xùn)練所得K-SVD過完備字典的重構(gòu)精度高、字典訓(xùn)練時(shí)間短、速度快，且在較低采樣率下依然可以較少的采樣點(diǎn)數(shù)高概率地重構(gòu)原始信號(hào)，非常適用于滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的恢復(fù)。