崔文喆，李寶毅，張永康

（天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津300387）

1 引言與主要結(jié)論

在常微分方程分岔理論中， Bogdanov-Takens 系統(tǒng)具有極其重要的地位，對(duì)于Bogdanov-Takens 系統(tǒng)的研究，詳見文獻(xiàn)[1-10].近年來，分段光滑微分系統(tǒng)在控制理論、 電子電路和機(jī)械工程等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用， 因此對(duì)于分段光滑微分系統(tǒng)極限環(huán)個(gè)數(shù)的研究成為一個(gè)熱門課題.對(duì)于二次等時(shí)系統(tǒng)S1、S2，當(dāng)平面分為上下2 個(gè)區(qū)域時(shí)，文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]分別證明了在二次多項(xiàng)式擾動(dòng)下，S1極限環(huán)個(gè)數(shù)的上確界屬于{4， 5}， S2極限環(huán)個(gè)數(shù)的上確界屬于{5， 6}， 此外， 文獻(xiàn)[12]還證明了當(dāng)平面分為上下2 個(gè)區(qū)域時(shí)，在n 次多項(xiàng)式擾動(dòng)下的二次可逆中心r19 和r20 極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界分別為 4n-3（n≥4）和 4n+3（n≥3）.文獻(xiàn)[13]證明了當(dāng)平面分為上下或左右2 個(gè)區(qū)域時(shí)， Liénard系統(tǒng)在分段多項(xiàng)式擾動(dòng)下極限環(huán)個(gè)數(shù)的上確界分別為（n≥1， m、n 分別為擾動(dòng)多項(xiàng)式的次數(shù)）.文獻(xiàn)[14]證明了在非連續(xù)（連續(xù)）分段一次、二次多項(xiàng)式擾動(dòng)下， 當(dāng)M1（h）0時(shí)， Bogdanov-Takens 系統(tǒng)極限環(huán)個(gè)數(shù)的上確界B2（n）（B2c（n））滿足2≤B2（1）≤3，5≤B2（2）≤7，B2c（1）= 1，3≤B2c（2）≤5.

本文將平面分為左右2 個(gè)區(qū)域，研究在分段n 次

2 一階Melnikov函數(shù)

3 一階Melnikov函數(shù)零點(diǎn)的估計(jì)