吳嘉欣，張 懿，魏海峰，田會峰，丁桃寶

(1.江蘇科技大學(xué) 電子信息學(xué)院，鎮(zhèn)江 212003；2. 蘇州晉宇達(dá)實業(yè)股份有限公司，張家港 215000)

0 引 言

永磁同步電機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡單、功率密度高、運行可靠等優(yōu)點，但在其運行過程中，電機(jī)定子電感、轉(zhuǎn)子磁鏈以及負(fù)載轉(zhuǎn)矩實時變化，常規(guī)的PI控制技術(shù)已無法滿足工業(yè)自動化對系統(tǒng)魯棒性的要求[1]。近年來，學(xué)者們研究各類非線性控制方法，如滑模變結(jié)構(gòu)控制[2]、反饋線性化控制[3]、自抗擾控制[4]、反步控制[5]以及PWM預(yù)測控制[6]等。

滑模變結(jié)構(gòu)控制因其對內(nèi)部參數(shù)不確定性和外部干擾不敏感的優(yōu)點被廣泛應(yīng)用，其在設(shè)計過程中只需考慮不確定性邊界選擇，便可保證系統(tǒng)魯棒性[7]。然而，為保證系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性，不確定性邊界通常需選擇得比實際邊界大，從而容易引起系統(tǒng)抖振。反饋線性化控制是近20年來研究的熱點，通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，可以將原非線性模型轉(zhuǎn)化為線性模型。但是，由于該方法需以精確的系統(tǒng)非線性數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，當(dāng)考慮參數(shù)不確定性和未知干擾時，該方法無法適用。自抗擾控制通過擴(kuò)張狀態(tài)觀測器觀測并補(bǔ)償系統(tǒng)內(nèi)外擾動[8]。然而，采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器的控制系統(tǒng)仍會受參數(shù)不確定性的影響。反步控制為20世紀(jì)90年代初提出的以Lyapunov穩(wěn)定性理論為基礎(chǔ)的控制方法，其因易與自適應(yīng)參數(shù)估計技術(shù)結(jié)合以減小系統(tǒng)內(nèi)外擾動的影響而受到重視。該方法通過引入虛擬控制變量，將原始高階系統(tǒng)分解為串級子系統(tǒng)，逐一對其構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)并推導(dǎo)虛擬控制律，保證系統(tǒng)漸近收斂，最終導(dǎo)出實際的控制律及自適應(yīng)律[9]。PWM預(yù)測控制將經(jīng)典PI控制結(jié)構(gòu)與空間矢量脈寬調(diào)制相結(jié)合，基于永磁同步電機(jī)模型的離散方程，計算并應(yīng)用下一采樣時間的電壓矢量，電機(jī)的內(nèi)部參數(shù)如定子電阻、電感以及轉(zhuǎn)子磁鏈隨運行過程中溫度的變化而變化，該參數(shù)攝動會引起預(yù)測控制中給定電壓空間矢量的變化[10]，影響電流控制的性能，有效的擾動觀測和參數(shù)辨識對于電流預(yù)測控制的魯棒性是必要的，但擾動觀測和參數(shù)辨識極大增加了算法的復(fù)雜性。

綜上分析，相對于傳統(tǒng)永磁同步電機(jī)PWM電流預(yù)測控制，滑模變結(jié)構(gòu)控制在抗電機(jī)內(nèi)部參數(shù)攝動的魯棒性方面具有一定的優(yōu)勢。然而，為保證系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性，較大的控制增益選取容易引發(fā)系統(tǒng)抖振，影響電機(jī)系統(tǒng)的運行性能，而PWM電流預(yù)測控制并無該缺點。針對傳統(tǒng)永磁同步電機(jī)PWM電流預(yù)測控制對電機(jī)模型參數(shù)的依賴性問題，研究基于增量式模型的永磁同步電機(jī)無磁鏈電流預(yù)測控制方法。首先，對傳統(tǒng)PWM電流預(yù)測控制的穩(wěn)定性以及參數(shù)攝動造成的電流靜差進(jìn)行了理論分析，分析表明參數(shù)攝動會對系統(tǒng)穩(wěn)定性造成影響，造成電流靜差。其次，建立基于增量式狀態(tài)方程的永磁同步電機(jī)模型，基于此模型設(shè)計無磁鏈電流預(yù)測控制器，保證算法能夠在無需磁鏈參數(shù)參與的情況下運行，增強(qiáng)系統(tǒng)對磁鏈參數(shù)攝動的魯棒性。

1 傳統(tǒng)PWM電流預(yù)測控制

永磁同步電機(jī)在d,q軸下的數(shù)學(xué)模型：

(1)

式中：ud,uq為d,q軸電壓；id,iq為d,q軸電流；R為定子電阻；Ld,Lq為d,q軸電感；ωe為電機(jī)速度;ψf為磁鏈。

考慮到系統(tǒng)電流環(huán)采樣周期T極小，對式(1)左邊進(jìn)行一階泰勒展開，得到：

(2)

將式(2)代入式(1)中，得到離散電壓狀態(tài)方程:

x(k+1)=A(k)x(k)+Bu(k)+d(k)

(3)

假設(shè)xref(k+1)為電流給定值，將式(3)中的x(k+1)替換為xref(k+1)，則通過PWM電流預(yù)測控制得到的電壓指令：

u(k)=B-1[xref(k+1)-A(k)x(k)-d(k)]

(4)

式(3)A(k)矩陣中1-TR/L項近似為1，設(shè)PWM預(yù)測控制中所用電感和磁鏈參數(shù)為L和ψf，對應(yīng)實際電機(jī)參數(shù)為L0和ψf0,則永磁同步電機(jī)離散狀態(tài)方程另可表示：

x(k+1)=A(k)x(k)+B0u(k)+d0(k)

(5)

將式(4)代入式(5)，得到PWM預(yù)測控制中存在參數(shù)攝動時的電流關(guān)系：

(6)

(7)

式中：Δψf=ψf-ψf0，即轉(zhuǎn)子磁鏈參數(shù)攝動量；ΔL=L-L0，即定子電感參設(shè)攝動量。

對式(6)和式(7)進(jìn)行z變換，得到:

(8)

根據(jù)式(8)可知，為了保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，傳統(tǒng)PWM預(yù)測控制器中電感L和電機(jī)實際電感L0需滿足如下條件：

0

(9)

在兩個相鄰的電流環(huán)控制周期內(nèi)，可以認(rèn)為：

(10)

將式(10)代入式(6)與式(7)中，得到：

(11)

(12)

從式(11)與式(12)中可以看出，當(dāng)控制器中的參數(shù)(轉(zhuǎn)子磁鏈和定子電感)存在攝動時，會造成指令電流與實際電流之間的靜差。

2 增量式模型建立

永磁同步電機(jī)狀態(tài)方程：

Δx(k+1)=A(k)Δx(k)+BΔu(k)+Δd(k)

(13)

當(dāng)轉(zhuǎn)子電角速度ωe保持不變時，d(k)的增量可以表示：

(14)

對于線性系統(tǒng)，狀態(tài)方程等價于增量式狀態(tài)方程，即：

(15)

3 基于增量式模型的無磁鏈預(yù)測控制

電流環(huán)給定控制電壓指令：

Δu(k+p)=Δu(k+p-1)=Δu(k+1)=0

(16)

式中：預(yù)測域p=2。

在采用多步預(yù)測后，狀態(tài)方程改寫：

Yk=SuΔu(k)+SxΔx(k)+Ex(k)

(17)

選取評價函數(shù)：

J=(Yk-Iref)TQ(Yk-Iref)

(18)

式(18)中引入中間變量ρ=(Yk-Iref)4×1可得到：

J[x(k),Δx(k),Δu(k)]=ρTQρ

(19)

將式(17)代入中間變量ρ，ρ表達(dá)式：

GΔu(k)-H(x)

(20)

評價函數(shù)J的極值條件：

?Δu(k)=(GTQG)-1GTQH(k)

(21)

J關(guān)于Δu(k)的二階偏導(dǎo)數(shù)：

(22)

二階偏導(dǎo)數(shù)正定，則式(21)表示的Δu(k)為最優(yōu)電壓增量。根據(jù)式(20)，Δu(k)可表示：

(23)

式中：H(k)=Iref-SxΔx(k)-Ex(k)。

在k時刻，PWM預(yù)測控制得到的電壓指令為上一時刻的電壓指令與本時刻計算出的最優(yōu)電壓增量之和，即：

u(k)=u(k-1)+Δu(k)

(24)

Δx(k+1)=AΔx(k)+BΔu(k)=

(A-BKpcSx)Δx(k)-BKpcEx(k)+BKpcIref

(25)

考慮到x(k)=x(k-1)+Δx(k)，將式(25)中不包含Δx(k)的其他項之和記為δ，則式(25)可表達(dá)：

Δx(k+1)=AΔx(k)+BΔu(k)=

(A-BKpcSx-BKpcE)Δx(k)+δ=MΔx(k)+δ

(26)

當(dāng)控制器中電感參數(shù)無攝動時，M矩陣：

(27)

將式(23)變化：

Δu(k)=[BTQB]-1BTQ[I*(k+1)-AΔx(k)-x(k)]

(28)

根據(jù)矩陣變換理論可知：

[BTQB]-1BTQ=B-1

(29)

將式(29)代入式(28)中，得到：

Δu(k)=B-1[I*(k+1)-AΔx(k)-x(k)]

(30)

將上式代入式(15)中，得到：

Δx(k+1)=AΔx(k)+BΔu(k)=

AΔx(k)+BB-1[I*(k+1)-AΔx(k)-x(k)]=

I*(k+1)-x(k)

(31)

由于Δx(k+1)=x(k+1)-x(k)，由式(31)可以得到：

I*(k+1)=x(k+1)

(32)

4 實驗結(jié)果及其分析

對無磁鏈電流預(yù)測控制進(jìn)行實驗研究，實驗平臺如圖1所示。

圖1 實驗平臺

實驗電機(jī)參數(shù)：額定功率1.2 kW，額定電壓220 V，額定電流6.5A，額定轉(zhuǎn)矩4.6N·m，額定轉(zhuǎn)速2 500 r/min，定子電阻0.55 Ω，d,q軸電感4.34 mH，電機(jī)極對數(shù)為4。

為更為直觀地體現(xiàn)新型無磁鏈電流預(yù)測控制策略在抗磁鏈參數(shù)攝動方面的優(yōu)勢，實驗將其與傳統(tǒng)PWM電流預(yù)測控制進(jìn)行對比，控制器分別給定2倍和0.5倍的實際磁鏈值。

圖2為傳統(tǒng)PWM電流預(yù)測控制下的電流實驗波形，圖2(a)為控制器給定2倍實際磁鏈，圖2(b)為控制給定0.5倍實際磁鏈。電機(jī)在0.1 s時刻空載起動，0.3 s時刻給定電機(jī)突加額定負(fù)載，0.8 s時刻突卸負(fù)載。由圖2可知，控制器給定2倍實際磁鏈時，無論空載工況還是額定負(fù)載工況，電機(jī)直軸電流嚴(yán)格跟隨給定電流，始終在0上下浮動，交軸轉(zhuǎn)矩電流始終高于給定值1.9 A左右，電流控制靜差明顯；同樣，控制器給定0.5倍實際磁鏈時，無論空載工況還是額定負(fù)載工況，電機(jī)直軸電流嚴(yán)格跟隨給定電流，始終在0上下浮動，而交軸實際轉(zhuǎn)矩電流始終低于給定值1 A，電流控制靜差同樣明顯，由此驗證傳統(tǒng)PWM電流預(yù)測控制對于轉(zhuǎn)子磁鏈參數(shù)攝動魯棒性不佳。

(a) 2倍實際磁鏈

(b) 0.5倍實際磁鏈

圖3為新型無磁鏈電流預(yù)測控制下的電流實驗波形，圖3(a)為控制器給定2倍實際磁鏈，圖3(b)為控制給定0.5倍實際磁鏈。同樣，電機(jī)在0.1 s時刻空載起動，0.3 s時刻給定電機(jī)突加額定負(fù)載，0.8 s時刻突卸負(fù)載。對比圖2可知，控制器無論給定2倍實際磁鏈還是0.5倍實際磁鏈，交直軸電流實際值均始終嚴(yán)格跟隨跟定值，電流控制幾乎無靜差，由此驗證新型無磁鏈電流預(yù)測控制對于轉(zhuǎn)子磁鏈參數(shù)攝動的強(qiáng)魯棒性。

(a) 2倍實際磁鏈

(b) 0.5倍實際磁鏈

5 結(jié) 語

本文研究了一種基于增量式模型的永磁同步電機(jī)無磁鏈電流預(yù)測控制方法。對傳統(tǒng)PWM電流預(yù)測控制的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，基于增量式模型設(shè)計無磁鏈電流預(yù)測控制器，保證算法能夠在無需磁鏈參數(shù)參與的情況下運行，增強(qiáng)系統(tǒng)對磁鏈參數(shù)攝動的魯棒性。為更為直觀地體現(xiàn)新型無磁鏈電流預(yù)測控制策略在抗磁鏈參數(shù)攝動方面的優(yōu)勢，選取1.2 kW永磁同步電機(jī)為實驗對象，實驗將無磁鏈電流預(yù)測控制與傳統(tǒng)PWM電流預(yù)測控制進(jìn)行對比，結(jié)果驗證了無磁鏈預(yù)測控制對于磁鏈參數(shù)攝動有著較強(qiáng)的魯棒性。