王 威，臧 旭，郭其威，張美艷，唐國安

（1.復旦大學 航空航天系，上海 200433；2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海 201109）

0 引言

柔性電池翼是空間站的重要組成部分，其動力學特性影響著空間站的姿態(tài)控制［1］?？臻g站運動狀態(tài)變化產(chǎn)生的動態(tài)激勵，同樣引起柔性電池翼的持續(xù)振動，由此產(chǎn)生的交變應力可能導致柔性電池翼自身或與空間站的鏈接件損壞，破壞空間站的正常工作，且在設計計算時，其頻率特性也會影響到減振參數(shù)設計［2］。因此，掌握這些柔性附件的動態(tài)特性是非常有必要的。我國借鑒國際空間站成功經(jīng)驗，采用“Mast”+“Blanket”柔性電池翼的設計方案［3］。

隨著計算機技術的迅猛發(fā)展，有限元法已成為預示大型撓性結構動力學特性的主要手段［4-8］。大多數(shù)科研工作者采用混合坐標法或假設模態(tài)法研究柔性翼這類柔性結構的動力學建模問題，重心偏向于研究中心剛體的大范圍運動與柔性附件的彈性變形運動之間的剛柔耦合現(xiàn)象［9］，所采用的簡化模型大多是柔性梁或柔性板，其精度需要通過實驗驗證。

柔性電池翼具有展開面積大、剛度低等特點，在地面進行展開狀態(tài)模態(tài)試驗時受重力［5，10］、懸掛系統(tǒng)及空氣阻力等因素的影響極大，測得的模態(tài)參數(shù)與在軌狀態(tài)的結果有一定差別［11］，因此，需要在軌實驗。

實驗中對模態(tài)的測量可分為接觸式測量和非接觸式測量兩種，且這兩種測量方式都發(fā)展得非常成熟。相比于前者，非接觸式測量具有不與被測物體直接接觸而不產(chǎn)生附加誤差、測量速度快、采樣頻率高、量程大等優(yōu)點，被越來越多地運用于實驗中［12-14］，且在柔性翼的在軌測量實驗中也被廣泛應用［15-17］，郎燕等［18］為提高測量精度也提出了優(yōu)化方法。然而，在軌模態(tài)分析試驗采用非接觸式光學測量時，上述文章中并沒有提及如何選擇靶標位置、相機選擇及外參系數(shù)設置是否合理等問題。同時，可供相機安裝的位置非常有限，從相機觀察柔性翼整體時，由于動態(tài)激勵下柔性翼不同位置的響應結果相差較為懸殊，導致信噪比不同，即使響應結果相同，靶標處于不同位置測得結果誤差也不一樣。為了充分利用空間站在軌狀態(tài)的有限資源，優(yōu)化相機安裝位置和視角以及評估在軌模態(tài)試驗方案的有效性，有必要利用計算機圖形學方法，結合有限元瞬態(tài)響應計算結果，對柔性翼在軌模態(tài)非接觸測量的光學拍攝過程進行仿真，并建立相應的軟硬件平臺。

本文基于空間站柔性翼的有限元模型，先采用MAC.Nastran有限元軟件，求解出柔性翼在動態(tài)激勵下瞬態(tài)響應的動力學參數(shù)；然后借助計算機圖形學軟件OpenGL對上述結果進行可視化設計，生成不同位置、不同視角等相機參數(shù)下柔性翼的變形圖像，并獲取靶標在像平面的投影軌跡；隨后重構出靶標的動態(tài)位移曲線，并與有限元計算結果對比，從而評估測量方案。本文充分利用動力學仿真成果，結合光學仿真，以靶標的投影軌跡長度預先對柔性翼在軌模態(tài)的測量方案做出評估，得出有限實驗方案的條件下的最優(yōu)測量方案。該方法可發(fā)展為計算機輔助試驗的一種手段，為航天器柔性翼在軌模態(tài)測量方案的選擇提供理論依據(jù)，從而彌補無法地面實驗的不足。

1 柔性翼在軌激勵動態(tài)過程的力學仿真

柔性翼結構如圖1所示，其由柔性陣面、張緊機構、伸展機構、收藏箱、收藏筒和驅動機構等組成，寬度超過6 m，總長接近30 m。

圖1 空間站柔性翼結構-機構Fig.1 Mechanism diagram of the space station flexible solar array structure

郭其威等［19］對柔性翼有限元模型進行了在軌工況激勵下的瞬態(tài)響應過程的數(shù)值仿真。仿真時，電池翼模型與本體在驅動機構連接處（根部）分離。根部的加速度a(t)、角速度ω(t)和角加速度α(t)作為數(shù)值仿真的輸入條件。

參考以根部為原點，隨本體一起運動的非慣性坐標系O-xyz，柔性翼上任意質點做非慣性運動的加速度，可表示為

式中：r(t)為質點關于坐標原點的矢徑，為時間t的函數(shù)。

典型的在軌工況包括變軌、對接和分離等，加速度時間函數(shù)如圖2所示。

圖2 空間站柔性電池翼根部的加速度輸入條件Fig.2 Acceleration input conditions of the space station flexible solar array root

根據(jù)根部的輸入條件，利用有限元分析程序能計算得到柔性電池翼各處的動態(tài)位移響應結果。為了模擬光學成像效果，在柔性電池翼有限元模型上選擇若干節(jié)點作為測量用的物方點，如圖3所示。物方點用編號1～15標識，其中1～5位于伸展機構上，6和8以及7和9位于上下收藏箱的兩側，10～15分布在柔性陣面上。

圖3 光學測量物方點在有限元模型中的位置Fig.3 Physical point positions in the finite element model during the optical measurement

使用MSC.Nastran進行柔性電池翼的瞬態(tài)響應分析，從結果中提取物方點所在節(jié)點的響應數(shù)據(jù)，得到動態(tài)位移曲線，如圖4所示。各個物方點的響應數(shù)據(jù)表明，柔性電池翼振動以一階陣型為主，頻率約為0.044 Hz。拍攝對象以較低的頻率作低速運動，有利于基于雙目相機的光學測量實施。對比如圖3、圖4所示的物方點布局和響應函數(shù)可知：主伸展機構、頂部收藏箱上物方點（5、7、9）和柔性陣面上的物方點（10、13）的振動幅度較大，便于根據(jù)成像后的相差測量其位移。但如果相機布置在靠近本體附近，由于近大遠小的透視關系，這些物方點成像后的絕對距離則較小，也影響測量精度。伸展機構和底部收藏箱上物方點（1、6、8）則相反，靠近本體，但振動幅度較小。柔性面的運動是自身相對運動和伸展機構牽連運動的疊加，振幅最大點在陣面的中部偏上處（如物方點13）。

圖4 物方點瞬態(tài)響應的有限元仿真結果Fig.4 Finite element simulation results of the physical point transient responses

通常在本體附近容易安裝相機，但本體附近物方點的響應幅度較小，而遠離本體的物方點響應幅度大，相機安裝或拍攝難度相對較大。這些矛盾需要將有限元力學仿真與光學成像仿真相結合，得到不同輸入條件下物方點的最終成像效果，綜合分析相機-物方點布局，以及鏡頭焦距、傳感器分辨率等參數(shù)對測量精度的影響，進而優(yōu)化測量方案。

2 柔性電池翼動態(tài)變形的光學仿真

在柔性電池翼瞬態(tài)響應的動力學仿真基礎上，可進行成像過程的光學仿真。光學仿真就是根據(jù)設定的焦距、視角、分辨率等參數(shù)，將柔性電池翼瞬態(tài)響應可視化，模擬相機的拍攝過程。物方點（包括靶標、定義模型的節(jié)點等）經(jīng)過相機鏡頭攝影后成像在像平面上，理想的投影成像模型是幾何光學中的小孔成像模型，其本質是射影幾何中的中心透視投影過程?；诠鈱W測量的在軌實驗模態(tài)分析的場景示意圖如圖5所示。相機安裝位置、焦距、視角等是需要優(yōu)化的試驗方案參數(shù)。

圖5 基于光學測量的在軌實驗模態(tài)分析場景Fig.5 Schematic diagram of the on-orbit experimental modal analysis scenario based on optical measurement

整個場景的建模參考統(tǒng)一坐標系O-xyz，稱為世界坐標系。在世界坐標系下，相機的安裝位置用pC(xC，yC，zC) 表 示，相機的光 軸方向用目標點pT(xT，yT，zT)定義：光軸指向從pC到pT。因此，相機坐標系的一個基矢量可以表示為

式中：l3、m3、n3分別為基矢量w的坐標分量。

為了指定相機的轉動方向，可以在位于光軸與相機上方的平面內選擇一個“上方向量”a，該向量在世界坐標系下的分量是(ax，ay，az)，那么相機坐標系的另外兩個基矢量u和v可按如下規(guī)則確定，即

式中：u′=w?a=[m3az-n3ay m1ax-n1az m2ayn2ax]T；l1、m1、n1為基向量u分量；l2、m2、n2為基向量v的分量。

將相機取景范圍內任意一個靶標p在世界坐標系、相機坐標系下分別記為(xw，yw，zw) 和(xb，yb，zb)，若采用齊次坐標，兩個坐標分量的變換關系表示為

式中：M1稱為世界坐標系到相機坐標系的變換矩陣，也稱作相機外參數(shù)矩陣，可以由基矢量u、v和w的分量確定，即

實際上，相機的成像平面（即傳感器）位于w軸正向。但為了便于數(shù)學上的描述，等價地將成像平面置于w的負向，如圖6所示。設成像平面與相機安裝位置pC的距離為f（也稱作焦距），根據(jù)射影幾何的透視關系，任意點p在成像平面上的投影點q就是pC與p連線與成像平面的交點。據(jù)此，可算得投影點q(xq，yq，zq)在相機坐標系下的分量為

圖6 相機透視投影視圖Fig.6 Perspective projection view of the camera

若不考慮消隱、光照等圖形學效果的處理，坐標分量zq不再參與計算，故可以將其忽略。將式（6）中的前兩個變換表示成

式中：投影變換矩陣

在計算機圖形學中，為了能適應不同的顯示設備（當前問題中為傳感器的不同分辨率），需要將投影點q用歸一化坐標表示為

式中：

式中：cw、ch是顯示設備（底片）的長度和寬度。常規(guī)設備（底片）的顯示區(qū)域都是矩形的，歸一化后xn、yn的范圍是[-1，1]。當應用到具體設備時（例如相機的傳感器），將長度和寬度方向上的像素個數(shù)分別記為Nw和Nh，那么投影點q在設備坐標系下的像素位置（用齊次坐標表示）為

式中：

綜上所述，任意點p在建模時采用的世界坐標系分量與最終在相機傳感器上的像素位置的變換關系為

式中：M=M4M3M2M1為總的3行4列變換矩陣；(up，vp)為任意點p的像素坐標。

柔性翼的有限元模型都是由點（集中質量）、線（桿梁）、面（板殼）或實體單元構成。所有單元的具體位置都用節(jié)點的世界坐標系分量表示，根據(jù)式（13），也便確定了它們在相機傳感器上的像素位置。只要將在軌激勵下瞬態(tài)響應得到的位移函數(shù)迭加到柔性翼模型的節(jié)點坐標上，即可實現(xiàn)該瞬態(tài)響應過程的光學仿真。

3 坐標重構與光學效果評價

以郭其威等［19］的柔性電池翼有限元模型為例，世界坐標系建立在如圖3所示的主伸展機構的根部，用有限元分析程序MSC.Nastran計算后可以得到某個在軌激勵條件下模型中所有節(jié)點瞬態(tài)響應的位移時間函數(shù)。布置兩個相機構成雙目光學測量系統(tǒng)，利用相差從靶標的二維投影圖重構其世界坐標的三維分量。

光學成像過程的仿真基于OpenGL圖形標準，在Visual Studio 2010開發(fā)平臺上，以Windows應用MFC實現(xiàn)。兩個相機和目標點位置由OpenGL函數(shù)glulookat定義，相機焦距等參數(shù)由函數(shù)glperspective定義，相機傳感器的像素在MFC初始化窗口時定義，相機1和相機2的完整參數(shù)見表1。

表1 相機參數(shù)設置Tab.1 Camera parameters for shooting

如圖7所示的4幅圖像分別為相機1和相機2在第0秒（初始狀態(tài)）和第11秒所拍攝的柔性電池翼瞬態(tài)振動型態(tài)的光學仿真圖，其中黑白格表示各個靶標。

圖7 光學仿真柔性電池翼拍攝效果圖Fig.7 Shootingeffect pictures of theoptically simulated flexible solar array

同一個靶標在世界坐標系下的三個坐標分量xw、yw和zw是唯一的，經(jīng)兩個相機成像后的像素位置是不同的，分別記為(up1，vp1)和(up2，vp2)。靶標在不同相機中投影后的像素位置差異可用于重構三維坐標。將由式（13）表示的相機1、相機2的變換矩陣分別記為M(1)和M(2)，分量是m(1)ij和m(2)ij(i=1～3；j=1～4）。那么式（13）表示的世界坐標分量和像素位置存在關系可以表示為［20］

其中，

采用最小二乘法求解超定方程式（14），可通過像素坐標(up1，vp1)和(up2，vp2)重構出靶標點在世界坐標系中的三維坐標(xw，yw，zw)。

當面向柔池電性翼的模態(tài)分析問題時，重構對象不僅僅是靶標的世界坐標，而且還需靶標的三維移動分量（即位移向量）。根據(jù)式（13），容易算出靶標的像素位置，將不同時刻的靶標像素顯示在同一張點陣圖上（如圖8所示），就能得到柔性電池翼的靶標的運動軌跡，圖8中的數(shù)字是靶標的編號。

圖8 光學仿真拍攝效果Fig.8 Shooting effect pictures of the optical simulation

點陣圖上靶標運動軌跡的長度可大致表明位移向量的可辨識程度，即長度越大表明位移辨識精度越高。為了凸顯動態(tài)位移效果，用*號標記表示靶標在圖像傳感器上的初始位置，+號標記則表示拍攝結束時的位置，淺色線段是運動的靶標在圖像傳感器上留下的軌跡。由圖8可見：靶標13的運動軌跡最明顯，位移的可辨識性好；靶標1的軌跡不明顯，位移的可辨識性較差；而靶標3則介于它們之間。三維計算機圖形學的顯示還包括消隱功能，若建立更為詳細的電池翼模型，那么靶標的運動軌跡還可能出現(xiàn)被遮擋現(xiàn)象，如圖8（a）所示相機1顯示的結果中，靶標4和9表明部分時段無法被檢測到，這也是試驗方案需要評價的內容。

仍以靶標1、3和13為例，三維重構后得到瞬態(tài)響應結果如圖9～11所示。在圖9～11中，實線是有限元仿真的結果，可作為電池翼上靶標的“實際”運動時的響應曲線，o型標記為采用雙目視覺三維重構得到的動態(tài)位移。

重構精度對比結果見表2，可見靶標的可辨識程度隨著振幅的增加而逐漸增大，因此，重構結果的效果與投影軌跡的分析結論一致。靶標的軌跡分析所涉及的圖形旋轉、投影變換等屬于正問題，而三維重構所涉及的圖像處理、超越方程求解等屬于逆問題，前者的運算復雜度低于后者。因此，在制定試驗方案時，用力學仿真與光學仿真相結合的軌跡分析方法能對靶標布局、相機安裝位置和參數(shù)設置做出快速的評價。

圖9 靶標13：基本可完全辨識Fig.9 Target 13：almost completely recognizable

圖10 靶標3：可部分辨識Fig.10 Target 3：partially recognizable

表2 重構精度對比Tab.2 Comparison of reconstruction accuracy

圖11 靶標1：完全不可辨識Fig.11 Target 1：completely unrecognizable

4 結束語

利用空間站在對接/分離/變軌過程中柔性電池翼受激勵產(chǎn)生的大幅度動態(tài)位移，采用對雙目點陣圖像進行三維坐標重構的非接觸測量方法，是實現(xiàn)在軌電池翼實驗模態(tài)分析的一種可行的途徑。本文將對柔性翼動態(tài)響應的有限元力學仿真與成像過程的計算機圖形學仿真相結合，根據(jù)靶標在圖像傳感器上的運動軌跡長度的可辨識性，對基于光學測量的試驗模態(tài)分析方案進行快速評估，進而在測量方案實施前進行評估優(yōu)化，屬于計算機輔助實驗系統(tǒng)的組成部分，能充分利用結構動力學仿真成果，彌補大型柔性部件地面實驗的不足。