左茂雄

摘要：本文借助切筒法給出橢圓周線的展開線分布函數(shù)，用二次曲線高精度近似模擬橢圓周長線，給出一系列較高精度的橢圓周長公式，給出了N等分橢圓面積的方法，開辟了橢圓積分的最新方法。

關(guān)鍵詞：切筒法橢圓周展開線;高精度橢圓周長公式;N等分橢圓面積;橢圓積分新方法

0 引言

1827年挪威最為著名的天才數(shù)學(xué)家阿貝爾發(fā)表了橢圓函數(shù)，以此為出發(fā)點(diǎn)相繼展開了對橢圓周長、三類橢圓積分的研究工工作，后經(jīng)過雅可比、歐拉、勒讓德和高斯等著名數(shù)學(xué)家的艱苦卓絕的努力得以發(fā)展。

橢圓周長公式L=4a∫0π/2（1-e2sin2θ）0.5dθ，（e=c/a，a2=b2+c2）。

1 切筒法求橢圓函數(shù)

1.1橢圓方程

設(shè)一個圓柱，底部的圓半徑為b，正向傾斜切圓柱，切口高低點(diǎn)間距為2a，切口將形成長軸為2a，短軸為2b的橢圓。

設(shè)切口面與圓筒底面的夾角為α，則cosα=b/a，取長軸在底面的豎直投影為x軸，進(jìn)一步在圓筒底面建立y軸。由圓方程有x2+y2=b2①。

然后取切口低高點(diǎn)為x'軸，筒底圓面正上方建立y'軸，由空間幾何關(guān)系得

x'=x/（cosα）=x/（b/a）=ax/b，而y'=y，均代入①得（bx'/a）2+y'2 =b2②。

②變形得（x'/a）2+（y'/b）2=1③，切口為標(biāo)準(zhǔn)橢圓。

1.2橢圓函數(shù)

以圓筒最低切口點(diǎn)為起點(diǎn)，把圓筒切口帶圓筒對應(yīng)的側(cè)面沿著逆時針方向展開一周。本文以過圓筒切口的-y'軸為X軸，切口的展開線沿著圓柱側(cè)面豎直向上的方向為Y軸。

在過圓筒切口最低點(diǎn)的圓底面的坐標(biāo)系oxy系中，取一象限輻角θ，則底圓周一象限的動點(diǎn)坐標(biāo)為（bcosθ，bsinθ），進(jìn)一步向上平移c（而a2=b2+c2）建立豎直向上的z軸，圓柱切口面在坐標(biāo)系oxyz系中，對應(yīng)的法向矢量n為（0，-c，b），取圓筒切口上頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，b，c），有圓筒切口面的平面方程為0（x-0）-c（y-b）+b（z-c）=0④，即

z=cy/b⑤

在圓周上動點(diǎn)y=bsinθ⑥

在圓筒切口沿側(cè)面的展開面上，在坐標(biāo)系OXY系中，動點(diǎn)坐標(biāo)X=bθ⑦，Y=z=cy/b⑧。由⑥⑦⑧得Y=c sin（X/b）⑨。

橢圓函數(shù)為Y=c sin（X/b），且X∈[-πb/2，3πb/2）⑩。

2 橢圓周長

由對稱性得出橢圓的周長L=4∫0π/2（1+Y'2）0.5dX，而X=bθ，Y'=（c/b）cos（X/b）。

綜上得L=4∫0πb/2[1+（c/b）2cos2（X/b）]0.5dX與阿貝爾公式等效，驗證略。

3 圓錐曲線變分法處理第二類橢圓積分

近200年以來全球沒有任何一個著名數(shù)學(xué)家成功解決橢圓周長問題，因為它沒有初等原函數(shù)，所得出的橢圓周長公式要么繁瑣，要么不夠精準(zhǔn)。該問題屬于三類橢圓積分的第二類。

在理論上科學(xué)家已經(jīng)證實對頂圓錐的切口線可以是拋物線、雙曲線、橢圓和圓四種類型。

對橢圓函數(shù)Y=c sin（X/b），且X∈[-πb/2，3πb/2），本文取x∈[0，πb）。本文用開口向下的拋物線來模擬橢圓函數(shù)線。令y=Ax2+Bx+C，而曲線過原點(diǎn)O，則C=0。有y=Ax（x+B/A）。

令y=0，有x=0或x=-B/A=πb，得B=-Aπb。

令x=X=πb/2，y=Y=c=A（πb/2）（πb/2+B/A）。

綜上解得A=-4c/（πb）2，B=4c/（πb）。

模擬拋物線方程y=-[4c/（πb）2]x2+[4c/（πb）]x，則y'=-[8c/ （πb）2]x+4c/（πb）

橢圓周長L=4∫0πb/2（1+y'2）0.5dx，換元法令X=y'=-[8c/（πb）2]x+ 4c/（πb）

解上式得x=πb/2-（πb）2X/（8c），dx=-[（πb）2/（8c）]dX。

容易得出積分限是：x為0→πb/2;X為4c/（πb）→0。則有

L=4∫0πb/2（1+y'2）0.5dx=L=4∫4c/（πb）0（1+X2）0.5[-（πb）2/（8c）]dX

=（πb）2/（2c）∫04c/（πb）（1+X2）0.5dX

=[（πb）2/（2c）]×（1/2）{X（1+X2）0.5+ln[X+（1+X2）0.5]}04c/（πb）

=[（πb）2/（4c）]×{[4c/（πb）][1+16c2/（πb）2]0.5+ln[4c/（πb）+[1+16c2/（πb）2]0.5}

=πb[1+16c2/（πb）2]0.5+（πb）2/（4c）ln{4c/（πb）+[1+16c2/（πb）2]0.5}

∴L=πb[1+16c2/（πb）2]0.5+（πb）2/（4c）ln{4c/（πb）+[1+16c2/ （πb）2]0.5}

4 特例

∵c2=a2-b2

∴L=[（πb）2+16（a2-b2）]0.5+（πb）2/（4c）ln{4c/（πb）+[1+16c2/ （πb）2]0.5}

4.1接近于正圓

令b→a，則c→0。則

L=πb+（πb）（πb/4c）ln{4c/（πb）+[1+16c2/（πb）2]0.5}

令x=πb/（4c）→∞，1/x→0，則有L=πb+（πb）xln[（1/x）+ （1+1/x2）0.5]

=πb+（πb）xln{（1/x）+[1+1/（2x2）}

=πb+（πb）ln（1+1/x）x

=πb+（πb）lne

=2πb=2πa

4.2狹長橢圓（a>b）

相當(dāng)于b→0，則c→a。令x=πb/（4c）→0，1/x→∞，則

L=[（πb）2+16（a2-b2）]0.5+（πb）2/（4c）ln{4c/（πb）+[1+16c2/（πb）2]0.5}

=[（πb）2+16（a2-b2）]0.5+（πb）xln[（1/x）+（1+1/x2）0.5]

=[（πb）2+16（a2-b2）]0.5+（πb）xln[（1/x）+（1/x）]

=[（πb）2+16（a2-b2）]0.5+（2πb）ln（2/x）（x/2）

=[（πb）2+16（a2-b2）]0.5+（2πb）ln（8c/πb）πb/8c

而（8c/πb）πb/8c=1+（πb/8c）ln（8c/πb）后項（2πb）ln（8c/πb）πb/8c →0。

L=[（πb）2+16（a2-b2）]0.5

4.3補(bǔ)充說明

（1）∫（1+X2）0.5dX=（1/2）{X（1+X2）0.5+ln[X+（1+X2）0.5]}，該積分使用換元法和分部積分法計算，過程略。

（2）limn→∞（n）（1/n）=1+（lnn）/n。（8c/πb）πb/8c=1+（πb/8c）ln（8c/πb）

[1+（lnn）/n]n=[1+（lnn）/n]（n/lnn）lnn={[1+（lnn）/n]（n/lnn）}lnn=elnn=n，

故limn→∞（n）（1/n）=1+（lnn）/n。

（3）從作圖法可以確定用部分拋物線代替部分正弦線會導(dǎo)致曲線段弧長略微增加，所以真實的橢圓周長略微小于L=[（πb）2+16（a2-b2）]0.5+（πb）2/（4c）ln{4c/（πb）+[1+16c2/（πb）2]0.5}。

5 N等分橢圓面積

本文給出一個通用方法：由切筒法推知，只要筒底圓形面積被從圓心處N等分，即扇形對應(yīng)圓心角為2π/N，由豎直投影法逆向斷定，逆向豎直投影在筒橢圓切口面上的每一部分仍然滿足面積相等，即是說每一部分沿著短軸方向的微元段長度不變，沿著長軸方向每個對應(yīng)的微元段長度拉升為底圓對應(yīng)豎直投影微元段長度的a/b倍，因此N等分橢圓面積成功。作圖要點(diǎn)是橢圓上的N等分點(diǎn)與半徑為b的底圓圓周上N等分點(diǎn)的沿著短軸方向的y坐標(biāo)值相同。

6 結(jié)語

本文通過使用全新的數(shù)學(xué)方法終結(jié)了困擾世界科學(xué)界近200年的古老頂級數(shù)學(xué)難題，為促進(jìn)橢圓積分的發(fā)展與科學(xué)進(jìn)步做出了重大貢獻(xiàn)。