周筆鋒，羅毅平

1.湖南電氣職業(yè)技術(shù)學(xué)院 風(fēng)能工程學(xué)院，湖南 湘潭411101

2.湖南工程學(xué)院 電氣信息學(xué)院，湖南 湘潭411104

3.湖南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖南 湘潭411201

4.湖南工程學(xué)院 風(fēng)電裝備與電能變換協(xié)同創(chuàng)新中心，湖南 湘潭411104

1 引言

實(shí)際生活中許多物理系統(tǒng)都具有時空特性，其行為必須依賴于時間和空間位置，例如熱擴(kuò)散、流體換熱器、化學(xué)工程、旋轉(zhuǎn)梁、可變幾何形狀靜電微致動器、集成和消防神經(jīng)元等等，文獻(xiàn)[1-7]中有詳細(xì)的介紹。而這些系統(tǒng)的時空過程被稱為分布參數(shù)系統(tǒng)（DPSs）。近年來，由于實(shí)際應(yīng)用的需要，例如流體在多孔介質(zhì)中的流動、濕紡碳纖維成形過程、火箭推進(jìn)器動力學(xué)、化學(xué)反應(yīng)、描述生物種群的關(guān)系等，分布數(shù)系統(tǒng)的控制問題受到了廣泛的關(guān)注。大量的實(shí)際過程[8-13]，例如流化床和填充床反應(yīng)器、涂覆工藝、薄膜的化學(xué)氣相沉積和生物過程等，通常通過擬線性拋物型偏微分方程PDE 系統(tǒng)來建模。所以根據(jù)能量守恒定律，構(gòu)建擬線性拋物型偏微分方程，以擬線性拋物型偏微分方程建模研究分布參數(shù)系統(tǒng)控制問題已經(jīng)是國內(nèi)外相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者的重點(diǎn)研究課題[14-21]。

文獻(xiàn)[14]中，Luo等針對擬線性拋物型偏微分方程，設(shè)計(jì)控制器，利用Lyapunov 穩(wěn)定性定理結(jié)合LMI 計(jì)算方法，得出了分布參數(shù)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定控制器存在的充分條件。文獻(xiàn)[15]中，Demetriou針對具有邊界觀測與控制的PDEs 網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)同步問題，提出了一種自適應(yīng)控制方案，研究系統(tǒng)同步穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)[16]中，Babaei等針對工藝參數(shù)未知的化學(xué)分布參數(shù)系統(tǒng)，構(gòu)建半線性偏微分方程，利用Lyapunov穩(wěn)定性定理，研究了其自適應(yīng)輸出反饋控制問題。文獻(xiàn)[17]中，Wu 等運(yùn)用半線性拋物線偏微分方程（PDEs），論述了一類非線性分布參數(shù)系統(tǒng)的模糊邊界控制設(shè)計(jì)問題，通過采用Lyapunov 直接法和向量值Wirtinger不等式建立足夠的指數(shù)穩(wěn)定條件，并提出了控制方法的優(yōu)點(diǎn)和有效性。文獻(xiàn)[18]中，Yuan等針對一類具有耦合性質(zhì)的時滯分布參數(shù)系統(tǒng)，構(gòu)建擬線性拋物型偏微分方程并結(jié)合Lyapunov 穩(wěn)定性定理，研究了系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)的同步問題。

文獻(xiàn)[21]中，周等首次提出了中和控制方案，并以其先進(jìn)的控制思想及優(yōu)越的工程適應(yīng)性被許多技術(shù)工作人員應(yīng)用，但針對分布參數(shù)系統(tǒng)，中和控制的行為過程在時間及空間位置上是一個自發(fā)的控制過程，在每個空間位置節(jié)點(diǎn)上，其控制不一定是持續(xù)連續(xù)的，控制周期可能是以一種不連續(xù)的間歇控制方式實(shí)現(xiàn)的，而對于所有節(jié)點(diǎn)，其間歇控制特性又不盡相同，所以本文在此基礎(chǔ)上，對中和控制方案進(jìn)行改進(jìn)，將中和控制方法與非周期間歇控制方案結(jié)合，研究系統(tǒng)穩(wěn)定性就顯得尤為重要。

在實(shí)際系統(tǒng)中，時滯現(xiàn)象是普遍存在的[14，18，21-23]，在系統(tǒng)的信息傳遞、信號檢測過程中通常具有滯后現(xiàn)象。本文從時滯分布參數(shù)系統(tǒng)出發(fā)，設(shè)計(jì)間歇非周期中和控制器，研究時滯分布參數(shù)系統(tǒng)的間歇非周期中和控制就顯得尤為有意義了。

基于此，本文針對一類時滯分布參數(shù)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)非周期間歇中和控制器，研究系統(tǒng)鎮(zhèn)定性。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論并結(jié)合LMI處理方法，得出時滯分布式參數(shù)系統(tǒng)間歇非周期中和控制器存在的充分條件。最后結(jié)合所給條件，給出一個數(shù)值仿真說明其有效性。

2 問題描述

考慮下列具有時滯特性的分布參數(shù)系統(tǒng)：

將系統(tǒng)變?yōu)榫仃囆问?，即為?/p>

其中，(x,t)∈Ω×R+,Da=(Dai)n×n＞0,τ 為時滯，和為常數(shù)矩陣為具有光滑邊界?Ω 的有界區(qū)域，且mes Ω ＞0，U(x,t)=(u1(x,t),u2(x,t),…,un(x,t))T∈Rn為控制輸入，狀態(tài)變量W(x,t)=(w1(x,t),w2(x,t),…,wn(x,t))T∈Rn,為Ω 的Laplace擴(kuò)散算子，其初始邊界條件為：

或

其中，n 為?Ω 的單位外法向量，ψ(x,t)為適當(dāng)光滑的函數(shù)。

為使系統(tǒng)（1）達(dá)到穩(wěn)定，設(shè)計(jì)如下分布動態(tài)反饋控制器：

其中，ki(t)為間歇控制器的控制增益，滿足：

其中，j=1,2,…,[ )tij,tij+1表示節(jié)點(diǎn)i 的一個周期，[ )tij,sij表示節(jié)點(diǎn)i 的周期內(nèi)的控制時間，[ )sij,tij+1表示節(jié)點(diǎn)i的周期內(nèi)非控制時間。將控制系統(tǒng)（6）變?yōu)榫仃囆问?，即為?/p>

其中，χ(x,t)=(η1(x,t),η2(x,t),…,ηn(x,t))T∈Rn為狀態(tài)變量

為控制器參數(shù)，控制律U(x,t)為系統(tǒng)（2）輸入控制，K(t)=diag(k1(t),k2(t),…,kn(t))，控制系統(tǒng)（8）初始邊界條件為：

或

假設(shè)1 考慮所有節(jié)點(diǎn)，考慮一般實(shí)際情況，對于如式（7）所示間歇控制器，其某節(jié)點(diǎn)的控制時間[ tij,sij)長度一般遠(yuǎn)大于對應(yīng)周期的非控制時間[ sij,tij+1)，基于此，本文做出如下假設(shè)，在整個中和控制方案時間內(nèi)，對于所有節(jié)點(diǎn)，其間歇反饋控制增益滿足：

如圖1 所示，[tj,tj+1)為控制周期，[ tj,sj)控制周期內(nèi)的控制時間，[ )sj,tj+1表示節(jié)點(diǎn)i 的控制周期內(nèi)非控制時間。

圖1 間歇控制原理圖

注1 對于假設(shè)1，式（12）為假設(shè)情況，當(dāng)t ∈[ )sj,tj+1時，ki(t)=0 不代表真正意義上系統(tǒng)在此時間段沒有節(jié)點(diǎn)被控制，而是代表由于系統(tǒng)此時間段內(nèi)受控節(jié)點(diǎn)數(shù)目較少或此時間段較短且不是所有節(jié)點(diǎn)全部實(shí)現(xiàn)被控制狀態(tài)，所以此時間段內(nèi)，其對系統(tǒng)的其他控制節(jié)點(diǎn)的控制作用不進(jìn)行考慮。

假設(shè)2[24]對于非周期間歇控制器，存在兩個正標(biāo)量0 ＜θ ＜ω ＜+∞，對于所有j=0,1,2,…,滿足：

對于式（13），對于非周期間歇控制器，盡管控制時間跨度在每個周期內(nèi)不一樣，但是對于所有周期，其每個控制周期內(nèi)控制時間寬度都不小于θ，其每個周期內(nèi)控制時間間歇寬度都不大于ω-θ，定義：

ψ 表示所有控制周期內(nèi)最大間歇寬度比，可得0 ≤ψ ＜1，若ψ=0，表示系統(tǒng)處于連續(xù)控制狀態(tài)，一般情況假設(shè)ψ ∈(0,1)。

引理1[24]對于所有j=0,1,2,…,定義：

引理2[25]存在任意的m 維實(shí)變向量X,Y,K 為正定對稱矩陣，P ∈Rm×m，則下列矩陣不等式成立：

引理3[26]（schur 補(bǔ)定理）對于給定的對稱矩陣S=，以下三個條件是等價的：

（1）S ＜0。

（2）S11＜0,S22-

（3）S22＜0,S11-。

引理4[27]設(shè)函數(shù)y(t)在t ∈[-τ,∞)是連續(xù)非負(fù)的，且滿足下列條件：

其中，γ1,γ2,γ3均為正常數(shù)，j=0,1,2,…,若：

證明參照文獻(xiàn)[27]。

設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，首先，將所設(shè)計(jì)的動態(tài)反饋控制器式（8）作用于系統(tǒng)（2），得到如下閉環(huán)系統(tǒng)：

其中：

注2 針對分布參數(shù)系統(tǒng)，中和控制的行為過程在時間及空間位置上是一個自發(fā)的控制過程，在每個空間位置節(jié)點(diǎn)上，其控制不一定是持續(xù)連續(xù)的，控制周期可能是以一種不連續(xù)的間歇控制方式實(shí)現(xiàn)的，而對于所有節(jié)點(diǎn)，其間歇控制特性又不盡相同，所以本文在此基礎(chǔ)上，對中和控制方案進(jìn)行改進(jìn)，將中和控制方法與非周期間歇控制方案結(jié)合，對于系統(tǒng)所有節(jié)點(diǎn)，考慮控制周期不盡相同，同時利用假設(shè)條件1，得到系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。

定理在給定參數(shù)條件下，當(dāng)存在正常數(shù)a1，a2，矩陣W ∈Rn×n為正定對稱矩陣，矩陣M,X1,X2,X3,X4,X5∈Rn×n滿足下面矩陣不等式：

其中，X1=Bc1,X2=KMT,X3=WTAT0+WTX1T+MBTc+A0,X4=A+Bc2,X5=X4W+Bc3MT,ξ ＞0 是方程ξ-a1+exp(ξτ)=0 的唯一正解，則所構(gòu)建的動態(tài)反饋控制器使系統(tǒng)鎮(zhèn)定。

證明構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)為：

當(dāng)t ∈[ )tj,sj時，有：

對于∫ΩχT(x,t)Δχ(x,t)dx 同理可得：

其中，PDd≤λPDmax，對于D ＞0，Dc＞0，P ＞0，所以λPDmax＞0，所以得：

由引理1，可得：

若

對式（26）根據(jù)引理2（schur補(bǔ)定理），可得：

由矩陣不等式（28）求解控制器時，控制器參數(shù)K,Bc,Bc1,Bc2包含在矩陣H 和矩陣G 中不能被求出，所以接下來的目的是求解控制器參數(shù)。

首先，將矩陣P,S 分區(qū)，定義：

其中，W 是正定對稱矩陣，M ∈Rn×n是可逆矩陣，且PP-1=I,

定義兩個矩陣：

有：

由式（29）～（33），根據(jù)Schur 補(bǔ)定理，可得在定理1條件（20）（22）情況下，式（27）成立。

當(dāng)t ∈[ sj,tj+1)時，有：

若：

則：

對于式（34），同理可得在定理1條件（21）（22）情況下，式（35）成立。

根據(jù)引理4：

由此，定理1得證。

推論在給定參數(shù)條件下，考慮系統(tǒng)時滯τ=0，當(dāng)存在正常數(shù)a1,a2，矩陣W ∈Rn×n為正定對稱矩陣，矩陣M,X1,X2,X3,X4,X5∈Rn×n滿足下面矩陣不等式：

a1-1 ＞0,?=ξ-a2ψ ＞0,其中：

ξ ＞0 是方程ξ-a1+exp(ξτ)=0 的唯一正解，則所構(gòu)建的動態(tài)反饋控制器使系統(tǒng)鎮(zhèn)定。

證明參考定理證明。

3 數(shù)值仿真

為了說明問題，考慮如下分布參數(shù)系統(tǒng)及控制系統(tǒng)：

對分布參數(shù)系統(tǒng)，取m=1,n=2，系統(tǒng)參數(shù)Da=；

取時滯τ=0.2，應(yīng)用定理1 所提出的方法，選取ξ=1.22 ，取a1=2.5 ，a2=3，得出對于所有節(jié)點(diǎn)的添加間歇控制器，控制寬度為0.6，取，通過Matlab 軟件中的LMI 工具箱，可以得到控制系統(tǒng)參數(shù)：

給定系統(tǒng)的初始條件：

η1(x,0)=0,η2(x,0)=0,圖2、3 分別給出了系統(tǒng)狀態(tài)和控制系統(tǒng)的狀態(tài)圖。

圖2 系統(tǒng)狀態(tài)W(x,t)圖

圖3 控制系統(tǒng)狀態(tài)χ(x,t)圖

4 小結(jié)

本文針對時滯分布參數(shù)系統(tǒng)，研究其穩(wěn)定性問題。首先結(jié)合中和控制器及非周期間歇控制器設(shè)計(jì)思路，得出了一種全新的控制方案——非周期中和控制器，不僅彌補(bǔ)了中和控制器的不足，更使其應(yīng)用范圍得到提升。利用Lyapunov 穩(wěn)定性理論并結(jié)合LMI 處理方法，得出了具有時滯特性分布式參數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定非周期間歇中和控制器存在的充分條件。最后結(jié)合所給條件，給出一個數(shù)值仿真說明其有效性。