閆茜茜，王鵬程，劉興云

湖北師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖北 黃石435002

1 引言

作為一種新穎的計(jì)算模型，量子計(jì)算具有兩個(gè)突出的特點(diǎn)：其一量子態(tài)的疊加和糾纏等性質(zhì)可以完成并行計(jì)算處理加快數(shù)據(jù)的計(jì)算速率，具有代表性的是肖爾（Shor）大數(shù)分解算法[1]、波色取樣[2]、格羅夫爾（Grover）搜索[3]、量子退火算法等。其二n 個(gè)量子比特有2n個(gè)狀態(tài)即n 個(gè)量子比特可以存儲(chǔ)2n位信息，提高了信息存儲(chǔ)空間，例如運(yùn)用在量子圖像處理中，量子圖像表示（QIMR）起著關(guān)鍵的作用[4-8]。

卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在數(shù)據(jù)信息處理方面有助于改進(jìn)機(jī)器學(xué)習(xí)，例如在物體分類[9-13]、目標(biāo)檢測[14-16]等領(lǐng)域已取得不錯(cuò)成就。隨著社會(huì)的發(fā)展，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算數(shù)據(jù)愈加龐大，導(dǎo)致計(jì)算速率愈加緩慢，量子計(jì)算相比于經(jīng)典計(jì)算具有更高的優(yōu)勢[17-18]，因此需要借用量子計(jì)算的原理或概念計(jì)算卷積，以提高卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算速率。許興陽、劉宏志[19]通過給出卷積算術(shù)線路定義，進(jìn)而設(shè)計(jì)出了量子門組卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（QGCNN）；Cong I 等[20]引入并分析了受機(jī)器學(xué)習(xí)啟發(fā)的量子線路模型Quantum Convolutional Neural Networks（QCNN），證明了QCNN 可以準(zhǔn)確識(shí)別與一維對稱保護(hù)拓?fù)潆A段相關(guān)的量子狀態(tài)及對給定的未知錯(cuò)誤模型優(yōu)化的量子錯(cuò)誤校正方案，其性能優(yōu)于現(xiàn)有方法；Henderson M等[21]研究了在標(biāo)準(zhǔn)的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)體系結(jié)構(gòu)中添加量子卷積層，來設(shè)計(jì)量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

以上文獻(xiàn)通過經(jīng)典的卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和量子計(jì)算的特性，來設(shè)計(jì)搭建量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并通過不同的實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)證量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高效性，但是在文獻(xiàn)中只是借用酋算子搭建簡易線路，沒有設(shè)計(jì)出詳細(xì)的量子卷積線路，進(jìn)而也沒有完整的量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子線路模型。為了研究通用量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的量子線路，使量子計(jì)算與卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)完美結(jié)合并且發(fā)揮兩者最大的優(yōu)勢，根據(jù)Yao等[8]和Cong I等[20]文章中的計(jì)算原理，將一維信息編碼為量子態(tài)，受控非門及Hadamard門完成量子卷積計(jì)算量子線路搭建，設(shè)計(jì)出了在任何實(shí)驗(yàn)中通用的量子卷積線路模型。

2 量子信息處理

最近大量研究中，將量子計(jì)算與數(shù)字圖像處理相結(jié)合對于解決實(shí)際圖像處理應(yīng)用中的高精度和高實(shí)時(shí)性問題非常有效。Venegas-Andraca S E 等[5]提出一種基于“qubit lattice”的存儲(chǔ)，即對于一個(gè)輸入圖像，其中每一個(gè)像素點(diǎn)都有一個(gè)qubit 來表示，因此需要至少2n比特的存儲(chǔ)。Le P 等[6]提出一種FRQI 模型，該編碼方式將像素值和像素位置通過量子態(tài)張量積的形式進(jìn)行了關(guān)聯(lián)，采用1 個(gè)量子比特編碼像素值，顏色信息編碼在概率幅中。Zhang Y 等[7]提出了一種NEQR 模型，同樣通過張量積的形式將像素值和像素位置進(jìn)行了關(guān)聯(lián)，不同的是采用了d 個(gè)量子比特編碼像素值，灰度信息編碼在基態(tài)中。Yao 等[8]提出了QImR 模型，該模型用于將2D 圖像編碼為量子純態(tài)，圖像的像素值由量子態(tài)的概率幅表示，圖像的像素位置由量子態(tài)的基態(tài)表示。

運(yùn)用到一維信息處理中，采用QImR模型編碼方式將信息的信息熵由量子態(tài)的概率幅表示，信息熵的位置由量子態(tài)的基態(tài)表示。一維信息展開得到一個(gè)列向量，將這個(gè)列向量映射為含有L=2l個(gè)量子比特的量子態(tài)

3 一維量子卷積計(jì)算

由經(jīng)典卷積計(jì)算過程知，兩個(gè)向量卷積的結(jié)果仍然是一個(gè)向量，以短向量長度向長向量截取對應(yīng)長度進(jìn)行內(nèi)積計(jì)算，之后保持長向量不變短向量進(jìn)行一步移位操作，直到短向量最后一個(gè)元素與長向量最后一個(gè)元素對齊并計(jì)算其內(nèi)積，最終得到卷積結(jié)果向量。卷積計(jì)算步驟可歸納為相乘、求和、移位，因此在用量子計(jì)算方法設(shè)計(jì)量子卷積線路模型時(shí)也有相同的計(jì)算步驟。如圖1所示為量子卷積計(jì)算流程圖，首先將經(jīng)典信息進(jìn)行編碼處理轉(zhuǎn)化為量子信息，量子信息量子態(tài)輸入到量子線路模型中進(jìn)行卷積計(jì)算，量子態(tài)張量積完成相乘過程，概率幅置換完成移位過程，加法計(jì)算完成求和過程，最后進(jìn)行量子態(tài)提取得出卷積結(jié)果。

圖1 量子卷積線路模型流程

3.1 計(jì)算量子態(tài)張量積

通過采用上述編碼方式，將經(jīng)典信息P1、P2分別編碼為含有m-qbit、n-qbit 的 量 子 態(tài)其中M=2m、N=2n，若m ≥n 則以信息P2為卷積核，對信息P1進(jìn)行卷積計(jì)算。在希爾伯特空間H1和H2中，量子態(tài)進(jìn)行張量積運(yùn)算即：

3.2 概率幅置換QL

QL運(yùn)算是一個(gè)含有L=2l個(gè)量子比特的概率幅置換運(yùn)算，由通用量子門多位受控非門（CNOT）構(gòu)成。CNOT 分為1 型受控非門和0 型受控非門，包括控制量子比特和目標(biāo)量子比特，1型受控非門中當(dāng)控制量子比特全為態(tài)時(shí)，目標(biāo)量子比特由或由，0 型受控非門當(dāng)控制量子比特全為0 態(tài)時(shí)才對目標(biāo)量子比特起作用。如表1所示為對計(jì)算基矢的作用，其中雙量子比特門受控非門作用為，三比特受控—受控非門（CCNOT）稱為Toffoli門，作用為其中a、b、c=0 或1，⊕表示以2為模的加法。

表1 通用受控非門

圖2 3-qbit Q8 量子置換線路

表2 Q8 線路具體置換方法

3.3 加法運(yùn)算

單量子比特H 門的定義為：

圖3 QL 量子線路置換圖

則

IM×M?H?n矩陣中，只有第1 行、第N+1 行、…、第(M-1)N+1 行相應(yīng)位置為1，其余行相應(yīng)位置都是1、-1穿插出現(xiàn)。如對量子態(tài)的1個(gè)量子比特執(zhí)行H 門，對剩余的量子比特即量子態(tài)的2個(gè)量子比特執(zhí)行單位矩陣，I4×4?H 矩陣表達(dá)式為：

3.4 輸出結(jié)果

當(dāng)對量子態(tài)進(jìn)行提取的瞬間，量子態(tài)坍縮到一個(gè)具體的態(tài)上，此時(shí)的卷積結(jié)果也將被破壞，Cong I 等[20]表明測量放在QCNN 線路中池化層和最后結(jié)果的輸出部分，用于確定量子比特受控旋轉(zhuǎn)及固定數(shù)量的輸出量子位，因此在以后的量子卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的量子線路模型設(shè)計(jì)中，無需對其量子卷積計(jì)算部分進(jìn)行結(jié)果提取直接進(jìn)行后續(xù)操作即可。如對量子態(tài)的量子比特進(jìn)行結(jié)果提取，當(dāng)此量子比特的提取結(jié)果為時(shí)，得到卷積結(jié)果由矩陣可知，一維量子卷積計(jì)算結(jié)果為矩陣當(dāng)中概率幅全相加的行，即第1 行、第N+1 行、…、第(M-1)N+1行，因此需要對初始量子態(tài)的n 個(gè)量子比特進(jìn)行提取，當(dāng)n 個(gè)量子比特的結(jié)果為時(shí)，即卷積結(jié)果g 矩陣形式為式（10），進(jìn)而得出量子卷積線路模型，如圖4所示。

圖4 一維量子卷積量子線路模型

4 結(jié)論

任意多量子比特運(yùn)算線路都可以分解為雙量子比特門或三量子比特等一些單量子比特門，通常這些簡單的量子門數(shù)量表示對量子運(yùn)算計(jì)算復(fù)雜度的估計(jì)。根據(jù)量子卷積算法線路模型可知，以n-qbit 量子態(tài)為卷積核對以m-qbit 的量子態(tài)為目標(biāo)信息進(jìn)行的量子卷積計(jì)算中，總的量子門數(shù)滿足，故量子卷積計(jì)算總的計(jì)算復(fù)雜度不超過O(n2)。

重點(diǎn)研究了在量子疊加態(tài)形式中，通過設(shè)計(jì)量子卷積線路模型來進(jìn)行卷積計(jì)算，概率幅置換完成經(jīng)典卷積計(jì)算中的移位過程，加法計(jì)算完成經(jīng)典卷積計(jì)算中的對應(yīng)相加計(jì)算過程。在存儲(chǔ)上，經(jīng)典計(jì)算需要2l比特，量子計(jì)算需要l 量子比特即可；在計(jì)算上，經(jīng)典計(jì)算是移位相乘累加運(yùn)算，量子計(jì)算是酉算子的演化。因此可以根據(jù)量子并行計(jì)算的特點(diǎn)計(jì)算卷積，并且該一維量子卷積算法大大減少了卷積計(jì)算步驟，提高了計(jì)算速率，增加了信息的存儲(chǔ)空間，為量子計(jì)算與人工智能的結(jié)合提出新的解決思路。