陳繼明，馬希直，李響

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

1 不同介質(zhì)中的聲傳播理論

聲壓p、質(zhì)點(diǎn)速度u和媒介密度變化量ρ'是聲場(chǎng)中的3個(gè)最基本的物理量[1]。在小振幅情況下，進(jìn)行線性化近似，它們之間的關(guān)系可通過(guò)下述3個(gè)物理定律進(jìn)行描述：

聲壓p與質(zhì)點(diǎn)速度u之間的關(guān)系可通過(guò)運(yùn)動(dòng)方程(牛頓第二定律)來(lái)表示：

(1)

質(zhì)點(diǎn)速度u和媒介密度變化量ρ'之間的關(guān)系可通過(guò)連續(xù)性方程(質(zhì)量守恒定律)來(lái)表示：

(2)

聲壓p和媒介密度變化量ρ'之間的關(guān)系可通過(guò)物態(tài)方程(熱力學(xué)定律)來(lái)表示：

p=c2ρ′

(3)

其中c為聲波傳播的速度。

由于流體與固體介質(zhì)在結(jié)構(gòu)與性質(zhì)上有著明顯的差異，因此，描述它們中聲波傳播的基本波形及波動(dòng)方程也不同[2]。

1.1 流體中的波動(dòng)方程

假設(shè)流體無(wú)損耗且絕熱，忽略黏性效應(yīng)，并使用線性等熵狀態(tài)方程，對(duì)式(1)-式(3)進(jìn)行處理，消去u和ρ'可以推導(dǎo)出波動(dòng)方程：

(4)

利用下面的數(shù)學(xué)關(guān)系：

div(gradp)=·(p)=2p

(5)

利用式(5)對(duì)式(4)進(jìn)行化簡(jiǎn)得到波動(dòng)方程：

(6)

聲學(xué)問(wèn)題經(jīng)常包括簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)諧波，比如正弦波。一般情況下，任何信號(hào)都可以由傅里葉變換轉(zhuǎn)換為一系列諧波成分，波動(dòng)方程可以在頻域上一次求解一個(gè)頻率。諧波一般形式如下：

p(x,t)=p(x)sin(ωt)

其中空間項(xiàng)p(x)和時(shí)間項(xiàng)sin(ωt)是分離的[3]。為了運(yùn)算的方便，壓力可以更廣義地寫(xiě)成復(fù)數(shù)變量：

p(x,t)=p(x)eiωt

(7)

實(shí)際聲壓的(瞬時(shí))物理值是式(7)的實(shí)數(shù)部分[4]。對(duì)聲壓做上述假設(shè)后，將式(7)代入式(6)，瞬態(tài)的波動(dòng)方程就變成了Helmholtz方程：

2p(x)+k2p(x)=0

(8)

1.2 流體中的平面波

(9)

對(duì)式(9)進(jìn)行求解，可以得到沿x軸方向傳播的平面波：

p(x,t)=P0ei(ωt-kx)

(10)

將式(10)代入式(1)運(yùn)動(dòng)方程中，可以得到質(zhì)點(diǎn)的速度為

u(x,t)=u0ei(ωt-kx)

(11)

其中：P0=jωρ0A表示波的振幅；u0=jkA表示質(zhì)點(diǎn)速度幅值；A表征傳播過(guò)程中振幅的任意量?？梢钥闯銎矫娌ǖ穆晧汉唾|(zhì)點(diǎn)速度是同相的。同時(shí)，可以得到平面波的聲阻抗率Zs=p/u=ρ0c0，其中ρ0、c0分別為聲介質(zhì)的密度和聲速[5]。

1.3 固體中的波動(dòng)方程

固體與流體不同，除了體積彈性之外，它們還具有剪切彈性。流體不可避免有靜壓力，作為逾量壓強(qiáng)的聲壓是個(gè)標(biāo)量，其波動(dòng)方程也采用標(biāo)量形式，而固體中沒(méi)有靜壓力，但其中的應(yīng)力、應(yīng)變和彈性需要用矢量和張量表示，數(shù)學(xué)上較為復(fù)雜[6]。

對(duì)于各向同性的理想彈性固體，根據(jù)其力矩平衡條件和彈性常數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，已經(jīng)證明，其獨(dú)立的彈性常數(shù)只有兩個(gè)，即梅拉常數(shù)λ'和μ'，與其楊氏模量E，泊松比σ、體積彈性模量B有下述關(guān)系：

(12)

反過(guò)來(lái)，用E、σ表示λ'和μ'公式為：

(13)

利用這兩個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)，結(jié)合牛頓第二定律及廣義胡克定律可得到固體中的波動(dòng)方程：

(14)

或

(15)

其中ξ為質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位移矢量，且有：

1.4 固體中的壓縮波

由波動(dòng)方程式(14)可以看出，在等號(hào)右邊有兩個(gè)與空間變化有關(guān)的項(xiàng)。第一項(xiàng)含有位移矢量的散度·ξ，第二項(xiàng)含有位移矢量的旋度×ξ。作為第一種情況，設(shè)ξ為無(wú)旋矢量，即×ξ=0，此時(shí)波動(dòng)方程為：

(16)

式(16)是固體中壓縮波的波動(dòng)方程。它與流體中的波動(dòng)方程具有相同的形式，只是聲速用固體中壓縮波的聲速表達(dá)式而已[7]。由此可知，與流體中的情況相對(duì)應(yīng)，固體中的壓縮波也應(yīng)存在平面、球面及柱面3種基本波型。

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)只有x方向位移時(shí)，式(16)變?yōu)?/p>

(17)

這就是沿x方向傳播的平面縱波波動(dòng)方程，因?yàn)槭?17)的解ξx(x,t)是質(zhì)點(diǎn)沿x方向的振動(dòng)位移，與平面波傳播方向一致[8]。同時(shí)表明，平面縱波的傳播速度就等于壓縮波的聲速。

2 頻域分析

2.1 建立有限元模型

頻域分析中，縮小換能器的尺寸，油液尺寸相對(duì)增加，建立電-固-聲耦合有限元模型如圖1所示，油液區(qū)域?yàn)?/4圓，將下部換能器放大如左圖所示。這部分采用聲學(xué)模塊下的聲-壓電相互作用(頻域)接口進(jìn)行仿真，掃頻范圍為10MHz～30MHz，頻率間隔為0.1MHz。壓力聲學(xué)油域設(shè)置上邊界為球面波輻射條件，不讓其聲波進(jìn)行反射以獲得超聲換能器產(chǎn)生的原始聲壓的數(shù)據(jù)；固體力學(xué)域設(shè)置好不銹鋼、電極材料和硅基的阻尼，另外還有不銹鋼橫向邊界的固定約束；靜電學(xué)域設(shè)置上電極邊界條件為100V電壓，下電極邊界條件設(shè)置為接地[9]。

圖1 有限元模型

2.2 結(jié)果分析

1) 聲壓分析

超聲換能器的上下振動(dòng)導(dǎo)致空氣壓強(qiáng)的變化，由此產(chǎn)生聲壓。圖2是超聲換能器中心點(diǎn)在油液中所產(chǎn)生的聲壓隨頻率變化的曲線，由圖可以看出聲壓在17.6MHz時(shí)達(dá)到極大值，即在此時(shí)，超聲換能器發(fā)生共振，而在其他位置，換能器只是受迫振動(dòng)，所產(chǎn)生的聲壓遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于共振點(diǎn)的聲壓。如圖3 所示，聲壓級(jí)也在此處達(dá)到最大值。

圖2 聲壓隨頻率變化曲線

圖3 聲壓級(jí)隨頻率變化曲線

2) 聲場(chǎng)分析

超聲換能器的大小和無(wú)限大聲場(chǎng)相比可以看成1個(gè)點(diǎn)，所以在17.6MHz的正弦波激勵(lì)下，換能器產(chǎn)生的聲波在油液中以球面波形式傳播。圖4和圖5分別是聲壓場(chǎng)二維圖和二維高度圖，由圖可以看出聲壓最大值出現(xiàn)在換能器表面，沿傳播方向逐漸衰減，而且先衰減較快后衰減較慢。

圖4 共振頻率處的二維聲壓圖

圖5 共振頻率下的聲壓二維高度圖

圖6是共振頻率下的聲壓級(jí)二維圖，可以看出最大聲壓級(jí)也是出現(xiàn)在換能器表面，大小在195dB左右，這和圖3中換能器中心點(diǎn)的最大聲壓級(jí)相符。

圖6 共振頻率下的聲壓級(jí)二維圖

圖7是沿超聲換能器與油液交界面聲壓的變化曲線，由圖可以看出換能器中心點(diǎn)聲壓最大，沿表面逐漸減小，這是由于換能器中心點(diǎn)振動(dòng)幅度最大。圖中心點(diǎn)最大聲壓約為160kPa，這與圖2相符合。

圖7 聲壓沿?fù)Q能器表面的變化曲線

3 時(shí)域分析

同樣，為了節(jié)省計(jì)算時(shí)間，模型整體設(shè)置二維旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)，時(shí)域分析時(shí)模型采用換能器的實(shí)際尺寸，建立電-固-聲耦合模型如圖8所示，換能器結(jié)構(gòu)與之前基本一致，中間換能器從上到下依次為不銹鋼、硅片、上電極(鋁)、AlN和下電極(鋁)，上方長(zhǎng)方形是油液區(qū)域。由于要驗(yàn)證聲波在油液中的傳播過(guò)程，這里油液長(zhǎng)度設(shè)置為10個(gè)波長(zhǎng)，方便觀察和計(jì)算；下方小正方形是空氣域，用于對(duì)比油液中的聲波強(qiáng)度。

油液上邊界設(shè)置為硬聲場(chǎng)邊界條件，聲波在此邊界上全部反射；空氣域下邊界設(shè)置為平面波輻射，聲波在此邊界上全部吸收。不銹鋼右邊界設(shè)置為固定約束，壓電層與上電極接觸面設(shè)置200V的正弦電壓，壓電層與下電極接觸面設(shè)置接地。

圖8 有限元模型

超聲換能器在7.3MHz激勵(lì)電壓的激勵(lì)下向油液中傳播聲波，1個(gè)周期約為0.137μs，如圖9中分別對(duì)應(yīng)聲波傳播5個(gè)周期、10個(gè)周期、15個(gè)周期和20個(gè)周期時(shí)聲場(chǎng)的分布，由激勵(lì)信號(hào)可知聲場(chǎng)中有5個(gè)周期的聲波在傳播，圖9中可以看出5個(gè)周期的聲波在油液中傳播，聲波在0.69μs時(shí)全部進(jìn)入油液區(qū)域，在1.37μs時(shí)到達(dá)反射界面，在2.06μs是全部反射，在2.74μs時(shí)到達(dá)換能器表面，與理論解析結(jié)果一致。

圖9 不同時(shí)間的聲場(chǎng)分布

為了模擬更加真實(shí)的情況，對(duì)不銹鋼和電極材料添加了阻尼系數(shù)，對(duì)壓電層添加了阻尼系數(shù)和介電損耗。圖10是換能器與油液域交界面聲壓隨時(shí)間變化曲線，前5個(gè)周期的聲壓和激勵(lì)信號(hào)大致一致，到2.74μs左右時(shí)，聲波經(jīng)過(guò)反射回到換能器表面，此時(shí)聲壓幅值是之前的兩倍，這是由于聲壓又在此表面發(fā)生了反射，2.74μs之后的5個(gè)周期換能器與油液交界面的聲壓是返回后的聲壓與再次反射的聲壓的疊加。圖11是上方油液域上邊界的聲壓隨時(shí)間變化曲線，聲波在1.37μs時(shí)到達(dá)反射界面，此時(shí)聲壓幅值也是發(fā)射聲壓的兩倍，原因與之前一樣，油域反射界面處的聲壓是入射聲壓與第1次反射聲壓的疊加。

圖10 換能器與油液域交界面聲壓隨時(shí)間變化曲線

圖11 油域反射界面聲壓隨時(shí)間變化曲線

圖12是換能器與空氣域交界面聲壓隨時(shí)間變化曲線，前5個(gè)周期聲壓與激勵(lì)電壓相符，但這里的聲壓幅值明顯大于油液域的發(fā)射聲壓幅值，這是由于換能器被襯材料的阻尼不同所導(dǎo)致的。前段發(fā)射聲壓的被襯材料是空氣或者說(shuō)是沒(méi)有被襯材料，而后端發(fā)射聲壓的被襯材料是不銹鋼。不銹鋼的阻尼遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于空氣的阻尼，所以換能器高頻振動(dòng)所產(chǎn)生的聲壓更多的是向后端空氣中發(fā)射，這是不愿意看到的現(xiàn)象，也是此種應(yīng)用的一個(gè)弊端。后期可以適當(dāng)?shù)靥砑痈玫谋灰r材料來(lái)達(dá)到更加理想的效果。0.68μs之后的聲壓顯得有點(diǎn)雜亂無(wú)章，這是由于設(shè)置的平面波輻射界面不是理想的無(wú)反射邊界，有一定的聲波反射，空氣區(qū)域設(shè)置較小，聲波來(lái)回反射導(dǎo)致的。

圖12 換能器與空氣域交界面聲壓隨時(shí)間變化曲線

4 結(jié)語(yǔ)

本文在聲學(xué)理論的基礎(chǔ)上，描述了換能器在不同介質(zhì)中聲傳播方程，建立了電-固-聲耦合分析頻域與時(shí)域模型。對(duì)AlN超聲換能器整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行了頻域分析，求解出了其聲學(xué)共振頻率，并分析了共振頻率下的聲壓、聲壓級(jí)。通過(guò)瞬態(tài)求解，分析了換能器在脈沖激勵(lì)下的聲傳播過(guò)程，對(duì)聲信號(hào)的發(fā)射、反射接收信號(hào)作了解析。