陳繼明，馬希直，李響

(南京航空航天大學(xué) 機電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

1 不同介質(zhì)中的聲傳播理論

聲壓p、質(zhì)點速度u和媒介密度變化量ρ'是聲場中的3個最基本的物理量[1]。在小振幅情況下，進行線性化近似，它們之間的關(guān)系可通過下述3個物理定律進行描述：

聲壓p與質(zhì)點速度u之間的關(guān)系可通過運動方程(牛頓第二定律)來表示：

(1)

質(zhì)點速度u和媒介密度變化量ρ'之間的關(guān)系可通過連續(xù)性方程(質(zhì)量守恒定律)來表示：

(2)

聲壓p和媒介密度變化量ρ'之間的關(guān)系可通過物態(tài)方程(熱力學(xué)定律)來表示：

p=c2ρ′

(3)

其中c為聲波傳播的速度。

由于流體與固體介質(zhì)在結(jié)構(gòu)與性質(zhì)上有著明顯的差異，因此，描述它們中聲波傳播的基本波形及波動方程也不同[2]。

1.1 流體中的波動方程

假設(shè)流體無損耗且絕熱，忽略黏性效應(yīng)，并使用線性等熵狀態(tài)方程，對式(1)-式(3)進行處理，消去u和ρ'可以推導(dǎo)出波動方程：

(4)

利用下面的數(shù)學(xué)關(guān)系：

div(gradp)=·(p)=2p

(5)

利用式(5)對式(4)進行化簡得到波動方程：

(6)

聲學(xué)問題經(jīng)常包括簡單的簡諧波，比如正弦波。一般情況下，任何信號都可以由傅里葉變換轉(zhuǎn)換為一系列諧波成分，波動方程可以在頻域上一次求解一個頻率。諧波一般形式如下：

p(x,t)=p(x)sin(ωt)

其中空間項p(x)和時間項sin(ωt)是分離的[3]。為了運算的方便，壓力可以更廣義地寫成復(fù)數(shù)變量：

p(x,t)=p(x)eiωt

(7)

實際聲壓的(瞬時)物理值是式(7)的實數(shù)部分[4]。對聲壓做上述假設(shè)后，將式(7)代入式(6)，瞬態(tài)的波動方程就變成了Helmholtz方程：

2p(x)+k2p(x)=0

(8)

1.2 流體中的平面波

(9)

對式(9)進行求解，可以得到沿x軸方向傳播的平面波：

p(x,t)=P0ei(ωt-kx)

(10)

將式(10)代入式(1)運動方程中，可以得到質(zhì)點的速度為

u(x,t)=u0ei(ωt-kx)

(11)

其中：P0=jωρ0A表示波的振幅；u0=jkA表示質(zhì)點速度幅值；A表征傳播過程中振幅的任意量。可以看出平面波的聲壓和質(zhì)點速度是同相的。同時，可以得到平面波的聲阻抗率Zs=p/u=ρ0c0，其中ρ0、c0分別為聲介質(zhì)的密度和聲速[5]。

1.3 固體中的波動方程

固體與流體不同，除了體積彈性之外，它們還具有剪切彈性。流體不可避免有靜壓力，作為逾量壓強的聲壓是個標量，其波動方程也采用標量形式，而固體中沒有靜壓力，但其中的應(yīng)力、應(yīng)變和彈性需要用矢量和張量表示，數(shù)學(xué)上較為復(fù)雜[6]。

對于各向同性的理想彈性固體，根據(jù)其力矩平衡條件和彈性常數(shù)的對稱性，已經(jīng)證明，其獨立的彈性常數(shù)只有兩個，即梅拉常數(shù)λ'和μ'，與其楊氏模量E，泊松比σ、體積彈性模量B有下述關(guān)系：

(12)

反過來，用E、σ表示λ'和μ'公式為：

(13)

利用這兩個獨立的彈性常數(shù)，結(jié)合牛頓第二定律及廣義胡克定律可得到固體中的波動方程：

(14)

或

(15)

其中ξ為質(zhì)點振動位移矢量，且有：

1.4 固體中的壓縮波

由波動方程式(14)可以看出，在等號右邊有兩個與空間變化有關(guān)的項。第一項含有位移矢量的散度·ξ，第二項含有位移矢量的旋度×ξ。作為第一種情況，設(shè)ξ為無旋矢量，即×ξ=0，此時波動方程為：

(16)

式(16)是固體中壓縮波的波動方程。它與流體中的波動方程具有相同的形式，只是聲速用固體中壓縮波的聲速表達式而已[7]。由此可知，與流體中的情況相對應(yīng)，固體中的壓縮波也應(yīng)存在平面、球面及柱面3種基本波型。

當質(zhì)點只有x方向位移時，式(16)變?yōu)?/p>

(17)

這就是沿x方向傳播的平面縱波波動方程，因為式(17)的解ξx(x,t)是質(zhì)點沿x方向的振動位移，與平面波傳播方向一致[8]。同時表明，平面縱波的傳播速度就等于壓縮波的聲速。

2 頻域分析

2.1 建立有限元模型

頻域分析中，縮小換能器的尺寸，油液尺寸相對增加，建立電-固-聲耦合有限元模型如圖1所示，油液區(qū)域為1/4圓，將下部換能器放大如左圖所示。這部分采用聲學(xué)模塊下的聲-壓電相互作用(頻域)接口進行仿真，掃頻范圍為10MHz～30MHz，頻率間隔為0.1MHz。壓力聲學(xué)油域設(shè)置上邊界為球面波輻射條件，不讓其聲波進行反射以獲得超聲換能器產(chǎn)生的原始聲壓的數(shù)據(jù)；固體力學(xué)域設(shè)置好不銹鋼、電極材料和硅基的阻尼，另外還有不銹鋼橫向邊界的固定約束；靜電學(xué)域設(shè)置上電極邊界條件為100V電壓，下電極邊界條件設(shè)置為接地[9]。

圖1 有限元模型

2.2 結(jié)果分析

1) 聲壓分析

超聲換能器的上下振動導(dǎo)致空氣壓強的變化，由此產(chǎn)生聲壓。圖2是超聲換能器中心點在油液中所產(chǎn)生的聲壓隨頻率變化的曲線，由圖可以看出聲壓在17.6MHz時達到極大值，即在此時，超聲換能器發(fā)生共振，而在其他位置，換能器只是受迫振動，所產(chǎn)生的聲壓遠遠小于共振點的聲壓。如圖3 所示，聲壓級也在此處達到最大值。

圖2 聲壓隨頻率變化曲線

圖3 聲壓級隨頻率變化曲線

2) 聲場分析

超聲換能器的大小和無限大聲場相比可以看成1個點，所以在17.6MHz的正弦波激勵下，換能器產(chǎn)生的聲波在油液中以球面波形式傳播。圖4和圖5分別是聲壓場二維圖和二維高度圖，由圖可以看出聲壓最大值出現(xiàn)在換能器表面，沿傳播方向逐漸衰減，而且先衰減較快后衰減較慢。

圖4 共振頻率處的二維聲壓圖

圖5 共振頻率下的聲壓二維高度圖

圖6是共振頻率下的聲壓級二維圖，可以看出最大聲壓級也是出現(xiàn)在換能器表面，大小在195dB左右，這和圖3中換能器中心點的最大聲壓級相符。

圖6 共振頻率下的聲壓級二維圖

圖7是沿超聲換能器與油液交界面聲壓的變化曲線，由圖可以看出換能器中心點聲壓最大，沿表面逐漸減小，這是由于換能器中心點振動幅度最大。圖中心點最大聲壓約為160kPa，這與圖2相符合。

圖7 聲壓沿換能器表面的變化曲線

3 時域分析

同樣，為了節(jié)省計算時間，模型整體設(shè)置二維旋轉(zhuǎn)對稱，時域分析時模型采用換能器的實際尺寸，建立電-固-聲耦合模型如圖8所示，換能器結(jié)構(gòu)與之前基本一致，中間換能器從上到下依次為不銹鋼、硅片、上電極(鋁)、AlN和下電極(鋁)，上方長方形是油液區(qū)域。由于要驗證聲波在油液中的傳播過程，這里油液長度設(shè)置為10個波長，方便觀察和計算；下方小正方形是空氣域，用于對比油液中的聲波強度。

油液上邊界設(shè)置為硬聲場邊界條件，聲波在此邊界上全部反射；空氣域下邊界設(shè)置為平面波輻射，聲波在此邊界上全部吸收。不銹鋼右邊界設(shè)置為固定約束，壓電層與上電極接觸面設(shè)置200V的正弦電壓，壓電層與下電極接觸面設(shè)置接地。

圖8 有限元模型

超聲換能器在7.3MHz激勵電壓的激勵下向油液中傳播聲波，1個周期約為0.137μs，如圖9中分別對應(yīng)聲波傳播5個周期、10個周期、15個周期和20個周期時聲場的分布，由激勵信號可知聲場中有5個周期的聲波在傳播，圖9中可以看出5個周期的聲波在油液中傳播，聲波在0.69μs時全部進入油液區(qū)域，在1.37μs時到達反射界面，在2.06μs是全部反射，在2.74μs時到達換能器表面，與理論解析結(jié)果一致。

圖9 不同時間的聲場分布

為了模擬更加真實的情況，對不銹鋼和電極材料添加了阻尼系數(shù)，對壓電層添加了阻尼系數(shù)和介電損耗。圖10是換能器與油液域交界面聲壓隨時間變化曲線，前5個周期的聲壓和激勵信號大致一致，到2.74μs左右時，聲波經(jīng)過反射回到換能器表面，此時聲壓幅值是之前的兩倍，這是由于聲壓又在此表面發(fā)生了反射，2.74μs之后的5個周期換能器與油液交界面的聲壓是返回后的聲壓與再次反射的聲壓的疊加。圖11是上方油液域上邊界的聲壓隨時間變化曲線，聲波在1.37μs時到達反射界面，此時聲壓幅值也是發(fā)射聲壓的兩倍，原因與之前一樣，油域反射界面處的聲壓是入射聲壓與第1次反射聲壓的疊加。

圖10 換能器與油液域交界面聲壓隨時間變化曲線

圖11 油域反射界面聲壓隨時間變化曲線

圖12是換能器與空氣域交界面聲壓隨時間變化曲線，前5個周期聲壓與激勵電壓相符，但這里的聲壓幅值明顯大于油液域的發(fā)射聲壓幅值，這是由于換能器被襯材料的阻尼不同所導(dǎo)致的。前段發(fā)射聲壓的被襯材料是空氣或者說是沒有被襯材料，而后端發(fā)射聲壓的被襯材料是不銹鋼。不銹鋼的阻尼遠遠大于空氣的阻尼，所以換能器高頻振動所產(chǎn)生的聲壓更多的是向后端空氣中發(fā)射，這是不愿意看到的現(xiàn)象，也是此種應(yīng)用的一個弊端。后期可以適當?shù)靥砑痈玫谋灰r材料來達到更加理想的效果。0.68μs之后的聲壓顯得有點雜亂無章，這是由于設(shè)置的平面波輻射界面不是理想的無反射邊界，有一定的聲波反射，空氣區(qū)域設(shè)置較小，聲波來回反射導(dǎo)致的。

圖12 換能器與空氣域交界面聲壓隨時間變化曲線

4 結(jié)語

本文在聲學(xué)理論的基礎(chǔ)上，描述了換能器在不同介質(zhì)中聲傳播方程，建立了電-固-聲耦合分析頻域與時域模型。對AlN超聲換能器整體結(jié)構(gòu)進行了頻域分析，求解出了其聲學(xué)共振頻率，并分析了共振頻率下的聲壓、聲壓級。通過瞬態(tài)求解，分析了換能器在脈沖激勵下的聲傳播過程，對聲信號的發(fā)射、反射接收信號作了解析。