彭坤 曾豪 田林 侯振東

小推力航天器的地球—火星轉(zhuǎn)移軌道混合設(shè)計方法

彭坤 曾豪 田林 侯振東

（中國空間技術(shù)研究院載人航天總體部，北京 100094）

小推力航天器由于其推進系統(tǒng)的高比沖特性，變軌過程可節(jié)省大量推進劑，可用于未來火星探測的地球—火星軌道轉(zhuǎn)移任務(wù)中。文章提出一種混合設(shè)計方法對小推力航天器的地球到火星的轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化問題進行求解。根據(jù)極大值原理確定小推力發(fā)動機的最優(yōu)控制律，舍棄橫截條件，將終端狀態(tài)量誤差和終端質(zhì)量作為評價指標，采用人工免疫算法對伴隨變量和飛行時間進行尋優(yōu)；混合法、間接法和直接法求解結(jié)果表明，混合法比直接法的尋優(yōu)時間縮短33%，推進劑消耗相當；混合法與間接法在推進劑消耗和狀態(tài)量方面一致性好，表明混合法的結(jié)果接近最優(yōu)。

地球—火星轉(zhuǎn)移軌道 小推力 混合法 人工免疫算法 火星探測

0 引言

在太陽系內(nèi)，火星與地球相似度最高且距離較近，是進行載人星際探測的首選目標天體。自20世紀60年代起，人類就開始發(fā)射無人探測器對火星進行研究[1]，并開展載人火星航行先期技術(shù)研究[2]和后續(xù)載人火星探測任務(wù)規(guī)劃[3]，以最終實現(xiàn)載人火星探測和駐留。火星探測任務(wù)中的一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)是地球—火星轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計，若采用高比沖的小推力推進系統(tǒng)則可大幅減少推進劑消耗，從而降低運載火箭的發(fā)射質(zhì)量[4-5]。

小推力航天器的地火轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計的重點是求解最優(yōu)控制問題，按照使用極大值原理的程度可分為間接法、直接法及混合法[6-7]。間接法是利用極大值原理，引入哈密頓函數(shù)和伴隨變量，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為兩點邊值問題，并采用打靶法對伴隨變量初值進行求解，通過求解伴隨變量從而得到最優(yōu)小推力轉(zhuǎn)移軌道[8-9]。間接法初值難以估計，收斂半徑較小。直接法[10]是利用配點法和模擬函數(shù)法等方法對最優(yōu)控制問題的狀態(tài)變量和控制變量直接進行離散化，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題，并采用SOCS算法[11]、偽光譜法[12]、SQP方法[13]、遺傳算法[14]、人工免疫算法[15]以及Ordinal Optimization方法[16]對非線性規(guī)劃問題進行求解。直接法對初值不敏感，但計算量隨計算精度提高而大幅增加，且不嚴格保證其求解結(jié)果的最優(yōu)性?；旌戏╗17-18]是將間接法和直接法結(jié)合起來，保留間接法的最優(yōu)控制律，采用多重打靶法[19]和SQP方法[20]對伴隨變量初值進行尋優(yōu)，從而得到最優(yōu)小推力地火轉(zhuǎn)移軌道。混合法計算量比直接法小，收斂性比間接法好。

本文根據(jù)地球和火星的軌道特性建立歸一化的二維極坐標動力學(xué)模型，由極大值原理確定小推力發(fā)動機的最優(yōu)控制律，將伴隨變量和飛行時間作為待優(yōu)化變量，采用終端質(zhì)量和終端狀態(tài)量誤差作為評價指標，形成小推力地球—火星轉(zhuǎn)移軌道混合法優(yōu)化模型，并采用智能優(yōu)化算法——引導(dǎo)型人工免疫算法（Guiding Artificial Immune Algorithm，GAIA）進行優(yōu)化求解。并將混合法求解結(jié)果與直接法和間接法進行比對，驗證混合法求解結(jié)果的最優(yōu)性及其尋優(yōu)性能。

1 系統(tǒng)模型

地球和火星繞太陽旋轉(zhuǎn)的軌道均為近圓軌道且軌道面相近，可簡化為共面圓軌道。在二維極坐標系下描述小推力航天器的地火轉(zhuǎn)移過程，期間忽略地球和火星引力攝動，并以小推力航天器從地球出發(fā)時刻的日心距0和質(zhì)量0作為參考量，建立地球—火星轉(zhuǎn)移軌道的歸一化動力學(xué)方程[15]（物理量上方橫線表示歸一化）

最大則表示推進劑消耗最小，即為最優(yōu)地球—火星轉(zhuǎn)移軌道。

2 最優(yōu)控制律

3 混合優(yōu)化模型

3.1 待優(yōu)化變量

3.2 狀態(tài)方程

3.3 評價函數(shù)

將地球—火星轉(zhuǎn)移軌道的終端約束作為罰函數(shù)的形式加入評價指標aff中，如式（10）[15]所示

3.4 優(yōu)化算法

建立混合優(yōu)化模型后，需要選取優(yōu)化算法對其進行求解。由于待優(yōu)化變量中存在伴隨變量初值，仍存在一定敏感性，若采用非線性規(guī)劃算法則收斂性較差。本文采用智能優(yōu)化算法——人工免疫算法[15]對優(yōu)化模型進行求解，增加尋優(yōu)過程的收斂性。

人工免疫算法是模擬生物免疫系統(tǒng)智能行為而提出的仿生算法，抗體對應(yīng)待優(yōu)化變量。其特點是通過激勵度計算綜合評價抗體親和度和濃度，并采用種群刷新操作引入新的抗體替換激勵度低的抗體，保持抗體多樣性，防止陷于局部最優(yōu)。此外，該算法通過引導(dǎo)型免疫操作快速搜索次優(yōu)解附近區(qū)域，提高局部收斂速度。該算法步驟如下：

1）進行抗原識別，定義親和度評價函數(shù)；2）設(shè)置種群中抗體個數(shù)，并根據(jù)抗體的范圍限制隨機產(chǎn)生一個初始種群；3）計算抗體的親和度；4）判斷是否滿足算法終止條件，如果滿足，則終止尋優(yōu)并輸出計算結(jié)果，否則繼續(xù)尋優(yōu)計算；5）計算抗體的濃度，并進一步計算激勵度；6）進行免疫處理，包括免疫選擇、克隆、變異和克隆抑制；7）進行種群刷新，并轉(zhuǎn)至第3）步。

4 仿真分析

采用GAIA混合法進行10次搜索，9次收斂最優(yōu)值，1次收斂到最優(yōu)值附近。將混合法搜索到的最優(yōu)結(jié)果與間接法和GAIA直接法結(jié)果[15]進行對比，如表1和圖1~圖4所示。

表1 間接法、直接法和混合法的尋優(yōu)結(jié)果

Tab.1 Optimization results obtained by indirect, direct and hybrid method

圖1為GAIA混合法求得的最優(yōu)小推力地球—火星轉(zhuǎn)移軌道在日心黃道慣性系中的軌跡示意。軸指向春分點方向，軸指向地球公轉(zhuǎn)軌道角動量方向，軸由右手定則確定。圖1中紫色箭頭為軌道轉(zhuǎn)移過程中推力方向。由圖1可知，小推力航天器先沿著徑向正向加速，后沿著徑向負向加速，直到航天器到達火星軌道。整個飛行過程耗時215.269天，推進劑消耗為初始質(zhì)量的31.194%。

將GAIA混合法的歸一化結(jié)果轉(zhuǎn)化到真實模型，并與GAIA直接法和間接法的結(jié)果進行對比。圖2為三種方法的狀態(tài)變量曲線對比。由圖2可看出，GAIA混合法求得的4個狀態(tài)變量曲線與間接法曲線完全重合，證明了其理論最優(yōu)性。而GAIA直接法的徑向速度和橫向速度曲線與間接法均有一定偏差，說明其不是理論最優(yōu)解。圖3為三種方法的推力方向角曲線。由圖3可知，GAIA混合法由于采用最優(yōu)控制律，與間接法曲線完全重合；而GAIA直接法由于多項式函數(shù)無法完全擬合最優(yōu)控制律而造成一定偏差，這也造成了其所求解不是理論最優(yōu)解。

圖1 小推力航天器最優(yōu)地球–火星轉(zhuǎn)移軌道飛行軌跡

圖2 間接法、GAIA直接法和GAIA混合法的狀態(tài)變量變化曲線

圖3 間接法、GAIA直接法和GAIA混合法的推力方向角變化曲線

圖4 間接法和GAIA混合法的歸一化伴隨變量變化曲線

5 結(jié)束語

本文針對小推力航天器地球—火星軌道轉(zhuǎn)移過程建立一套混合優(yōu)化模型，并采用人工免疫算法進行求解，得到了最優(yōu)小推力地球—火星轉(zhuǎn)移軌道。該混合設(shè)計方法比直接法尋優(yōu)速度快，其單次尋優(yōu)時間比直接法縮短33%；同時其尋優(yōu)結(jié)果比直接法更優(yōu)，推進劑消耗比直接法少1.5%。此外，該混合設(shè)計方法的狀態(tài)變量、推力方向角和終端質(zhì)量與間接法幾乎相同，證明了其尋優(yōu)結(jié)果的理論最優(yōu)性；同時，伴隨變量初值不同不影響混合設(shè)計方法的尋優(yōu)正確性，且采用隨機優(yōu)化算法進行優(yōu)化，有效降低了初值敏感性，收斂性比間接法更好。

[1] 于登云, 孫澤州, 孟林智, 等. 火星探測發(fā)展歷程與未來展望[J]. 深空探測學(xué)報, 2016, 3(2): 108-113. YU Dengyun, SUN Zezhou, MENG Linzhi, et al. The Development Process and Prospects for Mars Exploration[J]. Journal of Deep Space Exploration, 2016, 3(2): 108-113. (in Chinese).

[2] 朱毅麟. 載人火星航行的先期研究[J]. 航天器工程, 2006, 15(2): 1-5. ZHU Yilin. Advance Research on Manned Mars Mission[J]. Spacecraft Engineering, 2006, 15(2): 1-5. (in Chinese).

[3] 李虹琳, 李金釗. NASA發(fā)布載人火星探索之路[J]. 中國航天, 2015, 11: 19-20. LI Honglin, LI Jinzhao. NASA Announced the Road of Manned Mars Exploration Mission[J]. Aerospace China, 2015, 11: 19-20. (in Chinese).

[4] LANDAU D F, LONGUSKI J M. Trajectories for Human Missions to Mars, Part 2: Low-thrust Transfers[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2006, 43(5): 1043-1047.

[5] DERZ U, SEBOLDT W. Mars Sample Return Mission Architectures Utilizing Low Thrust Propulsion[J]. Acta Astronautica, 2012, 77: 83-96.

[6] CHUANG C H, GOODSON T D, LEDSINGER L A. Theory and Computation of Optimal Low- and Medium-thrust Orbit Transfers: NASA-CR-202202[R]. Huntsville, Alabama: Marshall Space Flight Center, 1996.

[7] GAO Y. Advances in Low-thrust Trajectory Optimization and Flight Mechanics[D]. Columbia: University of Missou, 2003.

[8] REDDING D, BREAKWELL J V. Optimal Low-thrust Transfers to Synchronous Orbit[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1984, 7(2): 148-155.

[9] NAH R S, VADALI S R, BRADEN E. Fuel-optimal Low-thrust Three-dimensional Earth-Mars Trajectories[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2001, 24(6): 1100-1107.

[10] KLUEVER C A. Optimal Low-thrust Interplanetary Trajectories by Direct Method Techniques[J]. Journal of the Astronautical Sciences, 1997, 45(3): 247-262.

[11] BETTS J T, ERB S O. Optimal Low Thrust Trajectories to the Moon[J]. SIAM Journal of Applied Dynamical Systems. 2003, 2(2): 144-170.

[12] 朱永生. 地球-火星轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計與優(yōu)化技術(shù)研究[D]. 南京: 南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院, 2013. ZHU Yongsheng. Research on Design and Optimization of Earth-Mars Transfer Orbit[D]. Nanjing: College of Astronautics, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2013. (in Chinese).

[13] 尚海濱, 崔平遠, 欒恩杰. 地球-火星的燃料最省小推力轉(zhuǎn)移軌道的設(shè)計與優(yōu)化[J]. 宇航學(xué)報, 2006, 27(6): 1168-1173. SHANG Haibin, CUI Pingyuan, LUAN Enjie. Design and Optimization of Earth-Mars Optimal-fuel Low-thrust Trajectory[J]. Journal of Astronautics, 2006, 27(6): 1168-1173. (in Chinese).

[14] WALL B, CONWAY B A. Near-optimal Low-thrust Earth-Mars Trajectories via a Genetic Algorithm[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2005, 28(5): 1027-1031.

[15] 彭坤, 徐世杰, 果琳麗, 等. 基于人工免疫算法的地球-火星小推力轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化[J]. 中國空間科學(xué)技術(shù), 2012, 32(5): 61-68. PENG Kun, XU Shijie, GUO Linli, et al. Optimization of Earth-Mars Low-thrust Trajectory Based on Artificial Immune Algorithm[J]. Chinese Space Science and Technology, 2012, 32(5): 61-68. (in Chinese).

[16] LIU F, LIAO Y, YANG X R. Optimal Design of Earth-Mars Low-thrust Trajectory Transfer Based on Ordinal Optimization Theory [C]//International Conference on Information Engineering and Computer Science, Dec 19-20, 2009, Wuhan, China. IEEE, 2009.

[17] PIERSON B L, KLUEVER C A. Three-stage Approach to Optimal Low-thrust Earth-Moon Trajectories[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1994, 17(6): 1275-1281.

[18] KLUEVER C A, PIERSON B L. Optimal Low-thrust Three-dimensional Earth-Moon Trajectories[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1995, 18(4): 830-837.

[19] GAO Y, KLUEVER C A. Low-thrust Interplanetary Orbit Transfers Using Hybrid Trajectory Optimization Method with Multiple Shooting, AIAA 2004-5088[C]//AIAA/AAS Astrodynamics Specialist Conference and Exhibit, Aug 16-19, 2004, Providence, Rhode Island. AIAA, 2004.

[20] 任遠, 崔平遠, 欒恩杰. 利用混合法進行地球-火星小推力軌道設(shè)計[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報, 2007, 39(3): 359-362. REN Yuan, CUI Pingyuan, LUAN Enjie. An Earth-Mars Low-thrust Trajectory Design Based on Hybrid Method[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2007, 39(3): 359-362. (in Chinese).

Hybrid Design Method of Earth-Mars Transfer Trajectory for Low-thrust Spacecraft

PENG Kun ZENG Hao TIAN Lin HOU Zhendong

（Institute of Manned Space System Engineering, China Academy of Space Technology, Beijing 100094, China）

Due to the high specific impulse of the propulsion system, low-thrust spacecraft can save a lot of propellant in orbit maneuvers, which can be used in the Earth-Mars orbit transfer in the future Mars exploration. A hybrid design method is proposed to optimize Earth-Mars transfer trajectory for low-thrust spacecraft in this paper. Optimal control law of low-thrust engine is determined via maximum principle, the transversality condition is abandoned, the terminal state variables errors and terminal mass are chosen as evaluation index, and artificial immune algorithm is applied to optimize the adjoint variables and flight time. The solving results of hybrid method, indirect method and direct method show that the optimization time of the hybrid method is 33% shorter than direct method, and the propellant consumptions of the hybrid method and direct method are almost the same. Furthermore, the propellant consumption and state variables of hybrid method are well consistent with the indirect method, which proves the solving results of hybrid method is very close to the optimal solution.

Earth-Mars transfer trajectory; low-thrust; hybrid method; artificial immune algorithm; Mars exploration

V412.4

A

1009-8518(2020)01-0010-08

10.3969/j.issn.1009-8518.2020.01.002

2019-12-11

載人航天預(yù)先研究項目（010201）；中國空間技術(shù)研究院杰出青年人才計劃

彭坤, 曾豪, 田林, 等. 小推力航天器的地球—火星轉(zhuǎn)移軌道混合設(shè)計方法[J]. 航天返回與遙感, 2020, 41(1): 10-17.

PENG Kun, ZENG Hao, TIAN Lin, et al. Hybrid Design Method of Earth-Mars Transfer Trajectory for Low-thrust Spacecraft[J]. Spacecraft Recovery & Remote Sensing, 2020, 41(1): 10-17. (in Chinese)

彭坤，男，1984年生，2010年獲北京航空航天大學(xué)飛行器設(shè)計專業(yè)博士學(xué)位，高級工程師。研究方向為航天器總體設(shè)計、任務(wù)規(guī)劃與軌道設(shè)計優(yōu)化。E-mail：bhkpeng@126.com。

（編輯：王麗霞）