夏天，周燕飛，張翔，王立超

(南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

0 引言

液壓馬達(dá)的裝配過程是其生命周期中極其重要的一個(gè)階段。裝配質(zhì)量的好壞可以影響著液壓馬達(dá)的性能與效率，而在整個(gè)階段中，裝配公差又直接決定著液壓馬達(dá)的裝配成功率以及經(jīng)濟(jì)性[1]。因此，為了獲得理想的結(jié)果，設(shè)計(jì)者必須深入研究液壓馬達(dá)裝配階段的公差問題，從而提高液壓馬達(dá)性能，降低成本。

一般的裝配就是指將實(shí)際零件進(jìn)行組裝安排的過程，裝配結(jié)束后，可以利用真實(shí)的液壓馬達(dá)來實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品的檢驗(yàn)和評(píng)價(jià)。在此之后，任何對(duì)于液壓馬達(dá)的改動(dòng)，都需要重新對(duì)零部件進(jìn)行設(shè)計(jì)與制造。因此，如果液壓馬達(dá)裝配公差設(shè)計(jì)得不合理，不僅不能滿足裝配準(zhǔn)確度的要求，而且也會(huì)導(dǎo)致返工或修改，使得裝配成功率降低，浪費(fèi)大量人力、時(shí)間等，甚至?xí)绊懸簤厚R達(dá)的安全使用與使用壽命，所以要對(duì)液壓馬達(dá)進(jìn)行公差分析。

公差分析，不僅可以用于分析裝配尺寸鏈的公差，同時(shí)也可稱為公差累積分析，是在裝配體零部件的結(jié)構(gòu)和尺寸變動(dòng)范圍都已明晰的情況下，計(jì)算封閉環(huán)的尺寸范圍，它初始以二維圖樣為基礎(chǔ)，利用尺寸鏈和公差帶進(jìn)行計(jì)算。這種傳統(tǒng)的計(jì)算手段與方法，不僅工作量龐大、效率低，而且校核起來也十分困難，因此需要對(duì)計(jì)算方法進(jìn)行優(yōu)化。

公差分析有極值法和統(tǒng)計(jì)法。統(tǒng)計(jì)法以概率論為計(jì)算的數(shù)學(xué)理論依據(jù)，針對(duì)組成環(huán)的分布特征，進(jìn)行計(jì)算分析封閉環(huán)尺寸，與極值法相比，更具有實(shí)際性。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量的研究，SALOMON參與研發(fā)的FROOM系統(tǒng)被用于二維尺寸鏈的公差分析[2]。TAGUCHI通過“三種水平析因試驗(yàn)”計(jì)算出變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)以及各階中心距，確定封閉環(huán)尺寸公差[3]。陳飛、徐學(xué)林對(duì)尺寸鏈中形位公差的應(yīng)用有著大量的貢獻(xiàn)[4]，張煒在此基礎(chǔ)之上對(duì)其進(jìn)行了更為深入的研究[5]。

本文研究的是有關(guān)形位公差的具體公差分析，利用公差原則來處理形位公差和尺寸公差之間的關(guān)系[6-7]，通過使用極值法、蒙特卡洛法進(jìn)行分析比較，在此過程中對(duì)于結(jié)果采用“3σ”原則。

1 理論分析

裝配公差分析時(shí)，如果是想要將形位公差作為組成環(huán)的一部分，就需要學(xué)會(huì)處理形位公差與尺寸公差的關(guān)系。

公差原則主要是用來分析形位、尺寸在尺寸鏈中的關(guān)系，準(zhǔn)確地說，是利用相關(guān)原則來解決二者之間的關(guān)系。公差原則包含獨(dú)立原則、包容原則、最大實(shí)體原則和最小實(shí)體原則。它們利用被測(cè)要素所要按照的界限不一樣而進(jìn)行辨別[8]。

包容原則用于確保孔、軸之間的相互配合，它對(duì)于公差配合的要求是很高的。包容原則利用最大實(shí)體界限來分析孔、軸的配合所要的間隙或者過盈情況。形位公差不會(huì)對(duì)封閉環(huán)有著影響，在尺寸鏈的建立過程中，只需知道裝配零部件的尺寸及公差，其對(duì)應(yīng)的形位公差不需要放入尺寸鏈中。

獨(dú)立原則是指圖樣上的相關(guān)公差都是各自獨(dú)立的，它們之間沒有相互關(guān)系，只要實(shí)現(xiàn)規(guī)定的要求即可。由于沒有其特有的符號(hào)，一般情況如果沒有標(biāo)注其他原則，就可以認(rèn)為是根據(jù)獨(dú)立原則。尺寸公差只影響實(shí)際尺寸的改變，它將尺寸限定在確定的極限范圍內(nèi)，影響不到形狀和位置公差。形位公差可以影響到零件的形狀和位置，但和尺寸公差沒有關(guān)系。在進(jìn)行尺寸鏈的計(jì)算分析中，不僅要將尺寸公差放入其中，還需要將形位公差也作為尺寸鏈的一部分進(jìn)行計(jì)算。

當(dāng)零部件按獨(dú)立原則進(jìn)行設(shè)計(jì)分析時(shí)，形位公差上、下偏差如果是對(duì)稱的，那么就可以將它作為增環(huán)或者說是減環(huán)，它們對(duì)封閉環(huán)的影響水平是一樣的，它們的尺寸表示為 0±T(其中T為封閉環(huán)公差 )。

2 計(jì)算方法

對(duì)于公差分析來說，可以選擇兩種方法來進(jìn)行計(jì)算，第一種是極值法。極值法以零部件的完全互換性為出發(fā)點(diǎn)來進(jìn)行分析計(jì)算，是利用各個(gè)組成環(huán)尺寸的最大值、最小值來求解封閉環(huán)的計(jì)算方式，即只分析組成環(huán)都是極限偏差值的情況。只要組成環(huán)的公差在允許的尺寸范圍里，那么產(chǎn)品就是符合規(guī)范的。

極值法計(jì)算公式：

式中：Mi為増環(huán)尺寸；Ni為減環(huán)尺寸；m為增環(huán)數(shù)；n為總環(huán)數(shù)，由上式得封閉環(huán)的極值公式如下：

極值法，是一種比較直接的計(jì)算方法，是指組成環(huán)尺寸都是處于最大或者最小極限值的情況。在尺寸鏈計(jì)算中，極限法能夠完全保證產(chǎn)品的使用要求與規(guī)范。極值法考慮的極端情況，在試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率幾近為0。使用極值法進(jìn)行公差分析，會(huì)使零部件加工成本變大，經(jīng)濟(jì)性和實(shí)用性不是很好。極值法雖然簡(jiǎn)單準(zhǔn)確，但也需要分析其適用范圍和利害關(guān)系，因此極值法不是最優(yōu)的方法。它可以應(yīng)用于那些加工公差等級(jí)要求高、生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)性差的重要產(chǎn)品中。

蒙特卡洛法[9]是以概率論為數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，通過對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行大量的統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)，模擬隨機(jī)數(shù)據(jù)來求解問題的數(shù)值方法。在機(jī)械加工中，生產(chǎn)加工出來的液壓馬達(dá)零件尺寸公差都根據(jù)正態(tài)分布。正態(tài)分布N(μ,σ) 的隨機(jī)數(shù)與[0,1] 均勻分布的隨機(jī)數(shù)可以相互轉(zhuǎn)換，假定在[0,1]上，有2個(gè)組成環(huán)尺寸(公差)的隨機(jī)數(shù)R1、R2，它們相互獨(dú)立，則滿足N(0,1) 的組成環(huán)尺寸的隨機(jī)數(shù)R1、R2為：

相對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布N(μ,σ)上的隨機(jī)數(shù)T1、T2為：

當(dāng)組成環(huán)的尺寸出現(xiàn)極值時(shí)，所求的封閉環(huán)尺寸也是極值。想要避免小概率事件的出現(xiàn)，就要對(duì)封閉環(huán)尺寸進(jìn)行處理，選擇采用“3σ”原則，即對(duì)于隨機(jī)數(shù)不在(μ-3σ，μ+3σ)區(qū)間的值進(jìn)行舍去。封閉環(huán)公差為：

式中A0max、A0min為封閉環(huán)極限值。

3 計(jì)算過程

本文以擺線液壓馬達(dá)擺線輪(圖1)為實(shí)例，進(jìn)行實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算與分析，采用獨(dú)立原則來分析尺寸公差與形位公差之間的關(guān)系。

圖1 擺線液壓馬達(dá)結(jié)構(gòu)圖

不考慮幾何公差的設(shè)計(jì)函數(shù)是：

A0=A1+A2-A3-A4

考慮幾何公差后的設(shè)計(jì)函數(shù)是：

A0=A1+A2-A3-A4-f1-f2

圖2 尺寸鏈

批量加工零部件的尺寸公差呈正態(tài)分布，某些幾何誤差的分布屬于偏心分布，即形位公差按照瑞麗分布。

在 MATLAB中編制簡(jiǎn)單的程序來實(shí)現(xiàn)公差分析的蒙特卡洛模擬。分別進(jìn)行1000次、10000次以及50000次抽樣，其結(jié)果分別見圖3、圖4、圖5。數(shù)據(jù)整理以后的結(jié)果見表1。

表1 基于蒙特卡洛的公差計(jì)算結(jié)果

圖3 抽樣1000次的公差隨機(jī)分布圖

圖4 抽樣10000次的公差隨機(jī)分布圖

圖5 抽樣50000次的公差隨機(jī)分布圖

考慮幾何公差以及未考慮幾何公差的封閉環(huán)計(jì)算結(jié)果都需要遵循“3σ”原則。

從上述表格可以看出，進(jìn)行公差分析時(shí)，考慮到形位公差計(jì)算出來的公差范圍比沒有考慮到的時(shí)候更大，如圖6、圖7所示，這是由于形位誤差表現(xiàn)為配合表面形狀上的變化。在線性尺寸鏈計(jì)算時(shí)考慮理想表面的接觸方式，忽略了幾何變動(dòng)對(duì)接觸點(diǎn)的影響。

圖6 未考慮形位公差的封閉環(huán)公差

圖7 考慮形位公差的封閉環(huán)公差

4 結(jié)語

對(duì)于液壓馬達(dá)裝配進(jìn)行公差分析時(shí)，使用極值法、蒙特卡洛法進(jìn)行理論計(jì)算和仿真分析后，可以看出，液壓馬達(dá)中的形位公差對(duì)其封閉環(huán)公差影響較大，在實(shí)際液壓馬達(dá)裝配中，如果需要精確地進(jìn)行分析計(jì)算，考慮形位公差的影響是很有必要的。如果沒有將形位公差放入尺寸鏈的計(jì)算當(dāng)中，求得結(jié)果也只是估算值，只有考慮分析了形位公差后，計(jì)算結(jié)果才會(huì)更加接近實(shí)際。同時(shí)引入了“3σ”原則，使得到的公差精度更高。