王 濤, 武淑紅, 王耀力

(太原理工大學信息與計算機學院，晉中 030600)

實際生活中受到地形、經(jīng)濟等多方面條件的限制，氣象站點的設(shè)置很不均勻，這就導致一些地區(qū)的氣象數(shù)據(jù)獲取困難。近年來通常是通過對這些地區(qū)的氣象數(shù)據(jù)進行空間插值預測來獲取整個地區(qū)完整且準確的氣象數(shù)據(jù)[1]。由于氣象因子的形成是一個復雜的非線性過程，因此大部分學者采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法進行氣象插值研究。Snell等[2]第一次將人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于氣溫空間插值且預測精度高于反距離加權(quán)法和泰森多邊形等傳統(tǒng)插值方法。王兆禮等[3]采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對降雨量進行空間插值預測。Tang等[4]構(gòu)建了基于粗糙集的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)插值模型用于解決實時氣象數(shù)據(jù)不完整、存在缺失的問題。Appelhans等[5]使用14種機器學習方法對Kilimanjaro山南部斜坡的溫度變量的空間插值進行了測試和評估。邱云翔等[6]將粒子群算法優(yōu)化的反向傳播(back-propagation，BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分別用于三峽區(qū)間流域日、月和年降雨的空間插值預測研究。李純斌等[7]以甘肅省降水量為研究對象構(gòu)建基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機的降水量空間插值模型。王亞琴[1]采用在輸入與輸出之間加直接連接的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行氣溫插值預測，實驗結(jié)果表明BPNN-DIOC(back-propagation neural network with direct input-output connections)預測精度更高。

然而，傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法需要復雜的結(jié)構(gòu)調(diào)整和大量的網(wǎng)絡(luò)訓練計算，耗時較長。針對這些問題，Chen等[8]提出的寬度學習系統(tǒng)(broad learning system，BLS)提供了一種高效率的訓練方法，因其簡單、高效等優(yōu)點廣泛地應(yīng)用于各種分類和預測任務(wù)中。因此，基于寬度學習方法提出了一種半監(jiān)督寬度學習模型(semi broad learning system, SBLS)用于解決氣溫空間插值問題。因為寬度學習屬于有監(jiān)督學習方法，故結(jié)合稀疏編碼算法來更好地利用數(shù)據(jù)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和特征，首先利用稀疏編碼進行字典學習，然后將字典映射到一個代碼向量來重建樣本數(shù)據(jù)，最后將新的樣本數(shù)據(jù)引入寬度學習系統(tǒng)建立半監(jiān)督寬度學習模型(SBLS)。

圖2 寬度學習系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖[8]

1 相關(guān)知識

1.1 寬度學習系統(tǒng)

傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法如反向傳播(back-propagation，BP)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)，因其反向傳播計算耗時長、容易陷入局部最優(yōu)等缺陷，網(wǎng)絡(luò)的預測性能往往受初始化區(qū)域的影響較大。為了有效解決這些問題，不少學者致力于尋求結(jié)構(gòu)簡單的單層網(wǎng)絡(luò)模型，利用嶺回歸直接求解全局最優(yōu)來優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)的效率，因此基于寬度的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)逐漸發(fā)展起來[9]。典型的方法有：單層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(single layer feedforward neural networks, SLFN)[10]、隨機向量功能鏈接網(wǎng)絡(luò)(random vector functional link neural network, RVFLNN)[11]、極限學習機(extreme learning machine, ELM)[12]等。

寬度學習系統(tǒng)(broad learning system, BLS)是一種具有平面功能鏈路結(jié)構(gòu)的隨機向量單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，是典型的RVFLNN[13]。傳統(tǒng)的功能鏈接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)如圖1所示。然而，與原始的RVFLNN不同的是，輸入與輸出之間的直接連接被一組映射特征所替代，通過特征映射將輸入樣本變換為特征節(jié)點，特征節(jié)點再經(jīng)由非線性映射生成增強節(jié)點。特征節(jié)點和增強節(jié)點共同作為系統(tǒng)的輸入，經(jīng)由連接矩陣線性輸入。不同于傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法采用梯度下降法等求解權(quán)值，迭代耗時長且容易陷入局部最優(yōu)，寬度學習系統(tǒng)采用嶺回歸廣義逆直接求解連接權(quán)值。網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示。

圖1 功能鏈接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖[8]

1.2 稀疏編碼

稀疏編碼(sparse coding)是深度學習的一個重要分支，能夠很好地提取數(shù)據(jù)集的特征，在分類和回歸問題中都取得了成功。該算法是一種無監(jiān)督學習算法，它通過尋找一組“超完備”基向量來更加高效地表示樣本數(shù)據(jù)?！俺陚洹被梢愿行У卣页鲭[含在樣本數(shù)據(jù)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和模式。稀疏編碼是將輸入樣本X分解為多個基元的線性組合，這些基前面的系數(shù)表示輸入數(shù)據(jù)的特征，其分解公式表達為

(1)

式(1)中：φi是分解的基向量;ai是基向量對應(yīng)的系數(shù)。為保證找到的基向量能更容易地學到輸入數(shù)據(jù)內(nèi)在的結(jié)構(gòu)和特征，一般要求基向量的個數(shù)k非常大，至少比X中元素個數(shù)n要大，因此，分解系數(shù)a不能唯一確定，要對其作一個稀疏性約束，即最小化以下函數(shù)：

(2)

式(2)中：第一部分是使稀疏編碼算法為輸入數(shù)據(jù)提供一個高擬合度的線性表達式，第二部分是稀疏懲罰項，即使得分解系數(shù)a變得稀疏。

2 基于半監(jiān)督寬度學習系統(tǒng)的氣溫空間插值模型

為使氣溫空間插值有更高的預測性能和更少的時間損耗，對寬度學習系統(tǒng)進行了一定程度的創(chuàng)新和改進，提出了能更高效地找出樣本數(shù)據(jù)內(nèi)部特征的半監(jiān)督寬度學習系統(tǒng)(semi broad learning system, SBLS)。

2.1 半監(jiān)督寬度學習系統(tǒng)

半監(jiān)督寬度學習系統(tǒng)(SBLS)是利用稀疏編碼算法進行特征提取的寬度學習結(jié)構(gòu)。該算法的訓練過程分為可分為三個部分：首先，利用稀疏編碼進行字典學習，然后將字典映射到一個代碼向量來重建樣本數(shù)據(jù)；其次，將新的樣本數(shù)據(jù)映射到特征層，然后經(jīng)過非線性映射將特征層映射到增強層，最后，將特征層和增強層作為整體輸入連接到輸出層；通過嶺回歸直接求解從輸入層到輸出層的連接權(quán)值。

2.1.1 字典學習

將稀疏編碼算法看成是構(gòu)造包含k個向量的字典D，通過將字典映射到一個代碼向量來重建輸入樣本X的一種方法。字典D可由優(yōu)化以下函數(shù)得到：

(3)

式(3)中：代碼向量s(i)是與字典D關(guān)聯(lián)的每個x(i)的新表示形式；字典D是無監(jiān)督特征表示的關(guān)鍵，通過不斷更新字典D和代碼向量s(i)使得上式最小，每次迭代分兩步，第一步固定字典D，逐個使用樣本數(shù)據(jù)X來優(yōu)化代碼向量s(i)，第二步固定系數(shù)，一次性處理多個樣本數(shù)據(jù)對基向量進行優(yōu)化。不斷迭代直至收斂，這樣就得到一組能有效表示輸入樣本的超完備基，即字典。一旦字典確定，將輸入樣本映射到新的特征向量的函數(shù)f(x;D)就可以確定。對于任意非線性函數(shù)g()，式(4)是得到新的特征向量的首選。

f(x;D)=g(DTx)

(4)

2.1.2 特征映射

將重建的樣本數(shù)據(jù)表示為R，通過函數(shù)φi(RWei+βei),i=1,2,…,n生成第i組映射特征Zi，特征映射的權(quán)重Wei是從分布密度ρ(ω)中隨機抽樣，具體說就是，映射特征的維度由Wei決定。最后，將特征映射的第i個集合表示為Zi≡[Z1,Z2,…,Zi]，增強節(jié)點的第j組集合表示為Hj，是由函數(shù)ξj(ZiWhj+βhj)映射來的。同樣地增強節(jié)點的第j個集合也表示為Hj≡[H1,H2,…,Hj],并且增強節(jié)點的隨機權(quán)重Whj也是從分布密度ρ(ω)中抽樣得到的。對于給定的輸入數(shù)據(jù)R，假設(shè)寬度學習網(wǎng)絡(luò)有n組映射特征，每組映射特征有k個節(jié)點，特征映射的過程可由式(5)表示:

Zi=φ(RWei+βei),i=1,2,…,n

(5)

n組映射特征的集合記為Zn≡[Z1,Z2,…,Zn],第m組增強節(jié)點的生成過程由式(6)表示：

Hm≡ξ(ZnWhm+βhm)

(6)

因此，上述構(gòu)建的半監(jiān)督寬度學習系統(tǒng)可表示為

Y[Z1,Z2,…,Zn|ξ(ZnWh1+βh1),…,ξ(ZnWhm+βhm)]W′=[Z1,Z2,…,Zn|H1,H2,…,Hm]Wm=[Zn|Hm]Wm

(7)

式(7)中：矩陣Wm是由[Zn|Hm]的偽逆推導出來的：

Wm=[Zn|Hm]+Y

(8)

在本算法中，矩陣的偽逆由嶺回歸直接逼近得到，公式為

[Zn|Hm][Zn|Hm]T}-1[Zn|Hm]T

(9)

式(9)中：λ是常規(guī)的L2范數(shù)正則化。最后，預測值可由式(10)計算得到：

Y=[Zn|Hm]Wm

(10)

該模型的主要學習步驟如下：

(1)對于輸入數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)預處理是很重要的，為消除不同數(shù)據(jù)類型的量綱造成的差異，將數(shù)據(jù)歸一化到[0,1]。另外，為克服相鄰向量間的相關(guān)性應(yīng)對數(shù)據(jù)進行白化。

(2)對于給定的未標記數(shù)據(jù)，可以無監(jiān)督地學習上一節(jié)描述的字典矩陣D。此外，它的列提供樣本數(shù)據(jù)的稀疏投影。

(3)字典確定后，將輸入樣本映射到新的特征向量的函數(shù)就可以確定。

(4)將得到的新特征向量引入寬度學習系統(tǒng)進行分類預測等研究。

因此，基于稀疏編碼的半監(jiān)督寬度學習算法的步驟見表1。

表1 半監(jiān)督寬度學習算法步驟

2.2 基于半監(jiān)督寬度學習系統(tǒng)的氣溫空間插值模型

圖3表示基于半監(jiān)督寬度學習系統(tǒng)的氣溫空間插值模型的結(jié)構(gòu)圖。在構(gòu)建好半監(jiān)督寬度學習模型的基礎(chǔ)上，以相關(guān)氣象數(shù)據(jù)作為系統(tǒng)的輸入，經(jīng)訓練得到的輸出為預測氣溫值。

圖3 基于半監(jiān)督寬度學習的氣溫空間插值模型

3 實驗結(jié)果分析

3.1 山西省氣象站點累年值日值氣溫

以山西省氣象站點的數(shù)據(jù)進行實驗，相關(guān)數(shù)據(jù)包括山西省108個氣象站點所處位置的經(jīng)、緯度和海拔，以及1981—2010年累年值日值氣溫。山西省大部分地區(qū)在5、6、7月份氣溫較高，空氣干燥，風力也較大，屬于森林火災高發(fā)期。僅選取5月1—5月7日的日值氣溫進行氣溫空間插值預測研究。

選取前70%的76個氣象站點的相關(guān)數(shù)據(jù)作為訓練樣本來構(gòu)建基于半監(jiān)督寬度學習的氣溫空間插值模型，其余的32個站點的數(shù)據(jù)作為測試樣本，以實驗整個區(qū)域的氣象數(shù)據(jù)空間化。輸入因子為氣象站點所處位置的經(jīng)度、緯度和海拔，輸入因子為該站點的日值氣溫，該模型的拓撲結(jié)構(gòu)如圖4所示。為實現(xiàn)對不同類型的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)一分析以提高預測精度，將數(shù)據(jù)按式(11)進行歸一化處理。

(11)

式(11)中：Tk表示原始數(shù)據(jù)；Tmax和Tmin分別表示原始數(shù)據(jù)的最大和最小值；tk表示原始數(shù)據(jù)的歸一化值。

3.2 對比實驗

為評測半監(jiān)督寬度學習模型(SBLS)的性能，進行了該模型與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及原始寬度學習系統(tǒng)(BLS)的比較。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采用只有一層隱含層的結(jié)構(gòu)，使用五折交叉驗證法來確定隱含層節(jié)點個數(shù)。BLS以只經(jīng)過歸一化的原始數(shù)據(jù)為輸入數(shù)據(jù)。

將以上三種方法均用于山西省108個氣象站點1981—2010累年值日值氣溫的插值預測研究。每次試驗進行5次取平均值。預測精度通過均方根誤差(RMSE)、平均百分比誤差(MAPE)和時間來評估。三種方法對32個測試站點的插值結(jié)果的RMSE和時間消耗分別見表2和表3，BP算法的預測值(Pre_BP)、BLS算法的預測值(Pre_BLS)及SBLS算法的預測值(Pre_SBLS)與真實值(Actual)的比較如圖5所示，由此可得以下結(jié)論。

圖5 32個測試站點5月1—7日在三種方法下的插值結(jié)果

(1)在本數(shù)據(jù)集上采用SBLS的RMSE最低，因為與BLS相比，SBLS加入了特征提取，更有效地找到樣本數(shù)據(jù)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和特征。

(2)BLS所用時間最短，SBLS次之，BP所用時間最長。因為BLS通過嶺回歸直接求解連接權(quán)值而且結(jié)構(gòu)簡單，而BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在使用梯度下降法更新參數(shù)時需要數(shù)次迭代。

(3)相比于BLS、SBLS所用時間長是因為稀疏編碼找字典時耗費大量時間。

表2 三種方法對測試站點插值結(jié)果的RMSE(5月1—7日)

表3 三種方法的時間消耗

3.3 參數(shù)分析

在SBLS中調(diào)整的參數(shù)有：每組映射特征包含的節(jié)點數(shù)、映射特征組數(shù)和增強節(jié)點數(shù)。將映射特征數(shù)記為N2，增強節(jié)點數(shù)記為N3，RMSE與N2、N3的關(guān)系如圖6所示，由圖6可得以下結(jié)論。

(1)隨著N2和N3的增加，數(shù)據(jù)集的RMSE呈現(xiàn)先下降后上升的趨勢，這是因為SBLS的預測能力隨著N2和N3的增加而逐漸增加并趨于飽和。

(2)過低的N2和N3會導致預測結(jié)果的RMSE較高，過高的N2和N3會增加額外的計算。

圖6 RMSE與N2、N3關(guān)系圖

3.4 結(jié)果分析

(1)從預測精度來說，本文SBLS的預測性能更高，因為它利用稀疏編碼將原始輸入數(shù)據(jù)映射到一個新的特征向量，充分發(fā)掘了數(shù)據(jù)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和特征。

(2)從消耗時間來看，與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，BLS和SBLS消耗的時間更少，原因是寬度學習需要訓練的參數(shù)遠少于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要訓練的參數(shù)，而且寬度學習使用嶺回歸直接求解，無需反復迭代。寬度學習的單隱層簡單結(jié)構(gòu)也是訓練時間更短的原因，但由于對照的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也只采用一層隱含層，故此點不作考慮。相比于BLS、SBLS由于使用額外的計算來獲取字典，因此更耗時。

(3)不能保證從具有任何參數(shù)設(shè)置的SBLS中獲取最低的RMSE，這是由于節(jié)點太少的話，在映射過程中會丟失很多信息。

另外，對提出的SBLS的缺點總結(jié)如下。

(1)與其他插值算法類似，BLS和SBLS都對輸入敏感。

(2)如果在映射特征層和增強層設(shè)置太多節(jié)點會占用大量內(nèi)存空間。

4 結(jié)論

為提高氣溫空間插值的預測性能并減少訓練時間，對寬度學習系統(tǒng)進行一定程度的改進，提出了能更高效地找出樣本數(shù)據(jù)內(nèi)部特征的半監(jiān)督寬度學習模型(SBLS)，其使用稀疏編碼找到一個字典來重建輸入樣本，然后通過寬度學習來進行插值預測。在山西省1981—2010累年值日值氣溫數(shù)據(jù)集上的實驗結(jié)果表明，SBLS不僅可以獲得更高的預測精度，而且比傳統(tǒng)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)耗費更少的時間。此外，對氣溫的研究只考慮了3個影響因子，未來還可以將SBLS用于更多影響因子的氣象空間插值研究中去。