鄭亞青，楊永柏

(華僑大學(xué)大學(xué)機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院，廈門(mén) 361021)

在過(guò)去的四十多年中，繩牽引并聯(lián)機(jī)器人獲得機(jī)器人學(xué)領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注和研究興趣。繩牽引并聯(lián)機(jī)器人具有潛在的大工作空間，易被重組和使用，具有高速運(yùn)動(dòng)和高的質(zhì)量負(fù)荷比等特性[1]，使得其在天文觀察、結(jié)構(gòu)建造設(shè)備、救援、服務(wù)和康復(fù)以及多空中機(jī)器人等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。然而，繩牽引并聯(lián)機(jī)器人也存在一定缺陷，即繩索必須被繃緊來(lái)產(chǎn)生作用在末端執(zhí)行器上的力和力矩；且繩索柔性有時(shí)不能被忽略的，由于彈性索和末端執(zhí)行器以及驅(qū)動(dòng)器這三者的動(dòng)力學(xué)之間存在非平凡的耦合，使得機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)和末端軌跡控制問(wèn)題變得非常復(fù)雜[2]。Gosselin教授提出一種2索牽引的平面并聯(lián)機(jī)構(gòu)(每根繩索被看成是一個(gè)無(wú)質(zhì)量的剛性桿和一個(gè)線性彈簧組成)，其動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)滿足微分平坦性從而使軌跡跟蹤控制問(wèn)題變得易被解決[3]。

針對(duì)一種含一彈性索的二索牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)，推導(dǎo)該機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，并用微分代數(shù)方法及經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)線性化反饋來(lái)線性化的一般性控制器形式，這兩種方法推導(dǎo)獲得與其對(duì)等的具有Brunovsky類(lèi)型正則形式的線性化和解耦化的系統(tǒng)。這兩種方法在本質(zhì)上是一致的，都是在尋找原系統(tǒng)的一個(gè)微分k-同胚，然后在其基礎(chǔ)上獲得用新的狀態(tài)坐標(biāo)表示的與原系統(tǒng)對(duì)等的Brunovsky類(lèi)型正則形式。兩種方法的區(qū)別在于：研究工具和具體推導(dǎo)過(guò)程的存在差異，微分代數(shù)方法用微分域擴(kuò)張表示機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，而用代數(shù)閉合及微分閉合一致來(lái)獲得與原系統(tǒng)對(duì)等的Brunovsky類(lèi)型正則形式，這兩個(gè)對(duì)等系統(tǒng)之間存在一個(gè)微分k-同胚[4]；經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)線性化反饋來(lái)線性化的一般性控制器形式方法是用無(wú)限維微分幾何將機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)方程限制成呈一個(gè)塊三角結(jié)構(gòu)的、帶有一般化的控制系數(shù)非線性控制器形式，通過(guò)對(duì)該非線性控制器采用一種特殊的準(zhǔn)靜態(tài)反饋，即可獲得與原狀態(tài)方程等價(jià)的具有Brunovsky正則形式的線性系統(tǒng)，這是微分代數(shù)方法的另一種表達(dá)[5]。前人針對(duì)該類(lèi)型的機(jī)構(gòu)，通過(guò)求解機(jī)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的廣義狀態(tài)方程的輸出函數(shù)關(guān)于狀態(tài)量x的Lie導(dǎo)數(shù)以及輸出函數(shù)和Lie導(dǎo)數(shù)關(guān)于輸入量u的偏微分表達(dá)來(lái)尋找其微分同胚φ(x)，并從φ(x)該微分同胚獲取新?tīng)顟B(tài)坐標(biāo)來(lái)推導(dǎo)出與原系統(tǒng)等價(jià)的具有Brunovsky類(lèi)型正則形式的線性系統(tǒng)[6]。

采用的兩種新的推導(dǎo)方法從不同的側(cè)面來(lái)理解和闡釋同一個(gè)問(wèn)題，其中微分代數(shù)屬于數(shù)學(xué)的一個(gè)分支；經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)線性化反饋來(lái)線性化的一般性控制器形式方法屬于非線性控制的內(nèi)容，其與文獻(xiàn)[6]所用的方法的區(qū)別在于：文獻(xiàn)[6]采用Lie-Backlund映射求微分k-同胚?，F(xiàn)采用第二種方法，并基于已有的利用微分幾何取得的研究結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo)。

1 含一彈性索的二索并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)

(1)

式(1)中：τ1為第一根繩的拉力值。

右方的那根繩索是無(wú)質(zhì)量、長(zhǎng)度為ρ2的剛性索。其中，

(2)

式(2)中：τ2為第二根繩的拉力值。

B1為滑輪1和繩連接點(diǎn)的坐標(biāo)；l為坐標(biāo)值;ρ1為繩1鋼性部分長(zhǎng)度

末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)方程可用方程(3)、方程(4)表示：

τ1=ks1

(3)

τ2=τ2

(4)

(5)

(6)

(7)

根據(jù)式(3)～式(7)，可獲得逆動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的解：

(8)

(9)

(10)

2 含一彈性索的二索并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Brunovsky類(lèi)型正則形式之推導(dǎo)：微分代數(shù)方法

文獻(xiàn)[4]利用微分代數(shù)知識(shí)，證明了一個(gè)用微分域擴(kuò)張表示的平坦化良好動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)可通過(guò)準(zhǔn)靜態(tài)狀態(tài)反饋獲得一個(gè)與其對(duì)等的具有Brunovsky類(lèi)型正則形式的線性化和解耦化的系統(tǒng)。首先定義幾個(gè)微分域擴(kuò)張，接著推導(dǎo)指出含1彈性索的2T繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是平坦化的良好動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，然后推導(dǎo)獲得與其等價(jià)的具有Brunovsky類(lèi)型正則形式的線性系統(tǒng)。

2.1 微分域擴(kuò)張

在微分代數(shù)方法中，機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)用微分域擴(kuò)張來(lái)定義，系統(tǒng)變量如輸入u，輸出y和狀態(tài)量x是代數(shù)對(duì)象，即一個(gè)域的元素，這些對(duì)象之間確定了系統(tǒng)的廣義狀態(tài)方程：

(11)

(12)

即

(13)

式(13)中：Ai為在k內(nèi)的帶有系數(shù)的多項(xiàng)式；k為給定的一個(gè)微分域，這定義了一個(gè)D/k〈u〉。

(2)給出一個(gè)線性化和解耦化的系統(tǒng)：

(14)

即

(15)

(16)

即

(17)

(18)

即

(19)

(20)

即

Gi(vi,ξ,u)=0,i=1,2

(21)

2.2 證明

(22)

3 含一彈性索的二索并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的Brunovsky類(lèi)型正則形式之推導(dǎo)

經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)線性化反饋來(lái)線性化的一般性控制器形式的思路是：在選擇合適的新?tīng)顟B(tài)坐標(biāo)的基礎(chǔ)上，利用無(wú)限維微分幾何將機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)方程限制成呈一個(gè)塊三角結(jié)構(gòu)的帶有一般化的控制系數(shù)非線性控制器形式，通過(guò)對(duì)該非線性控制器采用一種特殊的準(zhǔn)靜態(tài)反饋就可獲得與原狀態(tài)方程等價(jià)的擁有Brunovsky正則形式的線性系統(tǒng)。該方法是文獻(xiàn)[6]所采用的非線性控制理論二線性化過(guò)程的另一種表達(dá)。

證明：

(23)

(24)

(25)

(26)

式(26)滿足文獻(xiàn)[5]中所提到的是帶有一般化可控性系數(shù)的一般化非線性控制器形式，該控制器包含被函數(shù)終止的積分器鏈，這些函數(shù)代表系統(tǒng)的非線性且能通過(guò)正確的反饋被補(bǔ)償，因?yàn)樗鼈兪潜豢刂戚斎雞直接被達(dá)到的。

(27)

(28)

式中：(A，B)是Brunovsky對(duì)。

4 基于微分代數(shù)方法和基于經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)線性化反饋來(lái)線性化的一般性控制器形成的兩方法比較

4.1 微分代數(shù)方法

利用文獻(xiàn)[4]中的結(jié)論推導(dǎo)表明，以微分域擴(kuò)張表示的機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是一個(gè)平坦化的良好動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，通過(guò)準(zhǔn)靜態(tài)狀態(tài)反饋可獲得一個(gè)與其對(duì)等的具有Brunovsky類(lèi)型正則形式的線性化和解耦化的系統(tǒng)，這2個(gè)對(duì)等系統(tǒng)之間存在一個(gè)微分k-同胚。

4.2 經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)線性化反饋來(lái)線性化的一般性控制器形式

利用文獻(xiàn)[5]中的結(jié)論，在選擇合適的新?tīng)顟B(tài)坐標(biāo)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造呈“塊三角結(jié)構(gòu)”且?guī)в幸话慊目刂葡禂?shù)的非線性控制器，然后推導(dǎo)出與原機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)方程等價(jià)的擁有Brunovsky類(lèi)型正則形式的線性系統(tǒng)。該方法是方法一的另一種表達(dá)。

兩種方法在本質(zhì)上是一致的，側(cè)重點(diǎn)都是在尋找原系統(tǒng)的一個(gè)微分k-同胚，然后在其基礎(chǔ)上獲得用新的狀態(tài)坐標(biāo)表示的與原系統(tǒng)對(duì)等的Brunovsky類(lèi)型正則形式；差異在于研究工具和具體推導(dǎo)過(guò)程的不同，如第一種方法用微分域擴(kuò)張表示機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)而用代數(shù)閉合及微分閉合一致來(lái)獲得與原系統(tǒng)對(duì)等的Brunovsky類(lèi)型正則形式，第二種方法是用無(wú)限維微分幾何將機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)方程限制成呈一個(gè)塊三角結(jié)構(gòu)的帶有一般化的控制系數(shù)非線性控制器形式，通過(guò)對(duì)該非線性控制器采用一種特殊的準(zhǔn)靜態(tài)反饋就可獲得與原狀態(tài)方程等價(jià)的具有Brunovsky正則形式的線性系統(tǒng)。

5 結(jié)論

微分代數(shù)、經(jīng)準(zhǔn)靜態(tài)線性化反饋來(lái)線性化的一般性控制器形式這兩種方法都能推導(dǎo)獲得與原機(jī)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程等價(jià)的具有Brunovsky正則形式的線性系統(tǒng)，因?yàn)閮煞N方法本質(zhì)上是一致的，側(cè)重點(diǎn)都是在尋找原系統(tǒng)的一個(gè)微分k-同胚，然后在其基礎(chǔ)上獲得用新的狀態(tài)坐標(biāo)表示的與原系統(tǒng)對(duì)等的Brunovsky類(lèi)型正則形式；差異在于研究工具和具體推導(dǎo)過(guò)程的不同。