張勝男，許燕斌，董峰

(天津大學電氣自動化與信息工程學院 天津市過程檢測與控制重點實驗室,天津 300072)

正則化算法是處理圖像重建等逆問題病態(tài)性的重要方法之一[1-3]，但是其重建結果受正則化目標函數(shù)的懲罰項以及正則化參數(shù)的影響很大，且其迭代求解過程耗費很長時間。近些年來，帶有稀疏約束的正則化算法在圖像處理等領域取得了很大進展[4]。迭代收縮閾值算法(iterative shrinkage thresholding algorithm，ISTA)為該算法的重要方法之一[5-6]，由于該算法計算簡單，求解時間較短，被廣泛應用于逆問題求解中。為了加快其收斂速度，2009年Beck和Teboulle[7]提出一種快速迭代收縮閾值算法(fast iterative shrinkage thresholding algorithm，F(xiàn)ISTA)，該算法保存了原有算法計算形式的簡單性，但在收斂性分析和實驗數(shù)據(jù)上都優(yōu)于ISTA算法。閾值收縮算子主要包括軟閾值收縮算子[8]、硬閾值收縮算子[9]、Firm閾值收縮算子[10]和一些改進的閾值收縮算子[11]等。閾值收縮算子中的閾值參數(shù)決定算子中的置零區(qū)域和衰減特性的大小，而這兩個因素對圖像重建的質量具有重要影響。

已有研究表明，當稀疏度較易估計且要求具有較高實時性的逆問題求解中，一般使用硬閾值收縮算子；當對稀疏度難以估計的問題進行求解時，使用軟閾值收縮算子；目前使用最多的FISTA算法就是基于軟閾值收縮算子的算法之一，但是軟閾值收縮算子中的閾值參數(shù)在整個迭代過程中始終保持不變，對結果中較大的數(shù)據(jù)進行衰減，導致最終解偏離真實解，使得圖像重建結果中的物體尺寸小于真實分布的物體尺寸，降低重建圖像的質量。

針對現(xiàn)有的稀疏正則化算法中閾值參數(shù)難以選取的問題，并結合FISTA算法中采用的加速方法[7]，提出一種快速自適應閾值迭代算法(fast iterative adaptive thresholding algorithm,FIATA)。該算法中采用的收縮算子的閾值參數(shù)在迭代求解過程中能夠根據(jù)解的稀疏度進行更新；同時為了研究閾值算子的衰減特性對圖像重建質量的影響，在該收縮算子中引入權重系數(shù)，使得該閾值算子的衰減特性能夠調整?？紤]電學層析成像(electrical tomography,ET)中被測物場的非連續(xù)性，以及其在逆問題求解過程具有嚴重的非線性和病態(tài)性問題[12]，稀疏正則化算法被應用到ET逆問題求解中，提高重建圖像的質量[13-16]。因此將FIATA算法應用于ET的圖像重建中，并與傳統(tǒng)的FISTA算法的重建結果進行比較，分別使用仿真和實驗驗證了該算法的可行性。

1 圖像重建算法

1.1 正則化算法

圖像重建中，測量信號經過處理、計算實現(xiàn)對原始信號的重構，其物理模型的線性化模型一般表示為

y=Ax.

(1)

式中：y為測量信號，A為靈敏度矩陣，x為所要重構的信號。

逆問題的求解，即已知測量信號和靈敏度矩陣，求解原始信號。由于靈敏度矩陣具有很高的條件數(shù)，導致逆問題的求解具有嚴重的病態(tài)性、欠定性等問題。正則化算法是處理逆問題病態(tài)性的重要方法之一，其通用目標函數(shù)為

(2)

式中：λ為正則化參數(shù)，用于調節(jié)正則化項G(x)和誤差項在目標函數(shù)中的比重，根據(jù)具體應用的需要設計為不同的形式。

1.2 稀疏正則化算法

近些年來，稀疏正則化算法在多個應用領域受到廣泛關注，其中以解的l1范數(shù)作為正則化項的l1正則化算法研究的最多，其目標函數(shù)為

(3)

式中：‖·‖1為向量的1范數(shù),表示為各個元素的絕對值之和。軟閾值函數(shù)是l1正則化目標函數(shù)的最近似映射，其迭代方式和閾值收縮算子[9]表示為：

女性主題的藝術作品創(chuàng)作總是顯得那么特別又通常，特別是從古代的巖畫對生殖圖騰的崇拜，尤其是女性圖騰，直到后來出現(xiàn)不斷演進的藝術流派，不得不說，“女性”一直是藝術家們愿意選擇抒發(fā)的題材。而對繪畫這一屬于視覺藝術的門類來說，女性則常常被作為很多作品表達的靈魂所在，則不管是中西方，作為一種有特別的視覺識別特征的性別，已變成藝術家們制造某種精神指向的重要符號之一。無論是“審美對象的女人”還是處于“精神化中的女人”，在特定時代的藝術家們總會把自己對于世界的看法，對獨特精神功能的感知通過女性形象來傳達。

xn+1=Ssoft(xn+AT(b-Axn)).

(4)

(5)

式中：x*=xn+AT(b-Axn)，xn為上一步的解，τ也是根據(jù)經驗選取的常量參數(shù)，決定軟閾值函數(shù)置零區(qū)域的寬度以及偏移量，與正則化目標函數(shù)中的正則化系數(shù)λ有著相同的功能，都是用來控制懲罰項懲罰力度的變量。

軟閾值收縮算子的函數(shù)形式如圖1(a)所示。該算子將解中小于τ的值置零，而大于τ的值均有一個絕對值為τ的衰減。對于較大數(shù)據(jù)的衰減使得在求解過程中會出現(xiàn)重建結果過于稀疏的問題，導致重建圖像中內含物的尺寸小于真實被測物場中介質的大小。

圖1 不同閾值收縮算子示意圖Fig.1 Different thresholding shrinkage operators

為解決軟閾值收縮算子對解衰減較大的問題，硬閾值收縮算子被提出。硬閾值函數(shù)的最近似映射為0正則化，其迭代方式以及硬閾值收縮算子[9]表示為：

xn+1=Shard(xn+AT(b-Axn)).

(6)

(7)

式中：x*=xn+AT(b-Axn)，xn為上一步的解，迭代閾值算子τ是根據(jù)經驗選取的常量參數(shù)。

硬閾值收縮算子的函數(shù)形式如圖1(b)所示。使用該算子在求解過程中，將解中小于τ的值都置零，而大于τ的值保持不變，解決了軟閾值收縮算子中衰減對結果造成的影響問題，但是其對應的目標函數(shù)具有嚴重的非凸特性，導致其在迭代求解過程中不能得到全局最優(yōu)解。

由于軟閾值和硬閾值收縮算子的限制，一個連續(xù)的、對迭代過程中較大數(shù)據(jù)衰減較少的Firm閾值被提出，其迭代格式和收縮算子[10]為：

xn+1=Sfirm(xn+AT(b-Axn)).

(8)

(9)

式中：x*=xn+AT(b-Axn)，xn為上一步的解，τ同樣是根據(jù)經驗選取的常量參數(shù)，決定置零區(qū)域寬度以及衰減量的大小。

Firm閾值收縮算子的函數(shù)形式如圖1(c)所示。使用該算子在迭代求解過程中，將小于閾值τ/2的數(shù)據(jù)置零，對于τ/2和τ之間的數(shù)據(jù)進行一定的衰減，而對大于閾值τ的數(shù)據(jù)則保持不變，減小了軟閾值算子帶來的較大衰減的問題，使得計算過程中逐步逼近真實解。但是由于閾值參數(shù)τ由經驗選取，而且在整個迭代求解過程中始終保持不變，使得重建圖像的質量因選取的閾值和模型的不同而發(fā)生變化，成像結果具有很大的不確定性。

2 自適應閾值迭代算法

針對上述問題，提出一種可以根據(jù)解的稀疏度自適應更新閾值參數(shù)的閾值收縮算子。此外，為了研究算子的衰減特性對重建結果的影響，在該算子中引入權重系數(shù)。采用該收縮算子的稀疏正則化算法FIATA的迭代形式和收縮算子的函數(shù)形式為：

xn+1=Svaried(xn+AT(b-Axn)).

(10)

(11)

式中：閾值τ是根據(jù)經驗選取的常量參數(shù)，是影響置零區(qū)域寬度及衰減量大小的因素之一；a(0≤a≤1)為權重系數(shù)，當權重系數(shù)不斷增大時，收縮算子對解的衰減也不斷增大；ρ是引入的能夠在迭代求解過程中不斷更新的閾值參數(shù)，同樣影響置零區(qū)域寬度和衰減量的大小。

根據(jù)解的稀疏度(非零元素個數(shù))，其更新策略可采用如下形式：

(12)

式中：Ki表示第n次迭代所得解中非零元素的個數(shù)，N為所有像素點的個數(shù)。

對于閾值參數(shù)在迭代過程中的更新，當滿足解的稀疏度降低、閾值參數(shù)增大或滿足解的稀疏度增大、閾值參數(shù)減小的趨勢，則更新策略有效。改變式(12)中Ki的具體表示形式，可以得到不同的更新策略。經過多次測試，不同的更新策略最終取得的結果相似。因此以下結果的更新策略均將采用式(12)的形式。

不同權重系數(shù)的自適應閾值收縮算子的函數(shù)形式如圖1(d)所示。相比Firm閾值收縮算子，自適應閾值算子能夠通過當前迭代解的稀疏度更新閾值，使得每一步求解更精確。同時通過權重系數(shù)a控制不同的衰減特性，一定程度上減小了重建結果過于稀疏帶來的問題，使得重建結果更接近真實分布。

3 仿真與實驗結果

3.1 仿真模型與結果分析

由于ET中被測物場的非連續(xù)性，以及其在逆問題求解過程中具有嚴重的非線性和病態(tài)性問題，因此可以將FIATA算法用于ET圖像重建中，以驗證該算法的可行性。仿真研究中，被測物場的背景電導率為1 S/m，內含物電導率為2 S/m。邊界測試數(shù)據(jù)通過COMSOL與MATLAB混合編程實現(xiàn)獲得，計算機配置為3.20 GHz的英特爾i5-6500CPU、4 G內存。由于ET圖像重建方法屬于差分成像，其靈敏度矩陣在滿場為均勻電導率時計算獲得，且在整個求解過程中沒有更新。

為公平比較FISTA算法和提出的FIATA算法，兩種算法迭代求解過程中所需要的參數(shù)選取保持一致。圖2為使用FISTA算法和具有不同衰減特性的FIATA算法對3種含有不同內含物的模型進行測試的最優(yōu)重建結果。在最優(yōu)重建結果的仿真中，初始閾值參數(shù)τ=max(ATy)/20，迭代終止條件Tol=0.000 8，預估稀疏度(非零元素個數(shù))K=20%×length(y)。

圖2 最佳參數(shù)條件下不同模型的重建結果Fig.2 Reconstructed images with optimal parameters

圖2中，兩種算法均能對被測物場進行重建。但是使用FIATA算法進行重建的圖像質量會隨著權重系數(shù)的變化而變化。當內含物分布如模型A所示的簡單結構時，兩種算法的重建結果差異較??；但是對于如模型B和模型C所示的兩個或多個目標分布形式，使用FISTA算法重建時，由于在迭代求解過程中閾值參數(shù)始終保持不變，對于較大的數(shù)據(jù)進行衰減，導致解的結果過于稀疏，重建的圖像中內含物的尺寸小于真實被測物場中內含物。而采用FIATA算法時，閾值參數(shù)隨著當前解的稀疏度不斷地進行更新，所以其重建的成像結果要明顯優(yōu)于FISTA算法。

為了對算法的重建結果進行定量分析，使用相關系數(shù)(correlation coefficient,CC)和相對誤差(relative error,RE)兩個圖像重建性能評價指標，其定義分別為：

(13)

(14)

圖3分別為對3種分布模型采用具有不同衰減特性的FIATA算法時重建圖像的CC和RE計算結果。

圖3 不同權重系數(shù)重建結果的相關系數(shù)和相對誤差Fig.3 CC and RE of reconstructed images with different weight coefficients

圖3中兩個性能指標隨FIATA算法中自適應閾值收縮算子衰減特性的變化而變化。對于模型A和模型B，隨著衰減特性的增強，成像結果的性能指標隨之提高；但是當算子的權重系數(shù)增加到0.5之后，圖像的質量將沒有明顯的改善。對于被測物場包含4個內含物、結構相對復雜的模型C，當權重系數(shù)為0.1時，其成像結果的性能達到最優(yōu)；當權重系數(shù)大于0.1后，隨著系數(shù)的增大、成像結果的性能降低。仿真結果表明，當重建內含物分布如模型A和模型B所示的簡單結構時，F(xiàn)IATA算法中宜采用較大的權重系數(shù)；對于如模型C所示的具有相對復雜的內含物分布，F(xiàn)IATA算法中使用較小的權重系數(shù)能夠提高重建結果的質量。

3.2 實驗結果

為進一步驗證FIATA算法對于求解逆問題的有效性以及衰減特性對于圖像重建質量的影響，采用ET實驗系統(tǒng)進行測試。測試系統(tǒng)為16電極傳感器，相鄰激勵、相鄰測量工作模式。被測場模型的背景介質是電導率為0.06 S/m的自來水，內含物是電導率為10-12S/m的尼龍棒。分別對圖4所示的3種分布模型進行測試，并使用FISTA算法和權重系數(shù)為0.1和0.5的FIATA算法進行重建，并對重建結果進行定量分析，其性能指標如表1所示。

圖4所示的內含物分布圖像重建結果中，采用具有衰減特性的FIATA算法重建的成像結果的質量相比于傳統(tǒng)的FISTA算法有所提高。表1中，實驗與仿真所獲得的圖像重建的性能(圖3所示)基本一致；當使用FIATA算法時，對于被測物場內含物分布相對簡單的模型M1和模型M2，選用權重系數(shù)為0.5的收縮算子時，所重建的圖像性能指標優(yōu)于FISTA算法；對于內含物分布較復雜的模型M3，選用權重系數(shù)為0.1的收縮算子時，重建結果的性能指標比FISTA算法有所提高。因此在實際測量中，根據(jù)被測物場中內含物分布復雜程度的在線估計，選擇FIATA算法的權重系數(shù)，能夠獲得較高的重建圖像質量。

圖4 實測系統(tǒng)的重建結果Fig.4 Reconstructed images for the experimental system

表1 不同算法重建結果的性能指標Table 1 Comparison of performance of reconstructed results among different algorithms

4 結論

為了改善稀疏正則化算法中閾值參數(shù)難以選取的問題，提出FIATA算法。該算法中采用的收縮算子通過在求解過程中根據(jù)解的稀疏度對閾值參數(shù)不斷調整，減小了傳統(tǒng)收縮算子對解的過懲罰，以求得更精確的解，提高重建圖像的質量。通過在該算子中引入權重系數(shù)，研究收縮算子的衰減特性對圖像重建質量的影響。當被測物場的內含物分布較為簡單時，采用較大的權重系數(shù)，對解進行大的衰減；當被測物場的內含物分布相對復雜時，通過使用較小的權重系數(shù)，對解進行較小程度的衰減，提高重建圖像的質量。

使用仿真和實驗分別驗證FIATA算法的可行性，該算法有望應用于其他模態(tài)的圖像重建中，同時能夠用于其他具有病態(tài)性的逆問題求解中。在未來的工作中，需進一步降低選取權重系數(shù)對被測物場內含物分布復雜程度在線估計的依賴，研究權重系數(shù)自適應選取的方法，提高FIATA算法的自適應能力。