張勝男，許燕斌，董峰

(天津大學電氣自動化與信息工程學院 天津市過程檢測與控制重點實驗室,天津 300072)

正則化算法是處理圖像重建等逆問題病態(tài)性的重要方法之一[1-3]，但是其重建結(jié)果受正則化目標函數(shù)的懲罰項以及正則化參數(shù)的影響很大，且其迭代求解過程耗費很長時間。近些年來，帶有稀疏約束的正則化算法在圖像處理等領(lǐng)域取得了很大進展[4]。迭代收縮閾值算法(iterative shrinkage thresholding algorithm，ISTA)為該算法的重要方法之一[5-6]，由于該算法計算簡單，求解時間較短，被廣泛應用于逆問題求解中。為了加快其收斂速度，2009年Beck和Teboulle[7]提出一種快速迭代收縮閾值算法(fast iterative shrinkage thresholding algorithm，F(xiàn)ISTA)，該算法保存了原有算法計算形式的簡單性，但在收斂性分析和實驗數(shù)據(jù)上都優(yōu)于ISTA算法。閾值收縮算子主要包括軟閾值收縮算子[8]、硬閾值收縮算子[9]、Firm閾值收縮算子[10]和一些改進的閾值收縮算子[11]等。閾值收縮算子中的閾值參數(shù)決定算子中的置零區(qū)域和衰減特性的大小，而這兩個因素對圖像重建的質(zhì)量具有重要影響。

已有研究表明，當稀疏度較易估計且要求具有較高實時性的逆問題求解中，一般使用硬閾值收縮算子；當對稀疏度難以估計的問題進行求解時，使用軟閾值收縮算子；目前使用最多的FISTA算法就是基于軟閾值收縮算子的算法之一，但是軟閾值收縮算子中的閾值參數(shù)在整個迭代過程中始終保持不變，對結(jié)果中較大的數(shù)據(jù)進行衰減，導致最終解偏離真實解，使得圖像重建結(jié)果中的物體尺寸小于真實分布的物體尺寸，降低重建圖像的質(zhì)量。

針對現(xiàn)有的稀疏正則化算法中閾值參數(shù)難以選取的問題，并結(jié)合FISTA算法中采用的加速方法[7]，提出一種快速自適應閾值迭代算法(fast iterative adaptive thresholding algorithm,FIATA)。該算法中采用的收縮算子的閾值參數(shù)在迭代求解過程中能夠根據(jù)解的稀疏度進行更新；同時為了研究閾值算子的衰減特性對圖像重建質(zhì)量的影響，在該收縮算子中引入權(quán)重系數(shù)，使得該閾值算子的衰減特性能夠調(diào)整?？紤]電學層析成像(electrical tomography,ET)中被測物場的非連續(xù)性，以及其在逆問題求解過程具有嚴重的非線性和病態(tài)性問題[12]，稀疏正則化算法被應用到ET逆問題求解中，提高重建圖像的質(zhì)量[13-16]。因此將FIATA算法應用于ET的圖像重建中，并與傳統(tǒng)的FISTA算法的重建結(jié)果進行比較，分別使用仿真和實驗驗證了該算法的可行性。

1 圖像重建算法

1.1 正則化算法

圖像重建中，測量信號經(jīng)過處理、計算實現(xiàn)對原始信號的重構(gòu)，其物理模型的線性化模型一般表示為

y=Ax.

(1)

式中：y為測量信號，A為靈敏度矩陣，x為所要重構(gòu)的信號。

逆問題的求解，即已知測量信號和靈敏度矩陣，求解原始信號。由于靈敏度矩陣具有很高的條件數(shù)，導致逆問題的求解具有嚴重的病態(tài)性、欠定性等問題。正則化算法是處理逆問題病態(tài)性的重要方法之一，其通用目標函數(shù)為

(2)

式中：λ為正則化參數(shù)，用于調(diào)節(jié)正則化項G(x)和誤差項在目標函數(shù)中的比重，根據(jù)具體應用的需要設(shè)計為不同的形式。

1.2 稀疏正則化算法

近些年來，稀疏正則化算法在多個應用領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注，其中以解的l1范數(shù)作為正則化項的l1正則化算法研究的最多，其目標函數(shù)為

(3)

式中：‖·‖1為向量的1范數(shù),表示為各個元素的絕對值之和。軟閾值函數(shù)是l1正則化目標函數(shù)的最近似映射，其迭代方式和閾值收縮算子[9]表示為：

女性主題的藝術(shù)作品創(chuàng)作總是顯得那么特別又通常，特別是從古代的巖畫對生殖圖騰的崇拜，尤其是女性圖騰，直到后來出現(xiàn)不斷演進的藝術(shù)流派，不得不說，“女性”一直是藝術(shù)家們愿意選擇抒發(fā)的題材。而對繪畫這一屬于視覺藝術(shù)的門類來說，女性則常常被作為很多作品表達的靈魂所在，則不管是中西方，作為一種有特別的視覺識別特征的性別，已變成藝術(shù)家們制造某種精神指向的重要符號之一。無論是“審美對象的女人”還是處于“精神化中的女人”，在特定時代的藝術(shù)家們總會把自己對于世界的看法，對獨特精神功能的感知通過女性形象來傳達。

xn+1=Ssoft(xn+AT(b-Axn)).

(4)

(5)

式中：x*=xn+AT(b-Axn)，xn為上一步的解，τ也是根據(jù)經(jīng)驗選取的常量參數(shù)，決定軟閾值函數(shù)置零區(qū)域的寬度以及偏移量，與正則化目標函數(shù)中的正則化系數(shù)λ有著相同的功能，都是用來控制懲罰項懲罰力度的變量。

軟閾值收縮算子的函數(shù)形式如圖1(a)所示。該算子將解中小于τ的值置零，而大于τ的值均有一個絕對值為τ的衰減。對于較大數(shù)據(jù)的衰減使得在求解過程中會出現(xiàn)重建結(jié)果過于稀疏的問題，導致重建圖像中內(nèi)含物的尺寸小于真實被測物場中介質(zhì)的大小。

圖1 不同閾值收縮算子示意圖Fig.1 Different thresholding shrinkage operators

為解決軟閾值收縮算子對解衰減較大的問題，硬閾值收縮算子被提出。硬閾值函數(shù)的最近似映射為0正則化，其迭代方式以及硬閾值收縮算子[9]表示為：

xn+1=Shard(xn+AT(b-Axn)).

(6)

(7)

式中：x*=xn+AT(b-Axn)，xn為上一步的解，迭代閾值算子τ是根據(jù)經(jīng)驗選取的常量參數(shù)。

硬閾值收縮算子的函數(shù)形式如圖1(b)所示。使用該算子在求解過程中，將解中小于τ的值都置零，而大于τ的值保持不變，解決了軟閾值收縮算子中衰減對結(jié)果造成的影響問題，但是其對應的目標函數(shù)具有嚴重的非凸特性，導致其在迭代求解過程中不能得到全局最優(yōu)解。

由于軟閾值和硬閾值收縮算子的限制，一個連續(xù)的、對迭代過程中較大數(shù)據(jù)衰減較少的Firm閾值被提出，其迭代格式和收縮算子[10]為：

xn+1=Sfirm(xn+AT(b-Axn)).

(8)

(9)

式中：x*=xn+AT(b-Axn)，xn為上一步的解，τ同樣是根據(jù)經(jīng)驗選取的常量參數(shù)，決定置零區(qū)域?qū)挾纫约八p量的大小。

Firm閾值收縮算子的函數(shù)形式如圖1(c)所示。使用該算子在迭代求解過程中，將小于閾值τ/2的數(shù)據(jù)置零，對于τ/2和τ之間的數(shù)據(jù)進行一定的衰減，而對大于閾值τ的數(shù)據(jù)則保持不變，減小了軟閾值算子帶來的較大衰減的問題，使得計算過程中逐步逼近真實解。但是由于閾值參數(shù)τ由經(jīng)驗選取，而且在整個迭代求解過程中始終保持不變，使得重建圖像的質(zhì)量因選取的閾值和模型的不同而發(fā)生變化，成像結(jié)果具有很大的不確定性。

2 自適應閾值迭代算法

針對上述問題，提出一種可以根據(jù)解的稀疏度自適應更新閾值參數(shù)的閾值收縮算子。此外，為了研究算子的衰減特性對重建結(jié)果的影響，在該算子中引入權(quán)重系數(shù)。采用該收縮算子的稀疏正則化算法FIATA的迭代形式和收縮算子的函數(shù)形式為：

xn+1=Svaried(xn+AT(b-Axn)).

(10)

(11)

式中：閾值τ是根據(jù)經(jīng)驗選取的常量參數(shù)，是影響置零區(qū)域?qū)挾燃八p量大小的因素之一；a(0≤a≤1)為權(quán)重系數(shù)，當權(quán)重系數(shù)不斷增大時，收縮算子對解的衰減也不斷增大；ρ是引入的能夠在迭代求解過程中不斷更新的閾值參數(shù)，同樣影響置零區(qū)域?qū)挾群退p量的大小。

根據(jù)解的稀疏度(非零元素個數(shù))，其更新策略可采用如下形式：

(12)

式中：Ki表示第n次迭代所得解中非零元素的個數(shù)，N為所有像素點的個數(shù)。

對于閾值參數(shù)在迭代過程中的更新，當滿足解的稀疏度降低、閾值參數(shù)增大或滿足解的稀疏度增大、閾值參數(shù)減小的趨勢，則更新策略有效。改變式(12)中Ki的具體表示形式，可以得到不同的更新策略。經(jīng)過多次測試，不同的更新策略最終取得的結(jié)果相似。因此以下結(jié)果的更新策略均將采用式(12)的形式。

不同權(quán)重系數(shù)的自適應閾值收縮算子的函數(shù)形式如圖1(d)所示。相比Firm閾值收縮算子，自適應閾值算子能夠通過當前迭代解的稀疏度更新閾值，使得每一步求解更精確。同時通過權(quán)重系數(shù)a控制不同的衰減特性，一定程度上減小了重建結(jié)果過于稀疏帶來的問題，使得重建結(jié)果更接近真實分布。

3 仿真與實驗結(jié)果

3.1 仿真模型與結(jié)果分析

由于ET中被測物場的非連續(xù)性，以及其在逆問題求解過程中具有嚴重的非線性和病態(tài)性問題，因此可以將FIATA算法用于ET圖像重建中，以驗證該算法的可行性。仿真研究中，被測物場的背景電導率為1 S/m，內(nèi)含物電導率為2 S/m。邊界測試數(shù)據(jù)通過COMSOL與MATLAB混合編程實現(xiàn)獲得，計算機配置為3.20 GHz的英特爾i5-6500CPU、4 G內(nèi)存。由于ET圖像重建方法屬于差分成像，其靈敏度矩陣在滿場為均勻電導率時計算獲得，且在整個求解過程中沒有更新。

為公平比較FISTA算法和提出的FIATA算法，兩種算法迭代求解過程中所需要的參數(shù)選取保持一致。圖2為使用FISTA算法和具有不同衰減特性的FIATA算法對3種含有不同內(nèi)含物的模型進行測試的最優(yōu)重建結(jié)果。在最優(yōu)重建結(jié)果的仿真中，初始閾值參數(shù)τ=max(ATy)/20，迭代終止條件Tol=0.000 8，預估稀疏度(非零元素個數(shù))K=20%×length(y)。

圖2 最佳參數(shù)條件下不同模型的重建結(jié)果Fig.2 Reconstructed images with optimal parameters

圖2中，兩種算法均能對被測物場進行重建。但是使用FIATA算法進行重建的圖像質(zhì)量會隨著權(quán)重系數(shù)的變化而變化。當內(nèi)含物分布如模型A所示的簡單結(jié)構(gòu)時，兩種算法的重建結(jié)果差異較?。坏菍τ谌缒Ｐ虰和模型C所示的兩個或多個目標分布形式，使用FISTA算法重建時，由于在迭代求解過程中閾值參數(shù)始終保持不變，對于較大的數(shù)據(jù)進行衰減，導致解的結(jié)果過于稀疏，重建的圖像中內(nèi)含物的尺寸小于真實被測物場中內(nèi)含物。而采用FIATA算法時，閾值參數(shù)隨著當前解的稀疏度不斷地進行更新，所以其重建的成像結(jié)果要明顯優(yōu)于FISTA算法。

為了對算法的重建結(jié)果進行定量分析，使用相關(guān)系數(shù)(correlation coefficient,CC)和相對誤差(relative error,RE)兩個圖像重建性能評價指標，其定義分別為：

(13)

(14)

圖3分別為對3種分布模型采用具有不同衰減特性的FIATA算法時重建圖像的CC和RE計算結(jié)果。

圖3 不同權(quán)重系數(shù)重建結(jié)果的相關(guān)系數(shù)和相對誤差Fig.3 CC and RE of reconstructed images with different weight coefficients

圖3中兩個性能指標隨FIATA算法中自適應閾值收縮算子衰減特性的變化而變化。對于模型A和模型B，隨著衰減特性的增強，成像結(jié)果的性能指標隨之提高；但是當算子的權(quán)重系數(shù)增加到0.5之后，圖像的質(zhì)量將沒有明顯的改善。對于被測物場包含4個內(nèi)含物、結(jié)構(gòu)相對復雜的模型C，當權(quán)重系數(shù)為0.1時，其成像結(jié)果的性能達到最優(yōu)；當權(quán)重系數(shù)大于0.1后，隨著系數(shù)的增大、成像結(jié)果的性能降低。仿真結(jié)果表明，當重建內(nèi)含物分布如模型A和模型B所示的簡單結(jié)構(gòu)時，F(xiàn)IATA算法中宜采用較大的權(quán)重系數(shù)；對于如模型C所示的具有相對復雜的內(nèi)含物分布，F(xiàn)IATA算法中使用較小的權(quán)重系數(shù)能夠提高重建結(jié)果的質(zhì)量。

3.2 實驗結(jié)果

為進一步驗證FIATA算法對于求解逆問題的有效性以及衰減特性對于圖像重建質(zhì)量的影響，采用ET實驗系統(tǒng)進行測試。測試系統(tǒng)為16電極傳感器，相鄰激勵、相鄰測量工作模式。被測場模型的背景介質(zhì)是電導率為0.06 S/m的自來水，內(nèi)含物是電導率為10-12S/m的尼龍棒。分別對圖4所示的3種分布模型進行測試，并使用FISTA算法和權(quán)重系數(shù)為0.1和0.5的FIATA算法進行重建，并對重建結(jié)果進行定量分析，其性能指標如表1所示。

圖4所示的內(nèi)含物分布圖像重建結(jié)果中，采用具有衰減特性的FIATA算法重建的成像結(jié)果的質(zhì)量相比于傳統(tǒng)的FISTA算法有所提高。表1中，實驗與仿真所獲得的圖像重建的性能(圖3所示)基本一致；當使用FIATA算法時，對于被測物場內(nèi)含物分布相對簡單的模型M1和模型M2，選用權(quán)重系數(shù)為0.5的收縮算子時，所重建的圖像性能指標優(yōu)于FISTA算法；對于內(nèi)含物分布較復雜的模型M3，選用權(quán)重系數(shù)為0.1的收縮算子時，重建結(jié)果的性能指標比FISTA算法有所提高。因此在實際測量中，根據(jù)被測物場中內(nèi)含物分布復雜程度的在線估計，選擇FIATA算法的權(quán)重系數(shù)，能夠獲得較高的重建圖像質(zhì)量。

圖4 實測系統(tǒng)的重建結(jié)果Fig.4 Reconstructed images for the experimental system

表1 不同算法重建結(jié)果的性能指標Table 1 Comparison of performance of reconstructed results among different algorithms

4 結(jié)論

為了改善稀疏正則化算法中閾值參數(shù)難以選取的問題，提出FIATA算法。該算法中采用的收縮算子通過在求解過程中根據(jù)解的稀疏度對閾值參數(shù)不斷調(diào)整，減小了傳統(tǒng)收縮算子對解的過懲罰，以求得更精確的解，提高重建圖像的質(zhì)量。通過在該算子中引入權(quán)重系數(shù)，研究收縮算子的衰減特性對圖像重建質(zhì)量的影響。當被測物場的內(nèi)含物分布較為簡單時，采用較大的權(quán)重系數(shù)，對解進行大的衰減；當被測物場的內(nèi)含物分布相對復雜時，通過使用較小的權(quán)重系數(shù)，對解進行較小程度的衰減，提高重建圖像的質(zhì)量。

使用仿真和實驗分別驗證FIATA算法的可行性，該算法有望應用于其他模態(tài)的圖像重建中，同時能夠用于其他具有病態(tài)性的逆問題求解中。在未來的工作中，需進一步降低選取權(quán)重系數(shù)對被測物場內(nèi)含物分布復雜程度在線估計的依賴，研究權(quán)重系數(shù)自適應選取的方法，提高FIATA算法的自適應能力。