余凱 梁爽 王德高

摘要：礦區(qū)GPS坐標轉換至國家坐標時，病態(tài)矩陣與重合點坐標粗差經常會導致轉換坐標精度低，致使礦區(qū)缺乏高精度的坐標基準，造成安全風險。利用廣義交叉檢驗準則解決系數矩陣病態(tài)問題，將抗差估計算法用于解決重合點坐標粗差問題。通過具體算例表明，廣義交叉檢驗準則與抗差估計理論能分別克服礦區(qū)GPS坐標轉換時病態(tài)矩陣及坐標粗差問題，得到高精度的轉換坐標值，為礦區(qū)安全生產提供精確、可靠的基準數據。

關鍵詞：坐標轉換，病態(tài)矩陣，粗差，廣義交叉檢驗準則，抗差估計

中圖分類號：P226.3?文獻標志碼：A?文章編號：2095-5383（2020）01-0065-04

Abstract：When GPS coordinate of the mining area are transformed into the state coordinate，the morbidity matrix and the coordinates gross error of coincident points often lead to the low accuracy of the converted coordinates.?As a result，there is a lack of high precision coordinate datum in mining area，which results in safety risk.?The generalized cross-checking criterion was used to solve the ill-conditioned problem of the coefficient matrix，and the robust estimation algorithm was used to solve the problem of coordinates gross error of the coincident points.?Specific examples show that the generalized cross-checking criterion and robust estimation theory can overcome the problem of ill-conditioned matrix and coordinates gross error during GPS coordinate conversion in mining areas，obtain high-precision converted coordinate values，and provide accurate and reliable reference data for safe production in mining areas.

Keywords：coordinate transformation，morbidity matrix，gross error，generalized cross-checking criterion，robust estimation

礦區(qū)GPS坐標轉換至國家坐標時，若誤差方程的系數矩陣條件數很大，法方程矩陣解算便會出現病態(tài)現象[1]，致使產生低精度的轉換坐標。且在礦區(qū)環(huán)境下，地表沉降、變形的幅度非常劇烈，導致控制點實際位置與坐標數據的不吻合現象十分嚴重，導致控制點坐標出現粗差，坐標轉換模型的最小二乘解偏離。傳統(tǒng)的LC曲線法容易受到擬合曲線光滑度的影響，導致其坐標轉換穩(wěn)定性較差[1]。本文將廣義交叉檢驗準則與抗差估計理論相結合，能夠分別解決礦區(qū)坐標轉換時的病態(tài)矩陣及重合點坐標粗差的問題，進而達到獲取高精度、穩(wěn)定性好的轉換坐標的目的。

1?轉換模型與算法

1.1?布爾莎模型

布爾莎模型[2]是較常用的三維轉換模型：

1.2?廣義交叉檢驗準則（GCV）

GCV函數為[1]：

取GCV（α）最小值對應的α為正則參數，然后利用式（3）求解參數值。

1.3?抗差估計的應用

抗差估計[3]法的思想是利用Tukey[4]、IGGI[5]或IGGIII[6]等抗差權函數降低重合點中粗差坐標的權重，從而降低其在參數解算時的作用，提高坐標轉換精度。

該算法用于坐標轉換的步驟為：

1）根據式（4）確定初始權陣P [7]，

其中：D1、D2為重合點坐標在GPS級國家控制網下的各自的協(xié)方差矩陣。

2）結合式（1）轉換模型，利用最小二乘準則計算初始轉換參數Xi=（BTPB）BTPL（i=0，B為系數矩陣）及殘差絕對值vi。

3）利用計算出的殘差絕對值vi，選擇適當的抗差權函數編寫程序進行迭代計算。若前后2次迭代得出的轉換參數差值絕對值均小于給定限差ε（即Xi-Xi-1，i≥1）時，停止迭代，得出最終的等價權陣，求出最終的轉換參數（dx，dy，dz，εx，εy，εz，K），將得出的轉換參數代入式（1）便可求解國家坐標系下坐標值（XT，YT，ZT），否則需要繼續(xù)進行迭代計算。

2?轉換算例

從某礦區(qū)控制網中選出16個同時具備兩套坐標系下坐標的重合點參與算例驗證，16個控制點坐標值見表1[8]，控制網見圖1。

選取其中1、5、7、9、11、14、16等7個分布較均勻的點作為重合點，此外的9個點作為外部精度檢核點。

2.1?廣義交叉檢驗準則的應用

本算例中條件數為11.9×1025，系數矩陣存在嚴重病態(tài)，擬分別采用直接最小二乘法與廣義交叉檢驗準則進行坐標轉換，將2種算法計算得出的轉換坐標值分別與已知的北京54坐標值進行比較，得出其誤差絕對值，見表2。

由表2得出結論：

1）因系數矩陣條件數過大，矩陣存在嚴重病態(tài)，最小二乘解誤差過大，轉換誤差最高達27 mm，

2）廣義交叉檢驗準則解決了系數矩陣病態(tài)問題，各點轉換誤差最高僅4 mm，且穩(wěn)定性較好。

2.2?抗差估計法在坐標轉換中的應用

在廣義交叉檢驗準則法基礎上，運用抗差估計法抵抗重合點坐標粗差對轉換精度的影響。運用直接最小二乘及抗差估計準則進行比較計算。

1）直接最小二乘法：求取轉換7參數為：平移參數dx=2.035 m，dy=-1.988 m，dz=3.424 m，尺度比K=0.999 713 277，旋轉參數εx=0.000 016 822 6，εy=0.000 017 073 04，εz=0.000 017 515 80。

由表3可知，由于重合點坐標無粗差存在，x、y、z 3個方向坐標轉換最大誤差僅為2 mm。

2）本算例人為地在11號重合點的x坐標上加入2 cm的粗差，利用最小二乘準則計算轉換參數得：平移參數dx=3.564 m，dy=-2.274 m，dz=1.140 m，尺度比K=0.694 724 12，旋轉參數εx=0.015 211 2，εy= 0.022 522，εz= 0.142 525 3，重合點坐標粗差的存在導致解算出的7個未知轉換參數等與重合點無粗差時相比，誤差均較大，坐標轉換精度均較差（詳見表4）。

3）抗差估計法：當11號點x坐標有2 cm粗差時，結合廣義交叉檢驗準則法與抗差估計法計算轉換參數：平移參數dx=2.036 m，dy= -1.987 m，dz=3.425 m，尺度比K=0.999 713 275，旋轉參數εx=0.000 016 822 5，εy=0.000 017 073 02，εz= 0.000 017 515 80。

為了說明比較直接最小二乘法與抗差估計法的抗差效果，分別將直接最小二乘法與抗差估計算法坐標轉換得出的三維坐標與已知坐標進行比較，計算兩種算法的轉換坐標與已知坐標差值絕對值（詳見表4）。經過對比可以看出，利用抗差估計算法解決了11號點x坐標2 cm粗差的影響，轉換參數與無粗差時的基本相同，且坐標轉換精度亦較高。

由表3、4看出：

1）由于11號重合點的x坐標存在2 cm粗差，最小二乘解轉換誤差最高達34 mm，

2）抗差估計法能較好地抵抗重合點粗差坐標對坐標轉換的影響，轉換誤差最差僅1 mm。

3?結論

由論述及轉換算例說明，廣義交叉檢驗準則能較好解決其法方程矩陣的病態(tài)問題，抗差估計法通過選權迭代方式降低粗差坐標的影響，較精確地實現高精度坐標轉換。在實際的礦區(qū)控制測量中可將廣義交叉檢驗準則與抗差估計算法結合編寫轉換程序，解決轉換過程中矩陣病態(tài)與重合點坐標粗差導致轉換失敗的問題，為礦區(qū)的安全生產及地面變形監(jiān)測提供精確的國家坐標。

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