董家豪,徐 乾,余智君，王思慧，周惠君

(南京大學(xué) 物理學(xué)院,江蘇 南京 210093)

紋影法可以測(cè)量氣體微小密度變化，主要是利用光在被測(cè)流場(chǎng)中的折射率梯度正比于流場(chǎng)的氣流密度的性質(zhì). 折射率的非均勻性使得相鄰光線的光程隨之變化，從而影響圖像的灰度甚至色彩. 紋影法首先由Toepler于1864年提出，并應(yīng)用在光學(xué)玻璃折射率的檢測(cè)中. 傳統(tǒng)紋影方法是基于幾何光學(xué)的折射定律，依賴于圖像灰度與偏轉(zhuǎn)角之間的定標(biāo)關(guān)系. 為了演示紋影法原理，搭建了典型光路，圖1是用其對(duì)火焰周圍的密度場(chǎng)所成的圖像. 可以看到，密度的微小差異被轉(zhuǎn)化成光強(qiáng)的變化，因此紋影法可以對(duì)流場(chǎng)中的微小密度變化進(jìn)行顯示和測(cè)量. 通過(guò)紋影法得到的圖像定量推算密度場(chǎng)分布，需要先標(biāo)定所用紋影設(shè)備的定標(biāo)關(guān)系，即光線偏折角和光強(qiáng)分布之間的關(guān)系. 這使紋影法的應(yīng)用受到頗多限制，且往往不能精確定量測(cè)量，只能給出定性結(jié)果.

圖1 紋影實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

本文基于傅里葉光學(xué)分析法，采用激光光源改進(jìn)了紋影成像法，實(shí)驗(yàn)中的激光光源具有更好的相干性，光場(chǎng)經(jīng)過(guò)流場(chǎng)刀片起頻譜濾波器的作用. 結(jié)果顯示，流場(chǎng)的密度變化被轉(zhuǎn)化為像屏上清晰的明暗條紋. 理論推演表明，像屏上的明暗條紋反映了入射光場(chǎng)的相位分布，由此可以推演出密度分布. 數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)所得圖像基本一致. 本實(shí)驗(yàn)所采用的方法無(wú)需借助定標(biāo)關(guān)系，簡(jiǎn)化了傳統(tǒng)紋影方法.

1 實(shí) 驗(yàn)

圖2為實(shí)驗(yàn)光路圖和實(shí)驗(yàn)裝置圖，包括633 nm半導(dǎo)體激光器、透鏡、酒精燈、刀片和光屏.

實(shí)驗(yàn)中以酒精燈火焰作為觀察對(duì)象，火焰周圍能產(chǎn)生顯著的密度梯度，且易于獲取，適于在實(shí)驗(yàn)室觀察.

(a)實(shí)驗(yàn)光路圖

(b)實(shí)驗(yàn)裝置圖圖2 實(shí)驗(yàn)光路圖和裝置圖

首先觀察火焰上方的熱氣流，在頻譜面上向一側(cè)移動(dòng)刀片，像屏上的觀測(cè)結(jié)果如圖3所示.

圖3 刀片向一側(cè)移動(dòng)時(shí)像屏上所得的觀測(cè)結(jié)果

接下來(lái)直接觀察火焰，調(diào)整刀片位置，直至像屏上得到清晰圖像，如圖4所示.

圖4 直接觀察火焰時(shí)所得觀測(cè)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)中觀察到，流場(chǎng)的密度變化被轉(zhuǎn)化為像屏上的明暗條紋分布，這有別于傳統(tǒng)的紋影法. 理論分析表明，條紋結(jié)構(gòu)反映了入射光的相位分布，進(jìn)而反映了密度場(chǎng)的結(jié)構(gòu).

2 理論分析

2.1 基于傅里葉光學(xué)的分析

采用傅里葉光學(xué)的方法分析紋影. 相干光經(jīng)過(guò)不均勻密度場(chǎng)后帶有相位信息，透鏡對(duì)入射光做1次傅里葉變換后在后焦面上得到頻譜，經(jīng)過(guò)濾波器的調(diào)制后，經(jīng)逆傅里葉變換在像屏上得到圖像. 分析思路如圖5所示.

圖5 基于傅里葉光學(xué)分析紋影

2.2 理論推演

為計(jì)算簡(jiǎn)便，把火焰區(qū)域簡(jiǎn)化為密度均勻的圓柱區(qū)域，如圖6所示.

圖6 簡(jiǎn)化的火焰模型

由此可得到入射光通過(guò)火焰后的相位分布：

(1)

如圖7所示. 因此物函數(shù)可以寫(xiě)作

f(ξ)=exp [iφ(ξ)],

(2)

圖7 入射光經(jīng)火焰場(chǎng)后相位分布

經(jīng)過(guò)透鏡后，在其后焦面上得到傅里葉頻譜

(3)

此處火焰場(chǎng)是一維分布場(chǎng)，因此其頻譜可以寫(xiě)作

(4)

以刀片為濾波器，濾波器函數(shù)為

(5)

式中Ω為刀片在頻譜面上遮擋的區(qū)域,如圖8所示，在實(shí)驗(yàn)中，刀片略覆蓋焦點(diǎn)，濾波器函數(shù)實(shí)取

(6)

圖8 刀片濾波器函數(shù)

濾波后頻譜為

F′(vx)=Φ(vx)H(vx),

(7)

對(duì)其做逆傅里葉變換，得到像函數(shù)

conv {exp [iφ(ξ′)],h(ξ′)},

(8)

那么光屏上的光強(qiáng)分布為

I(ξ′)=g(ξ′)·conj [g(ξ′)].

(9)

該結(jié)果很難求解析解，因此選擇用Matlab求數(shù)值結(jié)果.

2.3 數(shù)值模擬

把以上計(jì)算過(guò)程轉(zhuǎn)化為Matlab代碼，得到屏上光強(qiáng)分布模擬結(jié)果如圖9所示.

模擬結(jié)果能反映實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象中的條紋結(jié)構(gòu)，但條紋分布上有差異. 這是因?yàn)槟M中使用的火焰場(chǎng)模型較為簡(jiǎn)單，但能定性說(shuō)明實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.

(a)模擬結(jié)果

(b)模擬光強(qiáng)分布圖9 模擬結(jié)果可視化和光強(qiáng)分布

2.4 預(yù)言其他濾波器效果

為了進(jìn)一步驗(yàn)證理論和模擬的正確性，換用其他濾波器取代刀片，進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)和計(jì)算機(jī)模擬，兩者顯示出很好的一致性.

2.4.1 采用針尖作為濾波器

采用針尖在透鏡后焦面的中心處遮擋頻譜，在光屏上接收到的實(shí)驗(yàn)效果和數(shù)值模擬效果如圖10所示.

(a)實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (b)模擬結(jié)果圖10 針尖濾波的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和模擬結(jié)果對(duì)比

2.4.2 采用單縫作為濾波器

采用單縫在透鏡后焦面的中心兩側(cè)遮擋頻譜，在光屏上接收到的實(shí)驗(yàn)效果和數(shù)值模擬效果如圖11所示.

(a)實(shí)驗(yàn)結(jié)果 (b)模擬結(jié)果圖11 單縫濾波的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和模擬結(jié)果對(duì)比

2.5 通過(guò)條紋分布反演密度場(chǎng)

進(jìn)一步的模擬結(jié)果表明，像屏上接收到條紋信息反映的正是密度場(chǎng)結(jié)構(gòu)信息，從條紋的分布出發(fā)可以反演密度場(chǎng)的分布. 以一維密度場(chǎng)的模擬結(jié)果來(lái)說(shuō)明.

假設(shè)密度場(chǎng)線性變化，則相位分布也線性變化，形式為

φ(ξ)=Aξ+φ0, Δφmax=16 pixel.

(10)

相位場(chǎng)分布和數(shù)值模擬結(jié)果如圖12所示，光屏上將得到均勻分布的條紋，且滿足

Δφ=2πΔN.

(11)

(b)模擬結(jié)果圖12 線性變化密度場(chǎng)相位分布和模擬結(jié)果

假設(shè)密度場(chǎng)平方關(guān)系變化，則相位分布也平方變化，形式為

φ(ξ)=Aξ2+φ0, ΔφMAX=8 pixel.

(12)

相位場(chǎng)分布如圖13(a)所示，數(shù)值模擬結(jié)果如圖13(b)所示.

模擬結(jié)果顯示，光屏上將得到疏密分布的條紋，并且條紋的疏密程度和相位變化的快慢相一致，同樣滿足式(11).

下面推導(dǎo)條紋分布與密度場(chǎng)變化之間的定量關(guān)系. 記ξ和ξ′分別為物平面和像平面坐標(biāo)，二者之間滿足線性變換關(guān)系

ξ=Iξ′,

(13)

由Gladstone-Dale定律

ρK=n-1,

(14)

可以推出

(15)

式中d是一維密度場(chǎng)在光傳播方向上的長(zhǎng)度.

(a)相位分布

(b)模擬結(jié)果圖13 平方變化密度場(chǎng)相位分布和模擬結(jié)果

由式(15)可知，通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)得像平面條紋分布N(ξ′)后，即可積分確定密度場(chǎng)的變化情況. 式(15)是基于一維密度場(chǎng)的情形推導(dǎo)而來(lái)的，事實(shí)上，對(duì)于任意密度場(chǎng)，如果其結(jié)構(gòu)已知，僅有幾個(gè)待定參量，也一定可以通過(guò)條紋信息反演密度場(chǎng)，推導(dǎo)方法和上文所展示的思想一致.

3 結(jié)束語(yǔ)

以激光為光源，采用紋影成像法觀察火焰密度場(chǎng)，在像面上得到了條紋分布. 從傅里葉光學(xué)的分析方法出發(fā)，透鏡與刀片的作用相當(dāng)于傅里葉變換與濾波器，通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了條紋分布的存在；且該理論模型能預(yù)言其他濾波器的實(shí)驗(yàn)結(jié)果. 由像平面條紋分布反演密度場(chǎng)的方法，相比傳統(tǒng)的定標(biāo)方法包含更豐富的物理內(nèi)涵，加以改進(jìn)后有潛力應(yīng)用到更復(fù)雜密度場(chǎng)的分析.