任佳琪，李飛祥，彭雪城，黃萬霞

(安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖 241002)

自由振動(dòng)系統(tǒng)如果在振動(dòng)過程中不斷克服外界阻力做功，消耗能量，則振幅就會逐漸減小，經(jīng)過一段時(shí)間后，振動(dòng)就會完全停止. 這種振幅越來越小的振動(dòng)叫做阻尼振動(dòng). 描述阻尼振動(dòng)的模型稱為彈簧振子模型，不僅可以描述機(jī)械運(yùn)動(dòng)，還可以描述RLC振蕩電路中的電流和電壓的變化[1]，近幾年來也被推廣到微納光子學(xué)中，用來描述微納光子學(xué)中納米顆粒的譜線[2]，并進(jìn)一步推廣為雙諧振子模型來描述模式間的耦合導(dǎo)致的各種現(xiàn)象：Fano共振、電磁誘導(dǎo)透明以及Rabi振蕩等. 在光學(xué)開關(guān)、生物傳感、信息儲存、增強(qiáng)拉曼等方面有重要的應(yīng)用. 基于以上的重要應(yīng)用，彈簧振子運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)研究成為普通物理實(shí)驗(yàn)中重要的實(shí)驗(yàn). 近幾年由于計(jì)算工具的發(fā)展，已有改進(jìn)方案，例如利用智能手機(jī)和軟件采集數(shù)據(jù)可以提高實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性[3-8]. 但在傳統(tǒng)教學(xué)中普遍采用光電計(jì)時(shí)裝置，實(shí)驗(yàn)中測得的周期都很接近，不隨振幅變化，而半衰期卻受振幅影響. 利用彈簧振子體系從實(shí)驗(yàn)和理論兩方面來探究擋光片寬度和振幅對半衰期測量的影響，發(fā)現(xiàn)半衰期的測量值與擋光片寬度在小范圍內(nèi)呈線性關(guān)系，且隨著擋光片寬度的增加，實(shí)驗(yàn)測得的半衰期變大；而振幅則相反，隨著振幅的增加，測得半衰期變小.

1 彈簧振子體系中推廣的半衰期公式

勁度系數(shù)均為k的2根輕質(zhì)彈簧，質(zhì)量之和為m0，與質(zhì)量為m′的滑塊，按圖1(a)所示的方式連接，其中O點(diǎn)為彈簧振子體系的平衡位置，P點(diǎn)為滑塊靜止釋放的位置，Q為光電門的位置，且OP=A0，OQ=A0/2.w為擋光片的寬度. 為了討論問題方便，把彈簧的質(zhì)量等效加到滑塊上，則彈簧振子體系的總質(zhì)量為m. 在彈性恢復(fù)力和滑塊與導(dǎo)軌之間的粘性阻力的作用下，彈簧振子的動(dòng)力學(xué)方程為

(a)窄擋光片的起始釋放狀態(tài)

(b)寬擋光片時(shí)的起始釋放狀態(tài)

(c)寬擋光片的測量結(jié)束狀態(tài)圖1 氣墊導(dǎo)軌簡諧振動(dòng)體系測量半衰期的原理圖

(1)

(2)

在弱阻尼情況下，β2<ω02，式(2)的解為

x=A0e-β tcos (ωft+α) ,

(3)

A=A0e-β t.

(4)

阻尼振幅減少到初值A(chǔ)0的一半所用的時(shí)間是半衰期Th,為了后面討論問題的方便，定義Th為半衰期的真實(shí)值，由式(4)可得

(5)

由式(5)可解得半衰期為

(6)

(7)

從式(7)反解出半衰期的測量值Th′為

(8)

聯(lián)立式(6)和式(8)得

(9)

(10)

式(10)忽略高階小量，只保留一階小量，故式(10)進(jìn)一步簡化為

(11)

式(11)表明：在振幅一定的情況下，半衰期的測量值是擋光片寬度w線性函數(shù)，即隨著擋光片的寬度的增大而增大，隨著振幅的增大而減小. 基于式(11)，可以得到計(jì)算半衰期的相對偏差η：

(12)

式(12)表明：相對誤差與寬度w成正比，與振幅A0成反比. 因此在實(shí)驗(yàn)中，可以通過減小擋光片的寬度和增大振幅來減小實(shí)驗(yàn)誤差.

2 實(shí)驗(yàn)裝置和測量方法

實(shí)驗(yàn)所用儀器為氣墊導(dǎo)軌、滑塊、光電計(jì)時(shí)裝置、擋光片和彈簧. 實(shí)驗(yàn)中所用的氣墊導(dǎo)軌型號為QG-5-1.5 m，用MUJ-5C計(jì)數(shù)器來計(jì)算半衰期，實(shí)驗(yàn)配套的擋光片為黑色，其w=0.4 cm,為了研究擋光片寬度對半衰期的影響，用鋁合金自制了棕色的4片擋光片，其寬度分別為0.4 cm, 1.0 cm, 1.5 cm和2.0 cm.

在實(shí)驗(yàn)中，首先將氣墊導(dǎo)軌調(diào)節(jié)水平，將寬度為w的擋光片固定在滑塊上. 找到平衡位置O點(diǎn)，將光電門放置在O點(diǎn)左側(cè)A0/2的Q處，將滑塊從O點(diǎn)左側(cè)A0處P點(diǎn)無初速度釋放，其中A0=20 cm,30 cm和40 cm. 滑塊來回經(jīng)過光電門2次計(jì)1個(gè)周期，當(dāng)光電計(jì)時(shí)裝置的周期數(shù)不再改變時(shí)停止計(jì)時(shí)，轉(zhuǎn)化得到的時(shí)間即為半衰期.

3 擋光片的寬度對半衰期測量的影響

圖2分別為不同振幅時(shí)實(shí)驗(yàn)測量和數(shù)值擬合的半衰期隨著擋光片寬度的變化曲線. 從圖2可以看出實(shí)驗(yàn)和理論符合得很好.Th′與w成線性關(guān)系，即半衰期的測量值隨著擋光片寬度的增加而線性增大. 擬合得到的振幅為20 cm,30 cm,40 cm時(shí)半衰期的真實(shí)值Th(即圖中的截距)分別為79.912 s，71.907 s，68.505 s. 當(dāng)振幅不同時(shí)，擬合所得的半衰期的真實(shí)值不同，這表明半衰期與振幅也有關(guān)系. 由式(6)可知，半衰期與彈簧振子所受到空氣阻力有關(guān)，阻力與速度有關(guān)，根據(jù)機(jī)械能守恒，振幅越大速度越大，對阻力與速度的線性關(guān)系有一定的影響[9]，所以振幅的變化會影響阻尼因數(shù)β，因此振幅是半衰期的影響因素之一，故振幅不同時(shí)擬合所得的Th不同. 另外，實(shí)驗(yàn)中也制備了寬度小于0.4 cm的擋光片，發(fā)現(xiàn)該擋光片無法有效擋光，故光電門的發(fā)射光斑直徑接近0.4 cm. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明擋光片的寬度會影響半衰期測量結(jié)果，進(jìn)而產(chǎn)生較大誤差，要想盡可能地減小測量誤差，理應(yīng)使用寬度極小的擋光片，但是光電門計(jì)時(shí)器對擋光片的寬度是有要求的(寬度至少為0.4 cm)，所以為了得到較為接近真實(shí)值的半衰期而將擋光片的寬度大幅度縮小是不可行的. 但我們所探究的實(shí)驗(yàn)為盡可能地得到接近真實(shí)值提供了一種符合實(shí)際方法，就是用不同寬度下的半衰期的測量值進(jìn)行圖像擬合，所得到的縱截距便是更加接近理論值的數(shù)值.

(a)20 cm

(b)30 cm

(c)40 cm圖2 不同振幅時(shí)半衰期的測量值隨擋光片寬度變化

(a)20 cm

(b)30 cm

(c)40 cm圖3 不同振幅時(shí)半衰期相對偏差隨擋光片寬度變化

4 振幅對半衰期測量的影響

圖4為擋光片寬度的不同時(shí)半衰期的測量隨振幅的變化曲線. 從圖4可以看出隨著擋光片寬度的增大，半衰期增大；對于固定寬度后半衰期隨著振幅的增大而減小. 為了研究實(shí)驗(yàn)的相對誤差，基于式(12)繪出在給定擋光片的寬度時(shí)相對誤差隨著振幅變化的曲線，如圖5所示. 從圖5可以看出寬度越大，相對誤差越大；對于某一固定寬度，相對誤差與振幅成反比關(guān)系. 實(shí)驗(yàn)和模擬符合得較好，其差異主要來源于2個(gè)方面：不同的振幅對應(yīng)的半衰期Th是有一定差異，而在擬合中采用的是同一個(gè)Th進(jìn)行擬合的;振幅比較大時(shí)，空氣阻力不再隨速度成線性關(guān)系.

(a)0.4 cm

(b)1.0 cm

(c)1.5 cm

(d)2.0 cm圖4 不同擋光片的半衰期的測量值隨振幅變化

(a)0.4 cm

(b)1.0 cm

(c)1.5 cm

(d)2.0 cm圖5 不同擋光片的半衰期的相對誤差隨振幅變化

5 結(jié) 論

利用彈簧振子模型研究了擋光片寬度和初始振幅對阻尼振動(dòng)半衰期測量的影響，給出了寬擋光片的半衰期測量值的理論公式. 研究結(jié)果表明當(dāng)體系初始振幅一定時(shí)，實(shí)驗(yàn)測得的半衰期隨著擋光片寬度的增大而線性增大；當(dāng)擋光片寬度保持不變時(shí)，測得的半衰期隨著初始振幅的增大而減小，且相對偏差的絕對值先增大后減小. 理論和實(shí)驗(yàn)符合得很好.