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摘? ?要：基于Kirchhoff板理論和修正偶應(yīng)力理論，研究具損傷彈性微板的坍塌特性，推導(dǎo)了微板的動(dòng)力學(xué)方程并采用伽遼金法進(jìn)行求解，分析了損傷變量、特征尺度參數(shù)、微板與固定電極之間的距離和邊緣場對坍塌電壓的影響. 為了驗(yàn)證模型的合理性，將本文所得結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行了對比. 數(shù)值結(jié)果表明：結(jié)構(gòu)損傷會(huì)減小坍塌電壓;而尺度效應(yīng)會(huì)增大坍塌電壓;微板與固定電極之間的距離越大，坍塌電壓也越大;邊緣場的存在對坍塌電壓有微弱的影響. 本文所得結(jié)論對微機(jī)電系統(tǒng)微板結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供一定的理論指導(dǎo).

關(guān)鍵詞：微機(jī)電系統(tǒng);微板;坍塌;尺度效應(yīng);損傷效應(yīng)

中圖分類號：O345? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract：Based on the Kirchhoff plate theory and the modified couple stress theory （MCST），this work focuses on the pull-in phenomena of elastic micro-plates with damage. The dynamic governing equation of the micro-plate was derived and then solved via Galerkin method. The effect of damage variable，length scale parameter，initial gap and fringing filed on pull-in voltage of the micro-plate was discussed in detail. Moreover，the reliability of present model was validated by comparing results obtained in this study and the literatures. Numerical results show that damage effect decreases pull-in voltage while size effect increases it; large initial gap results in large pull-in voltage and fringing field has slight influence on it. This research is helpful and useful in electrostatically actuated microstructures applications and provides a theoretical foundation for designers and engineers.

Key words：Micro Electro Mechanical System（MEMS）;micro-plate;pull-in;size effect;damage effect

微機(jī)電系統(tǒng)（MEMS）因其優(yōu)越的性能而被廣泛應(yīng)用于通訊、航空航天、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域. 微板結(jié)構(gòu)是MEMS中主要的結(jié)構(gòu)之一，其主要應(yīng)用于微泵、微鏡和微麥克風(fēng)等. 然而，MEMS微板尺寸微小，在工作的過程中抵抗外界因素如：溫度[1]、濕度[2]和微結(jié)構(gòu)之間的微觀力[3-4]影響的能力較差，微板結(jié)構(gòu)會(huì)與固定極板發(fā)生吸合現(xiàn)象，簡稱坍塌（Pull-in）[5]. 近年來國內(nèi)外學(xué)者對微結(jié)構(gòu)的坍塌現(xiàn)象進(jìn)行了研究并取得了一定的成果. 陳昌萍等[6]研究了壓電層合微梁的靜力坍塌特性，并分析了控制電壓對坍塌電壓的影響. Sadeghian等[7]采用微分求積法和伽遼金法對夾支梁的坍塌不穩(wěn)定性進(jìn)行了分析和對比. 考慮幾何非線性，Ghayesh等[8]和Farokhi等[9]研究了靜力驅(qū)動(dòng)微板結(jié)構(gòu)微機(jī)電系統(tǒng)的坍塌特性和非線性動(dòng)力特性. 基于修正偶應(yīng)力理論，Kazemi等[10]研究了層合壓電微板的非線性坍塌不穩(wěn)定性.

以上研究主要基于經(jīng)典彈性理論，研究表明微結(jié)構(gòu)具有尺度效應(yīng)[11].另外，MEMS器件在惡劣的環(huán)境下工作也會(huì)出現(xiàn)結(jié)構(gòu)損傷，而目前以具損傷微板結(jié)構(gòu)為對象的研究成果很少見. 本文以具損傷彈性微板為研究對象，討論了尺度效應(yīng)、邊緣場效應(yīng)等因素對微板坍塌電壓的影響.

表2給出了邊緣場效應(yīng)對坍塌電壓的影響. 由表2可以看出，考慮邊緣場效應(yīng)時(shí)的坍塌電壓比不考慮邊緣場效應(yīng)時(shí)的坍塌電壓略小. 從電場力的表達(dá)式（式（20））可知，邊緣場效應(yīng)會(huì)提供微結(jié)構(gòu)額外的電場力作用，因此考慮邊緣場效應(yīng)時(shí)的坍塌電壓會(huì)略微減小.

3? ?結(jié)? 論

本文通過數(shù)值計(jì)算對夾支微板在電場力作用下坍塌特性進(jìn)行分析，并將所得結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行了對比，驗(yàn)證了本文模型的合理性，討論了損傷效應(yīng)、尺度效應(yīng)、邊緣場效應(yīng)以及初始間距對微板坍塌電壓的影響. 研究結(jié)果表明，損傷效應(yīng)會(huì)減小坍塌電壓，而尺度效應(yīng)會(huì)增大坍塌電壓，坍塌電壓會(huì)隨著初始間距的增大而大幅增加，考慮邊緣效應(yīng)時(shí)坍塌電壓會(huì)稍微減小但變化不大. 本文所得結(jié)果對電致驅(qū)動(dòng)微板結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)意義.

參考文獻(xiàn)

[1]? ? 胡淏，董景新，劉云峰. 溫度、預(yù)載電壓對MEMS加速度計(jì)輸出的影響[J]. 中國慣性技術(shù)學(xué)報(bào)，2009，17（4）：464—468.

HU H，DONG J X，LIU Y F. Temperature and preload voltage effect on nonlinearity of MEMS accelerometer[J]. Journal of Chinese Inertial Technology，2009，17（4）：464— 468. （In Chinese）

[2]? ? 唐潔影，陳龍龍，宋競. 振動(dòng)作用對MEMS微結(jié)構(gòu)濕汽吸附的影響[J]. 納米技術(shù)與精密工程，2009，7（2）：173—177.

TANG J Y，CHEN L L，SONG J. Effect of vibration on moisture-absorption of MEMS micro-structure[J]. Nanotechnology and Precising Engineering，2009，7（2）：173—177. （In Chinese）

[3]? ? LI G H，LABORIANTE I，LIU F，et al. Measurement of adhesion forces between polycrystalline silicon surface via a MEMS double-clamped beam test structure[J]. Journal of Micromechanics and Microengineering，2010，20（9）：95015—95023.

[4]? ? LUI H，GAO S，NIU S，et al. Analysis on the adhesion of micro-comb structure in MEMS[J]. International Journal of Applied Electromagnetics and Mechanics，2010，33（3）：979—984.

[5]? ? ZHANG J，F(xiàn)U Y M. Active control of the nonlinear static and dynamic responses for piezoelectric viscoelastic micro-plates[J]. Smart Material and Structure，2009，18（9）：095037.

[6]? ? 陳昌萍，李良中，胡海濤，等. 具損傷壓電層合微梁的坍塌特性研究[J]. 湖南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2016，43（8）：57—62.

CHEN C P，LI L Z，HU H T，et al. Study on the pull-in characteristics of piezoelectric laminated micro-beam with damage[J]. Journal of Hunan University（Natural Sciences），2016，43（8）：57—62.（In Chinese）

[7]? ? SADEGHIAN H，REZAZADEH G.Comparison of generalized differential quadrature and Galerkin methods for the analysis of micro-electro- mechanical coupled systems[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2009，14（6）：2807—2816.

[8]? ?GHAYESH M H，F(xiàn)AROKHI H. Nonlinear behaviour of electrically actuated microplate-based MEMS resonators[J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2018，109：220—234.

[9]? ? FAROKHI H，GHAYESH M H. Nonlinear mechanics of electrically actuated microplates[J]. International Journal of Engineering Science，2018，123：197—213.

[10]? KAZEMI A，VATANKHAH R，F(xiàn)ARID M. Nonlinear pull-in instability of microplates with piezoelectric layers using modified couple stress theory[J]. International Journal of Mechanical Sciences，2017，130：90—98.

[11]? TSIATAS G C. A new Kirchhoff plate model based on a modified couple stress theory[J]. International Journal of Solids and Structures，2009，46（13）：2757—2764.

[12]? YANG F，CHONG A C M，LAM D C C，et al. Couple stress based strain gradient theory for elasticity[J]. International Journal of Solids and Structures，2002，39（10），2731—2743.

[13] LEMAITRE J A. Course on damage mechanics[M]. Berlin：Springer—Verlag，1992：1—210.

[14]? ASKARI A R，TAHANI M. Size-dependent dynamic pull-in analysis of geometric non-linear micro-plates based on the modified couple stress theory[J]. Physica E：Low-dimensional Systems and Nanostructures，2017，86：262—274.

[15]? LI Z K，ZHAO L B，JIANG Z D，et al. Mechanical behavior analysis on electro- statically actuated rectangular micro-plates[J]. Journal of Micromechanics & Microengineering，2015，25（3）：035007.

[16]? FRANCAIS O，DUFOUR I. Normalized abacus for the global behavior of diaphragms：pneumatic，electrostatic，piezoelectric or electromagnetic actuation[J]. Journal of Modeling and Simulation of Microsystems，1999，1（2）：149—160.