嵇艷鞠　任桂瑩　關(guān)珊珊　黎東升

摘? ?要：共形網(wǎng)格技術(shù)可減小傳統(tǒng)有限差分方法帶來的階梯狀網(wǎng)格近似誤差. 將共形網(wǎng)格技術(shù)運用到無源麥克斯韋方程組的推導(dǎo)中，采用線性加權(quán)平均方法，求得棱邊電場的等效電導(dǎo)率，更新了傳統(tǒng)時域有限差分方法的電場迭代方程;研究了具有解析式目標(biāo)體的共形參數(shù)確定方法，利用投影思想得到共形網(wǎng)格位置坐標(biāo)，進(jìn)而求得共形參數(shù). 通過與有限元方法計算得出的電磁響應(yīng)進(jìn)行比較，驗證了本文方法的正確性;共形網(wǎng)格技術(shù)在保證計算效率的條件下，與階梯狀網(wǎng)格近似方法相比提高了曲面三維異常體的計算精度;需要共形處理的電場越多，共形網(wǎng)格技術(shù)的效果越明顯，精度提高越多. 該方法為開展地下復(fù)雜異常體的航空電磁三維正反演奠定了基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：航空電磁法;共形網(wǎng)格技術(shù);三維曲面異常體;時域有限差分方法;線性加權(quán)平均

中圖分類號：P631? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Abstract：Conform mesh technique is usually adopted to eliminate the step approximation error caused by the traditional Finite Difference Time Domain（FDTD） method. In this paper，the conformal mesh technique was introduced into the derivation of passive Maxwell's equations. To update the electric field iterative equation of the traditional Finite Difference Time Domain method，a linear weighted average method was used to obtain the equivalent conductivity of the edge electric field. Using the projection theory，the position coordinates of the conformal mesh were calculated，and then the conformal parameters of the target body were obtained. The electromagnetic responses of this method are consistent with that of the finite element method. Compared with the step approximation method，the conformal mesh technique shows a higher computational accuracy when calculating a three-dimensional anomaly with a curved surface. The more the electric field is required to be processed conformally，the more obvious the effect of the conformal mesh technique is，the accuracy is also improved greatly as a result. This method sets the fundamental to calculate complex underground anomalies of airborne electromagnetic.

Key words：airborne electromagnetic surveys;conformal mesh technique;three-dimensional curved anomaly surface;Finite Difference Time Domain（FDTD） method;linear weighted average

航空瞬變電磁方法（Airborne Transient Electromagnetic Method，ATEM）采用飛行器搭載電磁系統(tǒng)對大地的二次場進(jìn)行快速測量，通過分析二次場獲得地下電阻率分布，從而了解地質(zhì)體的構(gòu)造. 相比于地面瞬變電磁法，航空瞬變電磁具有探測速度快，范圍廣，可在短時間內(nèi)獲得較多信息等特點，更適用于森林、沼澤、割裂地形、山區(qū)等地形復(fù)雜區(qū)域的勘探. 航空瞬變電磁法在國內(nèi)外發(fā)展較為迅速，在淺覆蓋區(qū)尋找金屬礦、隱蔽洞體等典型目標(biāo)體探測方面起到了重要的作用[1-4]. 常用的瞬變電磁三維正演模擬方法包括有限差分法、積分方程法、有限元方法等，其中有限差分法具有數(shù)學(xué)表達(dá)簡單、直觀高效等特點，因此發(fā)展得較為成熟. Wang等人[5]采用有限差分法進(jìn)行瞬變電磁三維數(shù)值模擬. Commer等[6]2004年利用并行有限差分方法實現(xiàn)了電性源瞬變電磁三維數(shù)值模擬，2015年對時間步長進(jìn)行了改進(jìn)以減少計算時間[7]. Li等人[8]基于有限差分法研究了含水結(jié)構(gòu)的瞬變電磁三維數(shù)值模擬. 隨著瞬變電磁探測技術(shù)的發(fā)展，地下復(fù)雜三維異常體結(jié)構(gòu)的精細(xì)化勘探得到關(guān)注，采用傳統(tǒng)的時域有限差分（Finite Difference Time Domain，F(xiàn)DTD）方法進(jìn)行地下不規(guī)則異常體的數(shù)值模擬時，常常會由于邊界處網(wǎng)格的階梯狀網(wǎng)格近似導(dǎo)致較大誤差，故如何處理復(fù)雜異常體的邊界問題以及提高三維不規(guī)則體的計算精度，成為地球物理勘探中的熱點問題. Cao等人[9]提出了自適應(yīng)有限差分方法，采用局部細(xì)化的方式提高了三維不規(guī)則異常體的模擬精度，但增加了計算的復(fù)雜性. Chang等人[10]采用非均勻網(wǎng)格方式對煤礦充水區(qū)域的全波形瞬變電磁響應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，但網(wǎng)格剖分較難. 徐巖等人[11]在瞬變電磁三維正演模擬時，將起伏地形或不規(guī)則體表面網(wǎng)格進(jìn)行了精細(xì)剖分，雖然提高了計算精度，但會增加計算量.

共形網(wǎng)格技術(shù)是近年來新興的一種數(shù)值模擬技術(shù)，它基于有限差分方法，對目標(biāo)體邊界進(jìn)行特殊處理，以減小傳統(tǒng)FDTD方法所產(chǎn)生的階梯狀網(wǎng)格近似誤差，提高了有限差分方法的計算精度，在不增加網(wǎng)格數(shù)量的基礎(chǔ)上，提高了計算效率. Ilinca等人[12]將共形網(wǎng)格技術(shù)應(yīng)用于材料物理學(xué)中，解決了材料復(fù)雜界面的熱傳遞問題. Wang等人[13]提出了一種改進(jìn)的時域有限差分共形方案，可快速預(yù)測雷達(dá)截面以及復(fù)雜三維結(jié)構(gòu)的感應(yīng)電流分布. Guo等人[14]利用改進(jìn)的共形FDTD網(wǎng)格劃分算法模擬復(fù)雜三維模型. 武超[15]將共形網(wǎng)格技術(shù)應(yīng)用于無線電物理方面，研究了復(fù)雜目標(biāo)的電磁特性計算. 范宜仁等人[16]將共形網(wǎng)格技術(shù)應(yīng)用于隨鉆電磁波測井響應(yīng)數(shù)值模擬中，為隨鉆快速反演提供支持. Nicolas等人[17]提出了一種基于六面體網(wǎng)格的共形方案，并在材料邊緣處進(jìn)行特定分裂，實現(xiàn)了細(xì)化和共形. Wei等人[18]擴(kuò)展了共形時域有限差分方法，將該方法應(yīng)用于地震中的彈性波計算，并取得了很好的結(jié)果. Cabello等人[19]將共形網(wǎng)格技術(shù)應(yīng)用于雷達(dá)散射截面的計算中，取得了較好的效果. 但在三維地質(zhì)體探測中，如何采用共形網(wǎng)格技術(shù)更好地擬合曲面異常體的邊界問題還有待研究.

本文在傳統(tǒng)FDTD方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合共形網(wǎng)格技術(shù)開展了航空瞬變電磁的數(shù)值模擬研究. 基于介質(zhì)參數(shù)等效的思想，更新了傳統(tǒng)FDTD方法的電場表達(dá)式;對于具有解析式的典型目標(biāo)體，討論了基于解析式建模的FDTD共形網(wǎng)格生成過程，采用共形網(wǎng)格技術(shù)實現(xiàn)了地下曲面異常體的三維數(shù)值模擬，提高了傳統(tǒng)FDTD方法對曲面異常體進(jìn)行數(shù)值模擬時的精度.

1? ?共形網(wǎng)格技術(shù)

利用常規(guī)FDTD方法進(jìn)行數(shù)值模擬時，Yee元胞僅可以賦一個電導(dǎo)率值，在模擬曲面異常體邊界時勢必會帶來由于階梯狀網(wǎng)格近似而產(chǎn)生的誤差. 圖1為球形異常體二維截面階梯狀網(wǎng)格近似圖，介質(zhì)1表示目標(biāo)體內(nèi)部，介質(zhì)2表示目標(biāo)體外部，其中陰影區(qū)域表示位于目標(biāo)體表面附近的網(wǎng)格，為了減小誤差，在附近網(wǎng)格處，采用介質(zhì)參數(shù)等效技術(shù)，更新傳統(tǒng)FDTD迭代方程，這種技術(shù)叫做共形網(wǎng)格技術(shù)，而目標(biāo)體附近的網(wǎng)格被稱作共形網(wǎng)格.

在計算時，從曲面異常體的邊界出發(fā)，確定共形網(wǎng)格，基于線性加權(quán)平均思想，重新計算邊界共形網(wǎng)格處電場的等效電導(dǎo)率值，將等效電導(dǎo)率代入相應(yīng)位置的電場表達(dá)式，進(jìn)行更精確的數(shù)值模擬[20]. 其中，對于具有解析式的異常體模型，可直接根據(jù)其解析式以及整個計算區(qū)域網(wǎng)格的坐標(biāo)，得到具體共形網(wǎng)格的坐標(biāo)位置以及需要共形處理的電場所在棱邊位置，為異常體表面的共形計算提供參數(shù).

2? ?基于共形網(wǎng)格技術(shù)的電場迭代方程推導(dǎo)

圖2為航空瞬變電磁法的工作原理示意圖. 當(dāng)發(fā)射線圈中通入發(fā)射電流時，在整個空間產(chǎn)生一次場，發(fā)射電流的瞬間變化在大地中形成渦流并產(chǎn)生二次場，接收線圈接收到二次場后以感應(yīng)電壓的形式記錄下來，文中的數(shù)值模擬采用發(fā)射線圈與接收線圈共中心的方式.

圖8（a）為階梯狀網(wǎng)格近似和共形網(wǎng)格技術(shù)處理后的電磁響應(yīng)與有限元方法的電磁響應(yīng)對比圖. 由于有限元方法采用四面體模擬地下異常體，故該方法可精確剖分三棱柱模型，因此將有限元方法對三棱柱模型的數(shù)值模擬作為基準(zhǔn)解. 由圖8（a）可知，3種方法得出的曲線一致性較好. 從圖8（b）中可以看出，在1 ms之前，兩種處理方法的相對誤差相差不大，而在1 ms后，可看出利用共形網(wǎng)格技術(shù)處理后的相對誤差小于階梯狀網(wǎng)格近似方法處理的相對誤差，減小了傳統(tǒng)FDTD方法在目標(biāo)剖分過程中引入的階梯狀網(wǎng)格近似誤差，驗證了共形網(wǎng)格技術(shù)的有效性. 由于在對三棱柱模型進(jìn)行階梯狀網(wǎng)格近似時，采用的最小網(wǎng)格為10 m，因此兩者之間的誤差相差不大，當(dāng)增大最小剖分網(wǎng)格尺寸后，經(jīng)共形網(wǎng)格技術(shù)處理后的數(shù)值模擬優(yōu)勢會更加明顯. 圖8（c）為空中垂直磁場的等值線分布.

4.2? ?球形異常體模型的數(shù)值模擬

采用與4.1節(jié)中同樣的系統(tǒng)模型參數(shù)，建立

4 060 m × 4 060 m × 2 950 m的包含吸收邊界層的計算區(qū)域，大地被剖分為111×111×77個網(wǎng)格. 初始場及時間步長的選取方式與4.1節(jié)相同. 在發(fā)射源的正下方設(shè)置球形異常體模型，半徑為100 m，埋深為100 m，剖分異常體的網(wǎng)格步長為10 m，計算區(qū)域示意圖如圖9（a）所示. 以球形異常體的最大橫截面為例，作如圖9（b）所示的球形異常體截面階梯狀網(wǎng)格近似示意圖，并將與球形異常體邊界有交點的棱邊處的電場進(jìn)行共形處理. 其中，異常體電導(dǎo)率為1 S/m，圍巖電導(dǎo)率為0.01 S/m. 球形異常體模型基準(zhǔn)解采用5 m×5 m×5 m的小網(wǎng)格進(jìn)行剖分. 計算區(qū)域不變，將球形異常體附近網(wǎng)格剖分成5 m×5 m×5 m的小網(wǎng)格，此時大地被剖分為163×163×160個網(wǎng)格，將此時的電磁響應(yīng)作為基準(zhǔn)解進(jìn)行分析. 圖10（a）為階梯狀網(wǎng)格近似和共形網(wǎng)格技術(shù)處理后的電磁響應(yīng)與基準(zhǔn)解的電磁響應(yīng)對比圖. 圖10（b）為兩種處理方法的相對誤差曲線，從圖中可以看出在0.4 ms之前，兩種處理方法的誤差相差不大，而在0.4 ms后，共形處理的相對誤差明顯小于階梯狀網(wǎng)格近似處理的相對誤差，共形網(wǎng)格技術(shù)在處理復(fù)雜異常體邊界問題時具有明顯優(yōu)勢，相對誤差減小了1.65%. 圖10（c）為空中垂直磁場的等值線分布圖.

圖11為球形異常體電磁響應(yīng)切片圖，異常體由于埋深較淺，對源的影響在早期較為明顯，隨著時間的推移，電磁響應(yīng)逐漸向下、向外擴(kuò)散，且響應(yīng)逐漸減小.

4.3? ?橢球形異常體模型的數(shù)值模擬

系統(tǒng)模型參數(shù)的選取方式均與4.1節(jié)相同. 計算區(qū)域及網(wǎng)格剖分?jǐn)?shù)與4.2節(jié)相同. 在發(fā)射源的正下方放置一個半長軸a=150 m，半短軸b=50 m，埋深為100 m的橢球形異常體，采用基于解析式建模的共形網(wǎng)格技術(shù)求解橢球形異常體的時間域電磁響應(yīng). 圖12（a）為計算區(qū)域示意圖，圖12（b）為橢球截面階梯狀網(wǎng)格近似示意圖. 其中，異常體電導(dǎo)率為1 S/m，圍巖電導(dǎo)率為0.01 S/m. 將橢球形異常體附近網(wǎng)格剖分成5 m×5 m×5 m的小網(wǎng)格，網(wǎng)格剖分?jǐn)?shù)同4.2節(jié)中的描述，以此時的電磁響應(yīng)作為基準(zhǔn)解進(jìn)行分析. 圖13（a）為階梯狀網(wǎng)格近似和共形網(wǎng)格技術(shù)處理后的電磁響應(yīng)與基準(zhǔn)解的電磁響應(yīng)對比圖. 圖13（b）為兩種處理方法的相對誤差曲線圖，從圖中可以看出在0.5 ms之前，兩種處理方法的誤差相差不大，而在0.5 ms后共形處理的相對誤差明顯小于階梯狀網(wǎng)格近似處理的相對誤差，其中相對誤差減小了4.64%. 與圖10（b）中曲線進(jìn)行比較，在處理橢球形異常體時，共形網(wǎng)格處理的相對誤差相對于階梯狀網(wǎng)格近似處理的相對誤差減小較為明顯. 通過分析圖9（b）、圖12（b）可知，需要共形處理的棱邊電場越多，共形處理的效果越明顯，精度就越高.

圖14為橢球形異常體電磁響應(yīng)切片圖. 通過比較球形與橢球形異常體在t = 0.5 ms，y = 1 980 m的電磁響應(yīng)切片圖，在電磁場擴(kuò)散的過程中，能夠反映出三維異常體的近似形狀，并且橢球形異常體的擴(kuò)散速度要高于球形異常體的電磁場擴(kuò)散速度. 圖15為t = 7 ms時，z分別為150、200、250 m時的橢球形異常體感應(yīng)電動勢等值線分布圖.

本文分別計算了三棱柱、球形異常體、橢球形異常體作為三維異常體時的時間域電磁響應(yīng)，在相同運行環(huán)境下，計算效率如表1所示. 其中三棱柱模型利用共形網(wǎng)格技術(shù)以及階梯狀網(wǎng)格近似方法的運行時間分別為2 460 s和2 214 s;球形異常體模型利用共形網(wǎng)格技術(shù)以及階梯狀近似方法的運行時間分別為2 743 s和1 447 s;橢球形異常體模型利用共形網(wǎng)格技術(shù)以及階梯狀網(wǎng)格近似方法的運行時間分別為2 909 s和1 564 s. 由于三棱柱模型的共形參數(shù)確定只涉及到二維平面，故相對容易獲得，因此與階梯狀網(wǎng)格近似方法的運行時間相比較相差不多，耗時為階梯狀網(wǎng)格近似處理的1.11倍. 球形異常體模型和橢球形異常體模型為具有解析式的目標(biāo)體，需根據(jù)解析式確定共形參數(shù)，因此在電場和磁場的每一次迭代計算中都需要判斷x、y、z三個方向共形網(wǎng)格的位置，即異常體表面與網(wǎng)格相交位置，以及交點所分相應(yīng)棱邊的內(nèi)外邊長. 并將共形參數(shù)代入迭代式中進(jìn)行計算，因此與三棱柱模型相比要更耗時，與階梯狀網(wǎng)格近似相比，其時間比值分別為1.90倍和1.86倍. 由此可知，共形網(wǎng)格技術(shù)可在保證計算效率的同時提高計算精度.

5? ?結(jié)? ?論

本文基于傳統(tǒng)FDTD方法，結(jié)合了共形網(wǎng)格技術(shù)，采用介質(zhì)參數(shù)等效思想，求得了線性加權(quán)平均電導(dǎo)率，更新了電場迭代方程;研究了有解析式的三維目標(biāo)體共形網(wǎng)格技術(shù);采用三棱柱模型驗證了共形網(wǎng)格技術(shù)的有效性，提高了地下曲面三維異常體的數(shù)值模擬精度. 主要結(jié)論如下：

1）在不改變網(wǎng)格大小及數(shù)量的基礎(chǔ)上，共形網(wǎng)格技術(shù)僅對電導(dǎo)率進(jìn)行線性加權(quán)平均處理，并將計算求得的等效電導(dǎo)率代入傳統(tǒng)FDTD電場表達(dá)式，更新了電場迭代方程. 共形網(wǎng)格技術(shù)在保證計算效率的條件下，與階梯狀網(wǎng)格近似方法相比提高了曲面三維異常體的計算精度.

2）可通過三維坐標(biāo)投影法確定出共形網(wǎng)格位

置，進(jìn)而判斷出所截網(wǎng)格棱邊位置，以確定出曲面共形參數(shù).

3）在共形網(wǎng)格處理中，網(wǎng)格棱邊與異常體邊界的交點越多，即需要共形處理的電場越多，共形網(wǎng)格技術(shù)的效果越明顯，精度提高越多.

本文目前開展的工作主要是針對有解析式的三維目標(biāo)模型進(jìn)行共形網(wǎng)格技術(shù)的研究，而對于無法寫出解析式的任意復(fù)雜模型，則應(yīng)分以下幾點進(jìn)行共形網(wǎng)格技術(shù)處理：1）通過3ds Max等建模軟件建立三維目標(biāo)模型. 2）根據(jù)目標(biāo)模型，生成.stl文件，導(dǎo)出三角面元數(shù)據(jù). 3）由三角面元數(shù)據(jù)，通過編程生成Yee網(wǎng)格坐標(biāo)以及共形參數(shù)，并導(dǎo)入3ds Max中進(jìn)行可視化. 4）結(jié)合有限差分方法與共形網(wǎng)格技術(shù)進(jìn)行計算，最終實現(xiàn)任意三維復(fù)雜模型的高精度數(shù)值模擬.

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