章順虎，姜興睿，尤鳳翔，李寅雪

（蘇州大學(xué)a.沙鋼鋼鐵學(xué)院；b.機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215021）

在軋制生產(chǎn)中，軋制力是過程控制最為重要的工藝參數(shù)。精準(zhǔn)的軋制力預(yù)測(cè)是保證板帶材尺寸精度與產(chǎn)品質(zhì)量的前提條件。預(yù)測(cè)軋制力的方法主要有理論解析、有限元模擬、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)等幾種方法。早在1954 年，Sims[1]就曾在奧羅萬方程的基礎(chǔ)上提出了一種預(yù)測(cè)軋制力的解析模型，并導(dǎo)出了軋件前、后滑區(qū)上的平均單位壓力公式。該模型應(yīng)用廣泛，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但由于采用了較多簡(jiǎn)化，因而預(yù)測(cè)精度不高。1973 年，小林史郎[2]提出了一種求解三維軋制總功率泛函的積分框架，但礙于被積函數(shù)的非線性，僅通過計(jì)算機(jī)獲得了數(shù)值結(jié)果。隨后，Kato 等[3]在1980 年也提出了一個(gè)加權(quán)速度場(chǎng)，但同樣沒能獲得解析解。Freshwater[4]在經(jīng)典平軋理論的基礎(chǔ)上，提出了均勻變形和非均勻變形條件下軋制力的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。2012 年，趙德文等[5]率先提出采用應(yīng)用應(yīng)變矢量?jī)?nèi)積法和共線矢量?jī)?nèi)積法分析簡(jiǎn)化的二維流函數(shù)，獲得了軋制力及軋制力矩的解析模型。此后，章順虎等[6]提出將軋制變形滲透率引入厚板軋制過程，并對(duì)速度場(chǎng)進(jìn)行了修正，獲得了更為精確的結(jié)果，最近，又根據(jù)厚板軋制特性提出了厚板軋制的二維橢圓形速度場(chǎng)[7]，成功獲得了軋制力能參數(shù)的解析解。以上依賴傳統(tǒng)解法獲得的模型，其優(yōu)勢(shì)在于可以提供各種參數(shù)的顯示表達(dá)式，直觀反映各種物理量的函數(shù)制約關(guān)系。然而，由于在對(duì)軋制過程分析時(shí)不得不采用多個(gè)假設(shè)或簡(jiǎn)化，預(yù)測(cè)精度存在較大偏差，難以滿足高精度的生產(chǎn)控制需要。

隨著人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）和大數(shù)據(jù)技術(shù)的發(fā)展，利用二者互補(bǔ)預(yù)測(cè)軋制力成為未來的一個(gè)方向。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)勢(shì)在于無論是多么復(fù)雜的軋制工藝，只要有足夠多的數(shù)據(jù)樣本，就可以建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來進(jìn)行預(yù)測(cè)[8]。為了解決傳統(tǒng)方法預(yù)測(cè)連軋機(jī)組中第一組的軋制力存在較大誤差的問題，Duckman 與Yongsug[9]訓(xùn)練了一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來預(yù)測(cè)第一組軋制力，該模型對(duì)軋制力的預(yù)測(cè)效果較好，減小了帶鋼前端的厚度誤差。Dixit 與Chandra[10]使用了BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)軋制力和軋制力矩的上下界進(jìn)行了預(yù)測(cè)，發(fā)現(xiàn)模型訓(xùn)練集和測(cè)試集的精度達(dá)到一定程度后就不再增加。Son 等[11]為了提高熱軋機(jī)軋制力的預(yù)測(cè)精度，提出融合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法的軋制力模型，其后，他們又提出了一種可以用于長(zhǎng)期學(xué)習(xí)和短期學(xué)習(xí)的在線學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[12]，結(jié)果表明，在線學(xué)習(xí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)的軋制力與實(shí)際軋制力非常接近，大大減小了帶鋼厚度誤差。Moussaoui 等[13]采用了 Matlab 中的貝葉斯證據(jù)（Bayesian Evidence）訓(xùn)練函數(shù)實(shí)現(xiàn)了軋制力的預(yù)測(cè)，并與傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)公式結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明，該方法對(duì)實(shí)際軋機(jī)數(shù)據(jù)具有較平滑的擬合效果。Ghaisari 等[14]開發(fā)了一種基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的智能間接檢測(cè)方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)產(chǎn)品力學(xué)性能的監(jiān)測(cè)。該智能系統(tǒng)的輸入項(xiàng)包括各個(gè)生產(chǎn)階段的多種參數(shù)，可以預(yù)測(cè)屈服強(qiáng)度、極限抗拉強(qiáng)度和伸長(zhǎng)率等性能。Bagheripoor 與Bisadi[15]評(píng)估了具有不同隱含層結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化出了能夠準(zhǔn)確預(yù)測(cè)軋制力的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。Guo 等[16]建立了有限元與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的鎂合金板熱軋軋制力預(yù)測(cè)模型，并用有限元模擬對(duì)預(yù)測(cè)模型進(jìn)行了綜合驗(yàn)證。所建立的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型適用于鎂合金板熱軋過程的在線控制和軋制規(guī)程優(yōu)化。何亞元[17]使用數(shù)學(xué)模型和BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的方法構(gòu)建了CSP 生產(chǎn)線軋制力預(yù)測(cè)模型。盡管如此，已有關(guān)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)軋制力的研究由于數(shù)據(jù)規(guī)模不大，因而泛化能力差，并且這些模型都是黑箱模型，無法呈現(xiàn)輸入-輸出參量的函數(shù)映射關(guān)系，很難被生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)所采用。

為了獲得可靠實(shí)用的軋制力模型，文中利用工業(yè)大數(shù)據(jù)進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模，并利用其結(jié)果對(duì)前期建立的理論模型進(jìn)行誤差補(bǔ)償，獲得二者相互補(bǔ)充的整合模型。通過與實(shí)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比，揭示理論模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型以及整合模型的精度情況。

1 已有理論模型

筆者前期提出了描述厚板軋制的橢圓速度場(chǎng)，并以比塑性功率取代法獲得了該速度場(chǎng)上軋制能率的解析式[7]：

式中：Φ為軋制總功率；σs為屈服應(yīng)力，η為軋件入口厚度與出口厚度的比值；m為摩擦因數(shù)；k為剪切屈服強(qiáng)度；l為變形區(qū)長(zhǎng)度；Δh為壓下量；b為板寬；vR為軋輥轉(zhuǎn)速；R為軋輥半徑，θ為變形區(qū)所占軋輥角度；an為中性角；hm為軋件平均厚度；U為變形區(qū)秒流量。

通過式（1），可按式（2）分別計(jì)算軋制力矩、軋制力以及應(yīng)力狀態(tài)系數(shù)：

式中：力臂參數(shù)χ可以參考文獻(xiàn)[18]，一般對(duì)于熱軋大取0.5，冷軋取0.45。

該模型已成功用于軋制力與軋制力矩的預(yù)測(cè)，然而，由于推導(dǎo)過程中采用了不少假定和簡(jiǎn)化，其預(yù)測(cè)精度還不能控制在10%以下，尚有提升的空間。

2 基于大數(shù)據(jù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模

2.1 樣本數(shù)據(jù)預(yù)處理

從實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)中選取了1213 組數(shù)據(jù)用來訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，所有數(shù)據(jù)均來自國(guó)內(nèi)某廠的Q345 鋼的實(shí)際軋制數(shù)據(jù)。采用Matlab 軟件構(gòu)建BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：輸入層包括5 個(gè)參量，依次為板厚h0、壓下率r、溫度T、軋輥線速度vR以及板寬b，輸出層為軋制力P與軋制力矩M。該網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of BP neural network

所有輸入的數(shù)據(jù)被分為訓(xùn)練集（train set）、驗(yàn)證集（validation set）以及測(cè)試集（test set），每個(gè)數(shù)據(jù)集的占比為0.7∶0.15∶0.15。訓(xùn)練集用于模型擬合，驗(yàn)證集用于初步評(píng)估模型的能力并調(diào)整模型的參數(shù)，測(cè)試集用于最終評(píng)估模型的泛化能力。

在訓(xùn)練之前，需要將數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理。所有輸入和輸出數(shù)據(jù)被縮小或放大到[0，1]這個(gè)范圍，以符合S 形函數(shù)的值域范圍。這一步驟保證了所有參量都具有相同的重要程度，同時(shí)可以減少網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練時(shí)間。文中采用的歸一化的算法為：

式中：xi表示經(jīng)過歸一化處理后的數(shù)據(jù)；x為原始數(shù)據(jù)；xmin為所有x的最小值；xmax為所有x的最大值。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練迭代次數(shù)最大值設(shè)為1000，訓(xùn)練目標(biāo)為1×10-3，學(xué)習(xí)率為0.01。采用的訓(xùn)練函數(shù)是Matlab 工具箱中的擬牛頓法（BFGS Quasi-Newton）。

2.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立與分析

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型需要確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)形式，包括確定網(wǎng)絡(luò)層數(shù)和各層網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)，主要是確定隱含層及其神經(jīng)元的數(shù)量。網(wǎng)絡(luò)的好壞可以用相關(guān)系數(shù)R（correlation coefficient）來評(píng)判，它的平方為：

在Matlab 中，可以直接在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)果中查看每一個(gè)集的R值。文中從單隱含層開始，通過逐步增長(zhǎng)法尋找最高R值的神經(jīng)元組合。通過不斷測(cè)試，最終確定第一隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為7，第二層隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)也為7。該模型訓(xùn)練迭代次數(shù)為121，該組合的每個(gè)集合與總體的R值如圖2 所示。

由圖2 可見，此時(shí)訓(xùn)練集、驗(yàn)證集、測(cè)試集上的R值以及總的R值均很高，表明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)具有很高的逼近程度。另外，獲得了該模型的誤差分布直方圖，如圖3 所示。

圖3 中，橫軸為目標(biāo)值與輸出值的差值，即誤差；縱軸為1213 組數(shù)據(jù)在各誤差程度區(qū)間的分布數(shù)量。可以看出，大部分?jǐn)?shù)據(jù)的誤差都集中在一個(gè)較小的范圍，誤差較大的數(shù)據(jù)很少。綜上可見，文中建立的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)精度很高，可以實(shí)現(xiàn)軋制力、軋制力矩的精確預(yù)測(cè)。

為評(píng)估模型的泛化能力，文中選取了另外一組軋制數(shù)據(jù)對(duì)已構(gòu)建的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行了分析。選取的軋制數(shù)據(jù)來自國(guó)內(nèi)某廠現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)，連鑄坯尺寸為320 mm×3470 mm×2000 mm，軋輥直徑為1120 mm。經(jīng)過第一道次的整形軋制后，厚度為299.36 mm，然后轉(zhuǎn)鋼90°進(jìn)行展寬軋制。表1 為第2 道次至第6 道次的軋制數(shù)據(jù)。

根據(jù)式（1）與式（2），可以通過理論模型計(jì)算出表1 中的理論軋制力PT與軋制力矩MT，其中采用的變形抗力模型見式（5）。

式中：ε為等效應(yīng)變；ε˙為等效應(yīng)變速率；t為軋制溫度；T為熱力學(xué)溫度。

表1 實(shí)測(cè)軋制參數(shù)Tab.1 Measured rolling parameters

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)各數(shù)據(jù)集的預(yù)測(cè)精度Fig.2 Prediction accuracy of each data set of the neural network

圖3 誤差分布直方圖Fig.3 Histogram of error distribution

同時(shí)，將數(shù)據(jù)代入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中進(jìn)行計(jì)算，獲得了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)軋制力PANN與軋制力矩MANN。以上兩種模型的計(jì)算結(jié)果如表2 所示，其中TPε表達(dá)式為；εPANN表達(dá)式為。

如表2 所示，理論模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型都可以給出較為合理的結(jié)果。其中，理論軋制力平均誤差為，軋制力矩平均誤差為；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)軋制力平均誤差，軋制力矩平均誤差為?？梢钥闯觯窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)值相對(duì)于理論計(jì)算值更加精確。

2.3 整合模型的構(gòu)建與討論

由2.2 節(jié)分析可知，雖然神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的精度高于理論模型，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型無法呈現(xiàn)輸入-輸出參數(shù)間的函數(shù)制約關(guān)系，因此，文中提出利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)理論模型進(jìn)行修正，融合構(gòu)造出優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)的整合模型。該模型融合的基本思想是以理論模型預(yù)測(cè)軋制力的主值，以大數(shù)據(jù)模型預(yù)測(cè)軋制力的偏差，按照偏差補(bǔ)償?shù)脑瓌t把兩者整合起來，作為軋制力的預(yù)測(cè)值，即：

表2 理論與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)軋制力、軋制力矩的預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值誤差Tab.2 Rolling force and rolling torque between theoretical model and neural network prediction and the errors with measured data

式中：δPANN=PM-PANN，δPT=PM-PT，稱為軋制力平均誤差；δPd為理論模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型誤差的間距；δMT與δMANN為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與理論軋制力矩平均誤差；δMd為理論與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)軋制力矩誤差的間距。這種模型融合方法稱為加法補(bǔ)償，原理示意圖如圖4 所示。

圖4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差補(bǔ)償原理Fig.4 Schematic diagram of neural network error compensation principle

根據(jù)式（2），可得誤差補(bǔ)償后的軋制力矩與軋制力表達(dá)式見式（7）。

根據(jù)表1 的軋制參數(shù)，計(jì)算可得δPANN的均值為-1747 kN，δPT的均值為-4576 kN，故而δPd=2829 kN，同理可得δMd=155 kN · m，因此，經(jīng)過整合后的軋制力、軋制力矩以及其誤差如表3 所示。

表3 整合模型預(yù)測(cè)軋制力與軋制力矩Tab.3 Prediction of rolling force and rolling torque of the integrated model

對(duì)軋制力與軋制力矩的實(shí)測(cè)值、理論計(jì)算值、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)值以及整合模型計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比，如圖5和6 所示?？梢钥闯?，整合模型的軋制力、軋制力矩顯著優(yōu)于理論模型。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)值在第一道次時(shí)較高，但之后下降較快。當(dāng)?shù)来螖?shù)大于3 時(shí)，整合模型更加接近實(shí)測(cè)值，預(yù)測(cè)結(jié)果更為穩(wěn)定。

圖5 軋制力對(duì)比Fig.5 Comparisons of rolling force

圖6 軋制力矩對(duì)比Fig.6 Comparisons of rolling torque

3 結(jié)論

1）對(duì)1213 組軋制數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，選用BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建軋制力的預(yù)測(cè)模型，獲得了輸入層、隱含層、輸出層神經(jīng)元數(shù)以5-7-7-2 的組合形式。該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的相關(guān)系數(shù)R值為0.973 59，可以精確預(yù)測(cè)軋制力與軋制力矩。

2）通過對(duì)比理論模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型以及實(shí)測(cè)值，表明提出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)的軋制力精度為-4.17%，軋制力矩預(yù)測(cè)精度為-4.12%，優(yōu)于理論模型的軋制力預(yù)測(cè)精度-10.77%和軋制力矩的預(yù)測(cè)精度-10.25%。

3）提出了融合兩類模型的誤差補(bǔ)償方法，獲得了軋制力的整合模型。經(jīng)計(jì)算，該整合模型的軋制力平均誤差為-4.09%，軋制力矩平均誤差為-4.01%，優(yōu)于理論模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)值。