張皞宇 周正松

摘? ?要：由于此前人們對(duì)病毒的傳染性關(guān)注度不夠，使得新型冠狀病毒在初期傳染時(shí)，可采取的有效干預(yù)措施較少，導(dǎo)致傳染人數(shù)激增。本研究從湖北省衛(wèi)生健康委員會(huì)的通報(bào)中得到從1月11日到2月7日的感染數(shù)據(jù)，基于改進(jìn)的SERI模型模擬出新型冠狀病毒在湖北省有效干預(yù)措施較少時(shí)的發(fā)展情況，為后續(xù)的預(yù)測(cè)模型做一個(gè)參考。

關(guān)鍵詞：無干預(yù)自由發(fā)展;基本再生數(shù);新型冠狀病毒。

隨著新型冠狀病毒在武漢開始傳播，感染人數(shù)與死亡人數(shù)也開始逐步上升。由于此前人們對(duì)病毒的傳染性了解不夠充分，使得在病毒發(fā)現(xiàn)初期可采取的措施較少，其未得到及時(shí)干預(yù)，新型冠狀病毒肺炎在湖北傳染得較快。為研究此次病毒的傳播情況，通過數(shù)學(xué)建模得出病毒在湖北省前期處于無干預(yù)自由發(fā)展?fàn)顟B(tài)的模型。

1? ? 湖北新型冠狀病毒肺炎的基本情況

本研究中的數(shù)據(jù)來源于湖北省衛(wèi)生健康委員會(huì)的通報(bào)。

1.1? 湖北感染情況

根據(jù)省衛(wèi)生健康委員會(huì)的通報(bào)，統(tǒng)計(jì)得到從1月11日到2月7日的感染情況，如表1所示。

1.2? 感染趨勢(shì)

湖北省的感染趨勢(shì)如圖1所示。

由于感染人數(shù)與死亡和出院人數(shù)相差太大，故附上一張無病的趨勢(shì)圖，如圖2所示。

2? ? 模型的設(shè)計(jì)

2.1? 模型選擇

由于此次病毒為大型傳染病，故選擇最經(jīng)典的傳染病模型，即易感者-潛伏者-移除者-感染者（Susceptible-Exposed-Infected-Recovered，SEIR）模型進(jìn)行模型的建立，從而進(jìn)行情況的分析[1]。該模型適用于通過病毒傳播的疾病，所以符合此次的實(shí)際情況。

在SEIR模型中，將人群分為4類：S（易感者），E（潛伏者），R（移除者），I（感染者）。

其中，S定義為易感者，在此處記為S（t），來表示t時(shí)段的易感者。

E定義為潛伏者，在此處記為E（t），來表示t時(shí)段的潛伏者。

R定義為感染后在后續(xù)疾病被移除且不會(huì)再次感染者，此處記為R（t），來表示t時(shí)段的移除者。

I定義為感染疾病者且同時(shí)具有傳播能力者，此處記為I（t），來表示t時(shí)刻的感染者。

2.2? 模型設(shè)計(jì)

由于本次的病毒有較長(zhǎng)的潛伏期，且會(huì)導(dǎo)致患者死亡，根據(jù)情況建立SERI模型進(jìn)行改進(jìn)，增加新一類人員D（死亡者）。新型冠狀病毒的傳播流程如圖3所示。

其中E代表潛伏期人數(shù)，R0代表基本再生數(shù)。在此處引入基本再生數(shù)這個(gè)概念，指在一個(gè)全是易感染態(tài)個(gè)體構(gòu)成的群體中，一個(gè)感染態(tài)的個(gè)體在恢復(fù)之前平均能感染的人數(shù)。故可以推測(cè)出潛伏期的人數(shù)，即E=S×R0。

J代表轉(zhuǎn)陽(yáng)率，其含義為潛伏者向發(fā)病者的發(fā)展的概率，即取潛伏期的倒數(shù)。

r代表治愈率，即病人每天獲得治愈的概率。

k代表日死亡率，即病人的日死亡率。所以k=死亡率×治愈率。

2.3? 方程建立

在此處引入此次病毒的基本再生數(shù)，即一個(gè)感染態(tài)的個(gè)體在恢復(fù)之前平均感染的人數(shù)，由此可以更好地計(jì)算出受感染的潛伏者，即E=R0I-JE。

此時(shí)則需要對(duì)此次的疾病前期的基本再生數(shù)進(jìn)行估計(jì)，根據(jù)基本再生數(shù)的計(jì)算公式R0=1+λTg+ρ（1-ρ）（λTg）2，其中TE，TI分別為感染期與傳染期，則患者生成時(shí)間為Tg=TE+TI。記ρ=TE/Tg為潛伏期占患病所需時(shí)間（潛伏期+感染期）的比[2]。

通過計(jì)算出的R0，根據(jù)模型的設(shè)計(jì)來建立出相關(guān)的微分方程組：

3? ? 參數(shù)確定與實(shí)際擬合

根據(jù)《新型冠狀病毒感染的肺炎治療方案》（試行第5版），由于本次病毒的潛伏期為3～7天，則取平均數(shù)5天。在進(jìn)行體外分離培養(yǎng)時(shí)，在96 h左右，即4天，可在人呼吸道上皮細(xì)胞中發(fā)現(xiàn)病毒[3]。所以TE，TI的和Tg=9。再根據(jù)公式可得到ρ=5/9。

雖然本次病毒感染的第一為12月8日，由于初期不清楚傳染性，對(duì)其重視不足，使得病毒的爆發(fā)期發(fā)生在2019年12月中下旬，為方便計(jì)算，取12月16日開始。因?yàn)樵?020年1月22日，湖北省人民政府發(fā)布《湖北省人民政府關(guān)于加強(qiáng)新型冠狀病毒感染的肺炎防控工作的通告》，同時(shí)啟動(dòng)了突發(fā)公共衛(wèi)生事件二級(jí)應(yīng)急響應(yīng)，所以截至22日，新型冠狀病毒在此之前為無干預(yù)自由發(fā)展。根據(jù)湖北省前期感染的數(shù)據(jù)，計(jì)算出病毒在呈指數(shù)增長(zhǎng)的增長(zhǎng)率，即，根據(jù)12月21日的數(shù)據(jù)，得出結(jié)果為λ=0.165。

再通過基本再生數(shù)的計(jì)算，帶入數(shù)據(jù)得出基本再生數(shù)為R0=3.020。

通過統(tǒng)計(jì)得出湖北省在1月11日到2月7日時(shí)的平均死亡率和平均治愈率，即r=0.074，k=0.024。轉(zhuǎn)陽(yáng)率取潛伏期的倒數(shù)。雖然Tg=9，但因?yàn)樵趯?duì)病毒傳染性了解不足的前期，即使出現(xiàn)了癥狀也無法得到充分的重視和有效處理措施，所以此處取最長(zhǎng)潛伏期來進(jìn)行計(jì)算，即J為14的倒數(shù)。

將如上參數(shù)帶入微分方程中，進(jìn)行求解。

得到I（t）的相關(guān)方程，再進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖4所示。

由于數(shù)據(jù)取于1月11日，在圖4中坐標(biāo)11處為1月21日。在坐標(biāo)x=12處即為21日，此時(shí)國(guó)家處于2020年1月22日凌晨2：40，湖北省人民政府發(fā)布《湖北省人民政府關(guān)于加強(qiáng)新型冠狀病毒感染的肺炎防控工作的通告》，同時(shí)啟動(dòng)了突發(fā)公共衛(wèi)生事件二級(jí)應(yīng)急響應(yīng)。此時(shí)的病毒不再處于無約束狀態(tài)發(fā)展，可以明顯看出不再呈指數(shù)趨勢(shì)發(fā)展。

所以此處的病毒傳播分為兩個(gè)時(shí)間段，即無干預(yù)自由發(fā)展時(shí)間段和有干預(yù)發(fā)展時(shí)間段。可以明顯看出，政府的介入與民眾的努力使得病毒的傳播速率明顯下降，通過少出門和不聚會(huì)、戴口罩和勤洗手，可明顯對(duì)病毒的傳播進(jìn)行干預(yù)，使得R0下降，在R0≤1時(shí)，本次病毒得到控制。由于當(dāng)前缺乏數(shù)據(jù)，無法建立出對(duì)未來感染人數(shù)的預(yù)測(cè)模型。在后續(xù)有了流行病學(xué)的數(shù)據(jù)后，可以為I增加一個(gè)約束項(xiàng)，使其不再呈指數(shù)趨勢(shì)上漲，更貼合實(shí)際，從而能夠建立出預(yù)測(cè)模型。

4? ? 結(jié)語(yǔ)

文章在改進(jìn)SIRE模型的同時(shí)引入了基本再生數(shù)，簡(jiǎn)化了對(duì)于潛伏期患者的計(jì)算難度，可以更好地?cái)M合出病毒在無干預(yù)狀態(tài)下的發(fā)展與趨勢(shì)，具有一定的參考價(jià)值。

由于在后期湖北省啟動(dòng)了突發(fā)公共衛(wèi)生事件二級(jí)應(yīng)急響應(yīng)，使得病毒不再呈模型中的趨勢(shì)發(fā)展。如果有足夠的數(shù)據(jù)，可以在該模型的基礎(chǔ)上增加對(duì)I的約束項(xiàng)，從而更加符合疾病傳播動(dòng)力學(xué)，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)未來患病人數(shù)的預(yù)測(cè)。

[參考文獻(xiàn)]

[1]王拉娣.傳染病動(dòng)力學(xué)模型及控制策略研究[D].上海：上海大學(xué)，2005.

[2]周濤，劉權(quán)輝，楊紫陌，等.新型冠狀病毒感染肺炎基本再生數(shù)的初步預(yù)測(cè)[J].中國(guó)循證醫(yī)學(xué)雜志，2020（2）：1-6.

[3]國(guó)家衛(wèi)生健康委辦公廳，國(guó)家中醫(yī)藥管理局辦公室.新型冠狀病毒感染的肺炎診療方案（試行第五版）[J].中國(guó)中西醫(yī)結(jié)合雜志，2020（2）：1-3.