張宇鑫

【摘 要】 2012年，陸俊、談勝利提出了對(duì)任意奇異纖維關(guān)于陳數(shù)上下界的猜想。本文主要計(jì)算 了虧格4的周期纖維的陳數(shù)和Euler - Pomcare特征標(biāo)，并結(jié)合龔成虧格2與符玄龍?zhí)澑?的分類結(jié)果，驗(yàn)證了在虧格4周期纖維的情況下，陸俊、談勝利猜想的正確性。

【關(guān)鍵詞】 陳數(shù);周期纖維;纖維化

在復(fù)代數(shù)曲面的研究中，（代數(shù)）纖維化是一類常見的研究對(duì)象。我們稱光滑既約的射影代數(shù)曲面S到光滑既約的射影代數(shù)曲線，C的滿的態(tài)射?：S是纖維化，且? 的每條纖維都是連通的[1]。與射影代數(shù)曲面的雙有理幾何的情況不同，纖維化的理論可以說是研究代數(shù)曲面上有理函數(shù)的幾何學(xué)[2]。事實(shí)上，因?yàn)榉浅５挠欣砗瘮?shù)可以看作曲面到射影直線的支配的有理映射，而通過奇點(diǎn)解消以及Stein便可以得到上面的纖維化的形狀。由于代數(shù)簇的研究本質(zhì)上是其上有理函數(shù)的研究，故纖維化的研究可以反映曲面的數(shù)值不變量[3]。下面考慮纖維化?：S，由于/的臨界值的全體是C的Zariski閉集，故是 有限集。故 ? 的一般纖維都是光滑射影曲線。我們稱 ? 是虧格g的纖維化，若其一般纖維F的虧格g，這與一般纖維的選取無關(guān)。特別地，若纖維化 ? 的虧格為0，即 ? 的每條纖維都是P時(shí)，稱 ? 為直紋;稱虧格為1的纖維化為橢圓纖維化。當(dāng) ? 是虧格g的 纖維化時(shí)，? 的任意纖維的算數(shù)虧格也為g 。

一、虧格相關(guān)定理

我們有以下重要的引理：

由算數(shù)虧格這一整體的不變量，我們可以得到曲面的奇點(diǎn)解消理論：光滑代數(shù)曲面上的既約曲線的奇點(diǎn)可以通過有限次blowing up解消，進(jìn)一步的，曲面間的雙有理映射都是有限個(gè)blowing up以及其逆映射blowing down的復(fù)合。通過blowing up可以產(chǎn) 生（-1）曲線，反之，Castelnuovo收縮定理證明了任意（-1）曲線也都是通過blowing up 產(chǎn)生的。由此，曲面的極小模型不存在（-1）曲線，于是我們便得到了相對(duì)極小模型的觀點(diǎn)：即稱纖維化 ? ：S是相對(duì)極小的，如果 ? 的每條纖維都不含（-1）曲線。

類似極小模型時(shí)的情況，對(duì)于任意的纖維化 ?0：S，一定存在其相對(duì)極小模型[2]：因若?0存在（-1）曲線，E0將其收縮，得到的新的光滑曲面X1與纖維化 ?1：S且滿足 ?0=?10。其中 ：是收縮映射。接下來歸納的，收縮 ?i中的（-1）曲線，Ei，最終可以得到一個(gè)不含（-1）曲線的代數(shù)纖維化。另一方面，若g>0，則相對(duì)極小模型唯一。但當(dāng)g>0時(shí)，相對(duì)極小模型可能是不唯一的。然而這樣的纖維化有非常 簡單的結(jié)構(gòu)，即f是一個(gè)直紋，并且可以證明任意g>0時(shí)，兩個(gè)相對(duì)極小模型可通過有限次基本變換相互轉(zhuǎn)換。這樣我們?cè)谝欢ǔ潭壬系玫搅烁m合數(shù)值不變量的分類。

接下來，我們引入穩(wěn)定性的概念。穩(wěn)定性本來是構(gòu)造曲，局部自由層模空間時(shí)引入的概念，但在纖維化理論中有很重要的應(yīng)用。我們稱相對(duì)極小纖維F是半穩(wěn)定的，若F 是既約，具有正規(guī)交，任何相對(duì)極小纖維F總是可以通過blowing up其上的奇點(diǎn)，得到一個(gè)只有結(jié)點(diǎn)的纖維F，并且F的每條（-1）曲線至少要和其他分支相交3個(gè)點(diǎn)，這樣的F是唯一確定的，稱之為F的極小正規(guī)交模型。

為計(jì)算不變量，我們介紹一些數(shù)值不變量：設(shè)n是基變換，F(xiàn)是?的奇異纖維，我們定義F的一些數(shù)值不變量陳數(shù)與Euler-Pouncare'特征標(biāo)，其定義如下：

二、周期纖維的陳數(shù)

本部分主要根據(jù)陸俊、談勝利關(guān)于奇異纖維的陳類公式求出了所有奇異纖維的陳數(shù)，進(jìn) 而由Noether公式計(jì)算出了所有奇異纖維的特征標(biāo)。

【參考文獻(xiàn)】

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[5]龔成.上具有兩條或三條奇異纖維的曲面纖維化[D].華東師范大學(xué)，2012.

[6]符玄龍.曲線上具有兩條奇異纖維的虧格3纖維化[D].華東師范大學(xué)，2012.

[7]卓玲聿.虧格為4的周期纖維的分類及其應(yīng)用[D].蘇州大學(xué)，2012.