唐麗艷

（深圳實驗學(xué)校 中學(xué)部，廣東 深圳 518026）

1 問題提出

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》）中凝練了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，六個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)上蘊涵了六種數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，《普通高中課程方案（2017 年版）》的培養(yǎng)目標(biāo)也突破了對數(shù)學(xué)知識的考察，開始由知識取向的評價走向能力取向的評價，這種能力就是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。在2019 年的高中數(shù)學(xué)教育中已經(jīng)開始對數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力進行測評。本研究主要基于高中生數(shù)學(xué)建模能力，旨在解決如下問題：第一，高中生數(shù)學(xué)建模能力整體水平如何；第二，高中生數(shù)學(xué)建模能力在橫向維度與縱向水平的整體狀況如何；第三，不同年級之間學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力在橫向維度是否存在差異；第四，不同年級之間學(xué)生的邏輯推理能力在縱向水平是否存在差異。這些問題的解決，可以在一定程度上為高中生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)與評價提供數(shù)據(jù)支撐與策略引導(dǎo)。

2 數(shù)學(xué)建模能力測評的研究述評

數(shù)學(xué)建模能力測評的相關(guān)研究主要集中在以下幾個方面。

第一，關(guān)于數(shù)學(xué)建模能力模型研究，一般來說，可以根據(jù)其水平劃分，將其概括為“三水平模型”“四水平模型”與“多水平模型”三類?！叭侥Ｐ汀辈捎玫?、中、高水平對數(shù)學(xué)建模能力進行刻畫。很多國家課程標(biāo)準(zhǔn)均采用三水平劃分方式，如我國《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》和德國《高中數(shù)學(xué)教育標(biāo)準(zhǔn)》都將數(shù)學(xué)模型劃分了三個水平，但是兩者又有所不同。前者從情境與問題、知識與技能、思維與表達、交流與反思四個層面對數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)劃分[1]，后者更側(cè)重情境的轉(zhuǎn)變，從給定的情境（水平Ⅰ）到變化的情境（水平Ⅱ），最后到復(fù)雜的情境（水平Ⅲ）[2]?！八乃侥Ｐ汀辈捎貌缓细瘛⒑细?、良好以及優(yōu)秀進行刻畫。例如PISA2012 提出數(shù)學(xué)化能力，即數(shù)學(xué)建模能力，并按照其發(fā)展階段劃分為0-3 四個水平[3]。林子植基于SOLO 分類法，結(jié)合《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》中關(guān)于數(shù)學(xué)建模水平的劃分，將數(shù)學(xué)建模能力分為前模型、單結(jié)構(gòu)模型、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)模型與拓展結(jié)構(gòu)模型四個水平[4]，這與PISA2012 的劃分有所不同，從學(xué)生的回答表現(xiàn)出發(fā)，對學(xué)生建模能力的水平進行概括?！岸嗨侥Ｐ汀狈褐赋^四水平的數(shù)學(xué)建模能力模型，例如，徐斌艷等根據(jù)數(shù)學(xué)建模過程的階段將數(shù)學(xué)建模能力劃分為五個水平[5]，徐斌艷通過中德學(xué)生建模能力比較，又將其拓展為六個水平[2]。

第二，數(shù)學(xué)建模能力構(gòu)成要素研究。例如Galluzzo 給出了數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵要素，即確定問題、作出假設(shè)、定義變量、獲得解決方案、分析與模型評價、報告結(jié)果[6,p193-194]。

第三，數(shù)學(xué)建模能力的評價方式研究。評價方式有很多種，例如Frejd 測試題評價法、動手模擬評價法、建模項目評價法、檔案袋評價法和建模競賽評價法[7]，目前的研究以結(jié)果性評價為主，例如Galluzzo 構(gòu)建一份數(shù)學(xué)建模評價量表，并據(jù)此評價學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力[6,p193-194]，Lingefj?rd &Holmquist 比較了同伴評價和家庭作業(yè)兩種建模能力評價方法的異同[8]，徐斌艷等以“縫制足球”為例調(diào)查了我國6-9 年級學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力[5]。

3 數(shù)學(xué)建模能力分析框架的構(gòu)建

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》指出，數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)造模型解決問題的素養(yǎng)。從數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的視角來看，數(shù)學(xué)建模的外顯能力表現(xiàn)包括：“在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題。”[9]根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》中關(guān)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平的闡述，交流與反思更多需要在課堂教學(xué)中進行觀察，為了便于分析學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力與《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》之間的一致性，從《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》中數(shù)學(xué)建模的能力視角出發(fā)，對以上關(guān)于數(shù)學(xué)建模能力測評的相關(guān)研究進行梳理、總結(jié)與概括，選取可量化測評的水平描述，構(gòu)建了本研究數(shù)學(xué)建模能力分析框架，橫向維度考慮數(shù)量關(guān)系與空間圖形，縱向水平涵蓋模仿與舉例、構(gòu)造與求解、轉(zhuǎn)譯與檢驗三個水平。表1為三個水平的劃分結(jié)構(gòu)，其操作簡單，便于對學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力進行測評，受到國內(nèi)外學(xué)者和機構(gòu)的大力支持和廣泛運用。

表1 高中生數(shù)學(xué)建模能力縱向水平分析框架

3.1 研究假設(shè)的厘定

本研究基于以下兩個假設(shè)：其一，高中生數(shù)學(xué)建模能力的發(fā)展在一定程度上會受到年級的影響，學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力會隨著年級的升高而改變，教師專業(yè)素養(yǎng)、教學(xué)風(fēng)格以課外輔導(dǎo)等因素不在本研究考慮范圍之內(nèi)；其二，高中生數(shù)學(xué)建模能力的高低可以通過學(xué)生測試卷的總平均分來反映，得分越高說明其數(shù)學(xué)建模能力越強，學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力整體狀況還受到各維度測評狀況的影響。

3.2 研究方法的確定

根據(jù)分析框架與研究假設(shè)，本研究主要采用專家咨詢法與問卷調(diào)查法。借助專家咨詢法對初構(gòu)的水平進行修訂、檢驗，確保其科學(xué)性與合理性。專家結(jié)構(gòu)包括高等院校的數(shù)學(xué)教育理論研究者、中學(xué)教研員以及教學(xué)一線的專家型教師，這樣的結(jié)構(gòu)對于高中生數(shù)學(xué)建模能力水平的劃分既有理論的指導(dǎo)，又能從教學(xué)實踐出發(fā)，符合學(xué)生在實際學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)。問卷調(diào)查法是為了探究高中生數(shù)學(xué)建模能力發(fā)展?fàn)顩r，確定高中生數(shù)學(xué)建模能力達成情況，考察不同年級的學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力在橫向維度與縱向水平的具體表現(xiàn)。

3.3 測評問卷的編制

本研究通過對已有測試題目的甄選與改編，形成高中生數(shù)學(xué)建模能力測評問卷并對其進測評，在測評問卷開發(fā)過程中，根據(jù)題型設(shè)計的基本原理與題項選擇的基本原則。由于本研究測量高中生數(shù)學(xué)建模能力，這是一種綜合型數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，注重學(xué)生的模仿與舉例、構(gòu)造與求解、轉(zhuǎn)譯與檢驗，更多反映學(xué)生的思維過程，考察學(xué)生在實際情境中解決問題的能力，而非簡單的知識記憶和技能訓(xùn)練，因此，所選題型與題項依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》要求控制題項難度，依據(jù)教學(xué)內(nèi)容減少知識干擾，依據(jù)學(xué)生特征確定題項來源，依據(jù)水平劃分調(diào)節(jié)題項梯度。除此之外，對高中生數(shù)學(xué)建模能力進行測評的難點還在于，不能單純以學(xué)生所學(xué)知識為載體，這樣難以體現(xiàn)其建模能力，所以，盡量選取與所學(xué)知識相關(guān)不大的內(nèi)容編制測試卷，以主觀題為主，經(jīng)過三次調(diào)整，最終形成測評問卷，問卷中包含18 個測評題項，每個水平設(shè)計3 個題項，數(shù)量關(guān)系與空間圖形各9個題項。

表2 各年級測評問卷信度表

在正式施測之前，對測評問卷的信度與效度進行檢驗。測評問卷的信度可見表2，各水平題項信度均大于0.7，問卷年整體信度大于0.8，測評問卷的ɑ信度指標(biāo)基本達到了測量學(xué)要求，各分測評之間具有很高的一致性，適宜作為測量工具進行團體測量。

效度主要考察內(nèi)容效度與結(jié)構(gòu)效度，在內(nèi)容效度上，采用專家咨詢的方式，結(jié)合一線特級教師的教學(xué)經(jīng)驗來提升內(nèi)容效度。在結(jié)構(gòu)效度上，采用因素分析法，測評問卷旋轉(zhuǎn)后的因素負(fù)荷矩陣和累積解釋變異量表明，提取的三個因素（模仿與舉例、構(gòu)造與求解、轉(zhuǎn)譯與檢驗）的特征值分別是2.751、2.134、1.672，累積解釋變異量為61.127%，對整個測評問卷的有效程度較好，數(shù)學(xué)建模能力三個水平的結(jié)構(gòu)具有很好的穩(wěn)定性和獨立性，問卷的內(nèi)部結(jié)構(gòu)較為理想，其建構(gòu)效度較好。

通過相關(guān)分析來檢驗各水平之間是否存在相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)矩陣如表3 所示。結(jié)果顯示，三個水平之間的相關(guān)系數(shù)在0.419～0.612 之間，表現(xiàn)為中等相關(guān)。各水平與問卷總體的相關(guān)系數(shù)在0.533～0.738 之間，均表現(xiàn)為中等相關(guān)或強相關(guān)，達到測評標(biāo)準(zhǔn)。

表3 各水平之間的相關(guān)系數(shù)矩陣

3.4 研究樣本的遴選

表4 高中生樣本分布表

考慮樣本的代表性與方便性，以唐山、承德、石家莊、衡水、張家口等為樣本城市，根據(jù)每個樣本城市學(xué)校的生源水平、師資狀況、軟件條件、硬件設(shè)施、學(xué)校管理等因素，將樣本學(xué)校分成三類：一類是優(yōu)質(zhì)學(xué)校，二類是中等學(xué)校，三類是薄弱學(xué)校。每個樣本城市選取3 所樣本學(xué)校，再從每類樣本學(xué)校中選取高一至高三的中等年級的學(xué)生作為測試對象，共發(fā)放測評問卷2 269 份，回收測評問卷2 269 份，有效問卷2 056，有效率是90.6%，學(xué)生樣本分布如表4 所示。

3.5 數(shù)據(jù)分析的標(biāo)準(zhǔn)

本次調(diào)查采用現(xiàn)場測評的方式，由于考慮高考復(fù)習(xí)的影響，高三年級學(xué)生在第一學(xué)期期末進行測評，高一、高二學(xué)生在第二學(xué)期期末進行測評。測評時長為50 分鐘，整個測評過程中，教師不能對學(xué)生進行指導(dǎo)或提示，學(xué)生測評問卷的評分由一名高校教師和兩名高中數(shù)學(xué)教師共同完成。每道測評題項最低分為0 分，最高分為5 分，包含0、1、2、3、4、5 六個分值，問卷滿分為90 分。評分方式采用相互獨立評分與仲裁相結(jié)合，先由兩名高中數(shù)學(xué)教師獨立完成評分，如果出現(xiàn)分歧較大的題項或者分?jǐn)?shù)，再由第三名教師進行仲裁，教師評分在95%以上一致，一致性程度較高。

4 研究結(jié)果

本研究主要利用SPSS22.0 進行數(shù)據(jù)處理，主要得到以下研究結(jié)果。

4.1 高中生數(shù)學(xué)建模能力的發(fā)展態(tài)勢

圖1 高中生數(shù)學(xué)建模能力整體發(fā)展?fàn)顩r圖

由圖1 可以發(fā)現(xiàn)，高中生數(shù)學(xué)建模能力整體呈現(xiàn)先增后降的發(fā)展趨勢，高一年級學(xué)生的平均分是25.69 分，高二年級學(xué)生的平均分是27.42 分，高三年級學(xué)生的平均分是26.76 分，三個年級學(xué)生的得分均未達到合格標(biāo)準(zhǔn)（滿分為90 分，合格分?jǐn)?shù)為54 分）。三個年級學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的得分率分別是28.5%、30.4%、29.7%，高二年級學(xué)生得分率最高，高三年級得分率次之，高一年級得分率最低，三個年級學(xué)生在數(shù)學(xué)建模能力整體得分均不高。

4.2 高中生在橫向維度與縱向水平的發(fā)展態(tài)勢

4.2.1 高中生數(shù)學(xué)建模能力在橫向維度上的發(fā)展態(tài)勢

從圖2 可以看出，高中各年級學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力在空間圖形維度的得分要高于數(shù)量關(guān)系維度的得分，在兩個維度上均表現(xiàn)為高二年級學(xué)生得分最高，高三年級學(xué)生得分次之，高一年級學(xué)生得分最低，與學(xué)生整體發(fā)展?fàn)顩r相吻合。在兩個維度上，高中生數(shù)學(xué)建模能力呈現(xiàn)先增后降的發(fā)展趨勢。在空間圖形維度上，三個年級得分分別為13.04、14.11、13.61，得分率分別為29.0%、31.4%、30.2%，三個年級學(xué)生在空間圖形維度得分率在30%左右，得分率較低；在數(shù)量關(guān)系維度上，三個年級得分分別為12.65、13.31、13.15，得分率分別為28.1%、29.6%、29.2%，得分率很低。

圖2 高中生在數(shù)學(xué)建模能力橫向維度上的發(fā)展?fàn)顩r圖

4.2.2 高中生數(shù)學(xué)建模能力在縱向水平上的發(fā)展態(tài)勢

從圖3 可以看出，高中生數(shù)學(xué)建模能力的測評成績隨著發(fā)展水平的升高而遞減，模仿與舉例水平測評成績最高，構(gòu)造與求解水平測評成績次之，轉(zhuǎn)譯與檢驗水平測評成績最低。在模仿與舉例、構(gòu)造與求解兩個水平上，三個年級學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力測評成績呈現(xiàn)先增后降的發(fā)展趨勢；而在轉(zhuǎn)譯與檢驗水平上，三個年級學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力測評成績隨年級的升高而增長；在模仿與舉例水平上，三個年級學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力測評成績依次是11.44、11.67、10.91，得分率分別為38.1%、38.9%、36.4%；在構(gòu)造與求解水平上，三個年級學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力測評成績依次是8.10、8.68、8.28，得分率分別為27.0%、28.9%、27.6%；在轉(zhuǎn)譯與檢驗水平上，三個年級學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力測評成績依次是6.15、7.07、7.57，得分率分別為20.5%、23.6%、25.2%。

圖3 高中生數(shù)學(xué)建模能力在縱向水平上的發(fā)展?fàn)顩r圖

4.3 不同年級學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力在橫向維度上的差異

為了更好地理解高中生在數(shù)學(xué)建模能力橫向維度的表現(xiàn)狀況，我們對高中三個年級學(xué)生得分進行方差分析，結(jié)果如表5 所示，不同年級學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力在數(shù)量關(guān)系與空間圖形上存在顯著差異。進行t 檢驗，結(jié)果表明，高一年級學(xué)生與高二年級學(xué)生在數(shù)量關(guān)系（t=-8.72，P＜0.05）、空間圖形（t=-8.40，P＜0.05）上存在顯著差異，高二年級學(xué)生與高三年級學(xué)生在數(shù)量關(guān)系（t=-1.91，p＞0.05）上不存在顯著差異，在空間圖形（t=-3.73，p＜0.05）方面存在顯著差異。

表5 不同年級的學(xué)生在橫向維度上的差異

4.4 不同年級學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力在縱向水平上的差異

為了了解不同年級學(xué)生在數(shù)學(xué)建模能力縱向水平上的差異，對三個年級學(xué)生的縱向水平得分進行方差分析，如表6 所示。不同年級學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力在數(shù)量關(guān)系與空間圖形上存在顯著差異。進行t 檢驗，結(jié)果表明，高一年級學(xué)生與高二年級學(xué)生在模仿與舉例水平（t=1.33，p＞0.05）上不存在顯著差異，在構(gòu)造與求解水平（t=2.53，p＜0.05）、轉(zhuǎn)譯與檢驗水平（t=4.64，p＜0.05）上存在顯著差異，高二年級學(xué)生與高三年級學(xué)生在構(gòu)造與求解水平（t=1.95，p＞0.05）上不存在顯著差異，在模仿與舉例水平（t=3.99，p＜0.05）、轉(zhuǎn)譯與檢驗水平（t=2.72，p＜0.05）上存在顯著差異。

表6 不同年級的學(xué)生在縱向水平上的差異

5 研究結(jié)論與討論

5.1 高中生數(shù)學(xué)建模能力發(fā)展?fàn)顩r不理想

高中生數(shù)學(xué)建模能力發(fā)展水平呈現(xiàn)先增后降的發(fā)展趨勢，從測驗的得分率來看，高中生數(shù)學(xué)建模能力得分偏低（28.5%、30.4%、29.7%），整體發(fā)展水平并不理想。這與一些研究所取得的結(jié)果是一致的，高中生數(shù)學(xué)建模能力依然是學(xué)生的薄弱之處，這可能與學(xué)生疏于從事實際問題解決有關(guān)。在傳統(tǒng)課堂中，多以基礎(chǔ)知識與基本技能作為教學(xué)重點，所涉及的問題情境也是“去情境化”的“理想情境”，導(dǎo)致學(xué)生難以從復(fù)雜的情境中獲得有用的信息，這是導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力偏低的一個原因。除此之外，學(xué)生的創(chuàng)新意識與遷移意識的缺乏也是其數(shù)學(xué)建模能力偏低的重要原因，學(xué)生整體構(gòu)造能力較差，難以構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，這與高中數(shù)學(xué)課程設(shè)置、教學(xué)實施、評價方式等有關(guān)。因此，如何培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)建模能力仍然是我國目前數(shù)學(xué)教育中亟待解決的重要問題。

5.2 高中生數(shù)學(xué)建模能力在各水平上呈現(xiàn)非均衡性

高中生數(shù)學(xué)建模能力在模仿與舉例、構(gòu)造與求解、轉(zhuǎn)譯與檢驗三個水平上呈現(xiàn)非均衡發(fā)展。從測評成績來看，模仿與舉例水平遠遠好于構(gòu)造與求解水平、轉(zhuǎn)譯與檢驗水平。高中生在模仿與舉例、構(gòu)造與求解、轉(zhuǎn)譯與檢驗三個水平的平均得分率分別是37.8%、27.8%、23.1%，可以看出，達到模仿與構(gòu)造水平的學(xué)生將近五分之二，學(xué)生更多的是模仿、借助所學(xué)模型解決簡單問題，對于舉例說明建模的意義及其所蘊含的數(shù)學(xué)思想表現(xiàn)不夠好。達到構(gòu)造與求解、轉(zhuǎn)譯與檢驗兩個水平的學(xué)生均不足三分之一，在這兩個水平中，對于學(xué)生較難的是構(gòu)造、檢驗，構(gòu)造是整個數(shù)學(xué)建模的內(nèi)核，要求學(xué)生能夠從現(xiàn)實世界中發(fā)現(xiàn)關(guān)系，并建立模型，而檢驗的效果較差可能與高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)有關(guān)，高中應(yīng)用題教學(xué)強調(diào)如何建立模型解決問題，一般不會給學(xué)生提供檢驗的機會和空間。

5.3 高中生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)滯后于課程標(biāo)準(zhǔn)

在研究中我們發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力依然處于初級階段，數(shù)學(xué)建模的重要性仍未引起教師與學(xué)生的重視，這也側(cè)面反映出課程標(biāo)準(zhǔn)在教學(xué)落實中的缺失，高中生實際數(shù)學(xué)建模能力與《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》中對數(shù)學(xué)建模的要求相差甚遠。從學(xué)生在數(shù)學(xué)建模能力測評中的表現(xiàn)，可以很清楚地看到這一點，一方面，學(xué)生在數(shù)量關(guān)系與空間圖形兩個維度的平均得分率僅為30.2%和29.0%，兩個維度表現(xiàn)均較弱；另一方面，高中生數(shù)學(xué)建模能力在模仿與舉例、構(gòu)造與求解、轉(zhuǎn)譯與檢驗三個水平的表現(xiàn)差異較大。目前問題解決是課程變革所強調(diào)的重要內(nèi)容，而數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)問題解決的重要能力，因此，高中生數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)要緊跟《課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》的要求，關(guān)注高中數(shù)學(xué)課程改革的變化，使高中生在數(shù)學(xué)建模能力的發(fā)展上與國際數(shù)學(xué)教育保持同步。