劉心歌 徐巧玲 唐美蘭

(中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,長沙,410083)

1 引言

Luré系統(tǒng)在液壓控制、蔡氏電路、航空航天等相關(guān)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用,引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注,同時(shí)對(duì)它們的研究也取得了豐富的成果.然而由于時(shí)滯的存在,導(dǎo)致Luré系統(tǒng)穩(wěn)定性降低,進(jìn)而引起相關(guān)性能下降.本文將考慮下列一類具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的中立型Luré控制系統(tǒng):

(1.1)

其中x(t)∈Rn,σ(t)∈Rm分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出向量,矩陣A,A1,B,C和H是已知實(shí)矩陣,矩陣C的譜半徑ρ(C)<1,φ(s)∈Rn表示在[-max{h2,τ},0]上的連續(xù)初始函數(shù),連續(xù)可微的時(shí)滯函數(shù)h(t),τ(t)滿足以下條件:

(1.2)

其中τ>0,τd<1,h,hd表示已知的常數(shù),非線性函數(shù)f(σ(t))=[f1(σ1(t)),f2(σ2(t)),…,fm(σm(t))]T表示反饋輸出向量,fi(σi(t))滿足有限的扇形約束條件(其中ki為正數(shù)):

或者滿足無限的開平面約束條件:

fi(σi(t))∈K[0,∞]∶={fi(σi(t))|fi(0)=0,σi(t)fi(σi(t))>0,σi(t)≠0}.

(1.4)

定義2.1([1]) 如果非線性函數(shù)f滿足條件(1.3)或條件(1.4),且區(qū)間時(shí)變時(shí)滯中立型Luré系統(tǒng)在平衡點(diǎn)x(t)=0處漸近穩(wěn)定,則稱系統(tǒng)(1.1)是絕對(duì)穩(wěn)定的.

本文利用Lyapunov-Krasovskii泛函(LKF)方法,建立含有區(qū)間時(shí)滯的中立型Luré時(shí)滯系統(tǒng)(1.1)的完全穩(wěn)定性定理.

2 幾個(gè)引理

引理2.1([2]) 設(shè)g1,g2,…,gN:Rm→R.若在Rm的開子集D上每個(gè)gi(t)>0,且滿足

其中xij:Rm→R,xji(t)=xij(t),則有

(2.1)

其中

引理2.3([4]) 設(shè)函數(shù)x:[a,b]→Rn連續(xù),則對(duì)于任意正定矩陣R∈Rn×n,有下列不等式成立:

引理2.4([4]) 設(shè)函數(shù)x(s)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)可微,則對(duì)于任意合適維數(shù)的正定矩陣R,有下列不等式成立:

其中

引理2.5([5]) 設(shè)函數(shù)x(s)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)可微,則對(duì)任意正定矩陣R,有下列不等式成立：

其中

3 穩(wěn)定性結(jié)論

為了方便分析具有區(qū)間時(shí)滯的中立型Luré控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，我們引入以下記號(hào)

ei=[0n×(i-1)n,In,0n×(7-i)n,0n×m,0n×n]T,i=1,…,7，

e8=[0m×7n,Im,0m×3n]T,

ei=[0n×7n,0n×m,0n×(i-9)n,In,0n×(27-i)]T,i=9,…,27，

Φ5=[e3-e2,e3+e2-2e15,e3+6e15-e2-12e21],

Φ8=[e6-e5,e5+e6-2e11,e6+6e11-e5-12e25],

Γ3=[e9-e3,e9+e3-2e16,e9+6e16-e3-12e20],

Γ8=[e1-e6,e1+e6-2e10,e1+6e10-e6-12e24],

Π51=[e16,0,2e20-e16,0,12e22-6e20+e16,0],

Π52=[0,e9-e3,0,e9-2e16+e3,0,6e16+e9-e3-12e20],

Π61=[e15,0,2e21-e15,0,12e23-6e21+e15,0],

Π62=[0,e3-e2,0,e3-2e15+e2,0,6e15+e3-e2-12e21],

Π71=[e10,0,2e24-e10,0,12e26-6e24+e10,0],

Π72=[0,e1-e6,0,e1-2e10+e6,0,6e10+e1-e6-12e24],

Π81=[e11,0,2e25-e10,0,12e27-6e25+e10,0],

Π82=[0,e6-e5,0,e6-2e11+e5,0,6e11+e6-e5-12e25],

下面定理給出區(qū)間時(shí)滯中立型系統(tǒng)(1.1)的穩(wěn)定性判據(jù).

(3.1)

Ξ(h(t),τ(t))∶=Ξ1(h(t),τ(t))+Ξ2+Ξ3+Ξ4(h(t),τ(t))+Ξ5+Ξ6+Ξ7<0,

(3.2)

(3.3)

其中

+[e1,F]Q6[e1,F]T-(1-τd)[e6,e7]Q6[e6,e7]T,

Ξ41(h(t))=Ψ1(h(t))-[Π52,Π62]M1[Π52,Π62]T,

Ξ44(τ(t))=Ψ2(τ(t))-[Π72,Π82]M4[Π72,Π82]T,

Ξ4(h(t),τ(t))=Ξ40+Ξ41(h(t))+Ξ42+Ξ44(τ(t)),

證明構(gòu)造如下Lyapunov-Krasovskii泛函:

(3.4)

其中

V1(t)=XT(t)PX(t),

對(duì)于任意的t≥0,我們有

(3.5)

其中

(3.6)

(3.7)

(3.8)

應(yīng)用引理2.1,由(3.7)與(3.8)可得

(3.9)

從而

(3.10)

(3.11)

應(yīng)用引理2.5中的第一個(gè)不等式可得

(3.12)

(3.13)

(3.14)

估計(jì)(3.11)中含W1和W4的二重積分,應(yīng)用引理2.4可得

(3.15)

因此

(3.16)

又

(3.17)

根據(jù)引理2.5可得

(3.18)

(3.19)

(3.20)

應(yīng)用引理2.4有

(3.21)

應(yīng)用引理2.1,結(jié)合不等式(3.1)，(3.15)，(3.21)可得

(3.22)

(3.23)

結(jié)合(3.16)-(3.23)可知

(3.24)

綜上可得

(3.25)

和情形一的處理方法類似,首先對(duì)V(t)求關(guān)于t的導(dǎo)函數(shù).

(3.26)

(3.27)

(3.28)

其中

(3.29)

應(yīng)用引理2.3中的不等式可得

(3.30)

(3.31)

由引理2.1和(3.1)可知,

(3.32)

從而

(3.33)

(3.34)

根據(jù)引理2.5中第一個(gè)不等式有

(3.35)

(3.36)

再應(yīng)用引理2.4可知

(3.37)

所以

(3.38)

又

(3.39)

由引理2.5中第二個(gè)不等式可得

(3.40)

(3.41)

根據(jù)引理2.2可知

(3.42)

再應(yīng)用引理2.1中的倒凸公式得

(3.43)

綜合上面(3.34)-(3.43),我們可以得到

(3.44)

從而

(3.45)

綜上可知,當(dāng)非線性擾動(dòng)函數(shù)f(σ(t))滿足條件(1.4)時(shí),具有區(qū)間時(shí)變時(shí)滯的中立型Luré控制系統(tǒng)(1.1)是絕對(duì)穩(wěn)定的.

4 數(shù)值算例

本節(jié)通過數(shù)值算例來說明我們獲得的具有區(qū)間時(shí)滯中立型Luré系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則的可行性與優(yōu)越性.

例4.1考慮下面的Luré中立型系統(tǒng)

σ(t)=HTx(t),?t≥0,

(4.1)

其中

這個(gè)例子被廣泛應(yīng)用于中立型Luré時(shí)滯系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性條件分析.從表1中我們可以看出,當(dāng)τd=0.5,h1=0.5,τ=0.1時(shí),對(duì)于不同的hd,按定理3.1計(jì)算所得使系統(tǒng)絕對(duì)穩(wěn)定的可允許的最大時(shí)滯上界h2均大于文獻(xiàn)[6,7,8]的結(jié)果.

表1 可允許的最大時(shí)滯上界h2(h1=0.5,τd=0.5)