劉亞平 劉云忠

摘 要：考慮到人口連續(xù)變化的規(guī)律，用微分方程解出人口數(shù)隨時間變化的規(guī)律，求得人口凈增長率，并對美國1980年以后的人口數(shù)進(jìn)行計算，發(fā)現(xiàn)與實際數(shù)據(jù)不符，繼而對原來模型進(jìn)行改進(jìn)。利用1790—1850年、1860—1920年、1930—2000年這三個時間段的數(shù)據(jù)建立指數(shù)增長模型，對未來美國總?cè)丝谶M(jìn)行預(yù)測，發(fā)現(xiàn)在短時間內(nèi)，美國人口隨著時間的推移而不斷增長。

關(guān)鍵詞：美國;人口預(yù)測;馬爾薩斯人口增長模型;指數(shù)增長模型

中圖分類號：C923? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? 文章編號：1673-291X（2020）03-0175-03

一、人口預(yù)測方法

人口問題是當(dāng)前人們最關(guān)心的問題之一，對未來人口進(jìn)行預(yù)測，有效控制人口增長，首先要正確認(rèn)識人口變化的規(guī)律。本文通過對美國1790—1850年、1860—1920年、1930—2000年這三個時間段分別建立指數(shù)增長模型，確定三個時間段的人口增長率，并對三個模型進(jìn)行檢驗。利用1790—1980年間美國每隔10年的人口數(shù)據(jù)建立馬爾薩斯人口增長模型，并對每隔10年的人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測，然后與實際數(shù)據(jù)進(jìn)行對比。如果二者差異較大，則改進(jìn)以上模型，尋找更加合適的模型來進(jìn)行預(yù)測和分析。

二、基本假設(shè)

假設(shè)1：人口數(shù)量的變化不受外界大環(huán)境的影響。

假設(shè)2：各年的人口數(shù)據(jù)真實準(zhǔn)確。

假設(shè)3：人口增長率記為r，記時刻t的人口為x（t），初始時刻t=0時人口數(shù)為x0。

假設(shè)4：馬爾薩斯人口模型中，一是記單位時間人口增長率為常數(shù)r，二是t時刻人口x（t）對t連續(xù)可微。

假設(shè)5：指數(shù)增長模型中，假設(shè)人口凈增長率為變量r。

三、建立模型

（一）建立馬爾薩斯人口增長模型

記1790年美國人口數(shù)為x1790，在t至t+？駐t這一時間內(nèi)，美國人口的增量為：

（二）求解馬爾薩斯模型

根據(jù)實際數(shù)據(jù)，利用線性最小二乘法直接進(jìn)行參數(shù)估計比較麻煩，因此在兩邊取對數(shù)，記lnx（t）=y，lnx1790=ln3.9=1.36=a，則原方程化為y=a+r（t-1790）。利用1790—1900年的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到r=0.02142。

另外，利用Matlab可以得到預(yù)測數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)的對比結(jié)果（如圖1所示），其中實線表示利用馬爾薩斯人口模型預(yù)測的美國人口數(shù)據(jù)，正方形黑點表示美國實際的人口數(shù)據(jù)。

則每隔10年預(yù)測人口為：x1990=332.1，x2000=412.8，x2010=517.7，x2020=646.5，x2030=799.3。然而查閱美國相關(guān)年份人口數(shù)據(jù)，美國1990年的實際人口為248.7百萬，2000年的實際人口為281.4百萬，2010年的實際人口為307.0百萬。通過這三個數(shù)據(jù)就可以發(fā)現(xiàn)，利用馬爾薩斯模型預(yù)測的人口數(shù)與實際人口數(shù)出入較大，因此改進(jìn)馬爾薩斯人口增長模型，以得到更加符合實際情況的人口增長模型。

（三）建立指數(shù)增長模型

事實上，人口增長率受實際生活中諸多因素的制約，不可能是一成不變的。因此，假設(shè)人口增長率線性遞減。在排除一切外界干擾因素的影響下，根據(jù)實際數(shù)據(jù)，建立指數(shù)增長模型，其中記當(dāng)年人口數(shù)為x0，10年以后的人口數(shù)為x1，增長率為r保持不變，則：

（四）對指數(shù)增長模型求解

利用Matlab和模型（1）對1790—2000年的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，現(xiàn)對問題進(jìn)行變形處理，對x（t）=x0ert兩邊取對數(shù)可得lnx（t）=lnx0+rt。用Matlab可得到：r1=0.2956，x0=3.9401。

所以，1790—1850年的擬合函數(shù)為線性函數(shù)lnx（t）=1.3712+0.2956t，即x（t）=3.9401e0.2956t，由Matlab得到擬合函數(shù)，與離散圖的圖像進(jìn)行對比，得到本文圖2。

比較擬合的曲線圖與散點圖可以發(fā)現(xiàn)，與實際人口數(shù)據(jù)的增長情況相吻合（見圖2）。

類似的，可以發(fā)現(xiàn)，1860—1920年、1930—2000年與實際人口數(shù)據(jù)的增長情況相吻合（見圖3、圖4），對應(yīng)的擬合函數(shù)分別為：

（五）模型評價

根據(jù)三個模型，分別求出用指數(shù)增長模型預(yù)測的1800—1850年、1860—1920年、1930—2000年的人口數(shù)（見本文表1至表3）。

由此可見，相對于馬爾薩斯人口模型，在短期內(nèi)運(yùn)用指數(shù)增長模型對人口數(shù)進(jìn)行預(yù)測是比較準(zhǔn)確的。但該模型中，人口數(shù)將隨著時間的增長而無限增長，顯然，這與實際情況不符。在資源與環(huán)境等因素的干擾下，人口是不可能無限增長的，當(dāng)增長到一定的程度后，增長速率將會慢下來。因此，為了更好地預(yù)測人口的增長趨勢，需要研究更貼近實際的模型來解決此類問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 楊穎.數(shù)學(xué)建模在實踐中的應(yīng)用[J].長春師范學(xué)院學(xué)報，2010，（12）：106-108.

[2]? 張健.將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)值分析課堂的探討[J].中國電力教育，2012，（17）：70-71.

[3]? 劉令，楊力，林源.基于指數(shù)增長模型的全國人口預(yù)測[J].山東工業(yè)技術(shù)，2014，（16）：164.