◇ 湖北 許 文

傳送帶是力學(xué)問題中的一個(gè)經(jīng)典模型,它能將物體的受力分析、運(yùn)動(dòng)過程分析、力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系、功與能的關(guān)系、運(yùn)動(dòng)學(xué)圖象與動(dòng)力學(xué)圖象等力學(xué)主干知識(shí)串在一起,衍生出經(jīng)典的力學(xué)問題,備受高考關(guān)注．本文結(jié)合典型實(shí)例,分類解析傳送帶模型中?？嫉膸最悊栴}．

1 傳送帶上的動(dòng)力學(xué)問題

動(dòng)力學(xué)問題基于牛頓運(yùn)動(dòng)定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律,從力與運(yùn)動(dòng)的角度對(duì)物體進(jìn)行分析研究．對(duì)傳送帶上的物體的受力分析,關(guān)鍵是對(duì)摩擦力Ff的分析．傳送帶上的物體可受靜摩擦力或滑動(dòng)摩擦力的作用,摩擦力的方向需結(jié)合物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)來判斷．在經(jīng)過臨界狀態(tài)(物體與傳送帶等速)時(shí),物體受到的摩擦力(大小及方向)可能發(fā)生突變,力的變化會(huì)導(dǎo)致物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變,物體在傳送帶上可能做單一方向的直線運(yùn)動(dòng)，也可能做往返直線運(yùn)動(dòng),即使是做單一方向的直線運(yùn)動(dòng)，物體的加速度也可能發(fā)生改變,出現(xiàn)臨界狀態(tài)與極值問題,使問題更具復(fù)雜性;有時(shí)物體的臨界狀態(tài)還隱含在圖象或文字?jǐn)⑹鲋?使問題具有一定的隱蔽性．

1.1 傳送帶上物體運(yùn)動(dòng)分析

圖1

A.物塊B先做勻加速直線運(yùn)動(dòng),后與傳送帶保持相對(duì)靜止

B.物塊B最終一定能追上物塊A

C.在t=0.24 s時(shí),A、B物塊速度大小相等

D.在t=5.4 s前,A、B兩物塊之間的距離先增大后不變

aB=g(sin 37°+μBcos 37°)=10 m·s-2,

物塊A開始下滑的加速度

aA=g(sin 37°+μAcos 37°)=12 m·s-2,

圖2

1.2 傳送帶與運(yùn)動(dòng)圖象的結(jié)合

(1)傳送帶的速度大小v0;

(2)傳送帶的長(zhǎng)度L;

(3)物體A、B、C與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)及C從傳送帶左端P到右端Q所用的時(shí)間tC．

(2)v-t圖線與t軸圍成圖形的面積表示物體的位移,由圖乙知物體A的位移大小xA=36 m,故傳送帶的長(zhǎng)度L=36 m.

1.3 傳送帶上的劃痕長(zhǎng)度

圖3

(1)物塊A由傳送帶頂端滑到底端經(jīng)歷的時(shí)間;

(2)物塊A、B在傳送帶上顯示的劃痕長(zhǎng)度之比．

物塊A與傳送帶共速后,由牛頓第二定律有

mgsin 37°-μmgcos 37°=ma2,

代入數(shù)值得a2=2 m·s-2.

(2)在物塊A的第一個(gè)加速過程中,物塊A在傳送帶上顯示的劃痕長(zhǎng)度為L(zhǎng)1=v帶t1-x1=0.45 m.

在物塊A的第二個(gè)加速過程中,物塊A在傳送帶上的劃痕長(zhǎng)度為

所以物塊A在傳送帶上顯示的劃痕長(zhǎng)度為L(zhǎng)A=L2=1 m.

由分析知物塊B的加速度與物塊A在第二個(gè)加速過程的加速度相同,從傳送帶頂端加速到底端所需時(shí)間與t2相同．物塊B在傳送帶上的劃痕長(zhǎng)度為

故物塊A、B在傳送帶上的劃痕長(zhǎng)度之比為L(zhǎng)A∶LB=1∶1.

2 傳送帶上的功能問題

功是能量變化的量度,不同性質(zhì)的力做功對(duì)應(yīng)不同形式能的變化．傳送帶模型中的功能分析如表1所示．

表1

圖4

(1)系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的熱量;

(2)傳送帶多消耗的電能;

(3)物體的最終狀態(tài)及該狀態(tài)后電動(dòng)機(jī)的輸出功率．

物體相對(duì)傳送帶向下運(yùn)動(dòng)的距離Δx1=x1+v0t1=21 m.

物體與板碰撞后,以速度v1反彈,由于v1>v0,故反彈后物體開始相對(duì)傳送帶向上滑,受到的摩擦力方向沿傳送帶向下,設(shè)物體沿傳送帶向上做勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a2.

物體相對(duì)傳送帶向上運(yùn)動(dòng)的距離Δx2=x2-v0t2=0.2 m.

物體相對(duì)傳送帶向下運(yùn)動(dòng)距離Δx3=v0t3-x3=4 m;整個(gè)過程中物體相對(duì)帶運(yùn)動(dòng)距離

Δx=Δx1+Δx2+Δx3=25.2 m．

或畫出如圖5所示物體和傳送帶運(yùn)動(dòng)的v-t圖象(設(shè)沿傳送帶向上為正方向),由兩圖線與坐標(biāo)軸所夾的面積可得相對(duì)位移的大?。?/p>

則Δx=Δx1+Δx2+Δx3=25.2 m.

從而得系統(tǒng)因摩擦產(chǎn)生的熱量

Q=μmgcosθΔx=100.8 J.

圖5

(2)傳送帶多消耗的電能是因?yàn)閭魉蛶б朔矬w的摩擦力做功,它與傳送帶對(duì)地運(yùn)動(dòng)的位移有關(guān)．在物體向下加速運(yùn)動(dòng)和相對(duì)傳送帶向下運(yùn)動(dòng)的減速階段,帶受到的摩擦力對(duì)傳送帶做負(fù)功消耗電能,在物體相對(duì)傳送帶向上運(yùn)動(dòng)的減速階段,帶受到摩擦力對(duì)傳送帶做正功,減少電能損耗．則

ΔE電=-Ff(x帶1-x帶2+x帶3)=
-μmgcosθ(v0t1-v0t2+v0t3)=-76.8 J,

即傳送帶多消耗的電能為76.8 J．

第(1)問中物體相對(duì)傳送帶的運(yùn)動(dòng)有三個(gè)階段,第一與第三個(gè)階段物體相對(duì)傳送帶向下滑動(dòng),第二個(gè)階段物體相對(duì)傳送帶向上滑動(dòng)．在這三個(gè)階段中物體相對(duì)傳送帶運(yùn)動(dòng)的距離通過勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律分段求出,但選取傳送帶為參考系或通過v-t圖象的物理意義來求較為簡(jiǎn)潔．同時(shí)我們可以看出,在有往返的運(yùn)動(dòng)過程中兩物體間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程(距離)不等于相對(duì)運(yùn)動(dòng)的位移大小．

第(2)問關(guān)于驅(qū)動(dòng)傳送帶運(yùn)轉(zhuǎn)的電動(dòng)機(jī)多消耗的電能,其實(shí)質(zhì)是傳送帶要克服物體的摩擦力做功,它與摩擦力大小、方向及傳送帶對(duì)地運(yùn)動(dòng)的位移有關(guān)．要注意到在物體向下加速運(yùn)動(dòng)和相對(duì)傳送帶向下運(yùn)動(dòng)的減速階段,傳送帶受到的摩擦力對(duì)傳送帶做負(fù)功,電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)傳送帶勻速轉(zhuǎn)動(dòng),因此電動(dòng)機(jī)要額外消耗電能;同理,在物體相對(duì)傳送帶向上運(yùn)動(dòng)的減速階段,傳送帶受到的摩擦力對(duì)傳送帶做正功,減少電能損耗．

第(3)問關(guān)于物體最終運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的判斷是一個(gè)難點(diǎn)．突破此難點(diǎn)仍然需要正確地對(duì)物體進(jìn)行受力與運(yùn)動(dòng)過程分析,從力與運(yùn)動(dòng)、功與能的觀點(diǎn)來尋找運(yùn)動(dòng)過程的本質(zhì)特征,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,通過聯(lián)想、類比的方法,推斷物體的最終狀態(tài)．物體與傳送帶因滑動(dòng)摩擦而產(chǎn)生的熱量Q=Ffx相對(duì),這里x相對(duì)是物體與傳送帶相對(duì)運(yùn)動(dòng)的距離(或路程),不一定等于相對(duì)位移的大?。?/p>