李兆軍，王玉江，劉福秀，黃鈺鈺，毛息軍

(1.廣西大學 機械工程學院，廣西 南寧 530004；2.廣西科技大學 廣西汽車零部件與整車技術重點實驗室，廣西 柳州 545006)

0 引言

混流式水輪機彎肘型尾水管在部分負荷工況下會產生尾水渦流，造成轉輪葉片動水壓力中存在著異常壓力脈動[1]。這種異常壓力脈動可能使轉輪葉片產生強烈振動，進而造成轉輪葉片出現(xiàn)疲勞裂紋，嚴重危害機組的安全運行[2-3]。因而在研究水輪機轉輪葉片動力學特性的過程中，有必要研究尾水管渦對轉輪葉片動水壓力的影響。

目前有關尾水管渦對轉輪葉片動水壓力的影響研究，主要通過計算流體力學(computational fluid dynamics，CFD)數(shù)值模擬和試驗測試分析的方法。通過數(shù)值模擬方法，鐘林濤等[4]研究了轉輪出口速度、出口旋流數(shù)和渦帶形狀等因素與尾水管渦帶的關系。FOROUTAN等[5]研究了泄水錐射流與尾水管中心的軸向動量以及尾水管渦的死水區(qū)的關系。通過試驗測試方法，王小龍等[6-7]研究了轉輪葉片入口處的壓力脈動幅值和頻率。以上兩種方法研究了不同工況時的動水壓力變化規(guī)律，沒有得到反映動水壓力與水力參數(shù)和結構參數(shù)的數(shù)學模型，難以進行轉輪葉片動水壓力的暫態(tài)過程分析[8]。而數(shù)學模型能夠反映動水壓力與水力參數(shù)和結構參數(shù)的內在關系，可對轉輪葉片動水壓力的暫態(tài)過程進行分析，且暫態(tài)過程分析又是研究轉輪葉片動力學特性的基礎工作，而目前有關此方面的研究鮮見文獻報道。

本文以水輪機轉輪葉片為研究對象，根據水輪機轉輪葉片準三元反設計的特點，應用有限單元法建立水輪機轉輪葉片的準三元有限元模型，構建尾水管渦作用下的轉輪葉片上動水壓力的數(shù)學模型，并通過實例分析進行驗證。

1 水輪機轉輪葉片的準三元有限元模型

圖1 水輪機轉輪葉片坐標系Fig.1 Global coordinate system of a turbine runner blade

PJij(r,θ,z,t)=N1Pij+N2P(i+1)j+N3P(i+1)(j+1)+N4Pi(j+1)，

(1)

式中：Pij、P(i+1)j、P(i+1)(j+1)、Pi(j+1)為節(jié)點Cij、C(i+1)j、C(i+1)(j+1)、Ci(j+1)的尾水管作用下的壓力脈動，N1、N2、N3、N4為節(jié)點Cij、C(i+1)j、C(i+1)(j+1)、Ci(j+1)動水壓力的形函數(shù)，根據水輪機轉輪葉片準三元理論的動水壓力變化規(guī)律[9]，尾水管作用下的壓力脈動形函數(shù)為

(2)

式中：a、b分別為單元長度和寬度的一半。

2 尾水管渦作用下的水輪機轉輪葉片動水壓力

水輪機機組在部分負荷時，由于水輪機流量的減小，水流在轉輪出口產生具有與轉輪旋轉方向相同的圓周分量，導致在轉輪出口的正環(huán)量增加。當環(huán)量達到一定程度，水流在尾水管產生一個與轉輪旋轉方向相一致的偏心渦帶[4]。尾水管渦引起了轉輪葉片的出口回流，在回流作用的影響下，轉輪葉片節(jié)點Cij的壓力脈動pij可表示為[10]

pij=kijAijsin(2πft+φ)，

(3)

式中：Aij為節(jié)點Cij所在截面尾水管渦的壓力脈動幅值，φ為初相位，與初始時刻的葉片相對位置有關；kij為尾水管渦引起的回流作用下葉片節(jié)點Cij的動水壓力系數(shù)，與節(jié)點位置參數(shù)有關，為

(4)

式中：ε為葉片翼型常數(shù)，且-1≤ε≤1，可根據轉輪葉片的具體翼型確定。

式(3)中f為尾水管頻率，在部分負荷工況下，尾水管頻率是轉頻和設計水頭的函數(shù)，可表示為[11]

(5)

式中：n為水輪機轉輪的轉速，Q為水輪機實際流量，Q0為水輪機額定流量，ra為中央流線出口處半徑，β為葉片出口水流角，S為轉輪出口過水斷面面積，且S=2πdra，d為出水邊葉片弧長長度。

根據布拉修斯定理[12]，式(3)中節(jié)點Cij所在截面尾水管渦的壓力脈動幅值Aij可用尾水管渦帶圓周速度分量的動量表示為

(6)

(7)

式中：rw為尾水管入口截面半徑;z0為泄水錐的深度;τ1、τ2為待定正常數(shù)，可根據試驗結果的經驗數(shù)據確定。

根據文獻[14]可知，當Q=0.9Q0，H=H0時，尾水管渦帶消失；而在Q=0.25Q0，H=H0部分負荷運行區(qū)時，下環(huán)處尾水管渦帶半徑接近于尾水管入口截面半徑，依據具體的流量和水頭，可計算出τ1、τ2。

式(6)中渦帶偏心距e可根據仿真結果和試驗數(shù)據獲得[2]

(8)

(9)

式中:Cv為尾水管渦引起的節(jié)點Cij圓周速度與節(jié)點Cij絕對速度圓周分量的相關系數(shù)，與尾水管渦帶運行的工況有關。uij為節(jié)點Cij的絕對速度的圓周分量，可表示為

(10)

將式(4)～(10)代入到式(3)中，并整理得節(jié)點Cij的尾水管渦作用下轉輪葉片的動水壓力為

(11)

由式(11)可知，尾水管渦作用下轉輪葉片的動水壓力幅值隨著流量的增加而逐漸減小，隨著水頭的增加而增加；而尾水管渦作用下轉輪葉片的動水壓力頻率隨著轉速的增加而逐漸增加，隨著水頭的增加而減少。

根據式(11)尾水管渦作用下轉輪葉片節(jié)點Cij的動水壓力，可得到尾水管渦作用下的Jij單元另外3個節(jié)點C(i+1)j、C(i+1)(j+1)、Ci(j+1)的動水壓力，分別表示為

(12)

(13)

(14)

將式(2)、(11)至(14)分別代入式(1)中，即可得到t時刻尾水管渦作用下轉輪葉片Jij單元中任意位置(r,θ,z)動水壓力，并依據式(3)，可以表示為

(15)

式中：Bij、B(i+1)j、B(i+1)(j+1)和Bi(j+1)分別為尾水管渦作用下水輪機轉輪葉片節(jié)點Cij、C(i+1)j、C(i+1)(j+1)和Ci(j+1)的動水壓力幅值，且

(16)

(17)

(18)

(19)

由式(15)可知，尾水管作用下轉輪葉片的瞬時動水壓力是一個時間和空間的函數(shù)，不僅自身的位置參數(shù)有關，如：Z軸坐標、半徑等；也與水力參數(shù)有關，如：流量、水頭、轉速等；而且與水輪機結構參數(shù)有關，如：泄水錐長度、尾水管入口截面半徑、轉輪出口過水斷面面積、葉片出口水流角等，反映了動水壓力與結構參數(shù)和水力參數(shù)之間的關系，可以通過改變水力參數(shù)進行暫態(tài)過程分析，這也為進一步研究尾水管渦作用在水輪機轉輪葉片上的動力學特性提供理論依據。

3 實例分析

3.1 實例

根據目前的研究成果，尾水管渦作用下的轉輪葉片動水壓力與運行工況相關。動水壓力頻率是轉頻和設計水頭的函數(shù)；部分負荷運行區(qū)，渦帶偏心嚴重，形成圓柱螺旋渦，壓力脈動幅值大；而在額定負荷附近時，渦帶不明顯甚至消失，壓力脈動很小[16]。本文選取Francis-99混流式水輪機轉輪葉片為研究對象，驗證數(shù)學模型的可行性，并對尾水管渦作用下的轉輪葉片動水壓力暫態(tài)過程變化規(guī)律進行研究。

根據準三元反設計的特點，采用5條徑向線與9條軸向線將葉片分成45個單元，其中第1條徑向線為上冠處，第5條徑向線為下環(huán)處，則長葉片上的各個節(jié)點如圖2所示。進水邊的節(jié)點為C00,C01,…,C04；出水邊的節(jié)點為C80,C81,…,C84。

圖2 試驗研究對象結構示意圖Fig.2 A structural sketch of the runner blade

3.2 數(shù)學模型驗證

根據式(7)可知，尾水管渦初始于泄水錐的尾部，故以超過泄水錐深度的節(jié)點C71為研究對象。通過式(11)計算出節(jié)點C71的動水壓力，其動水壓力值時域仿真曲線與文獻[17]的試驗數(shù)據，如圖3所示。

由于測試的試驗數(shù)據中壓力不僅包含了尾水管渦作用下的壓力脈動，也包含了其他壓力脈動，所以部分數(shù)據誤差比較大，由圖3可知，節(jié)點C71處的平均誤差為2.84 %。最大誤差值為8.32 %，從數(shù)據對比中，可以證明公式(11)在計算節(jié)點動水壓力的有效性，進而說明了數(shù)學模型的可行性。

通過式(15)即可得到任意位置處的動水壓力，其中t=0.08 s時葉片任意位置的動水壓力如圖4所示。從圖4中可以看出，瞬時的動水壓力沿軸線方向逐漸減少，瞬時的動水壓力沿流線方向也逐漸減少。與文獻[17]的尾水管渦作用下轉輪葉片動水壓力CFD仿真圖相比較，瞬時時刻的最大誤差出現(xiàn)在葉片的出水邊近下環(huán)處，誤差為7.92 %。從數(shù)據對比中，可以證明公式(15)在計算任何位置動水壓力的有效性，這也證明數(shù)學模型的有效性。

圖3 節(jié)點C71的試驗值與仿真值Fig.3 Time domain simulation curves and the experimental data of node C71

圖4 尾水管渦作用下t=0.08 s時轉輪葉片動水壓力分布圖Fig.4 Hydrodynamic pressure diagram of the runner blade at t=0.08 sunder the vortex rope in draft tube

3.3 動水壓力暫態(tài)過程變化規(guī)律

為了研究尾水管渦作用下轉輪葉片的動力學特性，對暫態(tài)過程中動水壓力變化規(guī)律進行研究。通過改變水輪機運行工況，研究水力參數(shù)對尾水管渦作用下轉輪葉片節(jié)點C71的動水壓力幅值的影響。

圖5為額定轉速和額定水頭時，不同流量下尾水管渦作用下轉輪葉片節(jié)點C71的動水壓力幅值仿真曲線，從圖5中可以看出，當轉速和水頭不變時，隨著流量的增加，尾水管渦作用下的轉輪葉片動水壓力幅值逐漸減??；當運行工況高于額定功率的90.1 %時，尾水管渦帶的半徑接近于零，轉輪葉片動水壓力幅值也接近于零，此時可忽略動水壓力對轉輪葉片的影響。而在高負荷下，又重新出現(xiàn)圓柱形死水區(qū)，此時尾水管渦作用下轉輪葉片動水壓力幅值小于6 Pa，也可以忽略不計。

圖5 不同流量下尾水管渦作用下的節(jié)點C71的動水壓力幅值仿真曲線Fig.5 Simulation curve of the hydrodynamic pressure amplitude of node C71 for different discharge

圖6為額定轉速和額定流量時，不同水頭下尾水管渦作用下的轉輪葉片節(jié)點C71動水壓力幅值仿真曲線。從圖6中可以看出，當轉速和流量不變時，隨著水頭的增加，尾水管渦作用下的轉輪葉片的動水壓力逐漸增加。當運行工況低于額定功率的26.4 %時，死水區(qū)幾乎充滿整個尾水管，動水壓力幅值接近零，此時可忽略動水壓力對轉輪葉片的影響。結合圖5和圖6可知，尾水管渦作用下轉輪葉片的動水壓力主要產生在額定功率的26.4 %～90.1 %的運行工況。

圖6 不同水頭下尾水管渦作用下的節(jié)點C71的動水壓力幅值仿真曲線Fig.6 Simulation curve of the hydrodynamic pressure amplitude of node C71 for different water heads

以上研究表明，應用本文所建立的尾水管渦作用下的轉輪葉片動水壓力數(shù)學模型，對Francis-99混流式水輪機轉輪葉片進行實例分析，驗證了數(shù)學模型的可行性，并研究了尾水管渦作用下的水輪機轉輪葉片的動水壓力暫態(tài)過程變化規(guī)律。

4 結論

根據水輪機轉輪葉片準三元反設計的特點，應用有限單元法建立了尾水管渦作用下的水輪機轉輪葉片的動水壓力數(shù)學模型，揭示了尾水管渦作用下水輪機轉輪葉片的動水壓力暫態(tài)過程變化規(guī)律，研究表明：

① 在暫態(tài)過程變化中，尾水管渦作用下的轉輪葉片動水壓力主要產生在額定功率26.4 %～90.1 %的運行工況；當運行工況低于額定功率的26.4 %時，死水區(qū)幾乎充滿整個尾水管，動水壓力幅值接近于零；當運行工況高于額定功率的90.1 %時，尾水管渦帶的半徑接近于零，動水壓力幅值小于6 Pa。

② 尾水管渦初始于泄水錐的尾部，尾水管渦作用下轉輪葉片動水壓力自上冠處到下環(huán)處逐漸增大，且動水壓力最大值出現(xiàn)在轉輪葉片下環(huán)處靠近出水邊的位置。

③ 通過改變數(shù)學模型中的轉輪葉片位置參數(shù)以及水頭、流量等水力參數(shù)，揭示了轉輪葉片復雜的動水壓力進行暫態(tài)過程變化機理，為進一步研究尾水管渦作用下水輪機轉輪葉片的動力學特性提供理論依據。