黃曉琳

(福建省南安國(guó)光中學(xué) 362321)

筆者有幸參加了2019年高考數(shù)學(xué)科的閱卷工作，并全程參與對(duì)理科第21題評(píng)分細(xì)則的討論與制定、閱卷教師的培訓(xùn)與指導(dǎo)、閱卷過(guò)程的三評(píng)與仲裁．結(jié)合考生的答卷情況，以及同儕之間的討論，形成以下思考與同行們交流分享．

1 試題分析

2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第21題：為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問(wèn)題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．

(1)求X的分布列；

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假設(shè)α=0.5，β=0.8．

(i)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

(ii)求p4，并根據(jù)p4的值解釋該試驗(yàn)方案的合理性．

高考是選撥性考試，壓軸題在高考卷中起著區(qū)分考生數(shù)學(xué)水平的重要作用．今年壓軸題的難度雖然不是太大，但由于交匯點(diǎn)新、綜合性強(qiáng)，以及題序位置的客觀因素，試題還是具有一定的區(qū)分功能．

1.1 考點(diǎn)分析

第(1)問(wèn)計(jì)算隨機(jī)變量的分布列是概率統(tǒng)計(jì)的常規(guī)題型．問(wèn)題綜合考查了獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件等基礎(chǔ)知識(shí)，涉及數(shù)據(jù)處理、運(yùn)算求解能力，滲透分類與整合思想．問(wèn)題雖小但內(nèi)涵豐富，對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)性有全面的考查，不高的起點(diǎn)讓一些低發(fā)展水平的學(xué)生也有一定的展示機(jī)會(huì)．

第(2)問(wèn)給出一個(gè)常系數(shù)齊次線性遞推數(shù)列，通過(guò)該數(shù)學(xué)模型計(jì)算概率，并分析其統(tǒng)計(jì)意義．問(wèn)題綜合考查了等比數(shù)列的定義、數(shù)列的通項(xiàng)與求和、小概率事件等數(shù)學(xué)知識(shí)，涉及數(shù)據(jù)處理、運(yùn)算求解、推理論證及創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)等數(shù)學(xué)能力，滲透轉(zhuǎn)化與化歸、特殊與一般、或然與必然等數(shù)學(xué)思想．問(wèn)題的解法多樣，思維要求高，可以讓較高發(fā)展水平的學(xué)生展示其才能．

1.2 試題特點(diǎn)

從題干角度看，選擇了藥品檢驗(yàn)這一考生熟悉、相對(duì)公平的背景進(jìn)行設(shè)計(jì)；條件涉及的數(shù)據(jù)較多、關(guān)系復(fù)雜；考慮到壓軸位置，語(yǔ)言敘述相比往年簡(jiǎn)練．

從設(shè)問(wèn)角度看，堅(jiān)定概率統(tǒng)計(jì)為判斷、決策服務(wù)這個(gè)應(yīng)用方向；從知識(shí)到能力再到思想，三個(gè)問(wèn)題的考查都具有很高的綜合性；計(jì)算概率的遞推數(shù)列模型較好地體現(xiàn)了創(chuàng)新性．

1.3 解題難點(diǎn)

首先是閱讀理解方面．在考場(chǎng)的緊張狀態(tài)下，特別是在壓軸位置，要做到細(xì)致地閱讀審題、冷靜地思考分析，對(duì)考生的綜合素質(zhì)都是一個(gè)巨大的考驗(yàn)．

其次是運(yùn)算求解方面．無(wú)論是第(1)問(wèn)中涉及變量α,β的概率運(yùn)算，還是第(2)問(wèn)中大數(shù)值的數(shù)列項(xiàng)的求解，都對(duì)考生的運(yùn)算求解能力提出較大的挑戰(zhàn)．

最后是統(tǒng)計(jì)意義的解釋方面．?dāng)?shù)據(jù)處理與數(shù)學(xué)運(yùn)算不同，計(jì)算出的數(shù)據(jù)說(shuō)明什么，即數(shù)據(jù)有何指導(dǎo)意義？如何用數(shù)據(jù)支撐闡述最終的判斷與決策？這些都是學(xué)生有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)，包括教師的教學(xué)需要突破的難點(diǎn)．

2 解答分析

本題零分卷與低得分卷占到半數(shù)以上，故實(shí)際呈現(xiàn)的解法并不多，暴露的問(wèn)題也不夠全面．但對(duì)有作答的考生的答卷進(jìn)行分析，我們還是可以從中提煉出相關(guān)知識(shí)的教學(xué)與備考啟示．

2.1 得分情況

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某省總計(jì)131435份的理科答卷中，本試題的0分卷與1分卷合計(jì)58.28%；10分卷及以上合計(jì)0.7%；4分卷所占的比例最大，比例為14.9%．整體閱卷難度不大，產(chǎn)生的三評(píng)卷(占總閱卷量0.7%)及仲裁卷(占總閱卷量0.36%)比較少．

2.2 失分原因

第(1)問(wèn)的主要錯(cuò)誤有：由于審題不認(rèn)真，混淆甲、乙的賦分規(guī)則；將甲的得分錯(cuò)看成甲、乙得分相加；將一輪測(cè)試后的得分錯(cuò)看成四輪測(cè)試后的得分；誤將第(2)問(wèn)中α,β的具體值用到第(1)問(wèn)．由于知識(shí)理解不到位，導(dǎo)致獨(dú)立事件、互斥事件的概率計(jì)算錯(cuò)誤．

第(2)問(wèn)的主要錯(cuò)誤有：采用不完全歸納證明數(shù)列成等比；對(duì)遞推關(guān)系式進(jìn)行胡拼亂湊得到數(shù)列成等比．由于數(shù)列的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等基本量分析錯(cuò)誤，或者等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式記憶錯(cuò)誤，導(dǎo)致最終結(jié)果計(jì)算錯(cuò)誤；計(jì)算出概率值后不能正確解讀其概率意義．

2.3 解法討論

2.3.1第(2)問(wèn)第(ⅰ)問(wèn)解法分析

解法一由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1，因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1，即pi+1=5pi-4pi-1．

又因?yàn)閜1-p0=p1≠0，

所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是首項(xiàng)為p1，公比為4的等比數(shù)列．

解法二由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1，因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1，

即pi+1=5pi-4pi-1．

分別取i=1,2,…,7時(shí)，

可得p2=5p1，p3=21p1，p4=85p1，p5=341p1，p6=1365p1，p7=5461p1，p8=21845p1．

則p2-p1=4p1，p3-p2=42p1，p4-p3=43p1，p5-p4=44p1，p6-p5=45p1，p7-p6=46p1，p8-p7=47p1，

后同解法一．

解法二是注意到數(shù)列的項(xiàng)數(shù)有限，故可利用遞推關(guān)系式，采用完全歸納的方法，獲得p2到p8這7項(xiàng)與p1的關(guān)系，進(jìn)而證明數(shù)列成等比．采用此法，計(jì)算量較大，但是一旦獲得項(xiàng)間關(guān)系，最后一問(wèn)的概率值也就唾手可得了．采用此法的考生不多見(jiàn)，原因可能是沒(méi)有發(fā)現(xiàn)該數(shù)列為有限數(shù)列，或者時(shí)間與計(jì)算能力的限制．

解法三由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1，因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1，

即pi+1=5pi-4pi-1．

其特征方程為x2=5x-4，解得x1=1,x2=4．

令pn=a1·1n+a2·4n，

后同解法一．

解法三大都出現(xiàn)在滿分卷中，這部分考生應(yīng)該是有接受過(guò)競(jìng)賽輔導(dǎo)或培優(yōu)訓(xùn)練．在識(shí)別出遞推公式的模式下，自然而然地想到對(duì)應(yīng)的解題套路．該法在證明等比中并不輕松，但是一旦獲得通項(xiàng)后，最后一問(wèn)的概率計(jì)算也就易如反掌了．

2.3.2第(2)問(wèn)第(ⅱ)問(wèn)解法分析

解法一由(i)得

pi+1-pi=(p1-p0)·4i=p1·4i，

故{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)的前8項(xiàng)和等于

解法一從上一問(wèn)等比數(shù)列的結(jié)論入手，通過(guò)公式獲得p4,p8與p1的關(guān)系，有作答到此步的考生大部分采用此法，但不少考生由于基本量分析錯(cuò)誤，或者公式記憶錯(cuò)誤，導(dǎo)致最終計(jì)算出錯(cuò)誤的結(jié)果．

解法二由(1)得pi+1=5pi-4pi-1，

分別取i=1,2,…,7時(shí)，可得p2=5p1，p3=21p1，p4=85p1，p5=341p1，p6=1365p1，p7=5461p1，p8=21845p1．

解法二是上一問(wèn)解法二(完全歸納法)的自然延續(xù)，方法雖然略顯笨拙，但在高考?jí)狠S題最后一問(wèn)的位置，考生還能夠認(rèn)真審題發(fā)現(xiàn)數(shù)列有限，冷靜細(xì)致地運(yùn)算得到正確結(jié)果，這樣強(qiáng)大的心理素質(zhì)與計(jì)算能力還是值得肯定的．

解法三由{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為公比為4，首項(xiàng)為p1的等比數(shù)列．

(p8-p7)+(p7-p6)+(p6-p5)+(p5-p4)=p8-p4,

(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=p4-p0,

解法三敏銳地發(fā)現(xiàn)p4,p8在數(shù)列中的位置，靈活采用等比數(shù)列的性質(zhì)，回避p1的計(jì)算，直接建立p4,p8關(guān)系，快速獲得最終結(jié)果，采用此法的考生鳳毛麟角，屈指可數(shù)．

3 教學(xué)啟示

3.1 研究解題方法的同時(shí)，要重視答題的嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題.通過(guò)形式多樣的解題方法將不同的知識(shí)結(jié)點(diǎn)成線、連線成網(wǎng)，建構(gòu)連貫一致的知識(shí)體系，達(dá)成對(duì)知識(shí)深度的理解；借助靈活多變的解題方法，將高深的思想具化落實(shí)、演化拓展，培養(yǎng)品質(zhì)優(yōu)良的數(shù)學(xué)思維，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)能力的提升．解題要重視研究方法技巧，也要重視答題的嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范，這是應(yīng)試的要求，也是素養(yǎng)的體現(xiàn)．

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是規(guī)范的．閱卷是時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)很多不規(guī)范、不科學(xué)的符號(hào)書寫，比如將α，β寫成a，p，甚至寫成4，9從而導(dǎo)致后面計(jì)算錯(cuò)誤的．不規(guī)范的書寫可能源于教師錯(cuò)誤的示范，也可能是學(xué)生自身不良的書寫習(xí)慣．培養(yǎng)規(guī)則意識(shí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)，不按規(guī)范書寫約定俗成的科學(xué)符號(hào)，就是沒(méi)有規(guī)則意識(shí)的一種表現(xiàn)，不講規(guī)則是要付出代價(jià)的.

邏輯推理是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模喚碇坝懻撛u(píng)分細(xì)則時(shí)，我們就預(yù)設(shè)了第(2)問(wèn)等比數(shù)列證明時(shí)p1-p0≠0的證明方法，即采用反證法進(jìn)行證明(證明略)．但在實(shí)際閱卷過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)幾乎所有學(xué)生對(duì)該問(wèn)題都沒(méi)有說(shuō)明(更不用說(shuō)證明)．筆者抽檢了大部分該題滿分卷考生的答卷，也未發(fā)現(xiàn)有考生給出嚴(yán)格的證明．邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)與否體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的高低，反映了學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的水平，因而在教學(xué)必須給于足夠的重視．

3.2 提煉解題模式的同時(shí)，要注重對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，通過(guò)教師或?qū)W生自身提煉一定的解題模式，對(duì)解題時(shí)聯(lián)系新舊問(wèn)題、啟發(fā)解題方向、縮短思維過(guò)程、提高解題速度有很大的幫助．但是在教學(xué)中，如果忽視解題模式的提煉過(guò)程，不注重對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，機(jī)械的對(duì)題型、套解法，勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致思維僵化，產(chǎn)生定勢(shì)．

怎么做重要，這樣做是為什么也很重要．如上所述，本題第(2)問(wèn)的解答，從實(shí)際呈現(xiàn)的答卷來(lái)看，大多數(shù)的考生首先想到的不是等比數(shù)列的定義，而是遞推關(guān)系式的構(gòu)造與變形．在對(duì)各種構(gòu)造的本質(zhì)不理解的情況下，光憑外在的形式去套題型，答卷呈現(xiàn)的是一堆胡拼亂湊的式子．這與2018年高考全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第16題“已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是______．”有類似的地方，學(xué)生拿到該題，首先想到的不是函數(shù)最值的分析，而是三角函數(shù)的題型模式與變形套路，在二次模型換元法套路、y=Asin(ωx+φ)+K模型恒等變換套路這些模型套路對(duì)不上號(hào)的情況下，考生就束手無(wú)策了．這會(huì)不會(huì)是我們解題訓(xùn)練中，過(guò)度模式化、套路化、技巧化惹的禍？

怎么做重要，得到的結(jié)果有什么用也很重要．統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的計(jì)算不是目的，目的是計(jì)算出來(lái)的數(shù)據(jù)說(shuō)明什么，要幫助我們做什么樣的判斷與決策，學(xué)生對(duì)這方面的思考還不是很深刻，這是不是與我們教學(xué)中只重視計(jì)算套路與技巧，忽視數(shù)據(jù)背后統(tǒng)計(jì)意義分析有關(guān)？本題最后一問(wèn)僅有不到0.3%的考生能夠在正確計(jì)算結(jié)果的情況下作出恰當(dāng)?shù)母怕式忉專梢?jiàn)絕大部分考生對(duì)小概率事件知識(shí)并沒(méi)有真正的理解．小概率事件相關(guān)知識(shí)在正態(tài)分布的3σ原則、獨(dú)立性檢驗(yàn)等處均有涉及，教學(xué)中我們應(yīng)該采用什么樣的方法，通過(guò)什么樣的形式，將相關(guān)的原理解釋給學(xué)生，這些都是在統(tǒng)計(jì)運(yùn)算之外，應(yīng)該著重關(guān)注的方向．

3.3 強(qiáng)化解題訓(xùn)練的同時(shí)，要關(guān)注反思習(xí)慣的養(yǎng)成

知識(shí)的理解、思維的訓(xùn)練、能力的提升、素養(yǎng)的發(fā)展都離不開解題，高考的評(píng)價(jià)方式也要求學(xué)生需要進(jìn)行一定難度及強(qiáng)度的解題訓(xùn)練．閱讀、計(jì)算、作圖、表達(dá)這些解題的基本功，都需要通過(guò)嚴(yán)格而又艱苦的解題訓(xùn)練才能得以夯實(shí)．學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆．解題的實(shí)踐與解后的反思兩者不可偏廢．

概念的深刻理解，除了解題中正例的不斷強(qiáng)化，也需要經(jīng)常反思一些典型的錯(cuò)例、反例、特例．對(duì)于本題第(2)問(wèn)等比數(shù)列的證明，很多考生之所以忽視對(duì)首項(xiàng)不為零的說(shuō)明，一部分原因就是學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們強(qiáng)調(diào)得多的是“什么是？為什么是？”，而弱化了對(duì)“什么不是？為什么不是？”的反思．