邱婉珠 周仕榮

(閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 363000)

1 前言

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《新課標》[1])以六大數(shù)學學科核心素養(yǎng)為主題，分別是數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析，并且新課標強調數(shù)學學科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力.筆者發(fā)現(xiàn)，其中“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)幾乎貫穿于其他五個數(shù)學學科核心素養(yǎng)中，是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的基本成分，是高考中考查比例最大的一個核心素養(yǎng).那么在高考全國卷中對學生關于“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的考查，基于“SOLO分類理論”的劃分水平如何分布？《新課標》中“四基”所呈現(xiàn)的數(shù)學知識考點如何體現(xiàn)？如何通過“SOLO分類理論”，如何結合“四基”所體現(xiàn)的數(shù)學知識考點，來看高考卷對學生的“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的考查情況?由于全國除了海南采取半自主命題，浙江、上海、江蘇、北京、天津采取自主命題外，其余省份陸續(xù)于2016年采用全國卷，其中河北、安徽、湖北、福建、湖南、山西、江西、廣東、河南、山東從2016年開始都采用了全國I卷對當?shù)馗呖伎忌M行數(shù)學學業(yè)質量檢測.故本文將以“三角與三角函數(shù)”這一處于高考中的重要考點為例來分析2016-2019四年高考理科全國I卷對高考考生的“數(shù)學運算”這一學科核心素養(yǎng)的考查情況.其中《新課標》所指的“四基”是基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗；“SOLO分類理論”劃分為前結構水平、單一結構水平、多元結構水平、關聯(lián)結構水平、擴展結構水平.通過“四基”所體現(xiàn)的數(shù)學知識考點，來看高考卷所考查的“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)處于“SOLO分類理論”的哪一結構水平，通過了解“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的內涵、“四基”以及“SOLO分類理論”等相關概念知識以及它們之間的聯(lián)系，結合歷年高考真題，對高考關于“三角與三角函數(shù)”的相關試題進行全面的分析，來看高考中的“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)，并給出積極教學、提升學生“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的幾點建議.

2 相關概念知識

2.1 “數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的內涵

“數(shù)學運算”[1]是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的數(shù)學學科核心素養(yǎng).主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果.“數(shù)學運算”是解決數(shù)學問題的基本手段，是演繹推理、計算機解決數(shù)學問題的基礎.通過高中數(shù)學課程的學習，培養(yǎng)學生的“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)能進一步發(fā)展學生的數(shù)學運算能力；能有效借助數(shù)學運算方法解決實際問題；能促進數(shù)學思維發(fā)展，培養(yǎng)學生形成規(guī)范化的思考問題的優(yōu)秀品質，幫助學生養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.

“數(shù)學運算”并不是簡單的數(shù)學計算能力，“數(shù)學運算”主要是對運算對象、運算法則、運算思路、運算方法的理解、掌握、探究和選擇，提升學生的“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)顯得尤為重要.

2.2 “四基”與“SOLO分類理論”

“四基”[1]是由原本數(shù)學基礎教育中的“雙基”提法，被在2011年12月28日教育部頒布的《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》[2]發(fā)展出來的提法.“雙基”側重的是熟練掌握已有的知識和技能，而忽視了創(chuàng)新人才的培養(yǎng).由此，《新課標》指出由原本僅有的知識與技能的“雙基”發(fā)展為基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗的“四基”.通過“四基”對高考試題的有關“三角與三角函數(shù)”進行分析，來看高考試題關于“三角與三角函數(shù)”的數(shù)學知識考點.

“SOLO分類理論”[3]是“觀察到的學習結果的結構”(Structure of the Observed Learning Outcome)的縮寫.“SOLO分類理論”是對抽象程度和題目結構上的復雜程度的層次劃分，分為5個水平，即前結構水平、單一結構水平、多元結構水平、關聯(lián)結構水平和拓展抽象水平.本文筆者將類比“SOLO分類理論”對2016—2019四年全國理科高考I卷有關“三角與三角函數(shù)”的試題進行層次劃分，由于“前結構水平”在具體的試題操作中無法體現(xiàn)，因此只選取后四個“SOLO分類理論”進行類比分析：

表1 試題所考查的SOLO層次劃分

筆者通過類比“SOLO分類理論”得到上述表1的對高考有關“三角與三角函數(shù)”試題所考查的SOLO層次劃分的方法，結合“四基”所說的知識考點，對近四年的高考理科全國I卷有關“三角與三角函數(shù)”的試題分布情況、客觀題、解答題分別進行分析，來討論高考卷對“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)所考查的層次水平情況.

3 試題分析

(1)試題分布情況

表2 “三角與三角函數(shù)”在2016—2019四年高考理科全國I卷的分布情況

在這里首先對近四年的高考理科全國I卷的有關“三角與三角函數(shù)”的試題題型的分布情況進行分析.由表2可以看出，2016-2018有關“三角與三角函數(shù)”的考查相對比較穩(wěn)定，均是一道客觀題(5分)加上一道解答題(12分)，并且這三年的有關“三角與三角函數(shù)”解答題部分均分布在解答題的第一道題.2019年對有關“三角與三角函數(shù)”考點的考查在原來的基礎上增加了一道解答題，分值12分.

(2)客觀試題考查情況

表3 “三角與三角函數(shù)”在2016—2019四年高考理科全國I卷的客觀題考查情況

表4 “三角與三角函數(shù)”在2016—2019四年高考理科全國I卷客觀題的SOLO層次劃分

由表3可以看出，“三角與三角函數(shù)”在近四年的高考理科全國I 卷，主要是通過“四基”的數(shù)學知識考點的具體體現(xiàn)，對《新課標》提出的六大數(shù)學學科核心素養(yǎng)中的“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的考查.從基礎知識來看，近四年主要考查三角函數(shù)的性質、圖像及其變換與求值.從基本技能來看，近四年主要考查三角函數(shù)的性質、公式、圖像變換等解決數(shù)學問題的技能.從基本思想來看，近四年的考查比較集中于化歸轉化思想、方程與函數(shù)思想.王新民教授[4]曾提出，基于對數(shù)學基本活動的認識，我們認為可以把演繹活動經驗和歸納活動經驗稱之為數(shù)學基本活動經驗.由此，筆者根據(jù)王新民教授的說法，將基本活動經驗分為演繹活動經驗與歸納活動經驗.由表3可以看出“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)，關于“三角與三角函數(shù)”的客觀題的考查主要經歷的是演繹活動的經驗，這是由于近四年對“三角與三角函數(shù)”的考查主要是考查學生對已學的基本知識、基本技能、基本思想的應用，因此筆者認為學生所經歷的基本活動經驗主要是演繹活動經驗.

由表4可以看出，2016年通過三角函數(shù)的周期性、單調性、零點、對稱性對三角函數(shù)的性質進行綜合性的考查，根據(jù)“SOLO層次劃分”屬于需要從已知信息中抽象、歸納進行解題的復雜問題，對“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的要求高的拓展結構水平.2019年雖然也類似地通過三角函數(shù)的奇偶性、單調性、零點、極值對學生關于三角函數(shù)的性質進行檢驗，但只需要多個知識點彼此整合就能對題目所給的四個選項的正確性進行判斷，因此屬于關聯(lián)結構水平.以此類推，2017年、2018年屬于關聯(lián)結構水平.一起來看2019年一道關于“三角與三角函數(shù)”的客觀題：

(2019課標全國I，11，5分)關于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四個結論：

其中所有正確結論的編號是

A．①②④ B.②④

C.①④ D.①③

這道題主要考查的是三角函數(shù)的性質.其中，①考查的是三角函數(shù)的奇偶性；②考查的是三角函數(shù)的單調性；③考查的是零點；④考查的是最值.解答此題，不僅需要掌握這四個知識點，同時還需要熟悉他們之間的內在聯(lián)系.例如③，先判斷在區(qū)間[0,π]上函數(shù)為f(x)=2sinx有兩個零點，分別是0和π；再根據(jù)①f(x)是偶函數(shù)可知，f(x)圖像關于y軸，從而得出f(x)在[-π,π]只有3個零點，分別是-π、0、π，從而得知③是錯誤的.故筆者將該題歸入試題所考查的SOLO層次劃分的關聯(lián)結構水平.

筆者對近四年的全國高考理科I卷有關“三角與三角函數(shù)”的客觀題通過“四基”所體現(xiàn)的數(shù)學知識考點進行分析，來看客觀題關于“SOLO分類理論”的分布情況，進而分析高考卷所考查的“數(shù)學運算”核心素養(yǎng).經分析發(fā)現(xiàn)，全國高考理科I卷對“三角與三角函數(shù)”的客觀題考查基本處于關聯(lián)結構水平，對“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)要求較高.

(3)解答試題考查情況

表5 “三角與三角函數(shù)”在2016—2019四年高考理科全國I卷的解答題考查情況

表6 “三角與三角函數(shù)”在2016—2019四年高考理科全國I卷解答題的SOLO層次劃分

表5是通過“三角與三角函數(shù)”在2016—2019四年高考理科全國I卷的解答題考查情況來看新課標提出的“數(shù)學運算”核心素養(yǎng).由表5我們發(fā)現(xiàn)2016—2018年均只有一道解答題，分值12分，2019年考查了兩道解答題，分值24分.在這里先對2016—2019(17)解答題進行分析.由于2016—2018年關于“三角與三角函數(shù)”的解答題考查均只有一道題，因此只需要通過年份對其題目進行區(qū)分，2019年對解答題的考查有兩道題，因此筆者在年份后面的括號里面添加題號對2019年考查的兩道關于“三角與三角函數(shù)”的試題進行區(qū)分，例如2019(17)指的是2019年的17題.從基礎知識來看，近四年均對正弦定理與余弦定理的考查；從基本技能來看，主要是考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換以及三角形面積公式、余弦公式、誘導公式等解決問題的能力；從基本思想來看，均需要化歸轉化思想解決數(shù)學問題；基本活動經驗主要是演繹活動經驗.

由表6可以看出2016—2019(17)解答題這四道題考查的相對比較穩(wěn)定，根據(jù)“SOLO層次劃分”均屬于關聯(lián)結構水平，均需要多個的知識點彼此整合解決的問題，對“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的要求較高.而2019(20)試題較復雜，需要從已知信息中抽象、歸納進行解題的復雜問題，對“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的要求高，屬于拓展結構水平.一起來看2019年關于“三角與三角函數(shù)”的兩道解答題：

(2019課標全國Ⅰ，17，12分)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a,b,c.設(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求A；

(2019課標全國I，20，12分)已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x),f′(x)為f(x)的導數(shù).證明：

(2)f(x)有且僅有2個零點.

筆者對近四年的全國高考理科I卷有關“三角與三角函數(shù)”的解答題分析依舊是根據(jù)“四基”所體現(xiàn)的數(shù)學知識考點，來看解答題關于“SOLO分類理論”的分布情況，從而來看高考中的“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的考查情況.經分析發(fā)現(xiàn)，全國高考理科I卷對“三角與三角函數(shù)”的解答題考查基本處于關聯(lián)結構水平，未來考查趨勢將維持關聯(lián)結構水平，且有向拓展結構水平發(fā)展的趨勢，對“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的考查有上升的趨勢.

4 結論和建議

4.1 結論

(1)對“三角與三角函數(shù)”的考查基本處于關聯(lián)結構水平

根據(jù)上述對試題的分析和知識點所考查的SOLO劃分層次得到如下結論：近四年的高考理科全國I卷對客觀題考查部分，關于“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的考查，除2016年是拓展結構水平外，近三年基本處于關聯(lián)結構水平；對于解答題部分，關于數(shù)學運算學科核心素養(yǎng)的考查基本處于關聯(lián)結構水平.在這里為什么說的是“基本”，是因為2019年的解答題20題也對三角函數(shù)的相關性質做了考查，并且該題是需要從已知信息中抽象、歸納進行解題的復雜問題，屬于拓展結構水平.筆者通過對2016—2018年高考理科全國I卷的類似題型進行分析發(fā)現(xiàn)，該題型均分布在解答題21題部分，主要是對導數(shù)的應用進行考查，考查函數(shù)的單調性、極值、最值的問題，一般以基本初等函數(shù)為載體，難度均屬于拓展結構水平.而在2019年的解答題20題，與往年考查的大方向沒有變，依然是對導數(shù)的應用的考查，只是在這里的函數(shù)涉及到了三角函數(shù)，考查難度依然處于拓展結構水平.因此，近四年的高考理科全國I卷在客觀題和解答題部分基本處于關聯(lián)結構水平.

(2)未來考查趨勢維持關聯(lián)結構水平，且有向拓展結構水平發(fā)展的趨勢

根據(jù)上述對試題進行的分析，再結合4.1的結論，我們發(fā)現(xiàn)在近四年的客觀題部分考查的知識點相對比較靈活，主要是對三角函數(shù)的圖像及其變換，誘導公式、二倍角公式、三角函數(shù)的恒等變換，以及對三角函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性、對稱性以及最值等有關三角函數(shù)性質問題的考查，考查試題的靈活多變，而又不偏離新課標對學生提出的“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的提升的目標，有利于學生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，達到了新課標的要求.在解答題部分，17題重點考查正弦定理、余弦定理以及三角函數(shù)面積公式的應用，對三角形內角和定理、三角函數(shù)的誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系以及兩角和與差的三角函數(shù)公式的靈活考查，考生需根據(jù)題目中的已知條件和要求的元素確定所要求解的三角形，嚴格達到了新課標關于理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果的“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的要求.隨著新課標的提出以及逐步的完善，科技的不斷發(fā)展，對學生的“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的要求越來越高，由2019(20)可以看出，關于“三角與三角函數(shù)”對學生“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的考查有向拓展結構水平發(fā)展的趨勢.因此筆者認為未來對于“三角與三角函數(shù)”關于“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的考查趨勢維持關聯(lián)結構水平，且有向拓展結構水平發(fā)展的趨勢.

4.2 建議

(1)加強“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)與數(shù)學文化的結合

由上述結論可知，對“三角與三角函數(shù)”的考查基本處于關聯(lián)結構水平，未來的考查層次維持關聯(lián)結構水平，并且有向拓展結構水平拓展的趨勢.這顯示出對學生的“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的考查要求較高，并且要求有再提高的趨勢.這使得“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)與數(shù)學文化的結合顯得尤為重要，通過數(shù)學文化的結合，對抽象的數(shù)學知識追本溯源，提高學生的趣味性、積極性，有利于學生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)，有利于學生的“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)向拓展結構水平發(fā)展.

新課標明確指出數(shù)學文化是指數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學相關的人文活動.我們應加強“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)與數(shù)學文化的結合，“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)主要是對運算對象，運算方法，運算程序，運算結果等的考核，若與數(shù)學文化相分離會割裂了數(shù)學的整體性，原本血肉豐滿的數(shù)學只剩下“骷髏”式的知識骨架，進而也就失去了數(shù)學和數(shù)學教育的“靈魂”.對于還處在應試教育的當代，若未能將“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)與數(shù)學文化結合，關于數(shù)學文化的傳承極易被教師們所遺忘.為了讓學生能夠站在數(shù)學思想的高度體會數(shù)學的本質，為了數(shù)學回歸育人應有的樣子，應加強“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)與數(shù)學文化的結合.

(2)倡導教師積極教學，提升學生“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)

由上述試題分析得知，近四年經筆者了解，考生的解題情況并不理想.了解發(fā)現(xiàn)，學生對有關“三角與三角函數(shù)”的全國高考理科I卷對關于“三角與三角函數(shù)”的“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的考查難度基本處于關聯(lián)結構水平，對“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)的要求較高.有關“三角與三角函數(shù)”的知識點基本都熟記于心，但卻不能在答卷中很好的表征出來.究其原因，學生不能將零碎的知識在腦海中表征，建立有機的聯(lián)系形成一個知識系統(tǒng)對問題進行求解.

倡導教師積極教學，教師在講授新課時，應該將概念講透講清楚，加強概念教學，注重概念的引入，分析概念的含義，了解概念的本質，掌握概念的內涵和外延，從多方面入手，加深學生對概念的理解.讓學生能在概念與概念之間能夠建立聯(lián)系，教師應該幫助學生對相關知識制作思維導圖使零散的知識點建立起直觀的聯(lián)系；教師在講習題課時，應該將習題所涉及到的知識點、思想方法講清楚講明白.不提倡教師要求學生做題海戰(zhàn)術，畢竟萬事萬物過猶不及，學生刷題刷多了，在一定程度上會形成機械式的答題思路，當遇到靈活點的題目時就無從下手.倡導教師積極教學，提升學生“數(shù)學運算”核心素養(yǎng)，維持關聯(lián)結構水平并向拓展結構水平邁進.