林日福

(深圳市龍華區(qū)教育科學(xué)研究院 518101)

當(dāng)前，核心素養(yǎng)已是我國(guó)教育領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出：“提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界．讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)后逐步形成正確的價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力．[1]”筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)既反映于學(xué)生在問題解決能力、應(yīng)用能力、推理能力等方面得到發(fā)展，也反映于學(xué)生在評(píng)價(jià)交往能力得到發(fā)展．而且，培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生這四種能力，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中得以落地的重要標(biāo)志．

下面以深港兩地教師執(zhí)教“截一個(gè)幾何體”這一教學(xué)內(nèi)容為例，探析兩地課堂教學(xué)的差異，并在此基礎(chǔ)上探討數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中落地的途徑問題．

1 課例簡(jiǎn)錄

1.1 香港課堂

活動(dòng)一：拼圖、畫圖

活動(dòng)組織：全班學(xué)生共分成六個(gè)學(xué)習(xí)小組，每小組3—4人．

活動(dòng)材料：每小組兩塊大小相同的底面為梯形的棱柱木塊、兩塊大小相同的薄長(zhǎng)方體木塊、兩塊大小相同的厚長(zhǎng)方體木塊．

活動(dòng)任務(wù)：自由選擇一些木塊，將其拼成一個(gè)新的幾何體，并畫出拼接處的截面圖形．一位同學(xué)拼圖，其他同學(xué)畫圖，然后同伴討論檢驗(yàn)所畫圖形是否正確．

活動(dòng)過程：學(xué)生分組操作，教師低聲指導(dǎo)．

活動(dòng)展示：學(xué)生展示作品并解釋．

引入截面的概念．

活動(dòng)二：切截幾何體

活動(dòng)組織：在教室中央擺上一張長(zhǎng)條桌子，當(dāng)作演示臺(tái)，全班學(xué)生以半圓形圍坐在桌子周圍，形成一個(gè)大的學(xué)習(xí)組．

活動(dòng)材料：圓錐體、圓柱體、三棱柱、正三棱錐大木塊各一個(gè)(如圖1)，紅色條形膠帶若干．

圖1

活動(dòng)任務(wù)：將每個(gè)幾何體通過切截兩次，截成三個(gè)完全相同的幾何體．

活動(dòng)過程：(1)認(rèn)識(shí)幾何體；(2)學(xué)生自由到展示臺(tái)前展示切截方法．(用紅色膠帶綁在幾何體上，以示切截方法，如圖2．)

圖2

生1：我覺得第一個(gè)(圓錐)分得不是很好，上一個(gè)截面的圓與下一個(gè)截面的圓大小不一樣．

師：是的，要注意雖然截面都是圓形，但得到的三個(gè)幾何體卻不是一樣的．

生2：我覺得第二個(gè)(圓柱)及第三個(gè)(三棱柱)切截是正確的，所得到的三個(gè)部分是一樣的．

生3：我覺得第四個(gè)(正三棱錐)分得不正確，和第一個(gè)(圓錐)一樣，所得的截面大小不一樣．

師：圓柱及三棱柱我們均已能正確切截了，先把它們拿掉．有哪位同學(xué)覺得自己可以做到將圓錐或正三棱錐進(jìn)行三等分切截呢？

(兩位學(xué)生分別展示，如圖3、圖4)

生4：圖3、圖4得到的截面是相同的，所以我覺得這樣分是正確的．

圖3

圖4

圖5

生5：在這兩種分法中，中間的部分與兩側(cè)部分不同，所以我覺得不正確．

師：是的，截面相同不等于得到的幾何體就一定相同．

(一位學(xué)生對(duì)圖3進(jìn)行修改，得圖5)

生6：我認(rèn)為這樣分成四部分了，多于三部分，不符合要求．

師：還有更多的評(píng)論嗎？

生7：我覺得通過切截兩次，將圓錐或正三棱錐分成三個(gè)相同的部分是做不到的．

活動(dòng)三：探索幾何體截面的形狀

活動(dòng)組織：與“活動(dòng)二”相同．

活動(dòng)材料：圓錐體、圓柱體大木塊各一個(gè)，如圖6．

圖6

活動(dòng)任務(wù)：將這兩個(gè)幾何體切截，能否得到相同的截面．

活動(dòng)過程：學(xué)生自由到臺(tái)前演示切截方法．當(dāng)?shù)玫降慕孛媸翘厥獾亩噙呅螘r(shí)，則進(jìn)一步明確該多邊形的形狀．

活動(dòng)四：課堂檢測(cè)

全班學(xué)生坐成“秧田式”，獨(dú)立完成測(cè)試題，教師當(dāng)堂評(píng)價(jià)．

活動(dòng)五：課堂小結(jié)

師：本節(jié)課我們?cè)谌确謭A錐體或正三棱錐時(shí)并不成功，那么是不是如生7所說(shuō)，三等分圓錐體或正三棱錐是一件不可能的事呢？如果是，那么能將它們進(jìn)行幾等分呢？請(qǐng)大家課后再探索．

1.2 深圳課堂

活動(dòng)一：認(rèn)識(shí)幾何體及截面的概念

教師利用投影，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)圓柱、球體等幾何體，引入截面的概念．

活動(dòng)二：探索圓柱體截面形狀

活動(dòng)組織：全班共分成8個(gè)小組，每小組4人圍坐．

活動(dòng)材料：每人一段圓柱體香腸、一把小刀．

活動(dòng)任務(wù)：將圓柱體切截，觀察截面的形狀．

活動(dòng)過程：(1)學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作；(2)學(xué)生展示并解釋截面形狀及切截的方法；(3)教師播放視頻展示截面的所有可能形狀．

師：截面的形狀分別有哪些？

生1：沿底面的直徑位置垂直切截，可得長(zhǎng)方形．

生2：橫著切截，可得圓形．

師：橫著切截是什么意思？

生2：沿著垂直于圓柱的高切截．

生3：斜著切截可得半橢圓形，如圖7．

師：怎么得到的？

生3：從上底面開始，斜著切下去，不穿過下底面．

生4：沿著邊緣上的一個(gè)點(diǎn)，斜著往下切，不穿過下底面，得到橢圓形，如圖8．

生5：從上底面開始，向下底面切截，便得到一個(gè)梯形，如圖9．

圖7

圖8

圖9

生6：可能是梯形，也可能是長(zhǎng)方形．

生7：不可能是梯形，截面有兩條邊是曲線，只能說(shuō)它是近似梯形．

學(xué)生自發(fā)掌聲．

活動(dòng)三：探索正方體截面形狀

活動(dòng)組織：同上一活動(dòng)．

活動(dòng)材料：每人一塊正方體小木塊．

活動(dòng)任務(wù)：思考將正方體切截后的截面形狀，并將截面圖形畫下來(lái)．

活動(dòng)過程：(1)學(xué)生獨(dú)立探索、畫圖；(2)學(xué)生展示并解釋截面形狀及切截的方法；(3)教師播放視頻展示不同的切截方法及截面形狀．

生8：我得到的截面是五邊形．

師：你的切面要經(jīng)過正方體的幾個(gè)面？為什么？

生8：因?yàn)榍忻婷拷?jīng)過正方體的一個(gè)面，截面圖形就增加一條邊，經(jīng)過正方體的五個(gè)面，得到五條邊，所以是五邊形．

生9：當(dāng)切面經(jīng)過正方體的六個(gè)面時(shí)，截面就是六邊形．

生10：根據(jù)面與面相交形成線，切面每經(jīng)過正方體的一個(gè)面，截面就增加一條邊，切面經(jīng)過正方體的幾個(gè)面，截面就是幾邊形．

學(xué)生再次自發(fā)掌聲．

活動(dòng)四：練習(xí)鞏固

課件展示習(xí)題，學(xué)生口答結(jié)果．

活動(dòng)五：課堂小結(jié)

本節(jié)課有什么收獲？我們還留下什么沒解決的問題？

2 課例分析

2.1 教學(xué)觀念

觀念決定行動(dòng)，教師的教學(xué)觀決定教師的教育教學(xué)行為．此課里，香港的課堂更體現(xiàn)應(yīng)用數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)觀．如“活動(dòng)一”里將截面的概念蘊(yùn)含于操作實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，“活動(dòng)三”里將圓錐體、圓柱體截面的形狀蘊(yùn)含于切截幾何體獲得相同截面這個(gè)問題里．同時(shí)還重視將數(shù)學(xué)與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活緊密聯(lián)系，突破本課“探索幾何體截面形狀”這一教學(xué)內(nèi)容的邊界，如“活動(dòng)二”的三等分幾何體．深圳的課堂則更凸顯理論數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，課堂重點(diǎn)在于運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解釋生活中的現(xiàn)象、數(shù)學(xué)操作實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，注重挖掘知識(shí)的深度．如在研究圓柱體及正方體的截面形狀時(shí)，既探索截面的所有可能形狀及切截方法，又重視講道理、講推理．

2.2 內(nèi)容選擇

我們知道，就數(shù)學(xué)課堂教學(xué)而言，教什么比怎么教更為重要．深圳此課分別著重研究了圓柱體及正方體這兩種常見幾何體的不同截面的形狀，在此過程中，不僅讓學(xué)生說(shuō)出截面的形狀，還說(shuō)切截的方法，為學(xué)生積累數(shù)學(xué)知識(shí)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維服務(wù)．香港此課既研究四棱柱、圓錐體、圓柱體、三棱柱、正三棱錐等幾何體截面的形狀，還研究如何將一個(gè)幾何體(圓錐體、圓柱體、三棱柱、正三棱錐)進(jìn)行三等分，將研究截面的形狀及大小蘊(yùn)含于“等分”幾何體這個(gè)任務(wù)之中．在研究圓錐體及圓柱體的截面時(shí)，不僅研究截面的形狀，還研究如何得到相同的截面，任務(wù)豐富且具有較強(qiáng)的挑戰(zhàn)性，有效促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維．

2.3 活動(dòng)組織

深圳此課的課堂組織形式從開始學(xué)生入座就已完全確定下來(lái)，課堂采用4人一小組兩相面對(duì)的座位方式，教學(xué)演示臺(tái)(講臺(tái))固定在教室的前面．這種組織方式有利于教師更好的管理課堂，把握學(xué)生的課堂參與狀態(tài)，提高課堂教學(xué)的效率．香港此課的課堂組織形式更靈活多變，開始時(shí)是分小組圍坐，此時(shí)演示臺(tái)在教室的前面．課堂中段，全班組成一大組，以半圓形圍坐，此時(shí)演示臺(tái)在半圓形的圓心(即教室的中央)位置．課堂末段，全班學(xué)生座位變成了“秧田式”，此時(shí)講臺(tái)在教室的前面．這種根據(jù)教學(xué)需要而變化的課堂組織形式，既有利于共享智慧，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，也有利于學(xué)生獨(dú)立解決問題能力的培養(yǎng)，還有利于同伴之間的交往．但這種多變的的課堂組織形式，有讓課堂產(chǎn)生混亂的風(fēng)險(xiǎn)，所以香港的課堂一般都有助教幫忙．

2.4 資源運(yùn)用

兩節(jié)課都使用了多媒體課件、實(shí)驗(yàn)器材等教學(xué)資源．對(duì)于多媒體課件，香港此課主要用來(lái)展示截面的概念等陳述性知識(shí)．而深圳此課不僅用來(lái)展示概念，還用來(lái)播放視頻，演示切截的過程及截面形狀，驗(yàn)證結(jié)論．在實(shí)驗(yàn)器材上，香港此課主要使用了木塊及膠帶，除膠帶外，所有的器材均可以重復(fù)利用．學(xué)生可以隨時(shí)對(duì)操作(粘貼膠帶的位置)進(jìn)行修正而不影響實(shí)驗(yàn)的最終效果，操作較為安全，耗費(fèi)也較低．但這需要學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力，才能真正理解切截的方法及截面的形狀．深圳的課堂使用了火腿腸、立方體木塊及小刀等，除火腿腸外，其它器材均可以重復(fù)利用．雖然在用小刀切截火腿腸時(shí)，存在一定的安全隱患，以及當(dāng)切截失敗時(shí)，只能更換新的實(shí)驗(yàn)器材(火腿腸)，實(shí)驗(yàn)耗費(fèi)相對(duì)較高，但學(xué)生參與切截的實(shí)驗(yàn)過程，有助于學(xué)生直觀理解“截幾何體”及“截面”等概念的涵義，以及圓柱、立方體等幾何體截面的形狀．

2.5 評(píng)價(jià)方式

兩節(jié)課都重視運(yùn)用師生評(píng)價(jià)、生生評(píng)價(jià)等評(píng)價(jià)方式．從課例中學(xué)生的表現(xiàn)可以看到，香港學(xué)生在評(píng)價(jià)同伴時(shí)，用語(yǔ)是“我覺得……”，“我認(rèn)為……”，這是一種能促進(jìn)人際交往的評(píng)價(jià)．教師為了鼓勵(lì)學(xué)生參與，啟發(fā)學(xué)生思維，用語(yǔ)較為豐富，如“是的，要注意……”，“還有更多的評(píng)論嗎？”“是不是真的如生7所說(shuō)，……”，等等．這些是一種能促進(jìn)思維深度參與的積極性評(píng)價(jià)．深圳學(xué)生在課堂上對(duì)同伴表現(xiàn)出的評(píng)價(jià)，更多是“自發(fā)掌聲”或直接發(fā)表不同結(jié)果的終結(jié)性評(píng)價(jià)，如“不可能是梯形，……”．教師為鼓勵(lì)學(xué)生參與，啟發(fā)學(xué)生思維，獲得正確結(jié)果，主要用評(píng)價(jià)用語(yǔ)是“他的答案正確嗎？”“結(jié)果應(yīng)是……”，“還有不同的結(jié)果嗎？”等．

3 教學(xué)思考

3.1 培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的問題解決能力

數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生“運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力．[2]”這需要教師選擇合適的教學(xué)內(nèi)容，創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的數(shù)學(xué)活動(dòng)，鼓勵(lì)他們親身參與到操作、實(shí)驗(yàn)、觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證等活動(dòng)中去，在做數(shù)學(xué)的過程中產(chǎn)生疑問，發(fā)現(xiàn)并提出問題，并通過自主探索、合作交流等學(xué)習(xí)活動(dòng)，尋求解決問題的策略與方法，發(fā)展學(xué)生的問題解決能力．

就本課例而言，香港此課在環(huán)節(jié)二“三等分幾何體”里，三等分三棱柱、圓柱體，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)難度不大，但如何三等分圓錐體、正三棱錐呢？對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)具有極大挑戰(zhàn)性的問題．學(xué)生多次嘗試而無(wú)法順利解答后，自然會(huì)生出疑問：是不是無(wú)法對(duì)它們進(jìn)行三等分呢？生7形成猜想后，也會(huì)有同伴自然生疑：是真的做不到嗎？如果做不到，那么可以將它們幾等分呢？這樣，學(xué)生的問題意識(shí)得到了發(fā)展，思維也得到了生長(zhǎng)．在“活動(dòng)三”這環(huán)節(jié)里，如何將圓錐體、圓柱體切截，使能得到相同的截面呢？這是一個(gè)符合學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的問題．學(xué)生在思考解決問題的過程中，自然會(huì)產(chǎn)生出如下的新問題，如“它們的截面形狀都有哪些可能呢？”“什么情況下截面形狀是相同的呢？”“如何切截才能得到形狀相同的截面呢？”等等．

3.2 培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用能力

數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生“了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系．有意識(shí)利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問題．[2]”數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的抽象，同時(shí)，數(shù)學(xué)廣泛應(yīng)用于社會(huì)生產(chǎn)和日常生活的各個(gè)方面．這種數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系性，能讓學(xué)生充分感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是有現(xiàn)實(shí)價(jià)值的，也感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是好玩的，提高了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．因而，將學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與他們的現(xiàn)實(shí)生活建立起密切的聯(lián)系，讓學(xué)生在習(xí)得數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中，也在運(yùn)用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題，這對(duì)豐富、提高他們對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)識(shí)，具有重要意義．

可以看到，香港此課的“三等分幾何體”活動(dòng)，這是一個(gè)與現(xiàn)實(shí)生活有著緊密聯(lián)系的問題，學(xué)生可運(yùn)用現(xiàn)實(shí)生活的經(jīng)驗(yàn)來(lái)探索解決此問題，也可將解決此問題的思想方法應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活的“等分問題”中．像這樣將學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活的經(jīng)驗(yàn)與解決數(shù)學(xué)問題緊密聯(lián)系起來(lái)，是培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與能力的有效策略．與此同時(shí)，學(xué)生在思考、討論并多次嘗試解答“三等分幾何體”的問題的過程中，他們觀察、分析切截后所得的部分是否相同，深入思考截面的形狀，不僅獲得了圓錐、正三棱錐截面形狀的體驗(yàn)，還歸納得到“不能通過切截兩次來(lái)三等分圓錐或正三棱錐”，發(fā)展了創(chuàng)新意識(shí)．

3.3 培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的推理能力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》將“邏輯推理”作為數(shù)學(xué)學(xué)科六個(gè)核心素養(yǎng)之一．邏輯推理包括從特殊到一般的歸納推理，以及從一般到特殊的演繹推理．“數(shù)學(xué)教育的主要價(jià)值，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最主要目的是培養(yǎng)人的思維能力，特別是邏輯思維能力，使學(xué)生善于思考，有獨(dú)創(chuàng)精神．[3]”數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不僅要讓學(xué)生經(jīng)歷探索獲得知識(shí)的過程，讓學(xué)生分享獲得知識(shí)的策略、方法，更要讓學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)解釋現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，運(yùn)用數(shù)學(xué)的邏輯方法推理結(jié)論的合理性，發(fā)展表達(dá)有理有據(jù)的推理能力．

可以看到，深圳此課在“活動(dòng)二”及“活動(dòng)三”里，學(xué)生不僅解釋操作所得的截面形狀及切截的過程，將截面形狀畫下來(lái)，還解釋形成截面的原因，即運(yùn)用“面與面相交得線”、“有幾條交線就應(yīng)得到幾邊形”等原理來(lái)講推理，對(duì)得到的結(jié)論進(jìn)行推理論證，這不僅發(fā)展了學(xué)生的直觀想象能力，更培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力，既讓學(xué)生講道理，也讓學(xué)生講推理，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到生長(zhǎng)，使學(xué)生的理性思維品質(zhì)得到提升．

3.4 培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的評(píng)價(jià)交往能力

我們知道，評(píng)價(jià)的價(jià)值既體現(xiàn)于其能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考與課堂的積極參與，促進(jìn)學(xué)習(xí)的真正發(fā)生，也能促進(jìn)學(xué)生的人際交往．課堂作為一個(gè)特殊的“小社會(huì)”，師生作為構(gòu)成這個(gè)“小社會(huì)”中的主要成員，我們?cè)诮M織學(xué)生探索獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、生長(zhǎng)智慧的同時(shí)，還應(yīng)促進(jìn)師生的人際交往，即應(yīng)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)交流、學(xué)會(huì)交往、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)．

正如前面分析，香港此課在教學(xué)評(píng)價(jià)上，學(xué)生同伴之間的商討式交流，教師的激勵(lì)性、啟發(fā)性評(píng)價(jià)，以及當(dāng)結(jié)論明確時(shí)，教師的終結(jié)性評(píng)價(jià)，有利于學(xué)生形成清晰明確的數(shù)學(xué)概念，也有利于幫助學(xué)生建立良好的人際關(guān)系．筆者認(rèn)為，正是教師這種導(dǎo)師式的積極性評(píng)價(jià)，潛移默化的影響著學(xué)生的評(píng)價(jià)觀念，進(jìn)而幫助學(xué)生建立正確的人際交往觀，發(fā)展共享意識(shí)，提高人際交往能力及評(píng)價(jià)能力，這對(duì)促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地，極有意義．