張冬莉 代 欽

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院 010022)

盧米斯(E.S.Loomis,1852—1940)，是美國(guó)俄亥俄州的數(shù)學(xué)老師，他用畢生精力來(lái)收集所有已知的畢達(dá)哥拉斯定理的證明方法，并整理出版了著作《Pythagorean Proposition》，其中收錄了367種證明方法.該書的初稿是在1907年完成.1927年初版，1940年第二版.1986年全美數(shù)學(xué)教師委員會(huì)重印了這本著作，這是數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中第一部“傳世之作”.后來(lái)盧米斯又收到許多新的證明，但他沒(méi)有補(bǔ)全匯編.至今為止，畢達(dá)哥拉斯定理的證明方法已經(jīng)達(dá)到500多種.

盧米斯(E.S.Loomis,1852—1940)

1 前言

畢達(dá)哥拉斯定理是一個(gè)著名的定理，被譽(yù)為“幾何中的瑰寶”.在歷史上稱為“第47個(gè)命題”，這是源于歐幾里得的《幾何原本》的第47個(gè)命題.由于它在三角學(xué)、測(cè)量術(shù)、導(dǎo)航和天文學(xué)等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，使它成為平面幾何中最基本且最有趣的定理之一.在數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中被各種各樣的命名，如它被稱為“木匠定理”；又由于它的證明靈活、困難而被稱為“傻瓜的橋梁”或者“愚人之橋”；在法國(guó)它被稱為“驢橋定理”；在中世紀(jì)，這個(gè)定理也被稱為“百牛定理”，據(jù)說(shuō)這是畢達(dá)哥拉斯為了慶祝這偉大的發(fā)現(xiàn)，宰了一百頭牛來(lái)祭奠.關(guān)于畢達(dá)哥拉斯的具體證明方法我們?nèi)匀徊恢?，畢達(dá)哥拉斯本身是否發(fā)現(xiàn)了這個(gè)直角三角形的這個(gè)特征，還是從埃及神父或者從巴比倫學(xué)習(xí)到的，也沒(méi)有公認(rèn)的說(shuō)法.根據(jù)最廣泛的流傳，畢達(dá)哥拉斯從埃及神父那里學(xué)習(xí)到了三角形的特征，出于這個(gè)原因，三角形本身也被命名為埃及三角形或畢達(dá)哥拉斯定理.

勾股定理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的一項(xiàng)偉大發(fā)現(xiàn)，因此畢達(dá)哥拉斯定理在中國(guó)稱為“勾股定理”.勾股定理最早出現(xiàn)在《周髀算經(jīng)》中.《周髀算經(jīng)》原名《周髀》，約成書于公元前2世紀(jì)西漢時(shí)期，書中涉及數(shù)學(xué)、天文知識(shí)等.《周髀算經(jīng)》主要成就是分?jǐn)?shù)運(yùn)算、勾股定理以及天文測(cè)量中的應(yīng)用，其中關(guān)于勾股定理的論述最為突出.《周髀算經(jīng)》中周公和商高，以對(duì)話形式給出勾股定理.三國(guó)時(shí)期吳國(guó)人趙爽為《周髀算經(jīng)》作注，其中趙爽的“勾股圓方圖”是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法——“等面積原理”，給出了勾股定理的證明.

2 367個(gè)證明中一些著名的證明方法及其特征

除了像歐幾里得(Euclid)、萊布尼茲(Leibniz)、赫頓(Hutton)、加菲爾德(Garfield)、惠更斯(Huygens)等這樣著名的數(shù)學(xué)家為定理的證明做出貢獻(xiàn)以外，其他不同階層的人員，比如一些高中數(shù)學(xué)老師，大學(xué)數(shù)學(xué)教授和天文學(xué)教授，或者是坐在扶手椅上的老年哲學(xué)家，還有戰(zhàn)壕里的年輕戰(zhàn)士，都在為畢達(dá)哥拉斯定理的證明尋找方法而耗去時(shí)光.可見(jiàn)這條定理是多么地吸引人.

在收集的367個(gè)證明中，有的十分精彩，發(fā)人深思；有的十分簡(jiǎn)潔，耐人尋味；有的因?yàn)樽C明者身份特殊而非常著名.我們將畢達(dá)哥拉斯定理的論證方法主要分四種，第一種是線性關(guān)系的代數(shù)證明，例如，從類似直角三角形的線性關(guān)系可以證明直角三角形的斜邊的平方等于其他兩邊的平方和；可以借助使用一個(gè)圓或者兩個(gè)圓，利用弦、割線和切線的方法證明定理；還可以通過(guò)相似三角形的性質(zhì)、面積的比、極限的理論、代數(shù)幾何的綜合法證明定理.第二種是幾何證明，可以通過(guò)三個(gè)正方形構(gòu)建在外部或者內(nèi)部的不同情況，例如，三個(gè)正方形構(gòu)建在外部、三個(gè)正方形都在內(nèi)部等十種形式進(jìn)行分類，利用等面積轉(zhuǎn)換法證明，所有幾何證明的結(jié)果都來(lái)自區(qū)域的比較，其基本原理是疊加.后來(lái)又根據(jù)操作原理分成了第三和第四種：“向量證明”和“動(dòng)態(tài)證明”.

2.1 代數(shù)證明

2.1.1法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德(Legendre，1752-1833)——最短的證明

如圖1所示，在直角三角形ABH中，作HC⊥AB，直角三角形ABH，ACH和HCB相似.為了表示方便，分別用a，b，h，x，y和h-y代表BH，HA，AB，HC，CB和AC.因?yàn)橥ㄟ^(guò)三個(gè)三角形相似，可以得到三邊的比例關(guān)系.一共可以寫出9個(gè)等式：

圖1

(1)a∶x=b∶h-y,∴ah-ay=bx；

(2)a∶y=b∶x,∴ax=by；

(3)x∶y=h-y∶x,∴x2=hy-y2；

(4)a∶x=h∶b,∴ab=hx；

(5)a∶y=h∶a,∴a2=hy；

(6)x∶y=b∶a,∴ax=by；

(7)b∶h-y=h∶b,∴b2=h2-hy；

(8)b∶x=h∶a,∴ab=hx；

(9)h-y∶x=b∶a,∴ah-ay=bx.

從上述的九個(gè)等式中，沒(méi)有一個(gè)方程可以確定所需要的關(guān)系，但是可以由(5)和(7)兩個(gè)等式組合，就能得到h2=a2+b2.這應(yīng)該是畢達(dá)哥拉斯定理的最短的證明，通過(guò)兩個(gè)等式即可完成.

2.1.2萊布尼茲(Leibniz,1646-1716)的證明方法

如圖2，如果(1)HA2+HB2=AB2，然后(2)HA2=AB2-HB2，由此(3)HA2=(AB+HB)·(AB-HB).取BE，BC的長(zhǎng)度等于AB，以B作為圓心畫半圓CA′E，連結(jié)AE，AC，作BD垂直AE.現(xiàn)在有(4)HE=AB+HB，(5)HC=AB-HB，(4)×(5)可以得到HE×HC=HA2，當(dāng)△AHC與△EHA相似的時(shí)候，以上的結(jié)論才是正確的.

圖2

∴(6)∠CAH=∠AEH，(7)HC∶HA=HA∶HE；因?yàn)椤螲AC=∠E，然后∠CAH=∠EAH，∴∠AEH+∠EAH=90°，∴∠CAH+∠EAH=90°，∴∠EAC=90°，∴頂點(diǎn)A在半圓上，A與A′重合，∴△EAC在半圓內(nèi)且是一個(gè)直角三角形.由于方程(1)可以導(dǎo)出數(shù)量關(guān)系是直角三角形，然后從這樣的三角形，轉(zhuǎn)換到我們的論點(diǎn)就有h2=a2+b2.

三角形與圓有著密切的聯(lián)系，每個(gè)三角形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)接圓.萊布尼茲的證明方法主要是構(gòu)造輔助圓的證法.

2.1.3赫頓(Hutton，1726-1797)的證明方法

∴h2=a2+b2.

圖3

該證法中，AD正方形實(shí)際就是我國(guó)《周髀算經(jīng)》中的“趙爽弦圖”.弦圖是以弦為方邊的正方形，再在其內(nèi)作四個(gè)全等的勾股形，各以正方形的邊為弦.趙爽稱勾股弦形的面積為“朱實(shí)”，稱中間小正方形的面積為“黃實(shí)”或“中黃實(shí)”.

2.1.4書中第101個(gè)代數(shù)證明

如圖4，讓AD=AG=x，HG=HC=y,BC=BE=z,然后AH=x+y，HB=y+z.以A為中心，AH為半徑畫弧HE，以B為中心，BH為半徑，畫弧HD，以B為中心，BE為半徑畫弧EC，以A為中心，AD為半徑，畫弧DG.然后畫出平行線.通過(guò)觀察這個(gè)數(shù)字，就可以明顯看出如果y2=2xz(1)AH2=AR×AD=(x+y)2=x·(x+2y+2z)=x2+y2+2xy=x2+2xy+2xz=y2=2xz，那么定理就成立了. 現(xiàn)在，因?yàn)锳H是一個(gè)切線，AR是同圓的一個(gè)弦.AH2=AR×AD(切割線定理)，或(x+y)2=x(2y+2z)=x2+2xy+2xz，因y2=2xz，

∴正方形AK=[(x2+y2+2xy)=正方形AL]+[(z2+2yz+(2xz=y2))]=正方形HP，

∴h2=a2+b2.

圖4

從三邊分別向外作正方形，并進(jìn)行分割，將各個(gè)小矩形塊的面積寫其內(nèi)部.再構(gòu)造輔助圓的證法，使用切割線定理證明.這個(gè)證明是幾何靈活性的一個(gè)很好的例證.其價(jià)值在于，不是在多次確立的事實(shí)上重復(fù)證明，而是需要更好的洞察力，在證明元素的有效編組和使用中，呈現(xiàn)出各種幾何定理的相互依賴和轉(zhuǎn)化.

2.2 幾何證明

2.2.1歐幾里得(Euclid，約公元前330年-約公元前275年)的證明方法

如圖5，作HL垂直CK，連接HC，HK，AD和BG，AB的平方=矩形AL+矩形BL=2三角形HAC+2三角形HBK=2三角形△GAB+2三角形△DBA=正方形GH+正方形HD，∴AB上的正方形=BH上的正方形+AH上的正方形.

圖5

該方法是幾何證明里的第33個(gè)證明.歐幾里得采用的是分析法，大約公元前300年，發(fā)現(xiàn)了上述證明，從邏輯上講沒(méi)有比歐幾里得更好的證明.該證明也反映了古希臘人的分析思維方法.

2.2.2惠更斯(Huygens，1629-1695)的證明方法

圖6

2.2.3蘇格拉底(Socrates，公元前469-公元前399年)的證明方法

所謂的畢達(dá)哥拉斯定理，最簡(jiǎn)單的形式就是兩條直角邊相等.偉大的蘇格拉底通過(guò)畫圖讓奴隸孩子回答問(wèn)題.將他的木棒作為指南，在地上畫圖，使奴隸孩子看到了三角形HAB中，HB邊上的正方形與HA邊上的正方形的和，正好等于AB邊上的正方形.如圖7所示.

圖7

該圖形并不是蘇格拉底給奴隸孩子講解的原圖，而是將原圖進(jìn)行了轉(zhuǎn)化.蘇格拉底的這種證明方法和他的用兩個(gè)相同正方形制作一個(gè)大正方形的思想方法有著密切關(guān)系.蘇格拉底用“產(chǎn)婆術(shù)”指導(dǎo)求出新正方形的方法，除了對(duì)一般教學(xué)法有重要啟示以外，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)也有重要的借鑒作用.例如，我們把問(wèn)題倒過(guò)來(lái)說(shuō)就是：用兩個(gè)相同的正方形構(gòu)造一個(gè)新正方形．我們將問(wèn)題變化為：能否用兩個(gè)不同正方形構(gòu)造一個(gè)正方形？答案是肯定的，由勾股定理直接可以引證：a2+b2=c2，即兩個(gè)正方形面積之和等于第三個(gè)正方形的面積.可以用古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的證明方法或中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽的證明方法直觀地表達(dá)出來(lái)，也可以用折紙方法(或?qū)嶒?yàn)幾何方法)進(jìn)行制作.

如果把兩個(gè)不同正方形當(dāng)做一般情形的話，那么前面的問(wèn)題就是其特殊情形.我們進(jìn)而可以提出：能否用n個(gè)相同(不相同亦可)的正方形構(gòu)造一個(gè)正方形嗎？答案也是肯定的，可以用數(shù)學(xué)歸納方法來(lái)說(shuō)明.據(jù)了解，現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問(wèn)題是，初中數(shù)學(xué)教師教授勾股定理時(shí)，從來(lái)不考慮學(xué)生在小學(xué)所學(xué)相關(guān)平面圖形知識(shí)，更不考慮勾股定理的實(shí)驗(yàn)幾何特性及其擴(kuò)展(2)代欽.可視的數(shù)學(xué)文化(三)——蘇格拉底的數(shù)學(xué)教學(xué)智慧[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2016，55(08):3-4..

2.2.4美國(guó)總統(tǒng)加菲爾德(Garfield，1831-1881)的證明

1876年4月1日，加菲爾德(3)Garfield J A.Pons Asinorum.New England J Educ，1876，3(161)在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了證明勾股定理的方法.

如圖8所示，延長(zhǎng)HB到點(diǎn)D，使得BD=AH，過(guò)D點(diǎn)作DC平行于AH并且等于BH，然后連接CB，CA.

梯形CDHA的面積=△ACB+2ABH.

∴h2=a2+b2

圖8

2.2.5畢達(dá)哥拉斯定理——神奇的魔方

如圖9，AK正方形中，所有的數(shù)字和是625，等于HD正方形中數(shù)字的和441加上HG正方形中數(shù)字的和184.在AK正方形中間數(shù)為25，有1×(1×25)；周邊小正方形的數(shù)字和為3×(3×25)；選取大正方形AK中的數(shù)字和為5×(5×25)的數(shù)字作為元素.正方形HD中有1×(1×49)；3×(3×49)，作為元素.HG正方形中有1×46和3×46作為元素.

圖9

該證明方法我們可以稱它為“數(shù)字游戲”.在特定邊長(zhǎng)為“3,4,5”的神奇的正方形中，編入特定的數(shù)字，我們可以發(fā)現(xiàn)AK正方形中所有數(shù)字和等于HD正方形中數(shù)字和加上HG正方形中數(shù)字的和.正方形AK的任意一行、一列和兩條對(duì)角線上的數(shù)字總和均為125，因此總和為625.正方形HG的每一行、每一列和兩條對(duì)角線上數(shù)字和均為46，正方形HD的則為147，因此，HG里所有數(shù)的和是184，HD里所有數(shù)的和是441.因此，魔方AK(625)=魔方HD(441)+魔方HG(184).

2.3 向量的證明

向量的發(fā)展大致分為三個(gè)階段：首先是實(shí)例中的向量，用平行四邊形法則得到力的合成，在此階段，向量?jī)H僅是物理力學(xué)的一個(gè)應(yīng)用,并沒(méi)有形成一門獨(dú)立的學(xué)科,更沒(méi)有受到重視.其次為分解向量階段，力的分解是無(wú)法靠加減乘除的運(yùn)算進(jìn)行的,這樣就引入了新的運(yùn)算——“數(shù)乘”.最后一個(gè)階段，向量中引入“數(shù)量積”.

如圖10，完成矩形HC，連接HC.矢量AB=AH+HB或者a=b+g(1)，HC=HA+AC，或者a′=-b+g(2).則(1)的平方加上(2)的平方有a2+a′2=2b2+2g2，或者看作AB2+HC2=2AH2+2HB2，但是HC=AB，∴AB2=AH2+HB2，∴h2=a2+b2.

圖10

2.4 基于力的概念——?jiǎng)討B(tài)證明(符合“力偶矩”(4)力偶是兩個(gè)相等的平行力，它們的合力矩等于平行力中的一個(gè)力與平行力之間距離(稱力偶臂)的乘積，稱作“力偶矩”.的理論)

如圖11，如果FH和AG代表兩個(gè)相等的力，它們形成力偶矩FH×AH，或者b2.如果HE和DB代表另外兩個(gè)相等的力，它們形成力偶矩DB×HB，或者a2.

圖11

存在這樣的兩對(duì)力.即加入兩個(gè)力AG和HE,使得AM=HE=a，AG和AM的兩個(gè)力的合力為平行四邊形的對(duì)角線AN，AN=CA=h.加入FH和DB兩個(gè)力，使得BO=DB=a，即平行四邊形的對(duì)角線BK是BO和BP的合力(BP=FH=b)，力偶矩的第二個(gè)分量就是CK×BK，或者h(yuǎn)2. ∴h2=a2+b2.

3 為什么沒(méi)有利用三角函數(shù)、解析幾何、微積分的方法證明勾股定理

通過(guò)之前的證明方法，有的人會(huì)提出這樣的問(wèn)題，十七世紀(jì)，變量數(shù)學(xué)問(wèn)世之后，有沒(méi)有基于三角函數(shù)、解析幾何和微積分的證明呢？答案是沒(méi)有這類的證明方法.因?yàn)槿呛瘮?shù)的基本公式本身就是畢達(dá)哥拉斯定理的真理，因?yàn)檫@個(gè)定理，我們說(shuō)sin2A+cos2A=1.

例如：如圖12，在直角△ABC中，∠C=90°，AB=c,BC=a,AC=b.

圖12

因?yàn)閍=c·sin∠A,b=c·cos∠A,(sin∠A)2+(cos∠A)2=1，

a2+b2=(c·sin∠A)2+(c·cos∠A)2

=c2[(sin∠A)2+(cos∠A)2]=c2,

所以a2+b2=c2.

該證明是錯(cuò)誤的.觀察這個(gè)證明方法，從結(jié)論開(kāi)始檢查每一步證明，似乎沒(méi)有錯(cuò)誤.那么問(wèn)題究竟出在哪里呢？具體情況主要是因?yàn)?sin∠A)2+(cos∠A)2=1是勾股定理的特殊形式，不能做條件來(lái)使用.這里犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤.

在解析幾何中，笛卡兒把勾股定理作為他的解析幾何方法的基礎(chǔ)，所以在這里不會(huì)出現(xiàn)獨(dú)立的證明.解析幾何是以代數(shù)方法處理的歐幾里得幾何學(xué)，因此涉及的解決方法，都是已經(jīng)建立的原理.因此，在解析幾何中關(guān)于直角三角形三邊的關(guān)系，都直接暗含著畢達(dá)哥拉斯定理，如公式：x2+y2=r2.

4 小結(jié)

沒(méi)有哪個(gè)幾何定理能夠像畢達(dá)哥拉斯定理的簡(jiǎn)單二次公式那樣，對(duì)其他數(shù)學(xué)分支產(chǎn)生如此多的影響.的確，古典數(shù)學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的大部分歷史都是圍繞著這個(gè)定理而寫成的(5)[英]M. I.芬利.The Legacy of Greece [M].張強(qiáng)，譯.上海：上海人民出版社，2016:95.一些古老重要的數(shù)學(xué)工作都有著永恒的品質(zhì)，就像任何領(lǐng)域的經(jīng)典.作為數(shù)學(xué)中兩大瑰寶之一的畢達(dá)哥拉斯定理，貫穿在整個(gè)古代和中世紀(jì)兩個(gè)漫長(zhǎng)的歷史時(shí)期中，到今天仍不失其價(jià)值.它是人類發(fā)現(xiàn)的第一定理、第一個(gè)不定方程、證法最多的定理.它引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，開(kāi)始把數(shù)學(xué)由計(jì)算與測(cè)量的技術(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎撟C與推理的科學(xué).

對(duì)于剛剛開(kāi)始學(xué)習(xí)幾何的學(xué)生來(lái)說(shuō)，勾股定理的證明是他們遇到最難的證明之一.現(xiàn)在的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中由于幾何證明的直觀性，在學(xué)習(xí)定理時(shí)經(jīng)常使用幾何證明方法便于學(xué)生理解.但是勾股定理的教學(xué)僅僅讓學(xué)生知道結(jié)論并會(huì)套用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，應(yīng)讓學(xué)生通過(guò)勾股定理的學(xué)習(xí)更好地掌握數(shù)學(xué)思想方法、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)探索精神、經(jīng)受歷史的熏陶.除此之外，使用拼圖的方法也廣泛使用，注重培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手操作能力.在教學(xué)中通過(guò)設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，使勾股定理的教學(xué)成為再創(chuàng)造和再發(fā)現(xiàn)的教學(xué)，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題與分析、解決問(wèn)題的能力.另外勾股定理的變式，即在可變傾斜的三角形的三邊上構(gòu)建正方形也應(yīng)該值得我們的關(guān)注，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.總之，證明定理的方法和數(shù)量并不是僅限于此，代數(shù)、幾何證明的數(shù)量是無(wú)限的.以上方法的歸類，可以有助于新知識(shí)的產(chǎn)生，吸引著未來(lái)的研究人員不斷的探索.

致謝：本文原始文獻(xiàn)E.S.Loomis《Pythagorean Proposition》在我國(guó)買不到的情況下，日本數(shù)學(xué)教育家松宮哲夫教授贈(zèng)送了該書.這里表示衷心感謝！