李子尚 ，楊自豪 ，何銳 ，張潔瓊 ，林巍

（1.西北工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，陜西 西安 710072；2.中交懸浮隧道結(jié)構(gòu)與設(shè)計方法研究攻關(guān)組，廣東 珠海 519000；3.中交公路規(guī)劃設(shè)計院有限公司，北京 100088）

0 引言

懸浮隧道自150多年前提出，挪威、土耳其、意大利、日本和中國在不同時期均有研究，然而始終未建設(shè)[1]。港珠澳大橋島隧工程建設(shè)了當(dāng)今世界最長公路沉管隧道，克服了外海復(fù)雜海況安裝、深埋、大回淤、異常波、河口羽等一系列難題；當(dāng)今沉管隧道技術(shù)已發(fā)展到了第三代，下一個突破應(yīng)是懸浮隧道技術(shù)的實現(xiàn)[2]。港珠澳大橋島隧工程2018年交工后，成立了中交懸浮隧道工程技術(shù)聯(lián)合研究組，設(shè)置11個研究方向[3]，產(chǎn)學(xué)研結(jié)合，參與研究的外部知名單位包括西北工業(yè)大學(xué)、大連理工大學(xué)、荷蘭TEC公司、代爾夫特理工大學(xué)等。2019年進(jìn)一步設(shè)置結(jié)構(gòu)與設(shè)計方法研究攻關(guān)組。本文為項目組研究成果之一。

盡管懸浮隧道相關(guān)數(shù)學(xué)理論的研究已有一些工作[1]，但相關(guān)數(shù)學(xué)模型解析解的研究相對較少。文獻(xiàn)[4]研究了連續(xù)地基梁和間斷支撐梁等沿程剛度的相似性，提出連續(xù)地基梁解析解靜力和動力計算的適用范圍。文獻(xiàn)[5]研究了黏彈性地基梁受到移動荷載時的聲輻射理論解。文獻(xiàn)[6]推導(dǎo)了考慮流速和漩渦發(fā)放頻率等多因素的懸浮隧道結(jié)構(gòu)失穩(wěn)支撐間距理論臨界值。目前對懸浮隧道自振頻率和常見均布荷載作用下的變形解析解研究相對較少。解析解的建立具有如下優(yōu)點：1）加強對懸浮隧道結(jié)構(gòu)行為的直觀認(rèn)識；2）工程快速計算和判斷；3）驗證數(shù)值解。

本文將懸浮隧道整體結(jié)構(gòu)簡化為二維的連續(xù)支撐梁問題，系統(tǒng)地列出包含施工期和運營期不同邊界和不同錨固體系的偏微分方程模型，并詳述了基于分離變量法的偏微分方程解析解的求解過程。

1 數(shù)學(xué)模型

為了理論研究的方便，對懸浮隧道結(jié)構(gòu)做如下假設(shè)：1）管體橫斷面不隨管體長度變化；2）中間接頭（如有）抗彎剛度與管體結(jié)構(gòu)相等；3）自振頻率忽略沿程錨固的質(zhì)量，這對于錨索式懸浮隧道通常是可接受的（除非錨索全部采用鐵鏈也許不可接受），浮筒的質(zhì)量不可忽略，因而理論解的自振頻率結(jié)果不適用于浮筒式懸浮隧道；4）三維問題簡化為二維問題（懸浮隧道結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)簡化模型見圖1），通常按照笛卡爾坐標(biāo)系簡化為豎向問題和水平問題；5）管體因各種原因受到軸向拉力或壓力，且軸力沿著管體為定值；6）沿程錨固系統(tǒng)的間斷約束簡化為連續(xù)約束，且約束剛度為定值；7）管體線形為直線。

圖1 懸浮隧道結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)簡化模型Fig.1 Simplified mathematical model of submerged floating tunnel structure

懸浮隧道管體在豎向或水平均布荷載作用下的撓度（假設(shè)橫斷面沿著管體是均勻的）可由表1中的方程控制或得到。表格除去表頭的第1行表示管體無約束的“自由式”懸浮隧道；第2行表示管體沿程有錨固體系約束的懸浮隧道，錨固體系可以是錨索，也可以是浮筒；第3、4行是在前兩列的基礎(chǔ)上考慮了管體軸力。表格除去表頭的第1、2列表示管體與接岸連接的兩種極端力學(xué)形式，即完全固結(jié)和完全鉸結(jié)，實際工程應(yīng)用較可能介于兩者之間；第3、4列表示懸浮隧道施工階段的邊界條件，管體一端尚未與接岸接頭連接。由此得到4×4=16個不同方程與邊界條件。在表1方程的基礎(chǔ)上，增加質(zhì)量項（式（1））得到另外16個方程，用于計算錨索式懸浮隧道的自振頻率，前提是錨固系統(tǒng)質(zhì)量和不連續(xù)性可忽略。

2 方程求解

1）Bco1時，解得：

1）Bco1 時

通過將對應(yīng)的邊界條件代入上述表達(dá)式中可得每個邊界條件下的取值如下：

系數(shù) c1、c2、c3、c4的取值為：

1） Bco1 時

2） Bco2 時

v（x，EI，N，q）=c1+c2x+c3cos bx+c4sin bx+qx2/N

系數(shù) c1、c2、c3、c4的取值為：

3） Bco3 時

v（x，EI，N，q）=c1+c2x+c3cos bx+c4sin bx+qx2/N

在一端固接，一端自由邊界條件下，系數(shù)c1、c2、c3、c4的取值為：

1）當(dāng) N2＜4k·EI時

②Bco2和Bco3時，解的形式相同，但是解的系數(shù)不相同。在此可以給出幾種邊界條件下的撓度曲線（圖2）。其余參數(shù)取值分別為：EI=2.22×1013N·m2，q=1 000 N/m，k=7×106N/m2，N=2×108N。

圖2 PDE4（管體有錨固有軸向力）在不同邊界條件下的撓度曲線Fig.2 PDE4(tube isanchored and has axial force)deflection curveunder different boundary conditions

2） 當(dāng) N2≥4k·EI時

v（x，EI，N，q）=c1cos a2x+c2sin a2x+c3cos b2x+c4sin b2x+q/k

其中：

且c1、c2、c3、c4為由邊界條件確定的系數(shù)。

2.5 公式（1）的求解

將撓度曲線函數(shù)v（x，t）做變量分解如下：v（x，t）=Z（x）Y（t）

并將該分解代入原公式中，可得如下公式：

定義系數(shù)a4，則上式可分解為如下2個方程：

對于Z（x）滿足的方程，解的形式為：

代入上述參數(shù)的表達(dá)式，則可得到w的解的形式可寫為：

其中（εL）n或（δL）n與邊界條件相關(guān)。

1）Bco1時，需要滿足：

-2δε（cos δL cosh εL-1）-（δ2-ε2）sin δL sinh εL=0

解之無解。

2）Bco2時，需要滿足：-（δ2+ε2）2sin δL sinh εL=0即：sin δL=0

3）Bco3時，需要滿足：

解之無解。

4）Bco4時，需要滿足：

圖 3 tanδL/δ=tanh εL/ε 的求解Fig.3 Solutions of tan δL/δ=tanh εL/ε

3 結(jié)語

本文系統(tǒng)研究了懸浮隧道撓度和自振頻率的解析解，其中針對有解的方程，如參照表1中的偏微分方程 PDE1（Bco1，2，3），PDE2（Bco1，2，3，4），PDE3（Bco=1，2，3）以及 PDE4（Bco1，2，3），給出了詳細(xì)的結(jié)果，而針對無解的方程，在此給出無解的解釋。無解的方程包括：①式（1）在邊界條件Bco1和Bco3無解；②PDE1，PDE3，PDE4在Bco4時無解。方程無解的物理意義討論如下：式（1）在Bco1和Bco3時，無法得到相對應(yīng)的頻率解，這是因為在將邊界條件Bco1或Bco3中的兩組邊界條件代入到通解形式中時，得到的線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式無法等于0，即Bco1或Bco3中的邊界條件可能存在自相矛盾，無法得到同時約束下的解函數(shù)； 而對于PDE1，PDE3，PDE4在Bco4時無解的原因是邊界條件和方程不匹配，在方程PDE1，PDE3，PDE4約束下，邊界Bco4不存在。

其它值得進(jìn)一步研究的問題包括：平曲線懸浮隧道在水平荷載作用下的撓度、結(jié)構(gòu)自振頻率、管體沿程扭力產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角度及扭轉(zhuǎn)自振頻率。通過這些問題的解析解，可進(jìn)一步研究懸浮隧道曲線線形的利弊以及當(dāng)前研究較少涉及的懸浮隧道主結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)問題。