廣東省佛山市羅定邦中學

處理帶有絕對值的不等式問題一般思路是利用絕對值的定義去絕對值,再通過分類討論求得結果.本文在此基礎上再介紹以下幾種方法:利用絕對值不等式、最大值函數(shù)以及距離公式解決一類含絕對值的最值問題,供讀者參考.

角度一通過絕對值定義去絕對值.

角度二絕對值不等式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.注意到不等式的中間,可以通過選擇“±”進行放縮使得不等式的一邊出現(xiàn)定值.

角度三最大值函數(shù)最小值函數(shù)

角度四根據(jù)點P(x0,y0) 到直線l:Ax+By+C=0的距離公式:所以可以通過幾何關系求解含絕對值的問題[1].

一、利用絕對值定義

例1已知函數(shù)設a ∈R,若關于x的不等式在R 上恒成立,則a的取值范圍是____.

解析根據(jù)題意,對任意x ∈R 有:設原命題等價于g(x)max≤a ≤h(x)min.又由于

可得g(x)max=故答案為A.

總結:該解法的過程可總結為通過定義去絕對值,再分離出所求參數(shù)a.將原問題中的恒成立問題轉(zhuǎn)化為最大最小值問題.

二、利用絕對值不等式

例2設f(x) =|log2x+ax+b|(a ＞0) 在區(qū)間[t,t+2](t ＞0) 上的最大值為Mt(a,b),若{b|Mt(a,b)≥1+a}=R,求實數(shù)t的最大值.

解析設函數(shù)g(x) =log2x+ax+b,顯然g(x) 在[t,t+2]上遞增.令Mt(a,b)=max{f(t),f(t+2)},其中f(t) =可知對任意b ∈R 都有Mt(a,b)≥1+a恒成立.所以min{Mt(a,b)} ≥1+a.又由于

兩式相加可得:

總結本題通過絕對值不等式的放縮,巧妙的消去了參數(shù)a,b,最終只留下關于t的不等式.

例3(2015年佛山市數(shù)學教師解題大賽第11題) 已知f(x)=2x2+bx+c(b,c ∈R)的定義域為[0,2],記|f(x)|的最大值是M,則M的最小值為____

A.1 B.2 C.3 D.4

解析據(jù)題意即有根據(jù)絕對值不等式得到兩者組合可得:M的最小值為1,故選A.

總結上面的解法利用了三次絕對值不等式,前兩次消掉未知量“c”,最后一步消掉未知量“b”使得不等式的一邊出現(xiàn)常數(shù).特別注意的是,“=”是否成立.

經(jīng)驗證,當b=-4,c=1時,等號成立.針對該問題,題干所給區(qū)間是[0,2],為何選擇0,1,2 這三個特征點來求M的范圍呢？如果上面的“=”不成立,必然要選擇其他的特征點來求解.而其根本的原因在于對圖像的理解,所提供的二次函數(shù)在區(qū)間[0,2]上單增、單減或先減后增.通過絕對值處理后,其取得最大值的可能情況是兩個端點及頂點的位置.根據(jù)對稱性,假設該函數(shù)的對稱軸在x=1 處.再通過“=”是否成立來驗證.

例4已知a,b,c ∈R,且對任意x ∈R 恒成立,求的最大值.

解析設f(x) =acos2x+bsinx+c,令x分 別為:0,可得:根據(jù)絕對值不等式:

顯然|asinx+b|max=max{|a+b|,|a-b|}≤2.|asinx+b|的最大值為2,當a=2,b=0,c=-1時,等號成立.

總結本題的一大難點在于特殊點的選擇,讀者可結合例2思考一下,是否可以選擇其他的特征點求解,選擇特征點的一般策略是什么？

三、利用最大最小值函數(shù)

例5已知函數(shù)f(x) =ax2+bx+c(0),記M(a,b,c) 為|f(x)|在[0,1]上的最大值,若求的最小值.

分析由|b|≥2|a|可知,該二次函數(shù)的對稱軸無論該函數(shù)開口方向如何,函數(shù)f(x) 在區(qū)間[0,1]上單調(diào),所以

解析根據(jù)分析可知:M(a,b,c)=max{|f(0)|,|f(1)|}.根據(jù)最大值函數(shù)的定義:

總結本題與例2相比,本題所涉及的函數(shù)單調(diào)性確定,所以最值必在端點處取得.且在本題中引入了最大值函數(shù),結合絕對值不等式求得最小值.另外,本題的解法將參數(shù)a,b,c用f(0),f(1) 表示,讀者可繞過該步驟,直接放縮.

例6已知方程

有三個根x1＜x2＜x3,若x3-x2=2(x2-x1),求實數(shù)a的值.

解析令根據(jù)最大值函數(shù)的定義:

原方程等價于max{f(x),g(x)}=ax+2,由-2x ≥得:由此可得:

因題設提及的方程有三個根,所以三個根的分布是第一段一個,第二段兩個.由可得再由得到再由x3-x2=2(x2-x1) 得到2x1=3x2,即有所求a的值為

總結本題是最大值函數(shù)的逆向運用,通過最大值函數(shù),將原有的絕對值問題轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),通過分類討論求出對應的根.

例7(2016年4月浙江省普通高中學業(yè)水平考試第18題) 設函數(shù)若對任意的正實數(shù)a和實數(shù)b,總存在x0∈[1,2]使得f(x0)≥m,求實數(shù)m的取值范圍.

分析對任意的正實數(shù)a和實數(shù)b,總存在x0∈[1,2]使得f(x0)≥m,等價于min{max{f(x)}} ≥m.即當f(x) 在區(qū)間[1,2]上的最大值取到最小時仍不小于m時,上條件成立.

解析設函數(shù)存 在[1,2]使得f(x0)≥m.則有f(x)max≥m,又因為g(x) 在x ∈[1,2]上遞減,所以f(x)max=max{f(1),f(2)}.

令M(a,b)=max{f(1),f(2)},其中f(1) =|2-a - b|,f(2) =|1-2a - b|,所以M(a,b)≥m對任意a ＞0,b ∈R恒成立,所以min{M(a,b)} ≥ m.又由兩式相加可得:

總結通過上面的分析,對于加絕對值的函數(shù),首先要選擇關鍵點,利用關鍵點表達出所求的參數(shù);再利用絕對值不等式進行放縮或利用最大值函數(shù)進行轉(zhuǎn)化.

四、利用絕對值的幾何意義求解

例8若函數(shù)f(x) =|asinx+bcosx-1|+|bsinxacosx|(a,b ∈R)的最大值為11,求a2+b2的最大值.

解析利用絕對值不等式:

構造直線:l1:ax+by=0,l2:bx - ay=0,點P(sinx,cosx),則有h(x) 表示點P到直線l1,l2距離之和的倍,其中l(wèi)1,l2是過原點且互相垂直的直線,點P在單位圓上運動,點P到直線l1,l2距離分別為d1,d2,顯然有利用基本不等式:所以故所以a2+b2的最大值為50.

總結第一步的放縮使得后面構造的直線過原點,大大地簡化了后面的計算.

五、練習

4.已知函數(shù)f(x) =ax2+bx+c(0),當x ∈[0,1]時,|f(x)|≤2,求a的最大值.

答案提示:利用最小值函數(shù).