廣東順德羅定邦中學

求多面體的外接球半經(jīng)問題,是近年高考的熱點和難點之一,已有不少文章對其進行了探究,本文從多邊形的外接圓圓心、半徑的確定類比到多面體的外接球球心、半徑的確定,并且由球心的確定方法將各類多面體的外接球題型進行了分類.

一、補成長方體,求其對角線長即得球直徑

類比矩形內(nèi)接于圓,直徑就是矩形的對角線.長方體內(nèi)接于球,這是因為長方體的四條體對角線長相等,交于一點且互相平分,這點就是球心,體對角線就是球的直徑(圖1).長方體可以切割為墻角錐(共頂點的三條棱兩兩互相垂直(如圖2),或底面是長方體的一個面的四棱錐);陽馬(不共點的三條棱兩兩互相垂直(如圖3),或有不同方向的三條兩兩互相垂直棱可以作為長、寬、高的三棱柱、四棱錐等);對棱體(對棱相等的四面體,如圖4).

圖1

圖2

圖3

圖4

這些多面體可補成長方體,長方體8個頂點所在的球面就是這些多面體的頂點所在的球面,其外接球就是長方體的外接球,直徑就長方體的體對角線.要求這些多面體的外接球直徑,只要求出它們所在長方體的體對角線長即可.我們把這種方法稱為補體法.

例1一個四面體的所有棱長都為四個頂點在同一球面上,求此球的表面積.

解四面體所有棱長相等,則對棱相等,可補成一個長方體,設(shè)長,寬,高為x,y,z,則x2+y2=2;x2+z2=2;y2+z2=2; 如上三式求和得,外接球直徑R滿足(2R)2=x2+y2+z2=3,所以S表=4πR2=3π.

二、已知某個側(cè)面的外心及該面上的高時確定外接球的方法

類比多邊形的外心在各邊的中垂線上,多面體的外接球的球心在經(jīng)過各面外心的垂線上.

多面體的面截球所得的截面圓就是該面多邊形的外接圓,我們熟知直角三角形的外心是斜邊的中點; 矩形的外心是兩對角線的交點; 正三角形的外心是中心;另一特別的三角形,即頂角是120°等腰ΔABC,其外接圓半徑r=腰長a,底BC的弦心

圖5

(一)高是垂徑

頂點在底面的射影是外心時,一個平面截球面,所得的截面是一個圓面,球心在截面圓的垂徑上.設(shè)截面圓半徑r,球半徑R,面心距OO1=d,則有勾股關(guān)系:R2=r2+d2.由此可求球半徑.

圖6

圖7

例1′(例1的另一解法) 如圖7,正四面體任意面均可作為截面,其外接圓心O1是截面正三角形的中心,半徑三側(cè)棱相等,頂點A在截面的射影是O1,高由R2=(h-d)2=d2+r2,求得距所以S表=4πR2=3π.

(二)高是弦

頂點在底面的射影在球面上時,設(shè)AB是截面圓O1的直徑,球面上一點P,PA⊥截面圓O1,則PB的中點O是球心,這是因為OO1//PA,所以O(shè)O1⊥截面圓O1,O到截面圓上每一點的距離相等,由OB=OP,所以O(shè)是球心,PB為直徑,PB2=PA2+AB2,即(2R)2=(弦高)2+(2r)2.

圖8

圖9

例2在四面體S-ABC中,SA⊥平面ABC,∠BAC=120°,SA=AC=2,AB=1,則該四面體的外接球的表面積為( )

√解析如圖9,ΔABC所在截面圓直徑AE=2r=球心O在過截面圓心O1的垂線OO1,連結(jié)SE,則中點O就是球心,因為OO1⊥截面ABC,OE=OS=答案選D.

(三)任意高

設(shè)球面上一點P在截面圓O1上的射影為H,稱HO1為足心距,設(shè)PH=h,則PH//OO1,球心O到P點的距離等于O到截面圓上任一點的距離(如圖10),即:

由此先求面心距OO1=d,再求球半徑.

圖10

圖11

例3已知在三棱錐P - ABC中,AB⊥BC,AB=且二面角P -AB-C的大小為150°,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為____.

A.100πB.108πC.110πD.111π

解析如圖11,ΔABC為直角三角形,知外心O1是AC中點,半徑球心為O,OO1⊥面ABC,只要求出高PH和足心距HO1即可,設(shè)AB中點為E,PE⊥AB,O1E⊥AB,∠PEO1是二面角P - AB - C的平面角,∠PEO1=150°,設(shè)P在面ABC的射影為H,則由(*) 得到:解得選D.

例4四面體ABCD中,∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°,AD=BD=3,CD=2,則四面體外接球的半徑為____.

解析如圖12,ΔDAB是正三角形,知外心O1是中心,半徑只要求出高DH和足心距HO1即可.設(shè)AB中點為E,連DE、CE,則平面CDE⊥平面ABD,C點在面DAB上射影H在DE上,O1也在DE上,由cos ∠CDA=cos ∠HAD×cos ∠CDH得所以,得d=0,底面DAB恰好是大圓,所求球半徑

圖12

例5(2018佛山一模) 如圖13,平面四邊形ABCD中,沿直線AC將ΔACD翻折成ΔACD′,當三棱錐D′ -ABC的體積取得最大值時,該三棱錐的外接球的表面積為.

圖13

圖14

解析四邊形是箏形,如圖,BD⊥AC,當面ACD′⊥面ABC時體積最大,此時ΔABC面上的高DH確定.由余弦定理求得高DH=BH=1,只要確定底面ΔABC的外心、半徑和足心距即可.在底面ΔABC的實際圖中(如圖14),由正弦定理設(shè)AC中點為E,弦心距O1E2=r2- CE2=1,所以足心距O1H2=HE2+O1E2=2,所以由(*) 式有得d=1,R2=r2+d2=6,所求球表面積為24π.

三、已知兩面外心,定球心求球半徑

類比圓心是兩弦的中垂線的交點,則球心O是兩截面圓的垂徑的交點(如圖15),這是因為OO1是截面圓O1的垂徑,OO2是截面圓O2的垂徑.設(shè)公共弦的中點為E,則O1E,O2E都垂直于公共弦,∠O1EO2是兩截面所成二面角的平面角,在四邊形OO1EO2中,只要求出OO1,OO2中的一個,結(jié)合已知截面圓半徑,均可求出球半徑.

圖15

例6三棱錐P -ABC中,ΔABC是邊長為3的等邊三角形,D是線段AB的中點,DE ∩PB=E,DE⊥AB,若求三棱錐的外接球的半徑.

解析因為AB2=PA2+PB2,所以ΔPAB是直角三角形,截面圓心是斜邊AB中點D,ΔABC是正三角形,截面圓心是該三角形的中心O1,半徑球心是兩截面的垂徑的交點O,由∠EDC=

圖16

例7在三棱錐S-ABC中,SB⊥BC,SA⊥AC,SA=AC,SB=BC,AB邊長是SC一半,且三棱錐S-ABC的體積為則該三棱錐的外接球半徑為( )

A.1 B.2 C.3 D.4

解析ΔSBC是等腰直角三角形,其截面圓心是斜邊SC的中點;ΔSAC是等腰直角三角形,其截面圓心也是斜邊SC的中點,所以SC中點O是球心.連OA,OB,則OA,OB都垂直SC,所以R=3,選C.

圖17

解析ΔABD是頂角為120°的等腰三角形,外接圓半徑r1=2,弦心距同理,ΔACD的外接圓半徑r2=2,弦心距因為面ABD⊥面ACD,所以∠O1EO2=90°,兩截面的弦心距與圓心垂線組成矩形,表面積為28π.

圖18

四、靈活運用

多面體的外接球問題,上面給出了三種思維方向,如何選擇？如何形成程序化解題步驟？首先,判斷此多面體能否補成長方體(是否有三方向棱兩兩垂直或?qū)庀嗟?,如能,問題解決;如不能,則有哪些面能確定外心并算出外接圓半徑及該面上的高?然后確定是由兩面的垂徑定球心算半徑,還是由一個面及該面的高算球半徑,完成題解.

例9(2019年高考全國Ⅰ卷理科第12題) 已知三棱錐P -ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,ΔABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,∠CEF=90°,則球O的體積為( )

解析1如圖19,由PA=PB=PC,P在底面內(nèi)的射影是ΔABC的外心O1,所以球心O在PO1上,只要求出PO1即可,設(shè)PC=a,在ΔPAC中,用余弦定理求得由已知∠CEF=90°,即EF2+EC2=FC2,得:所以由(*) 式 求 得答案選D.

圖19

解析2由已知∠CEF=90°,期望找到相互垂直的三棱,通過補形法求直徑,可得PB//EF,所以PB⊥EC,又易證PB⊥AC,所以PB⊥平面PAC,進而可證PA,PB,PC兩兩垂直,計算得PA2+PB2+PC2=6.余下同解析1.

例10(2019順德一模) 已知四棱錐P -ABCD的五個頂點在球O的球面上,ABCD為正方形,且AB=2,PA=則球O的體積為( )

例8已知三棱錐A-BCD中,AD=BD=CD=2,∠BDA=∠CDA=120°,面ABD⊥面ACD,則三棱錐A-BCD的外接球表面積為____.

解析1正方形ABCD的外心是中心O1,因為AB2=PA2+PB2,ΔAPB是直角三角形,其外心O2是AB中點,由PC2=BC2+PB2,得BC⊥PB,又PD2=PA2+AD2,得AD⊥PA,BC//AD,所以BC⊥PA,PB ∩PA=P,故BC⊥平面PAB,進而面PAB⊥面ABCD,所以兩面垂徑的公共點是正方形ABCD的中心O1,即為球心,答案選B.

解析2如圖20,由ΔAPB是直角三角形,BC垂直面PAB,所以PA,PB,BC兩兩垂直,則該幾何體可補成一個以PA、PB為長、寬,BC為高的長方體,(2R)2=PA2+PB2+BC2=

圖20

解析3底面半徑在底面的射影H在BA上,高由(*) 算得d=0,半徑

五、結(jié)束語

解決多面體的外接球問題,充分體現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng)(數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學模型等),而掌握基本數(shù)學思想方法是提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)的基本途徑.