摘 要：本文研究了時滯反饋控制的三八超混沌系統(tǒng)平衡點的Hopf分岔問題。首先分析了線性化系統(tǒng)特征方程純虛根的存在性，然后討論了平衡點發(fā)生Hopf分岔的橫截性條件，給出了系統(tǒng)平衡點失穩(wěn)發(fā)生Hopf分岔的時滯值，最后數(shù)值仿真證明了理論分析的正確性。

關鍵詞：三八超混沌系統(tǒng);時滯反饋控制;Hopf分岔

中圖分類號：O175

文獻標識碼： A

美國著名氣象學家Lorenz于1963年提出第一個三維連續(xù)混沌系統(tǒng)，稱之為Lorenz系統(tǒng)[1]，此后，大量的混沌系統(tǒng)相繼被提出，比較著名的連續(xù)混沌系統(tǒng)有Chen系統(tǒng)[1]、Lü系統(tǒng)[1]和Chua電路系統(tǒng)[2]，離散系統(tǒng)有Logistic映射[3]、Hénon映射[4]等。文獻[5]基于Lorenz混沌系統(tǒng)，利用增加狀態(tài)方程和反饋控制的方法，提出了一個新超混沌系統(tǒng)，由于其混沌吸引子形狀出現(xiàn)了數(shù)字“3”和“8”的樣式，為此將這個超混沌系統(tǒng)稱為“三八超混沌系統(tǒng)”。

混沌控制是混沌應用的前提，比較著名的混沌控制方法有：參數(shù)微擾法[6]、時滯反饋控制法、自適應控制法、滑模變結構控制法等。時滯反饋控制法是一類重要的混沌控制方法，一方面時滯反饋控制法不需要知道精確的系統(tǒng)模型，這一點是參數(shù)微擾法方法無法比擬的;另一方面時滯現(xiàn)象在通信和生態(tài)系統(tǒng)中是普遍存在的[7]，例如通信過程中信號傳輸?shù)膿頂D阻塞，捕食者從出生到具有捕食能力，需要一定的成長時間等。因此， 有必要研究時滯反饋控制混沌系統(tǒng)的動力學行為。

許多學者在時滯動力系統(tǒng)方面做了大量工作。文獻[8]研究了Arneodo混沌動力系統(tǒng)的時滯反饋控制，分析了系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性及局部Hopf分岔的存在性。文獻[9]研究了時滯反饋控制Rssler系統(tǒng)的平衡點的局部穩(wěn)定性和Hopf分岔的存在性。文獻[10]研究了一類食餌具有階段結構的時滯捕食系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性與Hopf分岔。然而這些研究考慮的是三維混沌系統(tǒng)的時滯反饋控制或時滯依賴分析。目前，對時滯反饋控制的四維超混沌系統(tǒng)的動力學研究卻較少，同時超混沌系統(tǒng)是比混沌系統(tǒng)更加復雜的動力系統(tǒng)，能夠產生更加復雜的時間序列，在保密通信與圖像加密領域具有重要的應用價值。

基于以上考慮，本文對三八超混沌系統(tǒng)進行了繼續(xù)研究，給出了時滯反饋控制的三八超混沌系統(tǒng)模型，分析了其平衡點的穩(wěn)定性以及平衡點失穩(wěn)時發(fā)生Hopf分岔的參數(shù)空間和時滯值。本文的研究可以看成是對文獻[8-10]研究成果的進一步推廣，具有一定的理論價值。

1 三八超混沌系統(tǒng)

文獻[5]基于著名的三維Lorenz混沌系統(tǒng)，利用線性反饋方法，構造了三八超混沌系統(tǒng)，其動力學方程為：

2 時滯反饋控制三八超混沌系統(tǒng)

由于時滯是信號傳輸中不可避免的通信現(xiàn)象，同時也是生態(tài)系統(tǒng)平衡性分析必須考慮的問題，因此對三八超混沌系統(tǒng)進行時滯反饋控制，形成如下時滯微分動力系統(tǒng)：

3 數(shù)值仿真

為了研究系統(tǒng)（2）在平衡點的穩(wěn)定性問題，檢驗定理4的三個條件。數(shù)值仿真在滿足條件 （H1）中①的情況下進行，對于條件 （H1）中②的情況與①的情況類似，這里不再贅述。

4 結論

本文對三八超混沌系統(tǒng)進行了時滯反饋控制，被控的超混沌系統(tǒng)是一個泛函微分動力系統(tǒng)，通過線性化系統(tǒng)的特征方程根的分布，分析了時滯值對系統(tǒng)平衡點的影響，給出了系統(tǒng)在平衡點附近發(fā)生Hopf分岔的參數(shù)和時滯條件。本文的研究成果可以看作是對被控三維混沌系統(tǒng)研究的進一步延伸，具有重要的理論意義和應用價值。

參考文獻：

[1]陳關榮， 呂金虎. Lorenz系統(tǒng)族的動力學分析、控制與同步[M]. 北京： 科學出版社， 2003.

[2]CHUA L O， KOMURO M， MATSUMOTO T. The double scroll family. Part I： Rogorous proof of chaos[J]. IEEE Trans. Circuits. Syst.， 1986， 33： 1072-1096.

[3]劉秉正， 彭建華. 非線性動力學[M]. 北京： 高等教育出版社， 2005.

[4]劉曉君， 李險峰， 何萬生. 二維三次方離散系統(tǒng)的混沌控制與廣義同步[J]. 河北師范大學學報（自然科學版）， 2010， 34（4）， 406-410.

[5]李德奎. 一個新超混沌Lorenz系統(tǒng)的Hopf分岔及電路實現(xiàn)[J]. 寧夏大學學報（自然科學版）， 2016， 37（3）， 294-301.

[6]OTT E， GREBOGI C， YORKE J A. Controlling chaos[J]. Physics Review Letters， 1990， 64（11）： 1196 -1199.

[7]CHEN H B. Hopf Bifurcation and stability analysis for a predator-prey model with time-delay[J]. Chin. Quart. J. of Math， 2015， 30 （1）： 93-106.

[8]徐昌進. Arneodo混沌動力系統(tǒng)的時滯反饋控制[J]. 西南大學學報（自然科學版）， 2013， 35（3）： 1-8.

[9]陳立林， 徐昌進. 時滯反饋控制策略在三維混沌系統(tǒng)中的應用[J]. 河北師范大學學報（自然科學版）， 2018， 42（6）： 465-471.

[10]袁媛， 段復建. 一類食餌具有階段結構的時滯捕食系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性與Hopf分支[J]. 云南大學學報（自然科學版）， 2013， 35（1）： 13 -20.

（責任編輯：于慧梅）