陳中天陳 強孫明軒何熊熊

(1.浙江工業(yè)大學政治與公共管理學院,浙江杭州 310023;2.浙江工業(yè)大學信息工程學院,浙江杭州 310023)

1 引言

在編隊飛行、衛(wèi)星通信、太空站對接等許多關(guān)鍵任務(wù)中,航天器姿態(tài)跟蹤控制是任務(wù)成功的關(guān)鍵因素.在角速度已知的情況下,常用的控制方法包括滑?？刂芠1]、反步控制[2]、自適應(yīng)控制[3]和有限時間控制[4]等.然而,在實際中測量信號不可避免地含有噪聲或傳感器損壞均會導致航天器角速度信息無法準確獲取.因此,有必要研究不依賴角速度信息的航天器輸出反饋控制策略.

文獻[5]較早地針對無角速度測量的航天器姿態(tài)控制問題進行研究,并設(shè)計非線性觀測器估計未知角速度實現(xiàn)航天器的姿態(tài)跟蹤控制.文獻[6–7]分別基于四元數(shù)和羅德里格參數(shù)建立航天器姿態(tài)模型,并探討姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的無源性.文獻[8]基于旋轉(zhuǎn)矩陣建立航天器姿態(tài)模型,并利用無源濾波器設(shè)計一種無角速度測量控制律,保證系統(tǒng)姿態(tài)跟蹤性能.文獻[9]設(shè)計角速度觀測器和姿態(tài)跟蹤控制器,保證觀測誤差和跟蹤誤差在沒有外部干擾的情況下漸近收斂.針對存在外部干擾情況的航天器姿態(tài)跟蹤控制問題,文獻[10]使用近似濾波器方法得到角速度的誤差信息,用于保證外部干擾下的航天器姿態(tài)跟蹤控制性能.文獻[11]使用自適應(yīng)模糊觀測器估計未知量,并基于反步法設(shè)計輸出反饋控制器,實現(xiàn)姿態(tài)跟蹤誤差的收斂.文獻[12]設(shè)計一種時變增益擴張狀態(tài)觀測器對角速度和外部干擾進行估計,并結(jié)合互聯(lián)和阻尼分配無源控制理論設(shè)計控制律.文獻[13]針對存在外部干擾和輸入飽和并且無角速度測量的航天器系統(tǒng),通過設(shè)計有限時間狀態(tài)觀測器并結(jié)合積分滑模設(shè)計控制律,保證系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定.文獻[14]基于超螺旋滑模設(shè)計有限時間觀測器估計未知角速度,并設(shè)計多變量積分滑?？刂破鹘鉀Q了角速度不可測情形下的柔性航天器振動抑制及魯棒容錯控制問題.以上文獻主要致力于提高航天器姿態(tài)跟蹤的穩(wěn)態(tài)精度,卻較少考慮其瞬態(tài)響應(yīng)和狀態(tài)約束問題.

為保證系統(tǒng)的瞬態(tài)性能和穩(wěn)定性,通常會對系統(tǒng)狀態(tài)和輸出的幅值予以約束.在系統(tǒng)運行過程中,如果違反約束條件,可能會導致系統(tǒng)性能下降甚至出現(xiàn)安全問題.因此,對系統(tǒng)輸出或者狀態(tài)的約束控制是近年來的研究熱點之一,常用方法有預(yù)設(shè)性能函數(shù)(prescribed performance function,PPF)[15–17]、Funnel控制方法[18–20]以及障礙李雅普諾夫函數(shù)(barrier Lyapunov function,BLF)[21–25]等.在航天器姿態(tài)控制過程中,由于工作場景或者傳感器本身的限制以及考慮到安全因素,對系統(tǒng)各狀態(tài)的約束十分必要.文獻[26]提出一種基于對數(shù)型BLF的柔性航天器角速度有界魯棒自適應(yīng)控制器,保證航天器姿態(tài)跟蹤誤差的一致最終有界.文獻[27]針對航天器接近和交匯問題,使用對數(shù)型BLF設(shè)計狀態(tài)反饋控制器最終實現(xiàn)全狀態(tài)約束.文獻[28–31]基于預(yù)設(shè)性能函數(shù)和誤差變換,設(shè)計包含預(yù)設(shè)性能邊界的控制器,實現(xiàn)剛性和撓性航天器的姿態(tài)約束控制.然而,以上文獻中控制律設(shè)計均需已知航天器角速度信息,而針對無角速度測量的航天器狀態(tài)約束控制問題的研究成果則相對較少.

針對無角速度測量的航天器姿態(tài)約束問題,本文提出一種改進型對數(shù)障礙李雅普諾夫函數(shù),可以在非約束情況下轉(zhuǎn)化為二次型李雅普諾夫函數(shù),因此所提改進型障礙李雅普諾夫函數(shù)能夠適用于約束和非約束情況,拓展了傳統(tǒng)對數(shù)障礙李雅普諾夫函數(shù)的適用范圍.在此基礎(chǔ)上,進一步提出非對稱改進型障礙李雅普諾夫函數(shù),實現(xiàn)更精確的非對稱狀態(tài)約束.基于修正羅德里格參數(shù)模型,設(shè)計狀態(tài)觀測器用于估計未知狀態(tài)量,并結(jié)合改進型障礙李雅普諾夫函數(shù)和反步法設(shè)計輸出反饋控制律,從而保證系統(tǒng)觀測誤差和跟蹤誤差能夠達到一致最終有界,并給出數(shù)值仿真驗證本文所提方法的有效性.

2 問題描述

航天器姿態(tài)的四元數(shù)描述方法已在工程上被廣泛采用,四元數(shù)具有計算精度高,避免奇異性等特點,但四個元素由于存在約束條件而并不獨立,因此在進行姿態(tài)計算時存在冗余.本文采用修正羅德里格參數(shù)(modified Rodrigues parameter,MRP)方法建立航天器模型,在實時性姿態(tài)解算計算量上比四元數(shù)小,且計算精度與四元數(shù)相近[32].修正羅德里格參數(shù)可以由四元數(shù)導出,即給出如下四元數(shù):

其中:qv=[qv1qv2qv3]T為四元數(shù)的矢量部分,q4是四元數(shù)的標量部分,φ和n=[n1n2n3]T分別為歐拉角和歐拉軸,則相應(yīng)的修正羅德里格參數(shù)為[33]

其中σ=[σ1σ2σ3]T.

基于修正羅德里格參數(shù)的航天器姿態(tài)模型為

其中σ×為σ的反對稱矩陣,具體形式如下:

I3為3×3單位矩陣,ω=[ω1ω2ω3]T是航天器的角速度(本體坐標系下),ω×是ω的反對稱矩陣,J∈R3×3是航天器正定對稱的名義慣量矩陣,?J為有界的轉(zhuǎn)動慣量不確定性,d=[d1d2d3]T為有界外部干擾力矩,u=[u1u2u3]T為控制力矩,satu=[satu1satu2satu3]T為帶有飽和約束的控制力矩,表達式如下:

根據(jù)文獻[33],在定義域φ ∈(?2π,2π)內(nèi),修正羅德里格參數(shù)可以描述任意的姿態(tài),但當φ接近±2π時,σ將趨于無窮,此時可將σ映射為變量σs=?σ/σTσ.變量σs隨著φ增大而減小,而在φ接近0時將σs映射回σ,如此可保證系統(tǒng)狀態(tài)量σ的有界性.由式(8)可得,函數(shù)G是有界的,即存在一個正常數(shù)μG滿足∥G∥μG.

將式(4)中的含有?J的項移到等式右邊可得

化簡式(9)可得

在式(10)兩邊同時左乘GJ?1可得

令L(σ)=G(σ)?1,在式(3)兩邊同時左乘L(σ)可得

對式(12)求導可得

將式(12)–(13)代入式(11)可得

令x1=σ,x2=,并且定義y=σ為航天器姿態(tài)輸出,則原系統(tǒng)(3)–(4)可以被改寫為

如文獻[35]所述,satu可以表示為

其中?u=[?u1?u2?u3]T反映執(zhí)行器受到飽和的程度.

本文的控制目標是針對帶有干擾的航天器系統(tǒng)(3)和(4),設(shè)計無角速度測量(即ω和不可知)的狀態(tài)觀測器和姿態(tài)跟蹤控制器,使得航天姿態(tài)觀測誤差和跟蹤誤差能夠達到一致最終有界.

3 改進型障礙李雅普諾夫函數(shù)

3.1 對稱改進型障礙李雅普諾夫函數(shù)

傳統(tǒng)對數(shù)型BLF的表達形式為[22]

其中:ln(·)是自然對數(shù),z為被約束的變量,滿足|z(0)|

本文提出對稱改進型障礙李雅普諾夫函數(shù)(symmetric modified barrier Lyapunov function,SMBLF),具體形式如下:

其中e是自然底數(shù).當kb→∞,利用洛必達法則可得

從式(19)可以看出,在非約束情況,即kb→∞,SMBLF可以轉(zhuǎn)換為二次型李雅普諾夫函數(shù)形式.因此,本文提出的改進型障礙李雅普諾夫函數(shù)(18)能夠同時適用于約束與非約束(kb→∞)情況,因而拓展了傳統(tǒng)對數(shù)型BLF的適用范圍.文獻[23]提出一種正切型障礙李雅普諾夫函數(shù)(tangential barrier Lyapunov function,TBLF),同樣適用于非約束情況,其形式為

然而,分別對MBLF和TBLF求導可得

對比式(21)和式(22)不難發(fā)現(xiàn),TBLF中三角函數(shù)的引入會增加控制器的復雜度,而本文提出的SMBLF則不存在此問題.

引理1對任意常數(shù)kb和向量z=[z1z2z3]T,當∥z∥

從式(24)中可知,F(xz)是一個增函數(shù).且F(0)=0,由于xz=zTz0,則有F(xz)0成立,即

在不等式(25)兩邊同時增加zTz,整理可得

證畢.

3.2 非對稱改進型障礙李雅普諾夫函數(shù)

由于現(xiàn)實系統(tǒng)中變量受約束的上界和下界不一定是對稱的,因此為了達到不對稱約束的控制目標,本文進一步提出非對改進型稱障礙李雅普諾夫函數(shù)(asymmetric modified barrier Lyapunov function,AMBLF),其表達形式如下:

其中ka和kb為兩個正常數(shù),分別為約束的上界和下界,滿足?kb

根據(jù)式(28),式(27)可以被改寫為

從 式(29)可 見,Van在z ∈(?kb,0]和z ∈(0,ka)兩個分段中都是光滑連續(xù)的,且在零點左右極限相等,因此Van是連續(xù)函數(shù).并且,Van的左右導數(shù)在零點處相等,即因此Van的一階導數(shù)也是連續(xù)的.

引理2對任意常數(shù)ka,kb和變量z,當z ∈(?kb,ka)時,則下式成立:

證當z >0時,根據(jù)式(29)和引理1可得

同理,當z0時,下式成立:

結(jié)合式(31)–(32)可得式(30)成立. 證畢.

對比式(18)(27)可知,當取ka=kb時,SMBLF和AMBLF相同,因此SMBLF可被認為是AMBLF的特例.與SMBLF相比,AMBLF的參數(shù)ka和kb可以分開設(shè)計,因此可以實現(xiàn)更為精確的約束效果.同時,相比AMBLF,SMBLF參數(shù)較少,因此在約束上下界對稱的情況下應(yīng)使用SMBLF,反之則使用AMBLF.

4 輸出反饋控制器設(shè)計

4.1 觀測器設(shè)計

在控制器設(shè)計之前,首先設(shè)計狀態(tài)觀測器估計未知狀態(tài)量,將系統(tǒng)(15)改寫為以下狀態(tài)空間形式:

其中:A=選取適當?shù)膮?shù)k1,k2使A是赫爾維茨矩陣,則根據(jù)李雅普諾夫定理,對于任意的對稱正定矩陣Q,存在一個對稱正定矩陣P滿足

針對系統(tǒng)(33),設(shè)計狀態(tài)觀測器如下:

其中h1,h2,?>0是可設(shè)計的參數(shù).

設(shè)計如下李雅普諾夫函數(shù):

根據(jù)式(34)和式(37),可得V0的導數(shù)為

其中λmax(P)是矩陣P的最大特征值.

將式(40)–(42)代入式(39),可得

通過解微分不等式(44)可得觀測誤差最終收斂到如下范圍:

其中λmin(P)是矩陣P的最小特征值,因此可以通過選取適當?shù)膮?shù)k1,k2和正定矩陣Q,使得λmin(Q)足夠大,如此可以使得η足夠大,從而保證觀測誤差e收斂到足夠小的范圍內(nèi).

4.2 控制器設(shè)計

定義跟蹤誤差eσ=σ ?σd,其中σd是期望姿態(tài),滿足是兩個正常數(shù).為補償執(zhí)行器飽和引起的輸入非線性,構(gòu)建如下二階輔助系統(tǒng)[35–36]:

其中:c1,c2>0為可設(shè)計參數(shù),ξ1=[ξ11ξ12ξ13]T和ξ2=[ξ21ξ22ξ23]T為輔助變量.

設(shè)計如下虛擬變量z1和z2:

其中α是虛擬控制律,其形式在式(52)給出.

步驟1對z1求導可得

設(shè)計非對稱改進型障礙李雅普諾夫函數(shù)

其中ka1i >z1i(0)>?kb1i,i=1,2,3,ka1i和kb1i是z1i的可設(shè)計的上下界參數(shù).

由式(48),可得V1導數(shù)為

其中:ka2i>z2i(0)>?kb2i,i=1,2,3,ka2i和kb2i是z2i的可設(shè)計的上下界參數(shù)

對V2求導,并將式(43)(54)和式(55)代入可得

文獻[22]指出,在障礙李雅普諾夫函數(shù)的約束作用下,當z1和z2初始條件滿足z1i(0)∈(?kb1i,ka1i),z2i(0)∈(?kb2i,ka2i),i=1,2,3 時,z1i和z2i均不會到達邊界,即z1i≠?kb1i或ka1i,z12i≠?kb2i或ka2i.則u,α和均有界且不會出現(xiàn)奇異值問題.

在實際應(yīng)用中,系統(tǒng)的初始狀態(tài)一般是給定的,參數(shù)ka1i和kb1i可根據(jù)所需約束要求預(yù)先設(shè)計.如初始狀態(tài)未給定,可設(shè)計較大的ka1i和kb1i.由于本文提出的改進型障礙李雅普諾夫函數(shù)可以同時適用于約束和非約束情況,因此相比傳統(tǒng)對數(shù)障礙李雅普諾夫方法,本文的方法有更大的參數(shù)選擇范圍,保證z1i的初始值屬于(?kb1i,ka1i).

5 穩(wěn)定性分析

定理1針對航天器系統(tǒng)(3)和(4),在狀態(tài)觀測器(35),虛擬控制律(52)和實際控制律(58)作用下,航天器姿態(tài)觀測誤差和跟蹤誤差能夠達到一致最終有界.

證基于李雅普諾夫函數(shù)(56),

根據(jù)楊氏不等式性質(zhì)可得

將式(46)(59)(60)代入式(57),可得

將實際控制律(58)代入式(61),則V2的導數(shù)滿足

根據(jù)引理2,不等式(62)可以被改寫成

令μ0=則解微分不等式(63)可得

結(jié)合式(49)和式(64),有

令μ1(t)=μ0+(V2(0)?μ0)e?Ct,通過解不等式(65)可得

以下進一步討論輔助變量ξ1和ξ2的有界性,故設(shè)計如下雅普諾夫函數(shù):

對Vξ求導并代入式(46),可得

根據(jù)楊氏不等式,有如下不等式成立:

將式(69)–(70)代入式(68),可得

其中Cξ=min{2c1?1,2c2?2}.

由于?u有界,因此只要保證Cξ >0,則可證明虛擬變量ξ1和ξ2均一致最終有界.

取ξ1(0)=ξ2(0)=[0 0 0]T,則Vξ(0)=0,進而得到ξ1i的界滿足

由于z1i=eσi?ξ1i,i=1,2,3,根據(jù)式(66)和(73),可得跟蹤誤差eσi,i=1,2,3滿足

從式(74)可知,跟蹤誤差的界與MBLF 參數(shù)ka1,kb1以及飽和程度?u相關(guān),當時間t→∞時,如果?u→[0 0 0]T,則μξ→0,且ξ1i→0.從而可得eσi→z1i,且μ1(t)→μ0,因此跟蹤誤差eσi,i=1,2,3將最終收斂至與參數(shù)ka1和kb1相關(guān)的界以內(nèi). 證畢.

在控制器(58)中,參數(shù)ka1i,kb1i,ka2i,kb2i,i=1,2,3需依據(jù)約束要求設(shè)置且保證?kb1i

6 數(shù)值仿真

本節(jié)給出數(shù)值仿真實例驗證本文控制方法的有效性和優(yōu)越性,其中期望軌跡為

σd=[sin(1.5t+π)sin(t+π)1.5 sint]T,

航天器系統(tǒng)(3)和(4)的名義慣量矩陣J,外部干擾d和狀態(tài)量σ的初始值分別設(shè)置為[11]

轉(zhuǎn)動慣量不確定性?J設(shè)置為

M1:本文提出的全狀態(tài)約束反步控制方法,包括狀態(tài)觀測器(35)、輔助系統(tǒng)(46)、控制器(52)和(58).其中:狀態(tài)觀測器的參數(shù)為k1=40,k2=2,h1=1,h2=4.5,?=20;虛擬控制律和實際控制律的參數(shù)分別為c1=5,c2=2;MBLF 的參數(shù)為ka1i=0.2,kb1i=0.15,ka2i=4,kb2i=2.

M2:文獻[35]中的反步控制方法,其中狀態(tài)觀測器與M1相同,虛擬控制律和實際控制律設(shè)計如下:

觀測器和控制器的相關(guān)參數(shù)均與M1相同.

仿真結(jié)果如圖1–6所示.圖1和圖2分別為航天器姿態(tài)輸出跟蹤效果和跟蹤誤差的笵數(shù)∥eσ∥,由圖中可知,兩種方法在無角速度測量情況下航天器輸出均能跟蹤給定期望軌跡,但本文給出的M1方法有更小的穩(wěn)態(tài)誤差即更高的控制精度.圖3為虛擬變量z1的曲線,從圖中可以明顯看出,本文提出的M1方法使得z1受到約束,因此有了更快的收斂速度和更小的穩(wěn)態(tài)誤差.圖4給出兩種控制策略的飽和控制力矩satu,從圖中可以看出兩者的力矩沒有太大的區(qū)別,而M1方法卻能提供更好的控制效果體現(xiàn)其優(yōu)越性.圖5給出狀態(tài)觀測器的觀測誤差曲線,從圖中可以看出觀測器(35)能夠較好地估計未知狀態(tài)量.

圖1 輸出跟蹤效果Fig.1 Output tracking performance

圖2 跟蹤誤差的笵數(shù)∥eσ∥Fig.2 Norm of tracking error ∥eσ∥

圖3 虛擬變量z1Fig.3 Virtual state z1

圖4 飽和控制力矩sat uFig.4 Saturated control torque sat u

圖5 觀測誤差e1和e2Fig.5 Observation errors e1and e2

M3:不含輔助系統(tǒng)(46)的全狀態(tài)約束反步控制方法.其中狀態(tài)觀測器與M1相同,虛擬控制律和實際控制律設(shè)計如下:

其中虛擬變量z1和z2為

控制律所有的參數(shù)均與M1方法相同.

仿真對比結(jié)果如圖6–9所示.圖6和圖7分別為航天器姿態(tài)輸出跟蹤效果和跟蹤誤差的笵數(shù)∥eσ∥,從圖中可以看出,即使執(zhí)行器只能提供很小的力矩,M1和M3方法依然可以跟蹤上目標軌跡,但M1方法在相同的情況下比M3有更小的誤差即更好的控制精度.圖8為兩種方法的飽和控制力矩satu,可見飽和比較嚴重,但是本文的M1方法可以更快脫離飽和狀態(tài)也更加光滑.為了更好說明M1方法的優(yōu)越性,本文引入能量消耗這一指標[37],具體形式為satu(τ)dτ,兩種方法的能量消耗如圖9中所示,從中可以看出M1方在擁有更好控制效果的同時也消耗更少的能量.以上仿真結(jié)果表明,本文所提的全狀態(tài)約束輸出反饋方法在輸入飽和的情況下依然具有較高的控制精度和良好的魯棒性.

圖6 輸出跟蹤效果Fig.6 Output tracking performance

圖7 跟蹤誤差的笵數(shù)∥eσ∥Fig.7 Norm of tracking error ∥eσ∥

圖8 飽和控制力矩sat uFig.8 Saturated control torque sat u

圖9 能量消耗EengFig.9 Energy consumption Eeng

7 結(jié)論

針對由修正羅德里格參數(shù)描述的航天器姿態(tài)跟蹤模型,提出無角速度測量的全狀態(tài)約束控制方法.設(shè)計狀態(tài)觀測器估計未知狀態(tài)量用于反饋控制.提出可以適用于約束與非約束情況的改進型障礙李雅普諾夫函數(shù),并引入輔助系統(tǒng)設(shè)計輸出反饋控制器確保系統(tǒng)在輸入飽和情況下的全狀態(tài)約束以及航天器姿態(tài)跟蹤性能.通過仿真對比驗證了本文方法的有效性.