許 昕，邢慶果，剛憲約

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院，淄博 255049)

1 引言

鋼板彈簧懸架是汽車的一個(gè)重要組成部分，對整車的安全性、平順性和操縱穩(wěn)定性有著重要影響。傳統(tǒng)多片鋼板彈簧由于體積和質(zhì)量較大，不利于汽車駕乘性能以及能源和材料利用率的提高。隨著社會(huì)對汽車安全、節(jié)能和環(huán)保的要求越來越高，輕量化成為各大汽車公司競相研究的關(guān)鍵技術(shù)，鋼板彈簧懸架的輕量化是整車輕量化的重要內(nèi)容，使得鋼板彈簧的設(shè)計(jì)從傳統(tǒng)多片鋼板彈簧逐漸向少片變截面鋼板彈簧的方向發(fā)展。相比傳統(tǒng)的多片簧，少片簧質(zhì)量約減少30%[1]，大幅度降低了汽車油耗。為使少片鋼板彈簧各截面處應(yīng)力相等，拋物線板簧成為設(shè)計(jì)的首選，但由于制造工藝的限制，目前板簧廠家生產(chǎn)的少片簧多為分段軋制形成的近似拋物線的分段梯形板簧。

剛度是鋼板彈簧設(shè)計(jì)的重要參數(shù)，鋼板彈簧剛度的獲取方法主要分為公式法、有限元仿真法以及實(shí)驗(yàn)法。相較于公式法和有限元仿真法，實(shí)驗(yàn)法需要更多的人力和時(shí)間。文獻(xiàn)[2,3]通過對建立的鋼板彈簧有限元模型進(jìn)行分析，得到了接近實(shí)際工況的應(yīng)力分布和板簧剛度。然而，使用有限元法需要對鋼板彈簧專門建立模型，相比之下工程師可以輕松掌握公式法來計(jì)算板簧的剛度。周昊等[4]考慮板簧厚度沿長度方向按一次或二次函數(shù)變化情形建立了鋼板彈簧的曲梁模型，利用虛功原理求解板簧端部位移，從而得到鋼板彈簧的整體剛度。Shi等[5]建立了鋼板彈簧的拋物線模型，利用位移疊加和材料變形連續(xù)性導(dǎo)出了變剛度雙葉彈簧的復(fù)合剛度計(jì)算方法。同時(shí)文獻(xiàn)[6]也給出了拋物線和梯形少片簧的剛度計(jì)算公式。這些剛度計(jì)算公式對于具有固定曲線形式的板簧結(jié)構(gòu)具有較高的精度，但由于制造工藝限制，實(shí)際的板簧結(jié)構(gòu)只能近似于理想曲線，且對于特殊曲線形式的板簧，其剛度無法按照上述公式求解。變截面鋼板彈簧可按變截面梁進(jìn)行計(jì)算，王曉臣等[7]根據(jù)有限單元法的基本原理，利用Hermite插值方法得到形函數(shù)，推導(dǎo)了變截面梁單元的剛度矩陣。傳光紅等[8]利用勢能駐值原理，考慮軸力引起的幾何非線性和剪切變形的影響，得到變截面梁單元的單元?jiǎng)偠染仃?。Li等[9]考慮軸力和剪切變形效應(yīng)，運(yùn)用Chebyshev多項(xiàng)式逼近得到Timoshenko-Euler楔形梁的單元?jiǎng)偠确匠?。將板簧簡化為變截面梁，利用剛度矩陣雖能夠較準(zhǔn)確地得到板簧端部撓度，但計(jì)算過程較為復(fù)雜，無法做到簡潔高效。

單片鋼板彈簧簧片的設(shè)計(jì)是鋼板彈簧設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，簧片一般滿足材料力學(xué)中的細(xì)長梁假設(shè)，本文也主要參考細(xì)長梁理論研究變截面鋼板彈簧的變形計(jì)算方法。大多數(shù)鋼板彈簧左右對稱，可以取其一半進(jìn)行分析，即可以簡化為懸臂梁模型，懸臂梁固定端對應(yīng)于騎馬螺栓固定的板簧中心位置。

本文以鋼板彈簧1/2模型為研究對象，將半片變截面板簧簡化為分段梯形懸臂梁。利用梯形梁單元模型，推導(dǎo)了梯形梁單元的轉(zhuǎn)角和撓度公式，提出了變截面少片鋼板彈簧剛度計(jì)算的傳遞矩陣法[10]，最后通過對標(biāo)準(zhǔn)梯形鋼板彈簧、標(biāo)準(zhǔn)拋物線鋼板彈簧以及實(shí)際分段梯形鋼板彈簧的剛度計(jì)算對比，驗(yàn)證了本方法的效率和精確性。

2 梯形梁單元的變形計(jì)算方法

2.1 梯形梁單元內(nèi)力分析

變截面少片鋼板彈簧結(jié)構(gòu)如圖1所示,其中部固定在車橋上，兩端卷耳與車架連接，在實(shí)際的工作過程中，板簧主要承受來自車架的豎直載荷。為簡化分析，以騎馬螺栓右側(cè)部分的半片簧片簡化成的懸臂梁為研究對象，其長度為L，不考慮縱向載荷以及延長度的分布載荷，其端部所受向下的集中載荷為F。

圖1 變截面少片鋼板彈簧結(jié)構(gòu)

Fig.1 Structure of taper leaf springs

如果將簧片沿長度方向進(jìn)行足夠細(xì)密的離散，則每一段都可近似看做一個(gè)梯形梁單元，即橫截面寬度保持不變，高度按線性規(guī)律變化。取任意一段矩形橫截面的梯形梁單元為研究對象，其受力簡圖如圖2所示，梁單元左端截面高度為h1，右端截面高度為h2，長度為l，橫截面寬度為b。

圖2中Q為梁單元左右兩端截面所受剪力，左端截面剪力規(guī)定向上為正方向，右端截面剪力規(guī)定向下為正方向，M1和M2分別為梁單元左右兩端所受彎矩，左端截面彎矩規(guī)定順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正方向，右端截面彎矩規(guī)定逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正方向，且M2=M1+Ql。

2.2 梯形梁單元的變形計(jì)算

2.2.1 梯形梁單元轉(zhuǎn)角計(jì)算

單片鋼板彈簧一般滿足材料力學(xué)中的細(xì)長梁假設(shè)，因此在以懸臂梁固定端為原點(diǎn)，沿長度方向?yàn)閤軸正方向的坐標(biāo)系中，上述梯形梁單元任意橫截面的變形滿足撓曲線的近似微分方程[11]：

(1)

圖2 梯形變截面梁單元受力簡圖

Fig.2 Force diagram of trapezoidal beam element

式中v為梯形梁單元任意截面的撓度，x為橫截面的坐標(biāo)，M(x)為該截面的彎矩，E為板簧材料的彈性模量，I為該截面慣性矩。

根據(jù)式(1)可得梯形梁單元任意截面轉(zhuǎn)角的近似微分方程[11]為

(2)

式中θ為梯形梁單元任意截面的轉(zhuǎn)角。

對式(2)積分可得梯形梁單元任意截面的轉(zhuǎn)角為

(3)

式中k=(h2-h1)/l，y=h1+k(x-x1)，x1為梯形梁單元左端截面的坐標(biāo)，θ1為梁單元左端截面相對于平衡位置的轉(zhuǎn)角。

將梁單元右端截面坐標(biāo)x2代入式(3)的x，整理可得梯形梁單元右端截面轉(zhuǎn)角為

(4)

(5)

2.2.2 梯形梁單元撓度計(jì)算

根據(jù)式(1)可得梯形梁單元任意截面撓度的近似微分方程為

dv/dx=θ(x)

(6)

當(dāng)h1≠h2時(shí)，對式(3)積分可得

(7)

式中v1為梁單元左側(cè)截面相對于平衡位置的撓度。

對式(7)整理可得梯形梁單元右端截面的撓度為

(8a)

當(dāng)h1=h2時(shí)，對式(8a)取極限，通過洛必達(dá)法則可得矩形梁單元右端截面撓度公式為

(8b)

2.3 梯形梁單元撓度近似計(jì)算

在撓度公式的推導(dǎo)中，梯形梁單元和矩形梁單元分別得到式(8a，8b)的計(jì)算結(jié)果，但實(shí)際運(yùn)用過程中，特別是在Excel等環(huán)境中編輯公式，分截面形狀選取撓度公式無法做到簡潔方便，因此將式(8a)中l(wèi)nλ按泰勒公式展開，將式(8a)和式(8b)合并，得到梯形梁單元撓度的近似計(jì)算公式為

(8c)

式中μ=1-1/λ。

式(8c)為梁單元撓度的近似計(jì)算公式，為驗(yàn)證其計(jì)算精度，將式中μ取各次方數(shù)時(shí)所得的近似結(jié)果與式(8a，8b)所得結(jié)果進(jìn)行對比，得到梯形梁單元撓度近似計(jì)算公式與式(8a，8b)的相對偏差。當(dāng)梯形梁單元取自固定端處時(shí)，相對計(jì)算偏差達(dá)到最大，其結(jié)果如圖3所示。圖3中曲線分別為式(8c)中μ的次數(shù)取1～4階時(shí)，計(jì)算偏差隨F的變化。

由撓度近似計(jì)算公式相對偏差圖可知，當(dāng)左端與右端的厚度比值為1.5，展開公式μ取3次方時(shí)，梯形梁單元撓度計(jì)算相對偏差小于0.6%；展開公式μ取4次方時(shí)，梯形梁單元撓度計(jì)算相對偏差小于0.2%。在板簧的實(shí)際生產(chǎn)中，軋制段兩端厚度比值一般取1.0～1.2，因此梯形變截面梁單元撓度近似計(jì)算公式中μ取3次或4次方時(shí)，撓度計(jì)算精度能夠完全滿足實(shí)際生產(chǎn)需要。

圖3 撓度近似計(jì)算公式相對偏差

Fig.3 Relative deviation of deflection calculating

3變截面鋼板彈簧剛度計(jì)算的傳遞矩陣法

3.1 變截面鋼板彈簧的剛度計(jì)算簡化模型

變截面鋼板彈簧的簧片一般由中間厚度不變的平直段、厚度分段梯形變化的延伸段以及兩側(cè)卷耳或平直段構(gòu)成。根據(jù)鋼板彈簧的實(shí)際受力過程，取板簧中心螺栓右側(cè)的半片簧片為研究對象，將簧片簡化為懸臂梁，其受力計(jì)算簡圖如圖4所示，其中簧片中部平直段對應(yīng)簡圖中固定端處平直段，梯形過渡段對應(yīng)圖中三段梯形段，右端卷耳或平直段對應(yīng)懸臂端處平直段。板簧橫截面簡化為矩形截面，其寬度為b。懸臂端所受向下的集中載荷為F，不考慮縱向載荷以及延長度的分布載荷作用。

3.2 變截面鋼板彈簧剛度計(jì)算的傳遞矩陣

簧片整體變形的計(jì)算，可通過傳遞矩陣法從懸臂梁固定端處截面開始依次計(jì)算各段梁單元左側(cè)截面的變形參量，從而獲得半片梯形變截面簧片端部的撓度和轉(zhuǎn)角。

梯形梁單元之間的傳遞矩陣為

(9)

式中v,θ,Q和M分別為梯形變截面梁單元左端截面的狀態(tài)參量，i為梯形梁單元的編號。fv Q和fv M分別為撓度關(guān)于剪力和彎矩之間的傳遞系數(shù)，fθ Q和fθ M分別為轉(zhuǎn)角關(guān)于剪力和彎矩之間的傳遞系數(shù)，其值分別為

由于半片簧片的簡化模型左端采用固定約束，因此式(9)中

(10)

式中F為板簧計(jì)算模型右端端部施加的外載荷，其大小可根據(jù)左右兩側(cè)長度之比以及板簧實(shí)際承受的載荷確定，L為半片簧計(jì)算模型的總長度。最后一段梯形梁單元右端截面的變形量即為半片簧的整體變形量，利用載荷和簧片變形可得到簧片的剛度，根據(jù)右側(cè)簧片長度占簧片總體長度的比例，即可換算得到變截面單片板簧的剛度。

圖4 變截面鋼板彈簧受力簡圖

Fig.4 Force diagram of taper leaf springs

4 工程設(shè)計(jì)實(shí)例

4.1 標(biāo)準(zhǔn)梯形鋼板彈簧

左右完全對稱的標(biāo)準(zhǔn)梯形鋼板彈簧的右半部分由三段組成，各段厚度列入表1，板簧橫截面為等寬矩形截面，寬度為90 mm，板簧材料為51CrV4，彈性模量為206 GPa。

表1 標(biāo)準(zhǔn)梯型鋼板彈簧厚度參數(shù)

Tab.1 Thickness parameters of trapezoidal leaf spring

與中心距離/mm板厚/mm04090407201090010

取簧片右半部分為研究對象，將簧片簡化為懸臂梁，左端固定約束，右端施加向下的集中力10000 N。對比采用本文傳遞矩陣法、有限元分析法及彈簧手冊公式法計(jì)算得到的變形與剛度。

(1) 傳遞矩陣法

上述半片標(biāo)準(zhǔn)梯形鋼板彈簧通過傳遞矩陣法求解，可得其右端位移為90.1 mm，整片標(biāo)準(zhǔn)梯形鋼板彈簧的剛度為222.0 N/mm。

(2)有限元分析法

通過Abaqus對簧片進(jìn)行有限元分析，采用20節(jié)點(diǎn)的實(shí)體單元進(jìn)行建模，對該模型網(wǎng)格劃分，共886611個(gè)節(jié)點(diǎn)，202500個(gè)單元。其位移如 圖5 所示，半片簧片右端向下位移為89.9 mm，整片標(biāo)準(zhǔn)梯形鋼板彈簧的剛度為222.4 N/mm。

(3)公式法

文獻(xiàn)[6]中梯形變截面鋼板彈簧剛度公式為

(11)

圖5 標(biāo)準(zhǔn)梯形鋼板彈簧應(yīng)變

Fig.5 Strain of trapezoidal leaf spring

(12)

式中ζ1=l1/L，ζ2=l2/L和ζ3=h1/h2，其中l(wèi)1為中間平直部分長度的1/2，l2為中間平直段1/2長度與右端變截面梯形長度之和，h1為中央截面厚度，h2為端部厚度。結(jié)合表1參數(shù)，計(jì)算可得標(biāo)準(zhǔn)梯形鋼板彈簧剛度為216.4 N/mm。

綜上所述，傳遞矩陣法剛度計(jì)算結(jié)果與CAE分析所得結(jié)果計(jì)算偏差為0.18%，與文獻(xiàn)[6]剛度計(jì)算公式所得結(jié)果計(jì)算偏差為2.59%，文獻(xiàn)[6]剛度計(jì)算公式所得結(jié)果與CAE分析所得結(jié)果計(jì)算偏差為2.70%。

4.2 標(biāo)準(zhǔn)拋物線鋼板彈簧

左右完全對稱的標(biāo)準(zhǔn)拋物線鋼板彈簧簧片右半部分由三段組成，各段厚度列入表2，板簧橫截面為等寬矩形截面，寬度為90 mm，板簧材料為51CrV4。

取簧片右半部分為研究對象，將簧片簡化為懸臂梁，左端固定約束，右端施加向下的集中載荷14325 N。利用傳遞矩陣法、有限元分析法及文獻(xiàn)[6]公式法計(jì)算得到的變形與剛度列入表3。

綜上所述，傳遞矩陣法剛度計(jì)算結(jié)果與CAE分析結(jié)果計(jì)算偏差為0.42%，與文獻(xiàn)[6]公式所得結(jié)果計(jì)算偏差為4.13%，文獻(xiàn)[6]剛度公式所得結(jié)果與CAE分析結(jié)果計(jì)算偏差為4.37%。

表2 標(biāo)準(zhǔn)拋物線鋼板彈簧厚度參數(shù)

Tab.2 Thickness parameters of parabolic leaf spring

與中心距離/mm板厚/mm029902974013.893013.8

表3 標(biāo)準(zhǔn)拋物線鋼板彈簧位移和剛度計(jì)算值

Tab.3 Displacement and stiffness of parabolic leaf spring

計(jì)算方法位移/mm剛度/N·mm-1傳遞矩陣法169.1169.5有限元分析法168.3170.2《彈簧手冊》公式法176.0162.8

4.3 分段梯形鋼板彈簧

某企業(yè)生產(chǎn)的分段變截面鋼板彈簧的主片右半部分由三部分組成，分別為中間平直段、分段梯形段以及端部的平直段和卷耳部分，板簧左右兩側(cè)完全對稱，軋制厚度列入表4，分段梯形段厚度變化近似于拋物線，端部為避免折彎產(chǎn)生的應(yīng)力集中影響，其厚度不同于標(biāo)準(zhǔn)的拋物線板簧。板簧橫截面為非矩形截面，截面中心處寬度為89 mm，根據(jù)企業(yè)提供的數(shù)據(jù)，板簧截面變形修正系數(shù)為 0.8957，板簧材料為51CrV4。

表4 分段梯形鋼板彈簧厚度參數(shù)

Tab.4 Thickness parameters of segmented trapezoid leaf spring

與中心距離/mm厚度/mm與中心距離/mm厚度/mm02949020.9902954019.714028.159018.419027.264016.924026.369015.429025.372015.434024.37502039023.29302044022.1

取簧片右半部分為研究對象，將簧片簡化為懸臂梁，左端固定約束，右端施加向下的集中載荷14325 N。利用傳遞矩陣法、有限元分析法及廠家所采用的公式法所得到的變形與剛度分別列入 表5。

表5 分段梯形鋼板彈簧位移和剛度計(jì)算值

Tab.5 Displacement and stiffness of segmented trapezoid leaf spring

計(jì)算方法位移/mm剛度/N·mm-1傳遞矩陣法161.6158.8有限元分析法163.5157.0廠家計(jì)算公式170.1150.9

根據(jù)上述計(jì)算可知，傳遞矩陣法剛度計(jì)算結(jié)果與CAE分析所得結(jié)果計(jì)算偏差為1.15%，與廠家按拋物線公式所得結(jié)果計(jì)算偏差為5.24%，廠家按拋物線公式所得結(jié)果與CAE分析所得結(jié)果計(jì)算偏差為3.89%。

由于有限元分析網(wǎng)格劃分足夠細(xì)密，約束加載符合實(shí)際工況，因此可將其計(jì)算結(jié)果作為高精度參照基準(zhǔn)。綜合三種板簧的分析計(jì)算可知，傳遞矩陣法所求剛度與CAE分析結(jié)果計(jì)算偏差均小于2%，相較于文獻(xiàn)[6]計(jì)算結(jié)果及企業(yè)計(jì)算剛度結(jié)果更加精確。

5 結(jié) 論

(1) 利用梯形梁單元模型，推導(dǎo)了梯形梁單元的轉(zhuǎn)角公式以及梯形梁單元和等截面梁單元的撓度公式。通過對梯形梁單元以及等截面梁單元撓度公式的合并，得到了梯形梁單元撓度計(jì)算的近似公式，并利用Matlab驗(yàn)證了近似公式的精確度。

(2) 利用變截面少片鋼板彈簧的1/2模型，在梯形梁單元轉(zhuǎn)角和撓度計(jì)算公式的基礎(chǔ)上，提出了計(jì)算變截面少片鋼板彈簧剛度的傳遞矩陣法。

(3) 對標(biāo)準(zhǔn)梯形板簧、標(biāo)準(zhǔn)拋物線板簧以及實(shí)際生產(chǎn)的分段梯形鋼板彈簧進(jìn)行了剛度計(jì)算。通過對傳遞矩陣法、有限元分析法、文獻(xiàn)[6]公式法以及企業(yè)所用公式的剛度計(jì)算結(jié)果的對比，發(fā)現(xiàn)傳遞矩陣法相較于其他方法的計(jì)算結(jié)果更接近于有限元分析值；同時(shí)，該方法計(jì)算過程中只采用少量的梯形梁單元，計(jì)算更加簡單，適用于一般工程中計(jì)算變截面鋼板彈簧的剛度。