121212

(1.湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410082； 2.湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410082； 3.東風(fēng)日產(chǎn)乘用車有限公司 技術(shù)中心，廣州 510800)

1 引言

上述對(duì)彈性梁的隨機(jī)振動(dòng)分析中,都是通過隨機(jī)過程模型描述不確定性移動(dòng)載荷。而建立移動(dòng)載荷的隨機(jī)過程模型,通常需要大量測(cè)試樣本以獲得其概率分布信息。但在很多實(shí)際工程問題中,獲得充足的樣本非常困難。如在車過橋試驗(yàn)中為獲得充足的樣本數(shù)據(jù),需要對(duì)大量不同類型的橋在不同車輛運(yùn)動(dòng)速度和運(yùn)動(dòng)模式下進(jìn)行大量的測(cè)量,獲得大量數(shù)據(jù)以近似得出接觸力的概率分布信息；在車床實(shí)際工作中,因車刀的劇烈振動(dòng),傳感器很難準(zhǔn)確測(cè)得車刀在車削工件時(shí)切削力的樣本函數(shù)。為便于工程應(yīng)用,文獻(xiàn)[20,21]提出了一種度量動(dòng)態(tài)不確定性參數(shù)的新模型,即區(qū)間過程模型。區(qū)間過程模型以上下邊界的形式界定動(dòng)態(tài)參數(shù)的變化范圍,動(dòng)態(tài)不確定性參數(shù)在任意時(shí)刻為一具有上下界的區(qū)間,完全避免概率的計(jì)算與求解,可較大程度降低對(duì)參數(shù)樣本量的依賴,從而為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)缺乏的時(shí)變不確定性建模及分析提供一種高效的方法。

本文針對(duì)彈性梁在受到不確定性移動(dòng)載荷激勵(lì)下的振動(dòng)問題,基于區(qū)間過程模型建立了一種非隨機(jī)振動(dòng)分析方法,可以獲得彈性梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)邊界。

2彈性梁受移動(dòng)載荷作用的振動(dòng)問題[22]

受到移動(dòng)載荷作用的彈性梁的振動(dòng)問題在實(shí)際工程中普遍存在,如車輛駛過長(zhǎng)跨橋而引起的橋梁振動(dòng)[23],機(jī)械制造中高速車床車削細(xì)長(zhǎng)工件而引起工件的振動(dòng)[24],以及二相流或多相流體流經(jīng)懸置管道而引起的管道振動(dòng)[7]等。上述問題都可以簡(jiǎn)化成如圖1所示的彈性梁振動(dòng)模型。其長(zhǎng)度為L(zhǎng)的簡(jiǎn)支梁兩端受到軸向力N作用,在距梁首端l(t)處有一集中載荷P(t)以速度v(t)沿梁移動(dòng)。

在移動(dòng)載荷P(t)和軸向力N的作用下,以彎曲變形為主的Euler-Bernoulli等截面均質(zhì)彈性梁非耦聯(lián)橫向振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程可以寫為[22]

(1)

圖1 簡(jiǎn)支梁受移動(dòng)載荷激勵(lì)的力學(xué)模型

Fig.1 Mechanical model of a simple beam subjected to a moving load

式中EI為抗彎剛度；w(x,t)為梁的撓度,x表示梁沿長(zhǎng)度方向的位置,且原點(diǎn)在梁的左端點(diǎn)，t表示時(shí)間；μ為單位長(zhǎng)度梁的質(zhì)量；c表示單位長(zhǎng)度梁的阻尼系數(shù)；δ(·)表示狄拉克函數(shù)；N為正數(shù)時(shí)表示壓力,為負(fù)數(shù)時(shí)表示拉力。假設(shè)彈性梁具有比例阻尼形式(如Rayleigh阻尼),運(yùn)用振型分解法,式(1)的解可以表示為[25]

(2)

式中qi(t)表示第i(i=1,2,3,…)階模態(tài)坐標(biāo),φi(x)表示第i(i=1,2,3,…)階振型函數(shù)。假設(shè)梁的初始狀態(tài)為靜止?fàn)顟B(tài),即w(x,0)=0, ?w(x,t)/?t|t =0=0,結(jié)合簡(jiǎn)支梁的邊界條件w(0,t)=0，w(L,t)=0， ?2w(x,t)/?x2|x = 0=0， ?2w(x,t)/?x2|x = L=0,可以得到

(3)

將式(2)代入式(1),式子左右兩邊乘以振型函數(shù)φi(x),并從0到L積分,由振型函數(shù)的正交性質(zhì)[25],有

(4)

式中Qi(t)為廣義力,ξi為第i階阻尼系數(shù)比,ωi為第i階振動(dòng)固有頻率,且有2ξiωi=c/μ。令N0=π2EI/L2，Ψ=N/N0,有

(5)

(6)

基于Duhamel積分[26],式(4)的解可以表示為

(7)

式中hi(t)為第i階模態(tài)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)：

(8)

將式(7)代入式(2),得彈性梁的撓度響應(yīng)為

(9)

式(9)即為受到確定性移動(dòng)載荷P(t)激勵(lì)的彈性梁撓度響應(yīng)的表達(dá)式。

3 彈性梁的非隨機(jī)振動(dòng)分析

在實(shí)際工程問題中,移動(dòng)載荷P(t)常具有不確定性,此時(shí)彈性梁撓度響應(yīng)也將具有動(dòng)態(tài)不確定性。本文引入?yún)^(qū)間過程模型[20,21]對(duì)上述不確定性進(jìn)行描述。首先介紹區(qū)間過程的概念和主要性質(zhì),然后運(yùn)用區(qū)間過程模型對(duì)不確定性移動(dòng)載荷P(t)建模,進(jìn)而推導(dǎo)出彈性梁動(dòng)態(tài)撓度響應(yīng)上下邊界的解析表達(dá)式。

3.1 區(qū)間過程簡(jiǎn)介[20,21]

如圖2所示,在區(qū)間過程模型中,各時(shí)間點(diǎn)使用區(qū)間的上下界來描述不確定參數(shù)的變化范圍,在整個(gè)時(shí)間歷程上表現(xiàn)為兩條邊界曲線。對(duì)于任意兩時(shí)刻對(duì)應(yīng)的區(qū)間變量之間的相關(guān)性,通過定義的自相關(guān)系數(shù)函數(shù)來描述。

定義1設(shè)有一不確定性過程{X(t),t∈T}，T為參數(shù)t的參數(shù)集,如果對(duì)于任意參數(shù)ti∈T(i=1,2,…，X(ti))，所有可能的值屬于區(qū)間XI(ti)=[XL(ti),XU(ti)],則稱該過程{X(t),t∈T}為區(qū)間過程,記為XI(t)。

定義2對(duì)于區(qū)間過程XI(t),其上邊界函數(shù)和下邊界函數(shù)分別記為XU(t)和XL(t),中值函數(shù)MXI(t)定義為

MXI(t)=M[XI(t)]=Xm(t)=[XL(t)+XU(t)]/2

(10)

定義3區(qū)間過程XI(t)的半徑函數(shù)RXI(t)和方差函數(shù)DXI(t)分別定義為

RXI(t)=R[XI(t)]=Xr(t)=[XU(t)-XL(t)]/2

(11)

DXI(t)=D[XI(t)]=[RXI(t)]2

(12)

定義4設(shè)XI(t)為區(qū)間過程,對(duì)于任意時(shí)刻ti和tj(ti,tj∈T),其對(duì)應(yīng)的區(qū)間變量XI(ti)和XI(tj)之間的自協(xié)方差函數(shù)定義為

(13)

式中θ為區(qū)間相關(guān)角(-45°≤θ≤45°),是橢圓不確定域的半軸與水平軸之間的夾角；r1和r2分別表示橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸。參數(shù)θ，r1和r2需基于XI(t)的樣本獲得,如圖3所示。

圖2 區(qū)間過程示意圖[20]

Fig.2 Diagrammatic sketch of interval process[20]

關(guān)于如何通過樣本構(gòu)建自協(xié)方差函數(shù),可參考文獻(xiàn)[20,21,27]。由自協(xié)方差函數(shù)的定義,有CovXIXI(ti,tj)=CovXIXI(tj,ti)。特別地,當(dāng)ti=tj=t時(shí),有

CovXIXI(ti,ti)=CovXIXI(tj,tj)=

CovXIXI(t,t)=DXI(t)

(14)

定義5對(duì)于區(qū)間過程XI(t),任意兩時(shí)刻ti和tj對(duì)應(yīng)的區(qū)間變量XI(ti)和XI(tj)的自相關(guān)系數(shù)函數(shù)定義為

(15)

(16)

CovXIXI=

(17)

圖3 區(qū)間過程自協(xié)方差的求取[21]

Fig.3 Calculation of the auto -covariance function of

interval process[21]

關(guān)于自協(xié)方差矩陣的獲取方法,可以參考文獻(xiàn)[27]。

定義6設(shè)XI(t)和YI(t)為區(qū)間過程,對(duì)于任意時(shí)刻ti和tj,定義其互協(xié)方差函數(shù)為

(18)

式中θ為區(qū)間相關(guān)角,r1和r2分別是橢圓的兩個(gè)半軸長(zhǎng)度?；f(xié)方差函數(shù)的求解同樣需要基于XI(t)和YI(t)的樣本獲得,具體計(jì)算過程與自協(xié)方差函數(shù)類似。如果對(duì)于任意ti，tj∈T，CovXIYI(ti,tj)=0,則稱區(qū)間過程XI(t)和YI(t)不相關(guān)。

定義7設(shè)XI(t)和YI(t)為區(qū)間過程,對(duì)于任意時(shí)刻ti和tj,定義其互相關(guān)系數(shù)函數(shù)為

(19)

3.2 動(dòng)態(tài)響應(yīng)邊界的計(jì)算

當(dāng)P(t)為不確定性載荷且運(yùn)用區(qū)間過程PI(t)進(jìn)行描述時(shí),式(9)彈性梁的撓度響應(yīng)也可以表示成一區(qū)間過程:

(20)

由文獻(xiàn)[20，21]可知,為求彈性梁撓度響應(yīng)區(qū)間過程wI(x,t)的邊界函數(shù),需先求其中值函數(shù)wm(x,t)和半徑函數(shù)wr(x,t)。

對(duì)彈性梁撓度響應(yīng)wI(x,t)取中值運(yùn)算,可得到彈性梁任意位置在時(shí)域上的撓度中值函數(shù)為

wm(x,t)=M[wI(x,t)]

(21)

式中M[·]表示對(duì)區(qū)間變量取中值運(yùn)算。由于M[·]是線性算子[21],可以交換積分和求和的運(yùn)算順序，則彈性梁撓度響應(yīng)wI(x,t)的中值函數(shù)為

hi(t-τ)dτ

(22)

(23)

(i,j=1,2,…,n)(24)

式中CovPIPI(t1,t2)表示載荷PI(t)的自協(xié)方差函數(shù)。

基于式(7,24)可以得到模態(tài)坐標(biāo)的互協(xié)方差函數(shù)為

hj(t2-τ2)dτ1dτ2

(25)

證明見附錄A。

根據(jù)式(2,25)可以得到彈性梁撓度響應(yīng)wI(x,t)的自協(xié)方差函數(shù)為

(26)

證明見附錄B。

由式(14,26)可得，在梁上任意位置x處,任意時(shí)刻t的彈性梁撓度響應(yīng)wI(x,t)的方差為

DwI(x,t)=CovwIwI(x,x,t,t)=

(27)

將式(24～26)代入式(27),可得彈性梁在位置x處,t時(shí)刻的撓度響應(yīng)wI(x,t)的方差表達(dá)式為

CovPIPI(τ1,τ2)φi(l(τ2))hi(t-τ2)dτ1dτ2

(28)

由式(12),可得彈性梁的撓度響應(yīng)的半徑函數(shù)為

(29)

根據(jù)中值函數(shù)wm(x,t)和半徑函數(shù)wr(x,t),彈性梁撓度響應(yīng)wI(x,t)的上下邊界函數(shù)分別為

wU(x,t)=wm(x,t)+wr(x,t)

(30)

wL(x,t)=wm(x,t)-wr(x,t)

(31)

對(duì)于受到不確定性移動(dòng)載荷激勵(lì)的彈性梁,可以根據(jù)式(30,31)得到任意位置處的不確定性動(dòng)態(tài)響應(yīng)邊界。

4 在車橋耦合振動(dòng)問題中的應(yīng)用

在諸多可以處理成移動(dòng)載荷激勵(lì)下彈性梁的振動(dòng)問題的實(shí)際工程中,車橋耦合振動(dòng)是最典型的一類問題。汽車駛過橋面時(shí)會(huì)引起橋梁的振動(dòng),橋梁的振動(dòng)又逆向影響車輛的振動(dòng),而橋面輪廓的不平順和車輛自身振動(dòng)使得車橋間的相互影響變得更復(fù)雜,通常把這一類問題統(tǒng)稱為車橋耦合振動(dòng)問題[28,29]。因?yàn)闃蛎孑喞蛙嚇蜃陨砀鲄?shù)[4]通常具有較強(qiáng)的不確定性,因而車橋接觸力也是不確定的?？紤]如圖4所示的單跨橋梁[5],其抗彎剛度EI=9.6×109N·m2,單位長(zhǎng)度質(zhì)量μ=1.5×104kg,橋跨長(zhǎng)度L=30 m,前三階阻尼比系數(shù)分別為ξ1=0.02，ξ2=0.02和ξ3=0.04。車橋接觸力用區(qū)間過程PI(t)描述,其中值函數(shù)Pm(t)=3.92×105N,半徑函數(shù)Pr(t)=3.92×104N,自相關(guān)系數(shù)函數(shù)為ρ(τ)。假定車輛是以恒定速度行駛,則有

l(t)=v×t

(32)

式中v為車輛的行駛速度。為便于后續(xù)參數(shù)分析,規(guī)定無量綱速度系數(shù)α和車輛相對(duì)橋梁的位置z(t)分別為

(33,34)

現(xiàn)假設(shè)因橋面輪廓形狀在空間分布上的相關(guān)性(圖4),導(dǎo)致車橋接觸力在時(shí)間上的自相關(guān)系數(shù)函數(shù)具有如下兩種形式，

ρ(τ)=e- λ z (τ)，ρ(τ)=r0(τ≠0)

(35，36)

式(35)中λ越大,ρ(τ)越小,相關(guān)性越弱；式(36)中r0越大,ρ(τ)越大,相關(guān)性越強(qiáng)。

因?yàn)樵跇蛄核形恢弥?，橋梁中點(diǎn)處撓度最受關(guān)注,所以本文對(duì)橋梁中點(diǎn)處的撓度響應(yīng)在不同載荷自相關(guān)系數(shù)函數(shù)ρ(τ)和車輛運(yùn)行速度v(t)下的結(jié)果分別進(jìn)行分析。

(1) 載荷相關(guān)性對(duì)橋梁振動(dòng)響應(yīng)區(qū)間邊界的影響

首先，考察載荷自相關(guān)系數(shù)函數(shù)對(duì)橋梁中點(diǎn)處撓度響應(yīng)邊界的影響?？紤]式(35)給出的自相關(guān)系數(shù)函數(shù),取λ=15和λ=300。取車輛行駛的速度系數(shù)α=0.2,運(yùn)用本文的方法計(jì)算得到橋梁中點(diǎn)處的撓度響應(yīng)邊界如圖5所示?？梢钥闯?首先,λ=15時(shí)，橋梁中點(diǎn)處撓度響應(yīng)的區(qū)間寬度始終大于λ=300時(shí)橋梁中點(diǎn)處撓度響應(yīng)的區(qū)間寬度，這表明對(duì)于式(35)的指數(shù)型自相關(guān)系數(shù)函數(shù),當(dāng)λ不同時(shí),橋梁中點(diǎn)處的撓度響應(yīng)區(qū)間半徑也不同。其次,對(duì)于λ=15和λ=300兩種情況,當(dāng)車輛行駛到橋梁的相對(duì)位置z=0.35和z=0.68處時(shí),橋梁中點(diǎn)處的撓度響應(yīng)均出現(xiàn)極大值。

圖4 車過橋示意圖

Fig.4 Diagrammatic sketch of a vehicle passing the bridge

(2) 車輛運(yùn)動(dòng)速度對(duì)橋梁振動(dòng)響應(yīng)區(qū)間邊界的影響

圖5 不同載荷相關(guān)性情況下橋梁中點(diǎn)處撓度響應(yīng)邊界

Fig.5 Response bounds of vibration deflection of the mid-span under different correlationof contact force

圖6 不同速度下橋梁中點(diǎn)處撓度響應(yīng)的邊界

Fig.6 Response bounds of vibration deflection of the mid-span in different cases of constant velocity

5 結(jié) 論

本文針對(duì)不確定性移動(dòng)載荷激勵(lì)下彈性梁的振動(dòng)問題,提出了一種求解彈性梁結(jié)構(gòu)不確定性振動(dòng)響應(yīng)的非隨機(jī)振動(dòng)分析方法,可獲得梁結(jié)構(gòu)在時(shí)間歷程上響應(yīng)上下邊界的表達(dá)式。在彈性梁的非隨機(jī)振動(dòng)分析中,使用隨時(shí)間變化的區(qū)間變量來描述移動(dòng)載荷的不確定性,較大程度地降低了對(duì)大量實(shí)驗(yàn)樣本的依賴；結(jié)合工程師的經(jīng)驗(yàn)確定時(shí)變不確定參數(shù)的波動(dòng)范圍,更有助于工程應(yīng)用。此外,這種邊界形式的概念也更為直觀,在結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計(jì)中,易于工程人員理解和應(yīng)用。本文方法為實(shí)際工程中彈性梁結(jié)構(gòu)的不確定性振動(dòng)問題提供了一種有效的分析方法。將所提出的彈性梁非隨機(jī)振動(dòng)分析方法應(yīng)用至車橋耦合振動(dòng)問題中,并分析了不同工況下橋梁撓度響應(yīng)邊界。經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn),載荷相關(guān)性和車輛運(yùn)動(dòng)速度對(duì)橋梁撓度響應(yīng)邊界具有較大的影響。在實(shí)際行車中,應(yīng)盡量避免以危險(xiǎn)速度行駛。

附錄A:

(A1)

將式(A1)離散,可以寫為

(A2)

則式(A2)可以寫為

(A3)

(A4)

證畢。

附錄B:

證明由正文式(2)可知,彈性梁撓度響應(yīng)的區(qū)間過程可以表示為

(B1)

在任意t1和t2時(shí)刻,載荷分別運(yùn)動(dòng)到對(duì)應(yīng)位置x1和x2處,撓度所對(duì)應(yīng)的區(qū)間過程分別為wI(x1,t1)和wI(x2,t2),那么t1和t2時(shí)刻對(duì)應(yīng)的位置x1和x2處的撓度區(qū)間可以表示為

(B2)

由文獻(xiàn)[21]可知,wI(x1,t1)和wI(x2,t2)之間的協(xié)方差為

CovwIwI(x1,x2,t1,t2)=Cov[wI(x1,t1),wI(x2,t2)]=

(B3)

由文獻(xiàn)[21]可知,式(B3)可以展開為

(B4)

(B5)

證畢。