鄧 清 夏小剛

(1.貴陽市烏當(dāng)中學(xué) 550018;2.貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 550025)

數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)，數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是在模式化的個(gè)體抽象中對(duì)模式進(jìn)行研究.[1]波利亞認(rèn)為，在解決一個(gè)自己感興趣的問題后，要善于去總結(jié)一個(gè)模式，并把他儲(chǔ)存起來，以后才可以隨時(shí)用它去解決類似的問題，進(jìn)而提高自己的解題能力.波利亞在他的著作中概括了幾個(gè)數(shù)學(xué)模式，其中，“相切的等高線模式”是探究極值點(diǎn)的一種方法.筆者閱讀思考后發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用該方法探究幾何中的一類最值問題時(shí)，會(huì)有一種全新的體驗(yàn)，特與大家分享.

1 “相切的等高線模式”解讀

如果問題中能找到一系列等高線，穿過給定路徑(或與給定路徑有多于一個(gè)交點(diǎn))的等高線上不可能達(dá)到極值點(diǎn)，只有與給定路徑相切的等高線，其切點(diǎn)處才有可能達(dá)到極值點(diǎn).[2]這就是“相切的等高線模式”.該模式中，“等高線”原本指的是地形圖上高程相等的相鄰各點(diǎn)所連成的閉合曲線，在這里指的是使得問題中所求變量f的值相等的所有點(diǎn)組成的曲線，因此也可以稱作“等值線”.為了弄清楚該模式的意義，我們先來看這樣一個(gè)例子：

圖1

如圖1，在已知直線l上求一點(diǎn)P，使得它與已知點(diǎn)A有最小距離.問題中要求的變量f是到點(diǎn)A距離問題，那么等高線就是到點(diǎn)A距離相等的點(diǎn)的集合，也就是以A為圓心的一組同心圓.點(diǎn)P既要在等高線上，又要在給定路徑——直線l上，根據(jù)“相切的等高線模式”的概念，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)雀呔€與直線相切時(shí)，切點(diǎn)P即為所求.連接AP，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，則有AP⊥l，根據(jù)垂線段最短定理，該結(jié)論顯然是正確的.

根據(jù)以上解讀，運(yùn)用等高線模式解決問題時(shí)，可按如下思路或步驟進(jìn)行思考：

(1)找準(zhǔn)變量f，根據(jù)變量構(gòu)造出一系列等高線——暫且稱之為“等高線族”；

(2)理解問題中的給定路徑的曲線l；

(3)找到“等高線族”與給定路徑曲線的切點(diǎn)，切點(diǎn)即為所求.

2 運(yùn)用等高線模式探究幾何最值問題

中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何變量中的最值問題，根據(jù)變量的幾何名稱，可以大致分為線段長度最值問題，圖形面積與體積最值問題，角度的最值問題.研究以上最值問題的文獻(xiàn)不在少數(shù)，例如文章[3]主要以函數(shù)的方法探究了幾何圖形中的面積、體積、角度等最值問題，文章[4]主要以三角換元的方法解決了一類幾何最值問題，但鮮有文章從等高線模式的視角探究以上中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾何最值問題.下面，文章將先采用常規(guī)方法，在從等高線的視角解決一些典型的幾何最值問題，獲取不同的體驗(yàn).

問題1 最短路徑問題

如圖2，直線l的解析式為y=x+4，A(-2,0)，B(2,0)為x軸上兩定點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)AP+BP的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖2

圖3

問題2 最小周長問題

已知矩形的面積為k,求該矩形的最小周長.

圖4

問題3 最大張角問題

如圖5，墻上豎直貼有一條標(biāo)語，標(biāo)語高度AB=a，標(biāo)語底端離地面高度為b，若有一身高為c的人要看墻上的標(biāo)語，那么他離墻多遠(yuǎn)時(shí)看標(biāo)語上A、B的視角最大？并求出此時(shí)最大張角的正切值.

圖5

解法二(等高線模式)：如圖6，假設(shè)人的視點(diǎn)為C，那么點(diǎn)C的給定路徑為平行于地面，離地面高度為c的一條直線上，張角∠ACB的等高線為以AB為弦的一系列圓上，當(dāng)且僅當(dāng)以AB為弦的圓與給定路徑相切時(shí)，切點(diǎn)C即為最大視角點(diǎn).

圖6

圖7

3 結(jié)束語

以上探究中先用常規(guī)方法分別研究幾何背景中的最短路徑、最小周長和最大張角問題，再從波利亞“相切的等高線模式”的視角進(jìn)行探究.

一方面說明探究結(jié)論的可靠性，另一方面，也呈現(xiàn)了解決此類最值問題的又一方法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)問題解決方法的多樣性，更以多元視角展現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法的豐富性和趣味性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)和諧之美.