唐菲雨

（廣州市第六中學(xué)， 廣東廣州 510399）

0.引言

正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)理論的重要組成部分。人們在分析生活中符合正態(tài)分布的變量時(shí)，可以計(jì)算其數(shù)學(xué)期望、方差，從而得到描述變量分布的函數(shù)，繪制概率密度曲線。通過對函數(shù)進(jìn)行積分計(jì)算，人們可以得到某一事件的發(fā)生概率。概率密度曲線可以幫助分析者更直觀地認(rèn)識(shí)某一變量的分布規(guī)律[1]。

中心極限定理同樣是概率統(tǒng)計(jì)理論中的重要內(nèi)容。它是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗提出的，它為人們提供了根據(jù)樣本的特征推斷總體的特征的重要方法。此外，中心極限定理還可以幫助研究者確定不服從正態(tài)分布的總體的一些重要統(tǒng)計(jì)參數(shù)。

正態(tài)分布和中心極限定理在生產(chǎn)生活中有著廣泛的應(yīng)用[2]。事實(shí)上，自然界中的多數(shù)變量都服從正態(tài)分布。在工業(yè)、商業(yè)、醫(yī)療等領(lǐng)域，人們常常需要應(yīng)用正態(tài)分布和中心極限定理，才能準(zhǔn)確地對隨機(jī)變量的分布規(guī)律以及大樣本的特征進(jìn)行分析，得到可靠的結(jié)論。

1.正態(tài)分布及其應(yīng)用

1.1 正態(tài)分布的簡介

正態(tài)分布是一種十分重要的概率模型。1733 年，棣莫弗在研究二項(xiàng)分布的極限形式時(shí)，提出了正態(tài)分布模型。1783 年，拉普拉斯（Laplace）嘗試使用正態(tài)分布曲線來描述誤差的分布。1809 年，高斯使用正態(tài)分布曲線分析天文數(shù)據(jù)。此后，研究者們嘗試應(yīng)用正態(tài)分布模型解決工業(yè)、商業(yè)、醫(yī)藥等領(lǐng)域的問題，得到了許多重要的結(jié)論。

1.2 正態(tài)分布的特點(diǎn)

正態(tài)分布曲線有如下幾個(gè)特點(diǎn)：

（1）當(dāng)σ 一定時(shí)，曲線的形狀是一定的，曲線的位置由μ 決定。當(dāng)μ 發(fā)生變化時(shí)，曲線會(huì)沿x 軸平移。

（2）當(dāng)μ 一定時(shí)，曲線的位置是一定的，曲線的形狀由σ 決定。σ 越小，曲線越“瘦高”，表示變量的分布較為集中；σ 越大，曲線越“矮胖”，表示變量的分布較為分散。

1.3 正態(tài)分布的應(yīng)用

1.3.1 確定銷售時(shí)機(jī)

漁場老板往往會(huì)面臨這樣的難題：養(yǎng)魚時(shí)間過短，魚的重量小、品相差，沒有市場競爭力；養(yǎng)魚時(shí)間過長，魚的重量大，消耗的魚糧多，成本也高，所以選擇合適的養(yǎng)殖時(shí)間猶為重要。某漁場的老板養(yǎng)殖了一批鯉魚，在最近試捕的100 條魚里，他發(fā)現(xiàn)這批鯉魚的平均重量為3kg，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1kg，根據(jù)以往的市場行情，鯉魚的平均重量在2.8kg ～3.2kg 時(shí)，凈利潤最高，漁場老板是否應(yīng)開始捕撈，并將其運(yùn)到市場上銷售？

利用正態(tài)分布曲線進(jìn)行概率分析后發(fā)現(xiàn)，老板應(yīng)決定進(jìn)行捕撈。若將頻率近似為概率，設(shè)池塘里每一條魚的重量為X，P(2.8 ≤X ≤3.2)=P（μ-2σ ≤X ≤μ+2σ）=0.9545， 可以認(rèn)為，池塘里至少有95%的魚達(dá)到市場的要求，所以養(yǎng)殖時(shí)間應(yīng)開始捕撈，并將其運(yùn)到市場上銷售。

1.3.2 質(zhì)量檢測

根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某面包廠生產(chǎn)的面包質(zhì)量服從N（200，5）的正態(tài)分布，在一次生產(chǎn)時(shí)，負(fù)責(zé)檢查的員工隨機(jī)連續(xù)抽取的兩個(gè)面包的質(zhì)量均小于185g，該員工當(dāng)即決定停機(jī)檢查，請分析該名員工的決策依據(jù)。

生產(chǎn)的面包的質(zhì)量是服從正態(tài)分布的。P(X＜185)=P(X＜μ-3σ)=[(1-0.9974)/2]×100%≈0.13%，此為獨(dú)立事件，連續(xù)兩次抽檢得到面包質(zhì)量小于185g 的事件記為A，P(A)=(0.13%)2≈0.0002%。這樣的事件基本是不可能發(fā)生的，很可能是生產(chǎn)的某一環(huán)節(jié)出現(xiàn)了問題，如原料、機(jī)器等出現(xiàn)問題。這時(shí)，該名員工停機(jī)檢查，有助于及時(shí)止損，降低生產(chǎn)成本，提高企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益。

1.3.3 確定醫(yī)學(xué)參考值的范圍

在醫(yī)院的體檢單上，我們常能發(fā)現(xiàn)這樣一些數(shù)據(jù)：總蛋白參考范圍(65.0g/L ～85.0g/L)，葡萄糖(3.91mmol/L ～6.10mmol/L)……這些數(shù)據(jù)是怎么得到的？醫(yī)學(xué)研究者在制定標(biāo)準(zhǔn)前，需要先獲得多個(gè)健康個(gè)體的血清指標(biāo)的數(shù)據(jù)，并根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)，確定健康個(gè)體中相應(yīng)指標(biāo)的范圍。

研究小組發(fā)現(xiàn)，血清中白蛋白的濃度可以反映患者的營養(yǎng)狀況，他們采集了一些營養(yǎng)狀況良好的患者的血清，并測定了白蛋白的濃度（g/L）：69.1，74.2，68.5，67.6，68.4……，并通過計(jì)算得到：μ=70，σ=5。那么，應(yīng)當(dāng)如何確定白蛋白的醫(yī)學(xué)參考值范圍？

人體中白蛋白的濃度應(yīng)服從正態(tài)分布。設(shè)白蛋白濃度為X，P(65 ≤X ≤75)=P(μ-2σ ≤X ≤μ+2σ)=0.9545 ≈95%，P(65 ≤X ≤75)的含義是總蛋白含量在65g/L ～75g/L的范圍內(nèi)的可能性較大。當(dāng)檢測的樣本在65 以下或是75以上時(shí)，該個(gè)體的血清白蛋白濃度超過了95%的健康個(gè)體的白蛋白濃度范圍，則可以認(rèn)為出現(xiàn)這種情況是較為“不正?！钡模摶颊呖赡軤I養(yǎng)狀況不佳或營養(yǎng)過剩。由此可見，正態(tài)分布在確定標(biāo)準(zhǔn)方面也發(fā)揮著重要的作用。

正態(tài)分布在生產(chǎn)生活中發(fā)揮著重要作用，人們可以通過以往的歷史數(shù)據(jù)建立正態(tài)分布模型，依據(jù)3σ 原則，甚至是6σ 原則進(jìn)行決策，達(dá)到提高生產(chǎn)效益的目的。同時(shí)，正態(tài)分布在醫(yī)療檢測等領(lǐng)域的廣泛運(yùn)用也啟發(fā)我們：正態(tài)分布能夠幫助人們確定某些指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，或者判斷某一群體是否符合標(biāo)準(zhǔn)。

2.中心極限定理及其應(yīng)用

2.1 中心極限定理的簡介

雖然中心極限定理的概念是由棣莫弗于1733 年首先提出的，但是直到1930 年，它才被匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞正式命名為中心極限定理[4]。

中心極限定理（CLT）指出，無論總體服從何種分布，從同一總體中多次抽樣時(shí)，假設(shè)每次抽樣時(shí)樣本容量相同，那么樣本均值的分布近似服從正態(tài)分布。換句話說，CLT 是一種統(tǒng)計(jì)理論，它指出，對于具有有限方差的數(shù)據(jù)，所有樣本的均值將近似等于總體均值。當(dāng)樣本容量等于或大于30 時(shí)，人們可以用CLT 分析總體的特征[5]。

在經(jīng)濟(jì)金融分析中，中心極限定理有著廣泛的應(yīng)用。例如，當(dāng)金融從業(yè)者評估單個(gè)股票或股票指數(shù)的投資回報(bào)時(shí)，它可以幫助人們確定某股票或某股指基金的平均回報(bào)率，降低分析相關(guān)的金融數(shù)據(jù)的難度。事實(shí)上，幾乎所有類型的投資者都需要借助中心極限定理分析股票收益、建立投資組合和規(guī)避投資風(fēng)險(xiǎn)[6]。

例如，假設(shè)一位投資者希望分析包含1000 只股票的股票收益率。在這種情況下，該投資者可以只研究其中數(shù)十只股票，就可以推斷股票收益率。需要注意的是，在分析的過程中，分析者必須隨機(jī)抽取至少30 個(gè)跨行業(yè)的股票，才能保證所得到的結(jié)論是可靠的[7]。

2.2 中心極限定理的應(yīng)用

2.2.1 中心極限定理在保險(xiǎn)業(yè)中的應(yīng)用

某保險(xiǎn)公司的保戶有n 名，每名保戶一年繳納保險(xiǎn)金b 元，根據(jù)保險(xiǎn)公司以往的調(diào)查，一年內(nèi)保戶發(fā)生事故的概率為p，事故發(fā)生后保險(xiǎn)公司的理賠金額為c 元，試分析應(yīng)如何使保險(xiǎn)公司虧本的概率最??？

應(yīng)當(dāng)用二項(xiàng)分布和中心極限定理解決這一問題。設(shè)X 為出現(xiàn)事故的次數(shù)。X 服從二項(xiàng)分布，即X ～B(a,p)，E(X)=ap，D(X)=ap(1-p)，P(虧本)=P(cX＞ab)=P(X＞ab/c)，根據(jù)棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理P(虧本)≈?(+∞)-?(ab/c)，保險(xiǎn)公司為了不虧本，可以使P(虧本)＜0.000001，甚至更小，求解此不等式即可得到對應(yīng)的n、b。

由上述例子可以知道，保險(xiǎn)公司可通過鼓勵(lì)更多人投保或提高保險(xiǎn)金，擴(kuò)大總收入；可通過設(shè)置理賠條件，來降低需要理賠的概率，也可以通過降低理賠金額降低虧本的發(fā)生率。

2.2.2 中心極限定理在生活中的應(yīng)用

假設(shè)M 市第一中學(xué)有4000 名學(xué)生，只有一間學(xué)校飯?zhí)茫F(xiàn)有打飯窗口30 個(gè)。為緩解午餐高峰期的打飯壓力，一些學(xué)生提議增設(shè)打飯窗口。飯?zhí)棉k公室調(diào)查發(fā)現(xiàn)，排隊(duì)打飯大約會(huì)占用學(xué)生1%的就餐時(shí)間。那么，未新增打飯窗口前，擁擠的概率是多少？至少要有多少個(gè)打飯窗口，才能有99%的可能不擁擠？

實(shí)際上，考慮到不增設(shè)打飯窗口時(shí)，不擁擠的概率已經(jīng)接近95%，飯?zhí)棉k公室從成本的角度考慮，完全沒有必要增設(shè)新窗口。

其實(shí)，中心極限定理不僅在保險(xiǎn)領(lǐng)域和生活中有著廣泛的應(yīng)用，其在工業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)藥等領(lǐng)域也發(fā)揮著重要的作用。它能夠幫助人們將非正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布，擴(kuò)大正態(tài)分布的適用范圍[8]。

3.結(jié)語

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門應(yīng)用性較強(qiáng)的學(xué)科。應(yīng)用正態(tài)分布和中心極限定理，人們可以高效地解決生產(chǎn)生活、科學(xué)研究、經(jīng)濟(jì)金融等領(lǐng)域中的一系列問題。從事自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)研究的研究者以及企業(yè)的經(jīng)營者應(yīng)學(xué)好數(shù)理統(tǒng)計(jì)，加深對事物的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，更高效地做出決策。