俞 海，劉云鵬，郭榮鑫，夏海廷，顏 峰

(1.北方民族大學(xué) 土木工程學(xué)院，銀川 750021；2.昆明理工大學(xué) 工程力學(xué)系，昆明 650500)

引 言

數(shù)字圖像相關(guān)方法[1-4](digital image correlation，DIC)作為一種高效、實(shí)用的全場(chǎng)變形測(cè)量技術(shù)，已被廣泛應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)力學(xué)等領(lǐng)域[5-8]。該方法通過(guò)對(duì)變形前后圖像子區(qū)的唯一準(zhǔn)確識(shí)別進(jìn)行變形測(cè)量，被測(cè)物體表面需具備一定程度隨機(jī)分布的灰度信息(或散斑)，這些隨機(jī)分布的灰度信息便是位移或變形的載體。國(guó)內(nèi)外研究人員對(duì)DIC方法位移測(cè)量精度進(jìn)行了大量研究[9-12]，指出影響DIC方法位移測(cè)量精度的因素主要包括搜索算法、散斑圖質(zhì)量、亞像素插值方法、子區(qū)位移模式、光學(xué)鏡頭畸變等。VENDROUX等人[13]對(duì)牛頓-拉普森(Newton-Raphson,N-R)算法中的Hessian矩陣進(jìn)行了近似處理，大大提高了該算法的計(jì)算效率。SCHREIER等人[14]研究了不同亞像素插值方法對(duì)位移測(cè)量精度的影響;他們還曾分析了圖像子區(qū)位移模式(形函數(shù))對(duì)測(cè)量精度的影響[15]。PAN等人[16]研究了不同的亞像素匹配算法在位移測(cè)量精度中的表現(xiàn)。WANG等人[17]研究了散斑尺寸對(duì)散斑圖質(zhì)量的影響。SATURU等人[18]研究了光學(xué)鏡頭的鏡頭畸變對(duì)DIC位移測(cè)量精度的影響。

在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，散斑圖質(zhì)量對(duì)位移測(cè)量精度有著十分重要的影響，在眾多散斑圖質(zhì)量研究文獻(xiàn)中，參考文獻(xiàn)[17]和參考文獻(xiàn)[19]中分別從散斑顆粒尺寸角度對(duì)散斑圖質(zhì)量進(jìn)行了研究，并提出了最優(yōu)散斑尺寸范圍。參考文獻(xiàn)[20]中從數(shù)字圖像相關(guān)測(cè)量誤差角度進(jìn)行了理論分析，并提出了平均灰度梯度(mean intensity gradient，MIG)這一概念對(duì)散斑圖質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)。然而，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，不同人或不同方法所制作出的散斑場(chǎng)的灰度分布千差萬(wàn)別，因此，僅從顆粒大小(部分人工制備的散斑圖和物體表面的天然紋理并非具有明顯的顆粒分布特征)角度或平均灰度梯度概念并不能準(zhǔn)確表征散斑圖質(zhì)量。本文中通過(guò)對(duì)散斑圖灰度信息分布形式進(jìn)行分析，指出散斑圖平均灰度2階導(dǎo)數(shù)(mean intensity of second derivative，MISD)與散斑圖灰度分布形式之間的關(guān)系，利用這一參量對(duì)散斑圖質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)并通過(guò)相關(guān)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該參量的有效性。

1 散斑圖平均灰度2階導(dǎo)數(shù)

平均灰度梯度(用δf表示)這一概念是PAN等人[20]提出的對(duì)散斑圖質(zhì)量進(jìn)行有效評(píng)價(jià)的全局參量，其公式如下：

(1)

PAN等人的研究結(jié)果顯示,位移測(cè)量結(jié)果的均值誤差和標(biāo)準(zhǔn)差均與散斑圖的平均灰度梯度有關(guān)，散斑圖具有高的平均灰度梯度對(duì)應(yīng)較低的測(cè)量誤差。對(duì)于散斑圖而言，δf越大，對(duì)整個(gè)散斑圖意味著該散斑圖含有更多的信息量(或者說(shuō)更多更明顯的灰度特征)，這將有利于DIC方法子區(qū)的準(zhǔn)確識(shí)別，尤其適合于大變形或“退相關(guān)”明顯的情況。另一方面，δf越大，對(duì)散斑圖局部而言表示灰度的對(duì)比度越強(qiáng)烈，或者說(shuō)相鄰像素間的灰度級(jí)差越大。

盡管平均灰度梯度在散斑圖質(zhì)量評(píng)價(jià)中具有一定的有效性，但作者研究發(fā)現(xiàn)，具有相同平均灰度梯度的散斑圖依然表現(xiàn)出完全不同的測(cè)量精度，在平均灰度梯度相同的情況下，測(cè)量誤差與平均灰度2階導(dǎo)數(shù)(用ωf表示)呈現(xiàn)出一定的規(guī)律，因此本文中提出平均灰度2階導(dǎo)數(shù)這一新的散斑圖質(zhì)量評(píng)價(jià)參量結(jié)合平均灰度梯度對(duì)散斑圖進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，其表達(dá)式為：

(2)

(3)

2 理論分析

DIC方法的位移測(cè)量誤差來(lái)自?xún)蓚€(gè)方面：系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。系統(tǒng)誤差一般是指由亞像素插值方法所導(dǎo)致的位移測(cè)量誤差；隨機(jī)誤差是指由圖像采集設(shè)備(如CCD,CMOS等)暗電流引起的圖像噪聲所導(dǎo)致的位移測(cè)量誤差。DIC方法為了得到亞像素測(cè)量精度，在利用N-R等迭代算法使互相關(guān)系數(shù)達(dá)到極值過(guò)程中，圖像亞像素位置的灰度及灰度導(dǎo)數(shù)信息需通過(guò)具體插值來(lái)獲取，而通常所采用的插值算法均存在一定的相位誤差，使得DIC方法在利用具體插值算法獲取圖像亞像素位置的灰度及灰度導(dǎo)數(shù)過(guò)程中不可避免地帶入了系統(tǒng)誤差(插值誤差)，參考文獻(xiàn)[14]中給出了三次Lagrange插值算法的系統(tǒng)誤差表達(dá)式:

δ

(4)

式中,es為系統(tǒng)誤差，k為歸一化波數(shù)(周期為T(mén)的正弦波，歸一化波數(shù)與周期T之間的關(guān)系為k=2/T)，δ為亞像素位移。由(4)式可知，系統(tǒng)誤差與圖像信號(hào)頻率和亞像素位移值有直接關(guān)系，圖像的信號(hào)頻率越高系統(tǒng)誤差也越大，系統(tǒng)誤差在亞像素位置上呈正弦函數(shù)形式分布。

本文中的研究結(jié)果顯示，散斑圖質(zhì)量的好壞在一定程度上跟散斑圖具有的平均灰度梯度有關(guān)系，但并非取決于平均灰度梯度，具有相同平均灰度梯度的散斑圖可以表現(xiàn)出完全不一樣的測(cè)量精度。平均灰度梯度在一定程度上只反映了散斑圖所包含的信息量或特征量，而無(wú)法體現(xiàn)特征信息的灰度分布形式，這就需要其它新的參量來(lái)表征散斑圖的灰度分布形式。

圖1a和圖1b分別為兩個(gè)灰度子區(qū)(或特征子區(qū))，其大小均為9pixel×9pixel。圖1a中有17個(gè)灰度級(jí)(8bit圖)，灰度分布按一定規(guī)律排列，其中任意位置灰度值與其相鄰位置的灰度值相差均為15，并且在兩個(gè)方向上呈遞減或遞增趨勢(shì)。圖1b與圖1a具有相同的灰度信息(即具有相同數(shù)量的灰度級(jí)，且每一個(gè)灰度級(jí)對(duì)應(yīng)相同數(shù)量的像素個(gè)數(shù))，但每一像素位置的灰度信息呈隨機(jī)分布。表1中給出了通過(guò)計(jì)算得到的圖1a、圖1b兩個(gè)灰度子區(qū)的平均灰度梯度和平均灰度2階導(dǎo)數(shù)。從圖1b可以看出，由于相鄰像素之間的灰度級(jí)差較大且灰度波動(dòng)劇烈，使得圖1b圖具有很高的平均灰度梯度和平均灰度2階導(dǎo)數(shù)，因此，灰度2階導(dǎo)數(shù)反映了灰度梯度的變化程度。圖1a中，由于灰度分布按一定規(guī)律排列，相鄰像素間具有一定灰度梯度而灰度梯度的變化保持不變，使圖1a具有一定的平均灰度梯度和為零的平均灰度2階導(dǎo)數(shù)，因此,平均灰度2階導(dǎo)數(shù)在一定程度上反映了散斑圖的灰度分布形式。

Fig.1 Two image subsets produced by computer simulation

Table 1 MIG and MISD of two image subsets produced by computer simulation

speckle patternFig.1aFig.1bMIG21.2163.50MISD0135.12

由(4)式可知，為了降低系統(tǒng)誤差，應(yīng)使用頻率較低的圖像，頻率較低的圖像可以帶來(lái)較小的插值誤差。本文中圖像的信號(hào)頻率、平均灰度梯度、平均灰度1階導(dǎo)數(shù)雖屬于3個(gè)不同的概念，但它們之間又存在著一定的聯(lián)系。一般而言，圖像信號(hào)頻率高意味著相鄰像素間的灰度梯度大，圖像灰度波動(dòng)劇烈，導(dǎo)致高的平均灰度2階導(dǎo)數(shù)；圖像信號(hào)頻率低意味著相鄰像素間的灰度梯度小，圖像灰度波動(dòng)平緩，導(dǎo)致低的平均灰度2階導(dǎo)數(shù)。DIC方法通過(guò)唯一識(shí)別特征子區(qū)來(lái)進(jìn)行位移測(cè)量，因此特征子區(qū)必須具有一定的灰度梯度，因此,可以利用具有一定灰度梯度而灰度波動(dòng)(或灰度梯度變化)平緩的圖像作為散斑圖，而平均灰度2階導(dǎo)數(shù)可以很好地量化圖像灰度波動(dòng)(或灰度梯度變化)的情況。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)分兩組進(jìn)行，兩組實(shí)驗(yàn)中分別選取了4幅散斑圖進(jìn)行亞像素平移實(shí)驗(yàn)。第1組實(shí)驗(yàn)中，為了研究散斑圖平均灰度2階導(dǎo)數(shù)對(duì)DIC方法位移測(cè)量精度的影響，因此選取了4幅幾乎具有相同平均灰度梯度的散斑圖，其分辨率均為401pixel×401pixel，這4幅散斑圖的灰度分布及局部灰度3維分布如圖2所示。其中，散斑圖A,B,C是實(shí)際實(shí)驗(yàn)中通過(guò)CCD拍攝得到，散斑圖D為計(jì)算機(jī)仿真圖，具體數(shù)學(xué)表達(dá)式[19]如下：

(5)

式中，S是散斑顆粒的總數(shù)目，I0是散斑顆粒中心的隨機(jī)分布光強(qiáng)，r表示圖像坐標(biāo)位置，rk=(xk,yk)T是隨機(jī)分布散斑顆粒中心的位置坐標(biāo)，R是隨機(jī)分布散斑顆粒的大小。

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，利用傅里葉變換對(duì)圖2所示的4幅散斑圖施加位移精確可控的平移。每一幅圖像連續(xù)平移20次，最大位移平移量為1pixel，相鄰兩幅散斑圖之間的平移量為0.05pixel，將連續(xù)平移20次的圖像序列作為變形后圖像，然后利用N-R方法對(duì)參考圖像(未變形圖像)中3721(61×61)個(gè)均勻分布點(diǎn)的亞像素位移進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算子區(qū)大小均為41pixel×41pixel。圖3所示為計(jì)算得到的各散斑圖對(duì)應(yīng)亞像素位移下的位移均值誤差和標(biāo)準(zhǔn)差。從計(jì)算結(jié)果可以看出，雖然4幅散斑圖具有幾乎相同的平均灰度梯度，但計(jì)算結(jié)果中無(wú)論位移均值誤差還是標(biāo)準(zhǔn)差各不相同且差異較大，因此,不能僅從平均灰度梯度這一統(tǒng)計(jì)量來(lái)對(duì)散斑圖質(zhì)量進(jìn)行有效評(píng)價(jià)。從表2和圖3可以明顯看出，對(duì)于4幅不同的散斑圖，位移計(jì)算均值誤差和標(biāo)準(zhǔn)差也不同，具有較小平均灰度2階導(dǎo)數(shù)散斑圖的計(jì)算均值誤差和標(biāo)準(zhǔn)差也較小。散斑圖平均灰度2階導(dǎo)數(shù)與圖像灰度梯度變化程度(或圖像灰度波動(dòng)劇烈程度)有關(guān)系，灰度波動(dòng)越劇烈其平均灰度2階導(dǎo)數(shù)也越高。圖像灰度波動(dòng)程度反映出圖像中信號(hào)頻率的高低，而圖像中信號(hào)頻率的高低又導(dǎo)致圖像插值誤差的大小，因此，平均灰度2階導(dǎo)數(shù)這一概念可以反映DIC方法的系統(tǒng)誤差。

Fig.2 Speckle patterns A,B,C,D and 3-D distribution of local grayscale

a—speckle patterns b—3-D distribution of local grayscale in the corresponding rectangular regions

Fig.3 Mean bias errors and standard deviation of subpixel displacement for speckle patternsA,B,C,D

Table 2 MISD and MIG of speckle patterns A,B,C,D

為了進(jìn)一步研究平均灰度2階導(dǎo)數(shù)在散斑圖質(zhì)量評(píng)價(jià)中的有效性，進(jìn)行了第2組實(shí)驗(yàn)。第2組實(shí)驗(yàn)中綜合考慮了平均灰度梯度和平均灰度2階導(dǎo)數(shù)的情況。選取4幅(E,F,G,H)散斑顆粒大小基本接近、散斑顆粒分布均勻且平均灰度梯度和平均灰度2階導(dǎo)數(shù)各異(如表3所示)的散斑圖，4幅散斑圖分辨率均為701pixel×701pixel。實(shí)驗(yàn)中同樣對(duì)4幅散斑圖進(jìn)行亞像素平移，平移量為0.2pixel(因?yàn)閳D3中在0.2pixel左右位置測(cè)量均值誤差最大，所以本實(shí)驗(yàn)中取該位置)。對(duì)每幅散斑圖中均勻分布的3721(61×61)個(gè)點(diǎn)的位移進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算子區(qū)大小為21pixel×21pixel，同時(shí)計(jì)算圖像子區(qū)的平均灰度2階導(dǎo)數(shù)及平均灰度梯度，并采用雙三次和雙三次B樣條兩種插值方法。

Table 3 MISD and MIG of speckle patterns E,F,G,H

圖4中給出了4幅散斑圖及其中心區(qū)域(51pixel×51pixel)局部放大圖及對(duì)應(yīng)y方向的fy和fyy分布圖。圖5、圖6所示為4幅散斑圖各計(jì)算點(diǎn)對(duì)應(yīng)計(jì)算子區(qū)的平均灰度梯度、平均灰度2階導(dǎo)數(shù)及位移計(jì)算誤差散點(diǎn)分布圖。從圖5、圖6計(jì)算結(jié)果可以得出如下結(jié)論:散斑圖的平均灰度梯度和平均灰度2階導(dǎo)數(shù)具有一定相關(guān)性，具有較高平均灰度梯度的圖像子區(qū)，其平均灰度2階導(dǎo)數(shù)也較高。對(duì)于某一固定的平均灰度梯度，從圖5、圖6可以看出，位移計(jì)算誤差較大的計(jì)算點(diǎn)基本分別在左上側(cè)，說(shuō)明圖像子區(qū)的平均灰度2階導(dǎo)數(shù)越大位移計(jì)算誤差也越大；其次，本文中通過(guò)對(duì)離散點(diǎn)進(jìn)行線(xiàn)性回歸，得到了各散斑圖計(jì)算均值誤差與回歸系數(shù)之間的關(guān)系(見(jiàn)圖7)，結(jié)果顯示：回歸系數(shù)越小，位移測(cè)量均值誤差越小；回歸系數(shù)越大，位移測(cè)量均值誤差也越大；而且本文中所采用的兩種插值方法表現(xiàn)出基本相同的上述規(guī)律，只是不同的插值方法對(duì)應(yīng)不同的計(jì)算誤差。

上述實(shí)驗(yàn)表明，平均灰度梯度和平均灰度2階導(dǎo)數(shù)均與位移測(cè)量誤差有關(guān)系，其原因在于平均灰度梯度反映了散斑圖所包含灰度信息的量及灰度信息的明顯程度，子區(qū)灰度信息量越大特征越明顯，越有利于子區(qū)被唯一識(shí)別；平均灰度2階導(dǎo)數(shù)反映了散斑圖所包含灰度信息的分布形式(灰度波動(dòng)情況)，一般而言，對(duì)于具有一定平均灰度梯度的散斑圖，其灰度曲面越光滑，平均灰度2階導(dǎo)數(shù)越小，位移測(cè)量誤差也越小。因此，實(shí)際實(shí)驗(yàn)中高質(zhì)量散斑圖的制備與選取應(yīng)該使散斑圖具有明顯的特征信息(高的平均灰度梯度)、平緩的灰度過(guò)渡或灰度波動(dòng)(低的平均灰度2階導(dǎo)數(shù))。同一散斑圖其平均灰度梯度和平均灰度2階導(dǎo)數(shù)對(duì)散斑圖質(zhì)量的影響看似矛盾，其實(shí)高質(zhì)量散斑圖是平均灰度梯度和平均灰度2階導(dǎo)數(shù)的某一平衡。

Fig.5 Scatter diagram of MIG,MISD and displacement error(bicubic)

Fig.6 Scatter diagram of MIG,MISD and displacement error(bicubic B spline)

Fig.7 Relationship between mean bias error and regression coefficient of speckle pattern E,F,G,H

4 結(jié) 論

散斑圖作為物體表面變形信息的載體，其質(zhì)量對(duì)數(shù)字圖像相關(guān)方法位移測(cè)量精度有著十分重要的影響，本文中基于數(shù)字圖像相關(guān)方法位移測(cè)量精度基本理論，分析了位移測(cè)量誤差與圖像灰度信息分布之間的關(guān)系，提出平均灰度2階導(dǎo)數(shù)這一概念對(duì)實(shí)際散斑圖質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)。利用相關(guān)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示,位移測(cè)量精度不僅與散斑圖具有的平均灰度梯度有關(guān)，而且與平均灰度2階導(dǎo)數(shù)有著直接關(guān)系，對(duì)于具有相同平均灰度梯度的散斑圖，其平均灰度2階導(dǎo)數(shù)越小，位移測(cè)量誤差也越小。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，散斑圖質(zhì)量的評(píng)價(jià)應(yīng)綜合考慮平均灰度2階導(dǎo)數(shù)和平均灰度梯度兩個(gè)參量對(duì)散斑圖質(zhì)量的影響。另外，在實(shí)際應(yīng)用中還應(yīng)考慮實(shí)驗(yàn)環(huán)境(噪聲、高溫等)、圖像采集設(shè)備分辨率、物體變形大小等因素對(duì)散斑圖進(jìn)行合理的選取。