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        立足學情 以點帶面

        2020-04-09 12:06:02蔣根林
        初中生世界 2020年4期
        關鍵詞:思路解題數學

        ■蔣根林

        圓的綜合應用在南京市中考數學中是每年必考題型,考查的方向主要為:切線的證明(或其他結論證明),求線段的長度(求值)等。試題分布在第24~26題,難度屬于中等及中等以上。下面以2019年南京市玄武區(qū)一模考試中圓的綜合應用題為例與各位同行進行分享交流。

        如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交邊AC于點D(點D不與點A重合),交邊BC于點E,過點E作EF⊥AC,垂足為F。

        (1)求證:EF是⊙O的切線。

        (2)若AD=7,BE=2。

        ①求⊙O的半徑;

        ②連接OC交EF于點M,則OM=________。

        【能力維度】掌握切線的證明,能根據已有的知識來解決圓中的某些計算問題。

        【能力描述】了解直線與圓的位置關系,掌握切線的概念,能利用三角形的相似解決一些實際問題;在解決問題的過程中,進一步理解所學的有關知識,發(fā)展學生的邏輯推理能力和應用意識。

        一、結果及診斷

        試卷分析結果如下:本題總分9分,共3問,分值設定分別為4分、3分、2分。均分只有4.72,難度系數0.53,零分率10.2%,滿分率8.3%。說明絕大部分的學生只能解決圓的切線證明,而后面兩問涉及計算,存在一些問題。

        教師根據學生的答題卡,訪談了部分學生。

        學生A:當做到這題的時候,還剩40分鐘,時間還算充裕??吹竭@題的問題我覺得能做,因為我們平時證明切線很常見。第一道題不是很難,但是做第二問時,我發(fā)現有點困難,不知道該怎么應用所給的條件來解決問題,第三問就更別提了。

        學生B:做完第一問后,圖形被我畫得有點亂了,老師您平時講計算半徑(或弦的長度)時,通過相似或垂徑定理來解決問題,我考試的時候能找到相似,但是算不出來。

        學生C:第一問我會做,第二問找不到圖形相似。這道題里面的三角形太多了,不知道要用哪對三角形相似來計算。

        學生D:我的時間不夠用,找到關系后急急忙忙地算,算錯了。

        通過對上述學生的訪談,筆者發(fā)現學生主要存在以下問題:1.部分學生很難識別復雜的圖形;2.部分學生完全沒有思路;3.不能準確地找到關系;4.重壓下計算出錯等。

        根據以上信息,結合學生的學情,筆者對教學的起點、數學的邏輯起點、學生的思維起點進一步思考,開設了一節(jié)試卷講評課,僅供大家參考。

        二、針對性設計

        環(huán)節(jié)1:動手操作。

        如圖,AB是圓O的直徑,點C為圓上異于A、B的一點,∠BAC的角平分線交圓O于點D,過點D作DE⊥AC,交AC的延長線于點E。

        (1)判斷DE與圓O的位置關系,并說明理由。

        師:你能和大家分享一下解題思路嗎?

        生1:首先猜想:DE與圓O相切,

        證明思路:連接OD,只要證明OD⊥DE即可。

        根據AD平分∠BAC,可得:∠BAD=∠CAD,

        根據DE⊥AE,可得:∠E=90°。

        要證OD⊥DE,只要證∠ODE=90°,

        此時∠E+∠ODE=180°,所以OD∥AE。

        如何證明OD∥AE是本題的關鍵。

        因為OD=OA,所以∠OAD=∠ODA,

        而根據∠CAD=∠ODA,可得:OD∥AE。

        通過對學生的訪談過程,筆者發(fā)現,對于那些完全不會和思路不清晰的學生來說,讀圖理解題意和運用條件是他們的一個難點,特別是對于較復雜的圖形。本環(huán)節(jié)的設計意圖是讓學生通過讀題,自主畫圖,一方面經歷圖形的生成過程,讓他們明白復雜的圖形其實是通過簡單的圖形一步一步變化而來的;另一方面是對題干中的條件加深理解,在畫圖過程中可以快速地聯想到與條件有關的某些結論。很多教師可能會忽略學生自主畫圖的過程。

        環(huán)節(jié)2:(2)連接BD并延長,交AC的延長線于點F,連接DC。

        ①你能得到哪些結論?

        生2:BD=DF,DC=DF,AB=AF,CE=EF

        生3:△CDF∽△BAF,△DEF∽△ADF,△ADF≌△ADB。

        對圖形進行連線、加工,讓圖形在學生的手中慢慢生長,從最開始的簡單圖形,逐步演變成復雜圖形。這個過程能讓學生感受到命題人部分的思路,對試題有初步的認識,體現本節(jié)課的一條課堂主線:圖形從簡單到復雜的生長過程。

        環(huán)節(jié)3:②若AC=7,BD=2,則圓O的半徑等于多少?

        師:我們該如何來解決這個問題?

        生4:根據上面的結論:BD=DF=DC=2,其他的不知道。

        師:如果我們用設未知數x來表示所要求的半徑,你還能表示出哪些線段呢?

        生5:AB=2x,CF=2x-7,EF=x-3.5。

        師:那我們能否利用上述的相似來列出對應線段之間的關系呢?

        對于計算的問題,學生可能都知道利用勾股定理或相似三角形,部分學生可能也能找到相似圖形,但是這些圖形對學生來說存在以下幾個問題:一是找到的對不對、合不合適、能不能計算;二是一題多解的方法很多,如何找最簡單的來計算;三是相似三角形中的對應線段和題目條件如何聯系,能否正確地表示這些線段的長度;四是根據找到的相似關系列出方程,能否正確地解決這個方程的計算問題。

        環(huán)節(jié)4:如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為

        生8:老師,還有一種方法,不用相似,連接CB,利用兩次勾股定理也能列出方程,AB2-AC2=BF2-CF2,即(2x)2-72=42-(2x-7)2。

        師:很好,請大家現在來解這些方程。直徑的⊙O交邊AC于點D(點D不與點A重合),交邊BC于點E,過點E作EF⊥AC,垂足為F。

        (1)求證:EF是⊙O的切線;

        (2)若AD=7,BE=2。

        ①求⊙O的半徑;

        ②連接OC交EF于點M,則OM=_____。

        師:請大家獨立完成。

        (2~3分鐘后)提問,你有什么發(fā)現?

        生10:這道題和剛剛的那道題一模一樣。

        師:真的是一模一樣嗎?

        生10:圖是一樣的,條件不一樣,但是解題思路都相同。

        師:很好!幾何題的條件敘述、條件順序可能不同,但是可能最終呈現的圖形是同一個圖形,這需要大家在以后的解題中看清圖形,厘清條件與思路,可能會有“驚喜的發(fā)現”哦。

        環(huán)節(jié)4選取的是一??荚囶}。通過之前的教學,學生再來獨立思考這個問題,去發(fā)現這兩道題之間的關系。學生如果可以發(fā)現這兩道題其實就是一道題,本節(jié)課的目標便達成了。

        學生對兩道題的題干條件、圖形進行比較后發(fā)現:圖形的呈現可以通過不同的敘述方式,但最終給出的圖形其實是一個圖形。這有利于學生在今后的復習中思維層次變得更高。

        環(huán)節(jié)5:如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作半圓O交BC于點D,過點D作DE⊥AC,垂足為E。

        (1)求證:DE是⊙O的切線;

        (2)若CE=1,BC=6,求半圓O的半徑的長。

        此環(huán)節(jié)檢測學生對本節(jié)課內容的掌握程度,同時讓學生能認清這些題其實都是一道題,并且能夠正確地解決這個問題。

        環(huán)節(jié)6:自己嘗試在原圖上編制試題來考一考老師(或身邊的同學)。

        學生通過本環(huán)節(jié)能進一步對圖形的生長加深認識與理解,在圖形的簡單與復雜中體會圖形的“演變”,也能達到一題多變的目的。他們嘗試對圖形進行處理與改編,做一回命題人,能加深對數學學習與研究的興趣。

        三、反思

        1.精致化分析。

        精致化分析的目的是“理解數學,理解教學,理解學生”。本節(jié)課是借助學生一??荚嚨慕Y果做精細化分析,精確地尋找學生在解決問題中存在的問題,并借此設計本節(jié)課的教學結構,目的是為了遵循數學的發(fā)展規(guī)律、學生學習數學的認知規(guī)律,從而使學生實現對知識的理解與掌握。

        2.針對性設計。

        針對性設計就是要將精準化分析的結果轉化為具體的教學行為——根據學生存在的問題有針對性地設計教學。本節(jié)課的設計以學生的問題為基礎,以圖形的生長變化為載體,以波利亞的解題思路為主導,幫助學生解決復雜圖形問題。在中考的復習階段,很多學生會進行題海戰(zhàn)術,但往往最終的效果都不是很好。事實上,在學習數學的過程中解題是非常重要的環(huán)節(jié),但是搞題海戰(zhàn)術不是我們所贊同的,真正有意義的數學學習其實是引發(fā)學生的主動思考,激發(fā)學生的數學思維。

        總之,筆者希望學生能夠從更高的角度去看待數學問題,發(fā)現它們內在的聯系與區(qū)別,實現做一題精一題、做一題會一類題的目標,減輕在復習階段的作業(yè)負擔,從低效、重復的題海中解脫出來,提升數學核心素養(yǎng)。教師要根據學生的實際情況靈活地改變課堂的教學,與此同時還需要對試題加以深度研究,提升自己的專業(yè)素養(yǎng)。

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