張壯雅，趙 珂，李躍松，段明德

(1.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽 471003；2.河南科技大學(xué)第一附屬醫(yī)院 影像科，河南 洛陽 471003)

0 引言

多孔結(jié)構(gòu)作為表達(dá)模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)的一種形式，具有較大的比表面積、較高的強(qiáng)度質(zhì)量比，在特定的組織規(guī)則下能夠表現(xiàn)出優(yōu)良的滲透性和吸附性，在化工、組織工程、航空航天等領(lǐng)域都具有重要的應(yīng)用價(jià)值[1-2]。其中在組織工程領(lǐng)域，骨支架是骨缺損組織修復(fù)和重建的重要載體[3-4]，其設(shè)計(jì)要求除了在宏觀結(jié)構(gòu)方面與患者自體骨表面輪廓相一致外，在微觀結(jié)構(gòu)方面，也要求支架具有為種子細(xì)胞的黏附、繁殖、營養(yǎng)獲取和新陳代謝提供生存空間及通道的微觀多孔結(jié)構(gòu)[5]。

傳統(tǒng)組織工程骨支架制備的工藝，主要有粒子相分離法、靜電紡絲法和氣體發(fā)泡法等[6-8]，雖然上述工藝方法能制造出內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)呈連續(xù)的組織工程支架，但無法對(duì)支架內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)、形狀進(jìn)行精確控制，難以制造出具有幾何結(jié)構(gòu)梯度和材料梯度的組織工程骨支架。近年來，增材制造(Additive Manufacturing, AM)技術(shù)的出現(xiàn)與日益成熟，為解決上述問題提供了可能，AM技術(shù)通過計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)，采用逐層堆積成形的方法，在制造出與骨缺損部位相符宏觀結(jié)構(gòu)的同時(shí)，又能精確控制其復(fù)雜的微觀多孔結(jié)構(gòu)，因此AM技術(shù)的出現(xiàn)將組織工程支架的發(fā)展提到了一個(gè)新的高度[9]。但由于自然骨組織微觀多孔結(jié)構(gòu)的孔隙率、孔徑大小以及孔隙分布等的復(fù)雜性和不規(guī)則性，難以對(duì)其進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)描述。因此，研究和設(shè)計(jì)性能良好的骨支架微觀多孔結(jié)構(gòu)，并能對(duì)其結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行控制，對(duì)修復(fù)和重建大面積骨缺組織的臨床治療具有重要意義。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者圍繞多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方面做了大量的研究工作，尤飛等[10]提出一種基于多約束背包問題模型的骨支架建模方法，以橢球體作為構(gòu)建多孔結(jié)構(gòu)的基本孔隙單元，將支架的最小包圍盒作為約束空間，利用混合遺傳算法求解，構(gòu)建了微觀孔隙負(fù)模型，再通過與骨組織實(shí)體模型布爾運(yùn)算，構(gòu)建出含有微觀多孔結(jié)構(gòu)的實(shí)體支架模型；姚遠(yuǎn)等[11]提出基于體結(jié)構(gòu)的裝配設(shè)計(jì)方法，以球體作為構(gòu)建微觀孔隙的基礎(chǔ)孔隙單元，通過局部區(qū)域優(yōu)化，構(gòu)建了密度、孔隙率和分布可控的復(fù)雜結(jié)構(gòu)支架；與上述方法類似，Chantarapanich等[12]以阿基米德多面體及正多面體為基本孔隙單元，構(gòu)建多孔支架模型，為提高設(shè)計(jì)效率，開發(fā)了多面體模型庫，以適應(yīng)特定支架微觀孔隙的要求。從近年的研究可以看出，目前的骨支架建模方法主要基于CAD方法，以相對(duì)簡單的球體、橢球體、圓柱體、棱柱、多面體等作為基本造孔單元來構(gòu)建骨支架內(nèi)部的多孔結(jié)構(gòu)，近年的研究已取得了不少成果，為骨支架多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了強(qiáng)大工具，但由于孔隙單元形狀的局限，所設(shè)計(jì)的多孔結(jié)構(gòu)缺乏多樣性，在設(shè)計(jì)梯度孔隙結(jié)構(gòu)時(shí)，常會(huì)在相鄰單元接觸面處出現(xiàn)邊界融合問題。因此，在同一組織內(nèi)部，仍難以實(shí)現(xiàn)孔隙形狀、孔隙率、孔徑大小及分布的梯度變化。

自然界中的蝴蝶羽翼、象鼻蟲、甲殼類動(dòng)物等，都是具有類似三周期極小曲面(Triply Periodic Minimal Surfaces, TPMS)的骨骼結(jié)構(gòu)[13]，TPMS因其在三維空間中3個(gè)獨(dú)立方向均呈周期性的極小曲面，具有幾何形狀多樣、可構(gòu)建參數(shù)化數(shù)學(xué)模型等優(yōu)點(diǎn)，而被國內(nèi)外研究者重視。Rajagopalan等[14]首次提出了基于TPMS的組織支架設(shè)計(jì)方法，并以P單元為基本孔隙單元，構(gòu)建了多孔支架模型，利用AM技術(shù)對(duì)其進(jìn)行了制備；Almeida等[15]以Schwarz單元和Schoen單元為基本孔隙單元，采用Solidworks軟件構(gòu)造了兩種單元的實(shí)體模型，通過等距偏移和加厚，分別研究了表面半徑和厚度參數(shù)對(duì)支架孔隙率和機(jī)械性能的影響；Melchels等[16]基于G單元和D單元，構(gòu)建了兩種多孔單元支架模型，并利用AM技術(shù)對(duì)其進(jìn)行了制備，與傳統(tǒng)鹽浸制備支架相比，其滲透率提高了近10倍，具有較好的互通性。

以上研究主要采用單一TPMS單元結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，針對(duì)梯度結(jié)構(gòu)多孔設(shè)計(jì)的建模，也有學(xué)者進(jìn)行了探索。Yoo等[17]采用體積距離場(Volumemetric Distance Field, VDF)和貝塔生長函數(shù)(Beta Growth Function, BGF)方法融合構(gòu)建出結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜的TPMS單元，以此為基礎(chǔ)，給定過渡邊界，針對(duì)規(guī)則幾何體進(jìn)行了梯度結(jié)構(gòu)多孔建模嘗試。與該方法類似，Yang等[18]則基于徑向基函數(shù)的融合方法，對(duì)梯度結(jié)構(gòu)孔隙設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了研究，并采用mathematic軟件進(jìn)行了驗(yàn)證；王慶輝等[19]以單一的P單元為基本孔隙單元，進(jìn)行了梯度孔隙研究，采用八叉樹算法和Dual Contouring算法對(duì)骨骼實(shí)體模型進(jìn)行了六面體網(wǎng)格劃分，利用等參變化技術(shù)構(gòu)建非封閉的骨支架多孔模型，并通過對(duì)六面體網(wǎng)格頂點(diǎn)編碼、計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度等遺傳操作，對(duì)網(wǎng)格大小及分布進(jìn)行調(diào)節(jié)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)孔隙單元大小及分布的控制，構(gòu)建出非封閉的骨支架多孔模型，最后再利用逆向工程軟件Geomagic studio對(duì)其進(jìn)行封閉。目前的研究取得了一定成果，但上述方法在孔隙形狀、孔隙率以及孔徑大小及分布的調(diào)節(jié)上缺乏靈活性，仍難以對(duì)其局部進(jìn)行控制，基于TPMS的骨支架設(shè)計(jì)方法研究仍處于起步階段。

基于此，本文提出一種基于三周期極小曲面和體素化的多孔骨支架的設(shè)計(jì)方法，采用隱函數(shù)表達(dá)的TPMS作為構(gòu)建微觀多孔結(jié)構(gòu)的基本孔隙單元，通過定義距離函數(shù)和Log-Sigmoid函數(shù)，構(gòu)建不同結(jié)構(gòu)形式的TPMS單元三角網(wǎng)格模型；采用逆向幾何求交體素化算法，對(duì)骨骼三角網(wǎng)格模型對(duì)象進(jìn)行空間單元?jiǎng)澐郑瑥暮暧^上控制填充結(jié)構(gòu)密度分布，確定目標(biāo)裝配區(qū)域；基于形函數(shù)坐標(biāo)變換，構(gòu)建出空間域多孔結(jié)構(gòu)，通過布爾運(yùn)算得到具有多孔結(jié)構(gòu)的骨支架模型。

1 基于TPMS的孔隙單元設(shè)計(jì)

為闡述基于TPMS的孔隙單元設(shè)計(jì)方法，從TPMS曲面表達(dá)、不同TPMS過渡以及封閉TPMS單元構(gòu)建等方面進(jìn)行簡要介紹。

(1)TPMS的隱式曲面表達(dá)

TPMS是一種在三維空間中三個(gè)獨(dú)立方向均呈周期性的極小曲面(曲面上任意點(diǎn)的平均曲率為零)，通常采用隱式曲面對(duì)其表達(dá)[20]：

(1)

式中：Ak為幅度因子；k為周期波長；r為歐式空間的位置矢量；hk為倒數(shù)空間中第k個(gè)柵格矢量；Pk為相位偏移。當(dāng)φ(r)=0時(shí)所定義的曲面即為TPMS。見的TMPS,有P曲面、G曲面和F-RD曲面，其表達(dá)式如下：

P:φp(x,y,z)=cos(x)+cos(y)+cos(z);

G:φG(x,y,z)=sin(x)cos(y)+sin(z)·

cos(x)+sin(y)cos(z)=0;

F-RD:φF-RD(x,y,z)=4cos(x)cos(y)cos(z)-

[cos(2x)cos(2y)+cos(2x)cos(2z)+

cos(2y)cos(2z)]=0。

(2)

通過引入距離函數(shù)k，可控制隱函數(shù)φTPMS(x,y,z,k)上點(diǎn)到φTPMS(x,y,z)的距離，改變TPMS形狀[21]。

φTPMS(x,y,z,k)=φTPMS(x,y,z)+k=0。

(3)

圖1和圖2為不同k值下的P和F-RD單元。

(2)不同結(jié)構(gòu)TPMS單元過渡

對(duì)于不同結(jié)構(gòu)形式TPMS單元，通過權(quán)重系數(shù)α實(shí)現(xiàn)TPMS間的平滑過渡，即

φTPMS(x,y,z,α,k1,k2)=α(x,y,z)φ1(x,y,z,k1)+

(1-α(x,y,z))φ2(x,y,z,k2)=0。

(4)

式中α(x,y,z)∈(0,1)，本文引入Log-Sigmoid函數(shù)作為其權(quán)重系數(shù)，其輸出范圍為(0,1)。

(5)

式中G(x,y,z)=0為TPMS單元間過渡邊界。

以P,F-RD和G單元過渡為例，其表達(dá)式為：

(6)

其過渡模型如圖3所示，其中：k1=-0.7，k2=0，k3=-0.9，G1(x,y,z)=x-5π，G2(x,y,z)=x+π。

(3)封閉TPMS單元構(gòu)建

由隱式表達(dá)的TPMS為非封閉隱式曲面，采用代數(shù)法，通過對(duì)TPMS與垂直于坐標(biāo)軸平面求交構(gòu)建封閉曲面單元，即

(7)

所構(gòu)建的封閉F-RD、P和G單元如圖4所示。

2 空間劃分

對(duì)空間進(jìn)行劃分的目的是為所設(shè)計(jì)的孔隙單元提供裝配空間區(qū)域。為提高計(jì)算效率，本文提出一種逆向幾何求交的體素化方法對(duì)模型進(jìn)行空間劃分，即通過截面輪廓求取、等距掃描線填充、離散、立方體素填充，來構(gòu)建骨支架體素化模型。

2.1 逆向幾何求交計(jì)算截交線段

傳統(tǒng)分層算法主要有基于模型毗鄰關(guān)系的分層算法[22]和三角面片幾何特征分類的分層算法[23]，通過搜索三角網(wǎng)格模型中的三角面片，尋找與分層面存在交點(diǎn)的三角面片來求取截交線段，該類算法均難以避免三角面片與分層平面位置關(guān)系無效判斷的情況。因此，本文提出逆向追蹤求交的分層思路，以三角面片為基礎(chǔ)，用三角面片坐標(biāo)去搜索能與之產(chǎn)生交點(diǎn)的分層面，以此計(jì)算截交線段，其算法流程如下：

(1)分層面求取

首先遍歷所有三角面片頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到模型的最大邊界點(diǎn)(xmax,ymax,zmax)和最小邊界點(diǎn)(xmin,ymin,zmin)，建立模型的最小包圍盒，即獲得模型的分層范圍。然后給定分層方向和分層間距，來建立分層面。以Z向?yàn)槔?，設(shè)分層間距為h，則建立的分層面坐標(biāo)si為

(8)

為便于搜尋計(jì)算，將分層面坐標(biāo)表達(dá)為一種類似散列表的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

(2)截交線段求取

在包圍盒中按照一定的順序選取三角面片，然后用三角面片坐標(biāo)去搜索能與之相交的分層面，最后計(jì)算截交線段。對(duì)于任意三角面片m，與之相交的si，可通過式(9)判斷：

(9)

若三角面片m與si存在交點(diǎn)，則需要滿足式(10)。散列表中si的索引值i可通過式(11)定位。

(10)

(11)

對(duì)于存在的大三角面片情況(即三角面片可能被多個(gè)分層面切割到)，此時(shí)可由式(11)求得第一個(gè)i值后，進(jìn)行i++運(yùn)算，并通過式(10)判斷，直到不滿足條件為止。

截交線段求取可采用式(12)計(jì)算：

(12)

求得所有截面輪廓線段集合{L1，L2，…，Ln}，這些線段集合必然構(gòu)成若干個(gè)封閉的平行于Z平面的多邊形，由于后續(xù)還需對(duì)求得的二維多邊形進(jìn)行等距掃描線離散、填充，因此無需對(duì)截面輪廓線段集合{L1，L2，…，Ln}進(jìn)行順序排列處理。

2.2 三維網(wǎng)格模型體素化

對(duì)分層后得到的截面輪廓線段進(jìn)行等間距掃描線離散、填充生成體素化模型，以三維數(shù)組的結(jié)構(gòu)形式表示，數(shù)組的維度為(L,W,H)，L、W、H分別表示體素化模型長、寬、高各邊上體素的個(gè)數(shù)，若數(shù)組內(nèi)元素為0，表示沒有體素占據(jù)，若為1，則表示有體素占據(jù)。

(13)

(1)掃描線求取

對(duì)分層后得到的截面輪廓線段，沿Y方向進(jìn)行等間距掃描線填充，掃描間距為分層間距h，掃描線yi可通過式(14)確定，采用離散列表數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)。

(14)

(2)掃描線與截面輪廓線段交點(diǎn)計(jì)算

若yi與截面輪廓線段Li相交，則滿足yimin≤yi≤yimax，其中(xi1，yi1)，(xi2，yi2)為Li的兩頂點(diǎn)坐標(biāo)，yimin=min(yi1,yi2)，yimax=max(yi1,yi2)。若截面輪廓線段Li與掃描線yi相交，則有以下3種情況：

2)當(dāng)yi=yiminyimin，此時(shí)掃描線yi與截面輪廓線段Li相交于邊的一個(gè)頂點(diǎn)，如圖5所示，當(dāng)截面輪廓線段Li與Li+1位于兩側(cè)，此時(shí)記為存在一個(gè)交點(diǎn)(xi點(diǎn))，如圖5a所示；當(dāng)截面輪廓線段位于掃描線同側(cè)時(shí)，則認(rèn)為沒有交點(diǎn)存在，如圖5b和圖5c所示。

3)當(dāng)yi=yimin=yimax時(shí)，截交線段與掃描線重合，如圖6所示。若Li-1與Li+1分別位于掃描線yi兩側(cè)，此時(shí)認(rèn)為掃描線與截面線段Li有一個(gè)交點(diǎn)(xi-1點(diǎn))，如圖6a所示；若Li-1與Li+1位于掃描線y同側(cè)，如圖6b所示，此時(shí)記該截交線段的兩個(gè)端點(diǎn)均為交點(diǎn)(xi-1點(diǎn)和xi點(diǎn))。

(3)掃描線段求取

對(duì)(2)中求取的交點(diǎn)，按照X向坐標(biāo)值從小到大順序排列，判斷其交點(diǎn)類型，并兩兩配對(duì)，從而得到一系列進(jìn)出點(diǎn)，連接進(jìn)出點(diǎn)即為所求取的掃描線段。

(4)掃描線段離散

對(duì)掃描線段沿著X方向進(jìn)行等間距離散化，得到掃描線段離散二維點(diǎn)陣，離散距離為h，方法與前述類似，不再贅述。

(5)體素填充

所有的截面離散二維點(diǎn)陣，按分層方向組合，就構(gòu)成了空間三維的均勻密度點(diǎn)陣。以點(diǎn)陣中的每個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)(xv,,yv,zv)為中心，填充邊長為h的立方體，構(gòu)成了體素化模型V。體素單元(m,n,k)的索引可通過式(15)計(jì)算：

(15)

3 微觀孔隙單元裝配及結(jié)構(gòu)評(píng)價(jià)

3.1 基于等參變換的微觀孔隙單元裝配

微觀孔隙單元裝配，是將設(shè)計(jì)的微觀孔隙單元按照一定的裝配規(guī)則進(jìn)行單元填充。為適應(yīng)裝配空間位置及尺寸變化，采用等參變換的方法[24]，通過形函數(shù)坐標(biāo)變換，將構(gòu)建的TPMS孔隙單元裝配(映射)到體素所劃分的空間單元中。

為方便對(duì)不同尺寸的空間單元進(jìn)行映射，通過式(16)構(gòu)建標(biāo)準(zhǔn)孔隙單元。

(16)

式中：[x，y，z]為原孔隙單元控制六面體節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，[xs，ys，zs]為轉(zhuǎn)換后的標(biāo)準(zhǔn)孔隙單元控制六面體節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，轉(zhuǎn)換后的控制六面體和標(biāo)準(zhǔn)孔隙單元在x,y,z方向邊界均為[-1，1]。

采用插值函數(shù)進(jìn)行坐標(biāo)變換

(17)

i=1,2,…,8。

(18)

式中：xi，yi，zi為體素化所構(gòu)建的六面體網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)笛卡爾坐標(biāo)，可通過式(15)索引求取；x，y，z為六面體網(wǎng)格內(nèi)部點(diǎn)笛卡爾坐標(biāo)；ξi，ηi，ζi為自然坐標(biāo)系下標(biāo)準(zhǔn)孔隙單元控制六面體節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)式(16)中的點(diǎn)[xs，ys，zs]；ξ，η，ζ為自然坐標(biāo)系下標(biāo)準(zhǔn)單元內(nèi)部點(diǎn)坐標(biāo)，-1<ξ<1，-1<η<1，-1<ζ<1。

為獲取整個(gè)組織工程支架內(nèi)部孔隙模型，須將映射后的孔隙單元進(jìn)行布爾并運(yùn)算，從而得到整個(gè)組織工程支架微觀孔隙負(fù)模型，即

φmicro_TPMS=φ1∪φ2∪…∪φi…∪φn。

(19)

式中：φi是第i個(gè)孔隙單元，φmicro_TPMS是整個(gè)骨組織微觀孔隙負(fù)模型。

將得到的微觀孔隙負(fù)模型與宏觀外形結(jié)構(gòu)的骨組織三角網(wǎng)格模型進(jìn)行布爾差運(yùn)算，得到宏微觀結(jié)構(gòu)的骨支架模型，即

φ3D_scaffold=φexterior_geometry∩φmicro_TPMS。

(20)

式中：φexterrior_geometry是宏觀外形結(jié)構(gòu)的骨組織三角網(wǎng)格模型，φ3D_scafford是宏微觀結(jié)構(gòu)的骨支架模型。

3.2 微觀孔隙結(jié)構(gòu)評(píng)價(jià)

組織工程骨支架內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)，在種子細(xì)胞成骨階段起著決定性作用，因此組織工程骨支架模型構(gòu)建以后，須對(duì)其孔隙率、孔隙尺寸等指標(biāo)進(jìn)行評(píng)價(jià)。

(1)孔隙率

利用本文第2章中提出的體素化方法，對(duì)孔隙率近似計(jì)算，P單元的體素化如圖7所示。

孔隙率

(21)

式中：VP為孔隙體積；VZ為TPMS單元控制六面體體積；m為體素化模型中“1”體素個(gè)數(shù)，n為體素化模型中所有體素個(gè)數(shù)，h為體素邊長。

(2)孔徑

同樣采用體素化方法，對(duì)TPMS孔隙單元孔徑進(jìn)行計(jì)算，通過歐式距離變換，近似求解孔隙單元的最大內(nèi)接圓直徑d。

(22)

式中：r為v層內(nèi)第i個(gè)標(biāo)記為“1”的體素中心到標(biāo)記為“0”的體素中心之間的距離,(xvi,yvi,zvi)為第i個(gè)被標(biāo)記為“1”體素中心坐標(biāo)，(xvj,yvj,yvj)為第j個(gè)標(biāo)記為“0”體素中心坐標(biāo)。

4 實(shí)例設(shè)計(jì)

為驗(yàn)證設(shè)計(jì)方法的有效性，本文以局部脛骨三角網(wǎng)格模型為例，從單一孔隙結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和梯度孔隙結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)兩方面進(jìn)行試驗(yàn)，如圖8a所示。

4.1 單一孔隙結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

(1)不同尺寸體素單元下的多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

以P單元作為多孔支架的基本造孔單元，體素單元尺寸h分別設(shè)定為5 mm和3 mm，距離函數(shù)k值為0，構(gòu)建的體素化模型如圖8b和圖8c所示，設(shè)計(jì)結(jié)果如圖9所示，多孔結(jié)構(gòu)指標(biāo)見表1。

(2)不同距離函數(shù)k下的多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

仍以P單元作為多孔結(jié)構(gòu)支架的基本孔隙單元，體素單元尺寸h設(shè)定為3 mm，距離函數(shù)k則分別設(shè)定為+0.9、+0.7、+0.5、+0.3、+0.1、-0.1、-0.3、-0.5、-0.7、-0.9進(jìn)行建模，篇幅限制，文中僅給出k=+0.9和k=-0.9下P單元所構(gòu)建的多孔支架模型，如圖10所示，多孔結(jié)構(gòu)指標(biāo)見表1。

(3)不同TPMS單元下的多孔結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

分別以G和F-RD單元作為構(gòu)建微觀孔隙的基本孔隙單元，距離函數(shù)k分別設(shè)定為：+0.9、0、-0.9，體素單元尺寸仍為3 mm，文中僅給出G單元和F-RD單元k=+0.9下，所構(gòu)建的多孔支架模型，如圖11所示，多孔結(jié)構(gòu)指標(biāo)見表1。

通過對(duì)比實(shí)例一的試驗(yàn)結(jié)果可以看出，不同體素單元尺寸相同P孔隙單元下所構(gòu)建的多孔支架，其孔隙結(jié)構(gòu)類似，孔隙率η相同(均為49.37%)。由于孔隙率表征的是孔隙占支架體積的比值，在孔隙單元結(jié)構(gòu)相同的情況下，改變體素單元尺寸對(duì)其孔隙率并沒有影響，但TPMS孔隙單元尺寸大小受控于體素單元尺寸，實(shí)例一中的體素單元尺寸h由5 mm減小到3 mm，孔徑由4.28×103μm減小到了2.56×103μm，因此通過改變體素單元尺寸，能夠改變孔徑大小的尺寸。

通過對(duì)比實(shí)例二的試驗(yàn)結(jié)果可以看出，在相同體素單元尺寸下，雖然均是由P單元構(gòu)建的多孔支架，但由于距離函數(shù)k值的不同，所構(gòu)造出的多孔結(jié)構(gòu)也不相同。見表1所示，孔徑尺寸和孔隙率隨著距離函數(shù)k值的增大而逐漸增大，且孔隙率變化規(guī)律趨向于一條傾斜的直線，采用最小二乘法擬合的一階直線方程如下：

ηP=28.33×k+50.65。

(23)

式中ηP為孔隙單元P的孔隙率。P單元孔隙率隨距離函數(shù)k值線性變化的性質(zhì)，可以方便地實(shí)現(xiàn)對(duì)多孔結(jié)構(gòu)的控制。當(dāng)輸入自然骨設(shè)計(jì)所需要的孔隙率時(shí)，便可以得到符合要求的孔隙單元。

通過對(duì)比實(shí)例三的試驗(yàn)結(jié)果可以看出，相同體素單元尺寸下，不同類型的TPMS孔隙單元，在不同距離函數(shù)k值下，所構(gòu)建的多孔支架其結(jié)構(gòu)更加多樣。綜合上述3組實(shí)例可以看出，基于TPMS和體素化的多孔骨支架的設(shè)計(jì)方法，能夠?qū)崿F(xiàn)多孔結(jié)構(gòu)支架設(shè)計(jì)。

表1 多孔結(jié)構(gòu)指標(biāo)

4.2 梯度孔隙結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

關(guān)于梯度結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，為方便與單一孔隙結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比，仍以局部脛骨模型為對(duì)象進(jìn)行建模，并在脛骨不同區(qū)域?qū)崿F(xiàn)不同孔隙結(jié)構(gòu)的構(gòu)建。

(1)不同體素單元尺寸下同類型TPMS孔隙單元不同距離函數(shù)k值下的梯度孔隙結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

現(xiàn)以P單元作為構(gòu)建微觀孔隙的基本孔隙單元，體素單元尺寸h分別為5 mm和3 mm，在A區(qū)域內(nèi)P單元距離函數(shù)k1設(shè)定為+0.7，在區(qū)域B內(nèi)P單元距離函數(shù)k2設(shè)定為0，在區(qū)域C內(nèi)P單元距離函數(shù)設(shè)定為-0.7，設(shè)計(jì)結(jié)果如圖12所示，多孔結(jié)構(gòu)指標(biāo)見表2。

通過圖12b和圖12d局部脛骨支架的半剖視圖可以看出，所構(gòu)建的支架內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)較為平滑，孔隙結(jié)構(gòu)呈梯度分布?？紫督Y(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示，過渡區(qū)域AB和BC的孔隙率介于其相鄰區(qū)域之間(區(qū)域A、B、C內(nèi)的孔隙率分別為71.07%，49.37%，31.03%)，過渡區(qū)域AB：49.37%<55.36%<71.07%，過渡區(qū)域BC：31.03%<43.70%<49.37%，且兩種體素單元尺寸下，其孔隙率分布沒有變化，即對(duì)于同一種TPMS單元，在構(gòu)造梯度孔隙結(jié)構(gòu)時(shí)，其局部區(qū)域孔隙率主要受控于所裝配的孔隙單元的距離函數(shù)k值；對(duì)于孔徑分布，由圖12b和圖12d，以及表2可以看出，其孔徑尺寸自左向右呈逐漸變小趨勢(shì)，且孔徑隨體素單元尺寸增大而增大，如在體素單元尺寸3 mm下，過渡區(qū)域AB、BC的孔徑尺寸分別為2.63×103μm和2.39×103μm，而在5 mm下，孔徑尺寸分別為4.36×103μm和4.12×103μm，孔徑尺寸增大了近一倍，即通過改變體素單元的尺寸，孔徑尺寸大小隨之發(fā)生變化。因此，對(duì)于同類型的TPMS單元，在構(gòu)造梯度孔隙結(jié)構(gòu)時(shí)，可以通過調(diào)整局部區(qū)域裝配的孔隙單元距離函數(shù)k值和體素單元尺寸，實(shí)現(xiàn)對(duì)骨支架孔隙率、孔徑大小及其分布的有效控制。

表2 多孔結(jié)構(gòu)指標(biāo)

實(shí)例h/mmη/%d/μm區(qū)域A區(qū)域AB區(qū)域B區(qū)域BC區(qū)域C區(qū)域A區(qū)域AB區(qū)域B區(qū)域BC區(qū)域C實(shí)例四571.0755.3649.3743.7031.035.024.364.284.123.82371.0755.3649.3743.7031.032.982.632.562.392.21實(shí)例五524.1637.2649.3725.4620.591.782.714.282.321.46324.1637.2649.3725.4620.590.611.722.561.380.93

(2)不同體素單元尺寸下不同類型TPMS孔隙單元的梯度孔隙結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

以F-RD單元、P單元、G單元為基本孔隙單元，在區(qū)域A填充F-RD單元，其距離函數(shù)k1為+0.9，在區(qū)域B填充P單元，其距離函數(shù)k2為0，在區(qū)域C填充G單元，距離函數(shù)為+0.9，體素單元尺寸h為3 mm。設(shè)計(jì)結(jié)果如圖13所示，多孔結(jié)構(gòu)指標(biāo)如表2所示。

對(duì)比圖13b和圖13d可以看出，不同TPMS單元下構(gòu)建的孔隙結(jié)構(gòu)變化更為復(fù)雜，不同類型TPMS單元間過渡較為平滑，孔隙結(jié)構(gòu)呈梯度分布。與設(shè)計(jì)實(shí)例四相似，過渡區(qū)域AB和BC的孔隙率和孔徑等結(jié)構(gòu)參數(shù)同樣介于相鄰區(qū)域之間，孔隙率(過渡區(qū)域AB：24.16%<37.26%<49.37%，過渡區(qū)域BC：20.59%<25.46%<49.37%)，改變體素單元尺寸大小，對(duì)其孔隙率沒有影響。對(duì)于孔徑，由于TPMS單元結(jié)構(gòu)不同，其孔徑尺寸自左向右呈現(xiàn)先增大后減小的變化趨勢(shì)，改變體素單元尺寸，孔徑大小隨之發(fā)生變化。通過上述實(shí)驗(yàn)可以看出，通過不同類型的TPMS單元過渡，不但可以豐富支架內(nèi)部孔隙單元的幾何形狀，還能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)骨支架孔隙率、孔徑大小及分布的有效控制。

綜合上述試驗(yàn)結(jié)果可以看出，本文所提方法能夠構(gòu)建不同孔隙結(jié)構(gòu)排布的模型，實(shí)現(xiàn)內(nèi)部孔隙多樣化分布，并能通過控制空間體素單元尺寸、距離函數(shù)k、TPMS單元形狀等，實(shí)現(xiàn)對(duì)內(nèi)部多孔結(jié)構(gòu)的有效控制，這對(duì)于克服骨支架建模過程中多孔單元幾何形狀的限制，制造具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)組織工程骨支架提供了基礎(chǔ)。

5 結(jié)束語

本文以TPMS作為基本孔隙單元，采用隱函數(shù)表達(dá)的TPMS作為構(gòu)建微觀多孔結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)孔隙單元，通過定義距離函數(shù)及Log-Sigmoid函數(shù)，構(gòu)建了不同結(jié)構(gòu)形式TPMS孔隙單元，克服了骨支架建模過程中孔隙單元幾何形狀的限制，為制造具有復(fù)雜功能梯度多孔骨支架提供了基礎(chǔ)。提出了一種逆向幾何求交的快速體素化算法，通過網(wǎng)格模型的分層、離散，立方體素填充，實(shí)現(xiàn)了對(duì)骨支架三角網(wǎng)格模型空間的快速劃分，為孔隙單元裝配提供了空間區(qū)域和位置。多個(gè)實(shí)例表明，基于三周期極小曲面和體素化的多孔骨支架的設(shè)計(jì)方法，能夠?qū)崿F(xiàn)多孔結(jié)構(gòu)支架的設(shè)計(jì)，并能通過對(duì)體素單元尺寸、距離函數(shù)k、TPMS單元類型等進(jìn)行控制，構(gòu)建出不同孔隙結(jié)構(gòu)排布的模型，實(shí)現(xiàn)內(nèi)部孔隙多樣化分布，從而為骨支架建模提供了一種新方法。

未來將進(jìn)一步增加TPMS單元孔隙種類，針對(duì)建立孔隙率、生物屬性等方面與真實(shí)骨結(jié)構(gòu)功能上等價(jià)的結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行研究。